Fisica3 (Eletromagnetismo)

294 CAPÍTULO 31
A solução da Eq. 31-24 é a seguinte:
q = Qe- RL 12 Lcos(w't + q;), (31-25)
com
w' = V w 2 - (R/2L) 2 , (31-26)
em que w =li&, como no caso de um oscilador não amortecido. A Eq. 31-r
mostra de que forma a carga do capacitar varia em um circuito RLC; essa equação
é análoga à Eq. 15-42, que descreve o deslocamento do bloco em um oscilador bloco-mola
amortecido.
A Eq. 31-25 descreve uma oscilação senoidal ( a função cosseno) com uma
amplitude exponencialmente decrescente Qe- Rt1 2 L (o fator que multiplica o cosseno).
A frequência angular w' das oscilações amortecidas é sempre menor que a
frequência angular das oscilações não amortecidas; entretanto, vamos considerar
apenas situações nas quais a resistência R é suficientemente pequena para que w'
possa ser substituída por w.
Vamos agora escrever uma expressão para a energia eletromagnética total U
do circuito em função do tempo. Para isso, basta calcular a energia armazenada
no campo elétrico do capacitar, que é dada pela Eq. 31-1 (UE = q 2 /2C), já que a
amplitude é a mesma para as energias UE e U 8 . Substituindo a Eq. 31-25 na Eq.
31-1, obtemos
qz [Qe - RL12Lcos(w't + <jJ)]2 Q2
n - - = --e- RLIL cos 2 (w't + A-).
Up; - 2C - 2C 2C '+'
(31-27)
Assim, a energia do campo elétrico oscila de acordo com um termo proporcional
ao quadrado do cosseno, enquanto a amplitude das oscilações diminui exponencialmente
com o tempo.
Exemplo
Circuito RLC amortecido: amplitude da carga
Um circuito RLC série tem um indutância L = 12 mH,
uma capacitância C = 1,6 µ,F, uma resistência R = 1,5 e
começa a oscilar no instante t = O.
(a) Em que instante ta amplitude das oscilações da carga
do circuito é 50% do valor inicial? (Note que o valor inicial
não é dado.)
IDEIA-CHAVE
A amplitude das oscilações da carga diminui exponencialmente
com o tempo t. De acordo com a Eq. 31-25,
a amplitude das oscilações da carga em um instante t
é dada por Qe- R' 12 L, onde Q é a amplitude no instante
t = O.
Cálculos Estamos interessados em determinar o instante
no qual a amplitude das oscilações da carga é 0,50Q, ou
seja, o instante em que
Qe- Rll2L = 0,50Q.
Dividindo ambos os membros por Q (o que elimina Q da
equação, mostrando que não é preciso conhecer a carga
inicial) e tomando o logaritmo natural de ambos os membros,
obtemos:
-
Rt
L = ln 0,50.
2
Explicitando t e substituindo os valores conhecidos, obtemos
2L
t = --ln050 =
R '
= 0,0111 s = 11 ms.
(2)(12 X 10- 3 H)(ln 0,50)
1,511
(Resposta)
(b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?
IDEIA-CHAVE
O tempo necessário para completar uma oscilação é o
período T = 2nlw, onde a frequência angular das oscilações,
pa~equenos valores de R, é dada pela Eq. 31-4
(w = li ..J LC).
Cálculo No intervalo de tempo !::i..t = 0,0111 s, o número
de oscilações completas é
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