Fisica3 (Eletromagnetismo)

PARTE 3
CAMPOS ELÉTRICOS 29
Seja ds o comprimento de um dos elementos de carga do anel. Como À é a carga
por unidade de comprimento, a carga do elemento é dada por
dq = A ds. (22-10)
Esse elemento de carga produz um campo elétrico dE no ponto P, que está a uma
distância r do elemento. Tratando o elemento como uma carga pontual e usando a
Eq. 22-10, podemos escrever o módulo de dE na forma
dE _ 1 dq _ 1 A ds ( )
- 47ré: 0
7 - 41re ~-
22
0
-ll
De acordo com a Fig. 22-10, a Eq. 22-11 pode ser expressa na forma
z
As componentes
perpendiculares se
cancelam e as
componentes
paralelas se somam.
dE = _1_ Ads
41reo (z 2 + R2) .
(22-12)
Como se pode ver na Fig. 22-10, dE faz um ângulo() com o eixo central (que foi
tomado como o eixo z) e possui uma componente perpendicular e uma componente
paralela a esse eixo.
Cada elemento de carga do anel produz um campo elementar dE no ponto P,
cujo módulo é dado pela Eq. 22-12. As componentes dos campos dE paralelas ao
eixo central são todas iguais; as componentes perpendiculares têm o mesmo módulo,
mas orientações diferentes. Na verdade, para cada componente perpendicular
f
com uma dada orientação, existe outra componente com a orientação oposta. Isso
significa que as componentes perpendiculares se cancelam e não precisam ser consideradas.
Restam as componentes paralelas; como todas têm o mesmo sentido, o
campo elétrico no ponto Pé a soma dessas componentes.
O módulo da componente paralela de dE que aparece na Fig. 22-10 é dE cos 8.
De acordo com a figura, temos também
z
r
z
z + R
cos e = - = ( 2 2) 112 .
Multiplicando a Eq. 22-12 pela Eq. 22-13, obtemos:
(22-13)
Figura 22-1 O Um anel de cargas
positivas distribuídas uniformemente.
Um elemento de carga tem um
comprimento ds (grandemente
exagerado na figura). Esse elemento
cria um campo elétrico dÊ no ponto P.
A componente de dÊ paralela ao eixo
central do anel é dE cos 8.
Z À
dE cos e = ( 2 2 ) 312 ds.
41re 0 z + R
(22-14)
Para somar as componentes paralelas dE cos () produzidas por todos os elementos,
basta integrar a Eq. 22-14 ao longo da circunferência do anel, de s = O as =
21rR. Como a única grandeza da Eq. 22-14 que varia durante a integração és, as
outras grandezas podem ser colocadas do lado de fora do sinal de integral. A integração
nos dá
f · ZÀ
E = dE cos 8 =
L2wR
41reo(z 2 + R2)312
o
ds
41reo(z2 + R2) 312 .
(22-15)
Como A é a carga por unidade de comprimento do anel, o termoA(21rR) daEq. 22-15
é igual a q, a carga total do anel. Assim, a Eq. 22-15 pode ser escrita na forma
E= qz
41reo(z2 + R2)312
(anel can-egado ). (22-16)
Se a carga do anel for negativa em vez de positiva, o módulo do campo no ponto
P será o mesmo, mas o sentido do campo será na direção do anel e não para longe
do anel.
Vamos agora verificar que forma assume a Eq. 22-16 no caso de um ponto do
eixo central tão distante da origem que z ;,;, R. Nesse caso, a expressão z 2 + R 2 da
Eq. 22-16 pode ser aproximada por z 2 e a Eq. 22-1 6 se torna