Fisica3 (Eletromagnetismo)

PARTE 3
LEI DE GAUSS 53
Exemplo
Fluxo de um campo elétrico não uniforme através de um cubo
O cubo gaussiano que aparece na Fig. 23-5 está submetido
a um campo elétrico não uniforme dado por Ê = 3,0xi +
4, O], com E em newtons por coulomb ex em metros. Qual
é o fluxo elétrico na face direita, na face esquerda e na face
superior do cubo? (As outras faces são consideradas em
outro exemplo.)
IDEIA-CHAVE
Podemos calcular o fluxo <I> através de uma superfície
integrando o produto escalar Ê · dà ao longo da superfície.
Face direita O vetor área à é sempre perpendicular à superfície
e aponta para fora. Assim, no caso da face direita
do cubo, o vetor dà aponta no sentido positivo do eixo
x. Um elemento desse tipo é mostrado nas Figs. 23-Sb e
23-Sc, mas o vetor dà tem a mesma direção para todos os
elementos de área pertencentes a essa face. Em termos dos
vetores unitários,
d = dAt.
De acordo com a Eq. 23-4, o fluxo <I>d através da face direita
do cubo é dado por
<I>d = f Ê· dA = f (3,0xI + 4,0J) · (dA1)
observamos que x tem o mesmo valor, 3,0 m, em todos os
pontos da face e, portanto, podemos substituir x por esse
valor (as coordenadas y e z não estão envolvidas na integração).
Assim, temos:
<I>d = 3,0 I (3,0) dA = 9,0 I dA.
A integral J dA nos dá simplesmente a área A = 4,0 m 2 da
face direita; assim,
<I> d = (9,0 N/C)( 4,0 m 2 ) = 36 N · m 2 /C.
(Resposta)
Face esquerda O método para calcular o fluxo através da
face esquerda é o mesmo que foi usado para a face direita.
Apenas duas coisas mudam: ( 1) o vetor área elementar
dà agora aponta no sentido negativo do eixo x e, portanto,
dà = - dAi; (2) o valor constante de x agora é 1,0 m . Com
essas duas mudanças, verificamos que o fluxo <I>e através
da face esquerda é dado por
<I>e = -12 N · m 2 /C.
(Resposta)
Face superior Como o vetor área elementar dà agora
aponta no sentido positivo do eixo y, dà = dA] (Fig.
23-Se). O fluxo <I>s através da face superior é, portanto,
<I>s = f (3,0xI + 4,0J) • (dAJ)
= f
[(3,0x)(dA)1 · 1 + (4,0)(dA)J · Í]
= I
[(3,0x)(dA)1 · J + (4,0)(dA)] · J]
= f
(3,0x dA + O) = 3,0 f x dA.
= I
(O + 4,0 dA) = 4,0 I dA
Deveríamos calcular essa integral para a face direita, mas
= 16 N ·m 2 /C. (Resposta)
23-4 Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total <I> de um campo elétrico através de uma superfície
fechada (superfície gaussiana) à carga total q env envolvida pela superfície.
Em notação matemática,
êo<P = qenv (Lei de Gauss). (23-6)
Usando a Eq. 23-4, a definição de fluxo, podemos escrever a lei de Gauss na forma
1 --> -->
eo J E . dA = q env (Lei de Gauss). (23-7)
As Eqs. 23-6 e 23-7 são válidas somente se na região envolvida pela superfície gaussiana
existe apenas vácuo ou ar (que, para efeitos práticos, quase sempre pode ser