D Grau - 3ª Edição
3ª Edição da revista dos alunos de Física e Engenharia Física da FCUL, produzida e editada pelo NFEF-FCUL. 3ª Edição da revista dos alunos de Física e Engenharia Física da FCUL, produzida e editada pelo NFEF-FCUL.
Noções matemáticasNo que se refere à matemática, a RelatividadeGeral foi em grande parte construída recorrendoà geometria diferencial com ênfase nageometria Riemanniana e na geometria Pseudo-Riemanniana. É uma teoria que envolve bastantecálculo tensorial devido à sua natureza geométricae envolve também equações diferenciais,cálculo diferencial e integral.Sendo algo fundamental na RelatividadeGeral, um tensor é, de uma forma muito simplese geral, uma matriz organizada de objetos matemáticos,como números ou funções. Um tensor éuma entidade matemática que generaliza o conceitode vetor. Enquanto um vetor é uma quantidadeque possui magnitude e direção, um tensoré uma quantidade que possui múltiplas componentes,cada uma das quais se comporta comoum vetor em um espaço multidimensional. Outroponto importante compreender é a ordem (rank)de um tensor. Em termos genéricos a complexidadede um tensor está associado à sua ordem,que consiste no número total de índices contravariantes(índice em cima) e covariantes (índice embaixo) de um tensor. Os tensores de ordem 0 sãochamados de escalares, os tensores de ordem 1são chamados de vetores, os tensores de ordem2 podem ser chamados de matrizes ou tensores.Tensores de ordens acima de 2 podem receberdiversos nomes, mas por norma são chamadosde tensores.Tendo estas bases assentes pode-sepassar para a compreensão fundamental da geometriausada em Relatividade Geral, começandopor perceber o que é um elemento de linha e ada métrica associada a este. Um elemento delinha é um objeto geométrico que é usado pararepresentar uma linha num espaço, por exemplo,bidimensional, tridimensional, quadridimensional,entre outros. Ele é definido por dois pontos,também conhecidos como nós ou vértices,que representam as extremidades da linha. Édescrito pela métrica, que é um tensor que descrevecomo a distância entre dois pontos variaao longo de diferentes trajetórias no espaço emquestão. Um exemplo muito simples destes conceitosé a noção de espaço euclidiano dado peloseguinte elemento de linhaonde se define dx i = (dx 1 , dx 2 , dx 3 ) =(dx, dy, dz) e onde g ij é a métrica do elementolinha que neste exemplo é dada por⎡1 0⎤0g ij = ⎣0 1 0⎦ . (2)0 0 1A métrica é construída com base nos elementospresentes no elemento de linha, isto é, cadaelemento dx i corresponde a uma entrada na matriz.Por exemplo, o elemento dx 2 corresponde adx × dx que pode ser escrito como dx 1 × dx 1 quecorresponde à entrada na matriz g 11 . Seguindoeste pensamento é fácil de obter g ij olhando parao elemento de linha. Uma métrica bastante importanteem Relatividade Geral é a métrica deMinkowski dada, em unidades naturais (c=1), por⎡⎤−1 0 0 0η µν = ⎢ 0 1 0 0⎥⎣ 0 0 1 0⎦ , (3)0 0 0 1Em Relatividade Geral a métrica é a quantidadefundamental da teoria, é o campo fundamentalda teoria. Esta quantidade permite definir por siuma outra quantidade denominada de conexõesda métrica (Γ a bc ). As conexões da métrica sãouma quantidade bastante importante pois não sópossuem uma relação com a curvatura, comoserá visto mais a frente, como também desempenhamum papel importante na equações da dinâmicana Relatividade Geral. Na mecânica clássica,a segunda lei de Newton é dada de umaforma geral porF = mẍ , (4)e em Relatividade Geral esta lei tem um paralelodado porẍ µ + Γ µ ναẋ ν ẋ α = 0 , (5)ao qual se dá o nome de equação da geodésica,e descreve a trajetória que um objeto em movimentolivre (sem forças externas atuando sobreele) seguiria em um espaço-tempo curvo. Naimagem a seguir estão representadas geodésicasnuma superfície de revolução.ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = g ij dx i dx j , (1)20
tensor de Riemann pode-se escrever∇ ν (R µν − 1 2 gµν R) = 0 , (8)onde ∇ ν é a derivada covariante que, sem entrarem muitos detalhes, pode ser vista como a derivadade um tensor e tem uma forma especifica.Definindo então o tensor de Eisntein, G µν , da seguinteformaconcluindo-se entãoG µν ≡ R µν − 1 2 gµν R , (9)∇ ν G µν = 0 . (10)Geodésicas numa superfície de revoluçãoFonte: Curvas Geodésicas em Superfícies by J. P. FATELOAND N. MARTINS-FERREIRAPara além disto, as conexões da métricapossuem uma relação com a curvatura e sãousadas no tensor de Riemann (R µ ναβ), que é umaquantidade que quantifica a curvatura do espaçotempo.RicciEste tensor por sua vez leva ao tensor deR µν ≡ R α µαν , (6)E este tensor por sua vez pode ser contraído tambémobtendo-se o escalar de RicciR ≡ g µν R µν , (7)onde se usa uma propriedade da métrica emque g µν R µν levanta um índice em R µν obtendoseg µν R µν = R ν ν = R. Tanto o tensor de Riccicomo o escalar de Ricci são quantidades fundamentaisque descrevem a curvatura do espaçotempo.O tensor de Ricci pode ser considerado,de forma geral, como uma medida do grau emque a geometria de uma dada métrica difere localmentedaquela do espaço euclidiano ordinárioou do espaço pseudo-euclidiano (espaço de Minkowskipor exemplo). Já o escalar de Ricci podeser visto como uma grandeza escalar que medea curvatura média do espaço-tempo em uma determinadaregião. Para cada ponto numa regiãodo espaço ele atribui um número real determinadopela geometria da métrica próxima a esseponto.Recorrendo a algumas propriedades doO grande rasgo de genialidade de Einsteinfoi perceber que havia uma relação entre amatéria e a geometria do espaço-tempo, mais emespecífico, uma relação entre matéria e a curvaturado espaço-tempo. Em Relatividade Geral, aquantidade responsável pela matéria é o tensorenergia momento, como o tensor de Riemann,tensor de Ricci e escalar de Ricci são as quantidadesresponsáveis pela geometria.O tensor energia momento é uma quantidadefísica tensorial que descreve a densidade eo fluxo de energia e momento no espaço-tempo.Possui uma relação com a matéria, radiação ecampos de força não gravitacionais. Na suaforma mais geral o o tensor energia momentopode ser escrito comoT µν = ρu µ u ν , (11)onde u µ = (1, ⃗u). Este tensor respeita a equaçãoda continuidade e conserva-se, isto é,∇ ν T µν = 0 . (12)Até agora foi visto que ∇ µ T µν = ∇ ν G µν =0, o que permite então conceber que estasduas quantidades sejam proporcionais entre si,podendo-se então procurar soluções do tipoG µν = R µν − 1 2 gµν R = CT µν . (13)Realizando alguns cálculos mais complexosobtém-se que a constante C, para respeitar oPrincipio da correspondência, é (com c=1) dadaporC = 8πG . (14)Aplicando então este resultado na Eq.(13)21
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tensor de Riemann pode-se escrever
∇ ν (R µν − 1 2 gµν R) = 0 , (8)
onde ∇ ν é a derivada covariante que, sem entrar
em muitos detalhes, pode ser vista como a derivada
de um tensor e tem uma forma especifica.
Definindo então o tensor de Eisntein, G µν , da seguinte
forma
concluindo-se então
G µν ≡ R µν − 1 2 gµν R , (9)
∇ ν G µν = 0 . (10)
Geodésicas numa superfície de revolução
Fonte: Curvas Geodésicas em Superfícies by J. P. FATELO
AND N. MARTINS-FERREIRA
Para além disto, as conexões da métrica
possuem uma relação com a curvatura e são
usadas no tensor de Riemann (R µ ναβ
), que é uma
quantidade que quantifica a curvatura do espaçotempo.
Ricci
Este tensor por sua vez leva ao tensor de
R µν ≡ R α µαν , (6)
E este tensor por sua vez pode ser contraído também
obtendo-se o escalar de Ricci
R ≡ g µν R µν , (7)
onde se usa uma propriedade da métrica em
que g µν R µν levanta um índice em R µν obtendose
g µν R µν = R ν ν = R. Tanto o tensor de Ricci
como o escalar de Ricci são quantidades fundamentais
que descrevem a curvatura do espaçotempo.
O tensor de Ricci pode ser considerado,
de forma geral, como uma medida do grau em
que a geometria de uma dada métrica difere localmente
daquela do espaço euclidiano ordinário
ou do espaço pseudo-euclidiano (espaço de Minkowski
por exemplo). Já o escalar de Ricci pode
ser visto como uma grandeza escalar que mede
a curvatura média do espaço-tempo em uma determinada
região. Para cada ponto numa região
do espaço ele atribui um número real determinado
pela geometria da métrica próxima a esse
ponto.
Recorrendo a algumas propriedades do
O grande rasgo de genialidade de Einstein
foi perceber que havia uma relação entre a
matéria e a geometria do espaço-tempo, mais em
específico, uma relação entre matéria e a curvatura
do espaço-tempo. Em Relatividade Geral, a
quantidade responsável pela matéria é o tensor
energia momento, como o tensor de Riemann,
tensor de Ricci e escalar de Ricci são as quantidades
responsáveis pela geometria.
O tensor energia momento é uma quantidade
física tensorial que descreve a densidade e
o fluxo de energia e momento no espaço-tempo.
Possui uma relação com a matéria, radiação e
campos de força não gravitacionais. Na sua
forma mais geral o o tensor energia momento
pode ser escrito como
T µν = ρu µ u ν , (11)
onde u µ = (1, ⃗u). Este tensor respeita a equação
da continuidade e conserva-se, isto é,
∇ ν T µν = 0 . (12)
Até agora foi visto que ∇ µ T µν = ∇ ν G µν =
0, o que permite então conceber que estas
duas quantidades sejam proporcionais entre si,
podendo-se então procurar soluções do tipo
G µν = R µν − 1 2 gµν R = CT µν . (13)
Realizando alguns cálculos mais complexos
obtém-se que a constante C, para respeitar o
Principio da correspondência, é (com c=1) dada
por
C = 8πG . (14)
Aplicando então este resultado na Eq.(13)
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