Fisica3 (Eletromagnetismo)

LE I DE GAUSS 57
23-5 Lei de Gauss e Lei de Coulomb
Como a lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a mesma
relação entre carga elétrica e campo elétrico em situações estáticas, deve ser possível
demonstrar uma das leis a partir da outra. Vamos agora demonstrar a lei de Coulomb
a partir da lei de Gauss e algumas considerações de simetria.
A Fig. 23-8 mostra uma carga pontual positiva q em torno da qual foi desenhada
uma superfície gaussiana esférica concêntrica de raio r. Vamos dividir a superfície
em áreas elementares dA. Por definição, o vetor área dà em qualquer ponto é
perpendicular à superfície e dirigido para fora. Pela simetria da situação, sabemos
que o campo elétrico Ê também é perpendicular à superfície e dirigido para fora.
Assim, como o ângulo (J entre Ê e dà é zero, podemos escrever a lei de Gauss (Eq.
23-7) na forma
Superfície
gaussiana
q
/
/
7
Ir
I
I
ri---~
Figura 23-8 Uma superfície gaussiana
esférica com centro em uma carga
pontual q.
E
(23-8)
em que qenv = q. Embora E varie radialmente com a distância, tem o mesmo valor
em todos os pontos da superfície esférica. Como a integral da Eq. 23-8 é calculada
nessa superfície, E é constante na integração e pode ser colocado do lado de fora do
sinal de integral. Isso nos dá
B 0 Ej dA = q. (23-9)
A integral agora é simplesmente a soma de todos os elementos de área dA da esfera
e, portanto, é igual à área da superfície da esfera, 41rr2. Fazendo essa substituição,
obtemos:
ou
B 0 E( 4m- 2 ) = q
1 q
E=---
41rB0 r 2 •
Essa é exatamente a Eq. 22-3, que foi obtida usando a lei de Coulomb.
(23-10)
" TESTE 3
Um certo fluxo <I>; atravessa uma esfera gaussiana de raio r que envolve uma única partícula
carregada. Suponha que a esfera gaussiana seja substituída (a) por uma esfera gaussiana
maior, (b) por um cubo gaussiano de lado r e ( c) por um cubo gaussiano de lado 2r. Em cada
caso, o fluxo total através da nova superfície gaussiana é maior, menor ou igual a <l\?
23-6 Um Condutor Carregado
A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores:
~ Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra na
superfície do condutor; o interior do condutor continua a ser neutro.
Esse comportamento dos condutores é razoável, já que cargas do mesmo sinal se
repelem. A ideia é que, ao se acumularem na superfície, as cargas em excesso se
mantêm afastadas o máximo possível umas das outras. Podemos usar a lei de Gauss
para demonstrar matematicamente essa afirmação.
A Fig. 23-9a mostra uma vista de perfil de um pedaço de cobre, pendurado por
um fio isolante, com uma carga em excesso q. Colocamos uma superfície gaussiana
logo abaixo da superfície do condutor.