D Grau - 3ª Edição

As equações de Einstein, aliadas a esta métrica,
permitem obter as equações de Friedmann
e de Raychaudhuri (ou equação da aceleração),
que descrevem a evolução do Universo como um
todo e são dadas por
(ȧ
a )2 = 8πG
3 ρ (21a)
(ä
a ) = −4πG (ρ + 3p) . (21b)
3
A densidade e a pressão são quantidades
que dependem do tipo de matéria que se assume.
Se for considerada a Eq.(17) obtém-se
de igual modo as seguintes equações de Friedmann
e da aceleração
(ȧ
a )2 = 8πG
3 ρ + Λ 3
(22a)
(ä
a ) = −4πG 3 (ρ + 3p) + Λ 3 . (22b)
Outra equação bastante importante em
cosmologia é a equação da continuidade, que
para a métrica FLRW é dada por
˙ρ + 3ȧ (ρ + p) = 0 . (23)
a
Admitindo que existe uma relação entre
a pressão e a densidade, dada por uma parâmetro
adimensional w, denominado de equação de
estado, tem-se
˙ρ + 3ȧ (1 + w)ρ = 0 . (24)
a
Modelo ΛCDM e os parâmetros cosmológicos
A composição do Universo é uma condição
bastante importante para a compreensão da
sua dinâmica e para o próprio uso das equações
de Friedmann. No Universo existe radiação, poeira,
e ao nível teórico existe matéria escura e a
constante cosmológica. A matéria escura aparece
como resposta às observações das curvas
de rotação das galáxias. As curvas de rotação
de galáxias são gráficos que mostram como a
velocidade de rotação de uma galáxia varia em
relação à distância do centro da galáxia. A velocidade
está intimamente ligada à quantidade de
matéria presente dentro da órbita, permitindo inferir
a massa da galáxia a partir do movimento de
seus componentes. A matéria observada nas galáxias,
por exemplo na Via Láctea, não permite,
por si só, criar os gráficos obtidos para a curva de
rotação - o que pode implicar a presença de matéria
não visível, sendo esta a origem da matéria
escura. Não existe ainda uma descrição 100%
testada e aprovada que afirme o que é esta matéria
existindo vários tipos de partículas como os
WIMPS propostas para este problema. Evidências
vindas de simulações afirmam que se esta
matéria existir terá que ser fria para estar em
acordo com o universo que se observa.
Atualmente o modelo mais aceite e com
melhores resultados na descrição do universo é
o modelo Lambda Cold Dark Matter (ΛCDM),
também chamado de Modelo Standard, que considera
a matéria escura e a constante cosmológica.
Para este modelo as equações de Friedmann
são as seguintes
(ȧ
a )2 = 8πG
3 (ρ DM + ρ m + ρ r + ρ Λ ) , (25)
onde ρ m , ρ r , ρ DM , ρ Λ são as densidades da matéria,
da radiação, da Dark Matter e da constante
cosmológica, respetivamente.
A equação de Friedmann pode ser reescrita,
definindo a constante de Hubble como H =
da seguinte forma
ȧ
a
H 2 = 8πG
3 (ρ DM + ρ m + ρ r + ρ Λ ) . (26)
Dividindo por H 2 obtém-se
1 = ∑ i
8πG
3H 2 ρ i , (27)
23