Fisica3 (Eletromagnetismo)

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290 CAPÍTULO 31
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As correspondências significam que para determinar a frequência angular de oscilação
de um circuito LC ideal (sem resistência), k deve ser substituído por 1/C em
por L, o que nos dá
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w=---
\!IT
(circuito LC).
31 -4 Oscilações em um Circuito LC: Análise
Quantitativa
(31-4)
Vamos agora mostrar explicitamente que a Eq. 31-4 é a expressão correta para a
frequência angular das oscilações em um circuito LC. Ao mesmo tempo, examinaremos
mais de perto a analogia entre as oscilações de um circuito LC e de um sistema
bloco-mola. Começamos por ampliar um pouco nosso tratamento anterior do
oscilador mecânico bloco-mola.
O Oscilador Bloco-Mola
Analisamos as oscilações do sistema bloco-mola no Capítulo 15 em termos da transferência
de energia, mas não chegamos a escrever a equação diferencial que governa
essas oscilações; é o que vamos fazer agora.
A energia total U de um oscilador bloco-mola é dada, em qualquer instante de
tempo, pela equação
(31-5)
em que Uh e U 111
são, respectivamente, a energia cinética do bloco e a energia potencial
da mola. Se o atrito é desprezível, a energia total U não varia com o tempo, ou
seja, dU/dt = O. Assim, temos:
dU d 1 1 dv dx
dt = dt ( 2 mv 2 + 2 kx 2 ) = mv dt + kx dt = O. (31-6)
Entretanto, v = dx/dt e dv/dt = d2x/dt 2 • Com essas substituições, a Eq. 31-6 se
torna
d 2 x
m-d? +kx=O ( oscilações bloco-mola). (31-7)
t-
A Eq. 31-7 é a equação diferencial a que obedecem as oscilações massa-mola sem
atrito.
A solução geral da Eq. 31-7, ou seja, a função x(t) que descreve as oscilações,
é (como vimos na Eq. 15-3)
x = X cos(wt + </>) (deslocamento), (31-8)
em que X é a amplitude das oscilações mecânicas (representada por x'" no Capítulo
15), w é a frequência angular das oscilações e <pé uma constante de fase.
O Oscilador LC
Vamos agora analisar as oscilações de um circuito LC sem resistência, procedendo
exatamente como fizemos no caso do oscilador bloco-mola. A energia total U presente
em qualquer instante em um circuito LC oscilante é dada por
Li2 q2
U = Us + UE = -2- + 2C ' (31-9)
em que U 8 é a energia armazenada no campo magnético do indutor e UE é a energia
armazenada no campo elétrico do capacitor. Como supusemos que a resistência do
circuito é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e U permanece
constante, ou seja, dU/dt = O. Assim, temos: