Fisica3 (Eletromagnetismo)

CAMPOS MAG NÉTICOS 203
O Síncrotron
O cíclotron convencional não funciona bem no caso de prótons com uma energia
maior que 50 Me V porque a hipótese fundamental do projeto, a de que a frequênia
de revai ução de uma partícula carregada que circula na presença de um campo
magnético não depende da velocidade, é válida apenas para velocidades muito menores
que a velocidade da luz. Para velocidades acima de 10% da velocidade da luz,
devem ser usadas as equações da teoria da relatividade. De acordo com essa teoria,
quanto maior a velocidade da partícula, maior a massa e menor a frequência de revolução.
Assim, as partículas se atrasam em relação à frequência do oscilador, que
!em um valor fixo Íosc, e a energia da partícula passa a aumentar cada vez menos a
ada revolução, tendendo para um valor constante.
Existe outro problema. Para um próton de 500 Ge V em um campo magnético de
1,5 T, o raio da trajetória é 1,1 km. No caso de um cíclotron convencional, o campo
magnético teria que ser aplicado em toda a região limitada pela trajetória, o que exigiria
um ímã de tamanho descomunal, com peças polares da ordem de 4 X 10 6 m 2 •
O síncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de possuírem
valores fixos como no cíclotron convencional, o campo magnético B e a frequência
do oscilador Ío,c variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas.
Quando isso é realizado de forma correta, (1) a frequência de revolução das partículas
permanece em fase com a frequência do oscilador; (2) as partículas descrevem uma
trajetória circular em vez de espiral. Assim, o campo magnético precisa cobrir uma área
' bem menor, correspondente a essa trajetória. Mesmo assim, no caso de partículas de
alta energia, o raio da trajetória não pode deixar de ser grande. O síncrotron do Fermi
_ ational Accelerator Laboratory (Fermilab), em Illinois, tem uma circunferência de
6,3 km e pode produzir prótons com uma energia da ordem de 1 Te V ( = 10 12 e V).
Exemplo ~
Acelerando uma partícula carregada em um cíclotron
A frequência do oscilador de um cíclotron é 12 MHz e o
raio dos dês é R = 53 cm.
(a) Qual é o módulo do campo magnético necessário para
acelerar dêuterons nesse cíclotron? A massa do dêuteron
é m = 3,34 X 10- 27 kg (duas vezes maior que a massa do
próton).
IDEIA-CHAVE
De acordo com a Eq. 28-24 (jqjB = 2 1rmf 0
,c), para uma
dada frequência do osciladorf 0
,c, o módulo do campo magnético
B necessário para acelerar qualquer partícula em um
cíclotron depende apenas da razão m!lql entre a massa e o
valor absoluto da carga da partícula.
Cálculo No caso de dêuterons e para uma frequência do
osciladorf 0
,c = 12 MHz, temos:
B = 21rmfosc = (21r)(3,34 X 10- 27 kg)(12 X 10 6 s- 1 )
lql
1,60 X 10 - 19 C
= 1,57 T = 1,6 T. (Resposta)
Observe que, para acelerar prótons, B teria que ser dividido
por 2, caso a frequência do oscilador permanecesse
a mesma.
(b) Qual é a energia cinética dos dêuterons acelerados
pelo cíclotron?
IDEIAS-CHAVE
(1) A energia cinética (f mv 2 ) de um dêuteron ao sair do
cíclotron é igual à energia cinética que o dêuteron possuía
quando estava descrevendo uma trajetória com um raio
igual ao raio R do cíclotron. (2) Podemos calcular a velocidade
v do dêuteron nessa trajetória usando a Eq. 28-16
(r = mv!lqlB).
Cálculos Explicitando v na Eq. 28-16, fazendo r = R e
substituindo os valores conhecidos, obtemos:
RlqlB (0,53 m)(l,60 X 10- 19 C)(l,57 T)
v=--- =
m
3,34 X 10- 27 kg
= 3,99 x 10 7 m/s.
Essa velocidade corresponde a uma energia cinética
K = .!.mv 2
2
= !(3,34 x 10- 27 kg)(3,99 x 10 7 m/s) 2
= 2,7 X 10- 12 J,
ou cerca de 17 Me V.
(Resposta)