D Grau - 3ª Edição

Noções matemáticas
No que se refere à matemática, a Relatividade
Geral foi em grande parte construída recorrendo
à geometria diferencial com ênfase na
geometria Riemanniana e na geometria Pseudo-
Riemanniana. É uma teoria que envolve bastante
cálculo tensorial devido à sua natureza geométrica
e envolve também equações diferenciais,
cálculo diferencial e integral.
Sendo algo fundamental na Relatividade
Geral, um tensor é, de uma forma muito simples
e geral, uma matriz organizada de objetos matemáticos,
como números ou funções. Um tensor é
uma entidade matemática que generaliza o conceito
de vetor. Enquanto um vetor é uma quantidade
que possui magnitude e direção, um tensor
é uma quantidade que possui múltiplas componentes,
cada uma das quais se comporta como
um vetor em um espaço multidimensional. Outro
ponto importante compreender é a ordem (rank)
de um tensor. Em termos genéricos a complexidade
de um tensor está associado à sua ordem,
que consiste no número total de índices contravariantes
(índice em cima) e covariantes (índice em
baixo) de um tensor. Os tensores de ordem 0 são
chamados de escalares, os tensores de ordem 1
são chamados de vetores, os tensores de ordem
2 podem ser chamados de matrizes ou tensores.
Tensores de ordens acima de 2 podem receber
diversos nomes, mas por norma são chamados
de tensores.
Tendo estas bases assentes pode-se
passar para a compreensão fundamental da geometria
usada em Relatividade Geral, começando
por perceber o que é um elemento de linha e a
da métrica associada a este. Um elemento de
linha é um objeto geométrico que é usado para
representar uma linha num espaço, por exemplo,
bidimensional, tridimensional, quadridimensional,
entre outros. Ele é definido por dois pontos,
também conhecidos como nós ou vértices,
que representam as extremidades da linha. É
descrito pela métrica, que é um tensor que descreve
como a distância entre dois pontos varia
ao longo de diferentes trajetórias no espaço em
questão. Um exemplo muito simples destes conceitos
é a noção de espaço euclidiano dado pelo
seguinte elemento de linha
onde se define dx i = (dx 1 , dx 2 , dx 3 ) =
(dx, dy, dz) e onde g ij é a métrica do elemento
linha que neste exemplo é dada por
⎡
1 0
⎤
0
g ij = ⎣0 1 0⎦ . (2)
0 0 1
A métrica é construída com base nos elementos
presentes no elemento de linha, isto é, cada
elemento dx i corresponde a uma entrada na matriz.
Por exemplo, o elemento dx 2 corresponde a
dx × dx que pode ser escrito como dx 1 × dx 1 que
corresponde à entrada na matriz g 11 . Seguindo
este pensamento é fácil de obter g ij olhando para
o elemento de linha. Uma métrica bastante importante
em Relatividade Geral é a métrica de
Minkowski dada, em unidades naturais (c=1), por
⎡
⎤
−1 0 0 0
η µν = ⎢ 0 1 0 0
⎥
⎣ 0 0 1 0⎦ , (3)
0 0 0 1
Em Relatividade Geral a métrica é a quantidade
fundamental da teoria, é o campo fundamental
da teoria. Esta quantidade permite definir por si
uma outra quantidade denominada de conexões
da métrica (Γ a bc ). As conexões da métrica são
uma quantidade bastante importante pois não só
possuem uma relação com a curvatura, como
será visto mais a frente, como também desempenham
um papel importante na equações da dinâmica
na Relatividade Geral. Na mecânica clássica,
a segunda lei de Newton é dada de uma
forma geral por
F = mẍ , (4)
e em Relatividade Geral esta lei tem um paralelo
dado por
ẍ µ + Γ µ ναẋ ν ẋ α = 0 , (5)
ao qual se dá o nome de equação da geodésica,
e descreve a trajetória que um objeto em movimento
livre (sem forças externas atuando sobre
ele) seguiria em um espaço-tempo curvo. Na
imagem a seguir estão representadas geodésicas
numa superfície de revolução.
ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = g ij dx i dx j , (1)
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