Fisica3 (Eletromagnetismo)

OSCILAÇÕES ELETRO MAGNÉTICAS ECO
dU = _E_ ( Li 2 + L) = Li !!:i__ + _!j_ dq = o.
dt dt 2 2C dt C dt
(31-10)
Entretanto, i = dqldt e di/dt = d2q!dt2. Com essas substituições, a Eq. 31-10 se
torna
d 2 q 1
L--+-q=O
dt 2
e
( circuito LC). (31-11)
Esta é a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito LC sem resistência.
As Eqs. 31-11 e 31-7 têm exatamente a mesma forma matemática.
Oscilações de Carga e de Corrente
Quando duas equações diferenciais são matematicamente equivalentes, as soluções
também são matematicamente equivalentes. Como q corresponde a x, podemosescrever
a solução geral da Eq. 31-11, por analogia com a Eq. 31-8, como
q = Q cos(wt + cp) ( carga), (31-12)
em que Q é a amplitude das variações de carga, w é a frequência angular das oscilações
eletromagnéticas e 1> é a constante de fase.
Derivando a Eq. 31-12 em relação ao tempo, obtemos a corrente em um oscilad~r
LC:
. dq
i = dt = -wQ sen(wt + cp)
( coffente). (31-13)
A amplitude I dessa corrente senoidal é
I = wQ,
e, portanto, podemos reescrever a Eq. 31-13 na forma
i = -/sen(wt + cp).
(31-14)
(31-15)
Frequências Angulares
Podemos confirmar que a Eq. 31-12 é uma solução da Eq. 31-11 substituindo a Eq.
31-12 e sua derivada segunda em relação ao tempo na Eq. 31 -1 1. A derivada primeira
da Eq. 31-12 é a Eq. 31-13. A derivada segunda é, portanto,
d2q
dt 2
= -w 2 Q cos(wt + cp).
Substituindo q e d2q!dt 2 por seus valores na Eq. 31-11, obtemos
1
- Lw 2 Q cos( wt + </>) + C Q cos( wt + cp) = O.
Dividindo ambos os membros por Q cos(wt + c:p) e reagrupando os termos,
obtemos
1
w= vrc·
Assim, a Eq. 31-12 é realmente uma solução da Eq. 31-11 , contanto que w = 1 / JLc.
Observe que a expressão de w é a mesma da Eq. 31-4, à qual chegamos usando correspondências.
A constante de fase 1> da Eq. 31-12 é determinada pelas condições que existem
em um certo instante, como t = O, por exemplo. De acordo com a Eq. 31-12, se e/> =
O no instante t = O, q = Q e, de acordo com a Eq. 13-13, i = O. Essas são as condições
representadas na Fig. 31 -la.