Fisica3 (Eletromagnetismo)

INDUÇÃO E INDUTÂNCIA 273
· Exemplo
A Fig. 30-20 mostra duas bobinas circulares compactas,
coplanares, coaxiais, a menor de raio R 2 e N 2 espiras e a
maior de raio R 1 e N 1 espiras.
(a) Escreva a expressão da indutância mútua M para este
arranjo de bobinas, supondo que R 1
;,> R 2 •
IDEIA-CHAVE
A indutância mútua M das bobinas é a razão entre o enlaçamento
de fluxo (N<P) através de uma das bobinas e a corrente
i na outra bobina. Assim, precisamos supor que existe
uma corrente em uma bobina e calcular o fluxo magnético
que atravessa a outra bobina devido a essa corrente.
Indutância mútua de duas bobinas paralelas
Cálculos Tanto o módulo como a direção do campo magnético
produzido pela bobina menor variam de ponto para
ponto no interior da bobina maior; assim, o fluxo magnético
que atravessa a bobina maior é difícil de calcular. Por
outro lado, como estamos supondo que o raio da bobina
menor é muito menor que o raio da bobina maior, podemos
supor que o campo magnético criado pela bobina maior é
aproximadamente uniforme no interior da bobina menor.
Assim, para calcular M supomos que a bobina maior é percorrida
por uma corrente i 1
e calculamos o enlaçamento de
fluxo N 2
<t> 21 na bobina menor:
M = N2.<P21 . (30-66)
De acordo com a Eq. 30-2, o fluxo <1:> 21
através de cada
espira da bobina menor é dado por
<P21 = B1A2,
em que B 1 é o módulo do campo magnético no interior da
bobina menor devido à corrente na bobina maior e A 2 ( =
7T Ri) é a área de uma espira. Assim, o enlaçamento de fluxo
na bobina menor (que possui N 2 espiras) é dado por
(30-67)
Para determinar o campo B I no interior da bobina menor,
podemos usar a Eq. 29-26,
µ, 0 iR 2
B(z) = 2(R2 + z2)312 '
onde podemos fazer z = O porque a bobina menor está no
mesmo plano que a bobina maior. De acordo com essa
equação, cada espira da bobina maior produz um campo
magnético de módulo µ, 0 i /2R 1 no interior da bobina menor.
Assim, a bobina maior (que possui N 1 espiras) produz um
campo magnético total de módulo
B _ N fL oi1
i - i 2R1
no interior da bobina menor.
-- -- ·-------~· -------
(30-68)
Figura 30-20 Uma pequena bobina no centro de uma bobina
maior. A indutância mútua das bobinas pode ser determinada
fazendo passar uma corrente i 1 na bobina maior.
Substituindo os valores de B 1 (dados pela Eq. 30-68)
eA 2 (= 'TTRi) naEq. 30-67, temos:
N <t>
_ 1rµ,0N1N2R~i1
2 21 - 2R1
Substituindo este resultado na Eq. 30-66, obtemos
M =
N2<P21
i1
(Resposta) (30-69)
(b) Qual é o valor de M para N 1
= N 2 = 1200 espiras, R 2
=
1,1 cmeR 1 = 15 cm?
Cálculos De acordo com a Eq. 30-69, temos:
M = ( 1r)( 41r X 10 - 7 H/m)(1200)(1200)(0,011 m) 2
(2)(0,15 m)
= 2,29 X 10- 3 H = 2,3 mH. (Resposta)
Suponha que os papéis das duas bobinas sejam invertidos,
ou seja, que partimos de uma corrente i 2 na bobina
menor e tentamos determinar o valor de M usando a Eq.
30-57 na forma
Não é fácil calcular <1:> 12 , o fluxo do campo produzido pela
bobina menor através da bobina maior, já que, como dissemos,
nesse caso não podemos supor que o campo é uniforme.
Entretanto, se executarmos o cálculo em um computador,
encontraremos o mesmo valor, M = 2,3 mH! Este
fato serve para ilustrar a ideia de que a Eq. 30-63 (M 2 1 =
M 12 = M), embora não seja óbvia, é verdadeira.