Fisica3 (Eletromagnetismo)

CAPACIT ÂNCI
C =
8oA
d
(capacitor de placas paralelas). (25-9)
Assim, a capacitância realmente depende apenas de fatores geométricos, no caso a
área das placas A e a distância entre as placas d. Observe que C é diretamente proporcional
a A e inversamente proporcional a d.
A essa altura, convém observar que a Eq. 25-9 sugere uma das razões pela quais
escrevemos a constante eletrostática da lei de Coulomb na forma 1!41Te 0 • Se não
agíssemos dessa forma, a Eq. 25-9, que é muito mais usada na engenharia que a lei
de Coulomb, teria uma forma bem mais complicada. Observamos também que a
Eq. 25-9 permite expressar a constante de permissividade e 0 em uma unidade mais
apropriada para problemas que envolvem capacitares:
8o = 8,85 X 10- 12 Fim= 8,85 pF/m. (25-10)
Essa constante tinha s.ido anteriormente expressa na forma
Capacitar Cilíndrico
8 0 = 8,85 X 10- 12 C 2 /N · m 2 . (25-11)
A Fig. 25-6 mostra uma vista de perfil de um capacitor, cilíndrico de comprimento
L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b. Va_mos supor que L >> b para
que os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser desprezados. As duas
placas contêm cargas de valor absoluto q.
Como superfície gaussiana, escolhemos um cilindro de comprimento L e raio r, que
pode ser visto de perfil na Fig. 25-6, que é coaxial com os outros dois cilindros e envolve
o cilindro interno e, portanto, a carga q desse cilindro. De acordo com a Eq. 25-4, temos:
q = 8 0 EA = 8 0 E(2mL),
em que 21TrL ê a área da superfície lateral do cilindro gaussiano. O fluxo através das
bases do cilindro é zero. Explicitando E, temos:
q
E=---
(25-12)
21T80Lr
Substituindo este resultado na Eq. 25 -6, obtemos
.· f+ ,, q f ª dr q In(ba)'
V = E ds = - - = ---"---
- 27r80L b r 27r80L
(25-13)
onde usamos o fato de que ds = -dr (integramos na direção radial, de fora para
dentro). Usando a relação C = q/V, obtemos:
Carga total -q
L
C = 27r8o: ln(b/a)
( capacitor cilíndrico). (25-14)
Vemos, portanto, que a capacitância de um capacitar cilíndrico, como a de um capacitar
de placas paralelas, depende apenas de fatores geométricos, no caso o comprimento
L e os raios a e b.
Capacitar Esférico
A Fig. 25-6 também pode ser interpretada como uma vista de perfil de um capacicor
formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b. Como superfície
gaussiana, escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com as placas do capacitar.
_ esse caso, temos, de acordo com a Eq. 25-4:
q = 8 0 EA = 8 0 E( 47rr 2 ),
em que 41Tr2 é a área da superfície esférica gaussiana. Explicitando E, obtemos:
1 q
E=---
47r8o r 2 '
(25-15)
integração
gaussiana
Figura 25-6 Vista de perfil de um
capacitor cilíndrico longo, mostrando
uma superfície gaussiana cilíndrica de
raio r (que envolve a placa positiva)
e uma trajetória de integração radial
ao longo da qual a Eq. 25-6 pode
ser aplicada. A figura também pode
representar uma vista de perfil de um
capacitor esférico, passando pelo centro.