Fisica3 (Eletromagnetismo)

88 CAPÍTULO 24
em que (211R')(dR') é a área do anel. Como o ponto P está no eixo central, todas as
partes do elemento de carga estão à mesma distância r do ponto. Com a ajuda da
Fig. 24-13, podemos usar a Eq. 24-31 para escrever a contribuição desse anel para
o potencial elétrico no ponto P na forma
dV = _1_ dq = _1_ <r(21rR')(dR') . ( 24
_ 36
)
41re 0 r 41re 0 ~z2 + R'2
Para calcular o potencial total, somamos (por integração) as contribuições de todos
os anéis de R' = O até R' = R:
f
i
R R' dR'
V= dV = _!!_ = _!!_ dz 2 + R 2 - z). (24-37)
2e 0 0 ~z2 + R'2 2e 0
Note que a variável de integração na segunda integral da Eq. 24-37 é R' e não z, que
permanece constante enquanto a integração ao longo da superfície do disco está sendo
executada. (Observe também que no cálculo da integral supusemos que z 2: O.)
24-1 O Cálculo do Campo Elétrico a partir
do Potencial
Na Seção 24-5, vimos que era possível calcular o potencial em um ponto f a partir do
conhecimento do valor do campo elétrico ao longo de uma trajetória desde um ponto
de referência até o ponto f Nesta seção, vamos discutir o problema inverso, ou seja,
o cálculo do campo elétrico a partir do potencial. Como se pode ver na Fig. 24-3,
resolver este problema graficamente é muito fáci l: se conhecemos o potencial V para
todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas, podemos desenhar
uma fanu1ia de superfícies equipotenciais. As linhas de campo elétrico, desenhadas
perpendicularmente a essas superfícies, revelam a variação de Ê. O que estamos
buscando é um método matemático equivalente ao processo gráfico.
A Fig. 24-14 mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais
muito próximas umas das outras; a diferença de potencial entre superfícies adjacentes
é dV. Como sugere a figura, o campo Ê em um ponto P qualquer é perpendicular
à superfície equipotencial que passa por P.
Suponha que uma carga de prova positiva q 0 sofra um deslocamento ds de uma
superfície equipotencial para a superfície vizinha. De acordo com a Fig. 24-14, o
trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento
é -q 0 dV. De acordo com a Eq. 24-16 e a Fig. 24-14, o mesmo trabalho também
pode ser escrito como o produto escalar (q 0 Ê) · ds ou q 0 E(cos 8)ds. Igualando as
duas expressões para o trabalho, obtemos
-q 0 dV = q 0 E(cos e) ds, (24-38)
Figura 24-14 Uma carga de prova
positiva q 0 sofre um deslocamento ds
de uma superfície equipotencial para a
superfície vizinha. (A distância entre as
superfícies foi exagerada na figura.) O
deslocamento ds faz um ângulo fJ com o
campo elétrico Ê.
ou Ecos e=
dV
ds ·
Como Ecos e é a componente de Ê na direção de ds, a Eq. 24-39 se torna
(24-39)
E=_ av
s as . (24-40)
Escrevemos o campo E com um índice e substituímos o símbolo de derivada pelo
de derivada parcial para ressaltar o fato de que a Eq. 24-40 envolve apenas a variação
de V aó longo de um certo eixo (no caso, o eixo que chamamos de s) e apenas
a componente de Ê ao longo desse eixo. Traduzida em palavras, a Eq. 24-40 (que é
essencialmente a operação inversa da Eq. 24-18) afirma o seguinte:
A componente de Ê em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação
com a distância do potencial elétrico nessa direção.