Fisica3 (Eletromagnetismo)

52 CAPÍTULO 23
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
" TESTE 1 J. -> ->
A figura mostra um cubo gaussiano,
cujas faces têm área A, imerso em um
campo elétrico uniforme Ê orientado
no sentido positivo do eixo z. Determine,
em termos de E eA, o fluxo através
(a) da face frontal do cubo (a face situada
no plano .xy); (b) da face traseira;
(c) da face superior; (d) do cubo como
um todo.
/
y
A definição exata do flu xo do campo elétrico através de uma superfície fechada
é obtida fazendo a área dos quadrados da Fig. 23-3 tender a zero, tornando-se uma
área diferencial dA. Nesse caso, os vetores área se tornam vetores diferenciais dÃ.
O somatório da Eq. 23-3 se torna uma integral e temos, para a definição de fluxo
elétrico,
cI>=y E ·dA (fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana). (23-4)
O círculo no sinal de integral indica que a integração deve ser realizada para uma
superfície fechada. O fluxo do campo elétrico é um escalar cuja unidade no SI é o
newton-metro quadrado por coulomb (N · m 2 /C).
Podemos interpretar a Eq. 23-4 da seguinte forma: como vimos, é possível usar
a densidade das linhas de campo elétrico que atravessam uma certa região como uma
medida da intensidade do campo elétrico nessa região. Mais especificamente, o módulo
E do campo elétrico é proporcional ao número de linhas de campo por unidade
de área. Assim, o produto escalar Ê · dà da Eq. 23-4 é proporcional ao número de
linhas de campo elétrico que passam pela área dÃ. Nesse caso, como a integração da
Eq. 23-4 é executada para uma superfície gaussiana, que é fechada, vemos que
O fluxo elétrico <l> através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de
linhas de campo elétrico que atravessam a superfície.
Exemplo
Fluxo de um campo uniforme através de uma superfície cilíndrica
A Fig. 23-4 mostra uma superfície gaussiana com a forma de
um cilindro de raio R imersa em um campo elétrico uniforme
Ê, com o eixo do cilindro paralelo ao campo. Qual é o fluxo
cI> do campo elétrico através dessa superfície fechada?
Para todos os pontos da base a, o ângulo e entre E e
dà é 180º e o módulo E do campo é o mesmo. Assim,
J Ê · d = J E(cos 180º) dA = - E J dA = - EA,
a
em que J dA é igual à área da base, A ( = 7TR 2 ). AnalogadA
1
1
1
1
1
•
1
1
IDEIA-CHAVE
Podemos calcular o fluxo cI> através da superfície gaussiana
integrando o produto escalar Ê · dà para toda a superfície.
Cálculos: Podemos realizar a integração escrevendo o fluxo
como a soma de três integrais: uma para a base esquerda
do cilindro a, outra para a superfície lateral do cilindro,
b, e outra para a base direita do cilindro e. Nesse caso, de
acordo com a Eq. 23-4,
<l>=fÊ·dÂ
= J Ê·d + J Ê ·d + J Ê ·dÂ.
a b e
(23-5)
______ , ,____ --·-----------------·-----
Figura 23-4 Uma superfície gaussiana cilíndrica, fechada
pelos planos das bases, imersa em um campo elétrico
uniforme. O eixo do cilindro é paralelo à direção do campo.
mente, na base e, em que e = O para todos os pontos,
J Ê · d = J E(cos O) dA = EA.
e
Finalmente, para a superfície lateral b do cilindro, onde
e = 90º para todos os pontos,
J Ê · d = J E( cos 90º) dA = O.
b
Substituindo esses resultados na Eq. 23-5, obtemos:
cI> = - EA + O + EA = O.
(Resposta)
Este resultado já era esperado; como todas as linhas de
campo que representam o campo elétrico atravessam a
superfície gaussiana, entrando pela base esquerda e saindo
pela base direita, o fluxo total deve ser nulo.