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ESTRUTURAS
DE CONCRETO
Solicitações Normais
Estados Limites Últimos
Teoria e Aplicações
PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO
Professor Adjunto da Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo
CUANABARA
DOIS
Direitos exclusivos para a língua portuguesa
Copynght " by
EDITORA GUANABARA DOIS S.A.
Rio de Janeiro - RJ
Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação
ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo,
sob quaisquer formas ou por quaisquer meios
(eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, ou outros),
sem permissão expressa da Editora.
Fotocomposição da Editora Guanabara Koogan S.A.
-
O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado
submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis
estados limites últimos.
Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem
tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicitações
normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais.
As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estudadas
em volume a parte.
O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência
didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departamento
de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de
São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da
NB- 1/78.
O volume foi dividido em três partes.
Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alongamento
plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A
experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados
ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo,
evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos
valores característicos.
A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta,
normal ou obl(qua.
Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das
estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições
da NB-1/78 pertinentes a estes temas.
Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a
serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de
calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é
parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança.
Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensionamento.
Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas
foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facilitar,
em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades
técnicas ainda transitoriamente em uso.
PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO
PLÁSTICO EXCESSIVO
1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS
1.1 DEFINIÇOES
1 .I .1 Solicitações normais, 2
1.1.2 Estados últimos, 2
1.1.3 Estado limite último, 3
7 HIP~TESES BÁSICAS
1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4
1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5
1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5
1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5
1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5
1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6
1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO
1.3.1 Domínios de deformação, 6
1.3.2 Domínio 1, 7
1.3.3 Domínio 2, 8
1.3.4 Domínio 3, 9
1.3.5 Domínio 4, 10
1.3.6 Domínio 4a, 10
1.3.7 Dominio 5, 10
1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS
1.4.1 Propriedades gerais, 10
1.4.2 Aços Classe A, 11
1.4.3 Aços Classe B, 11
1.5 VALORES DE CÁLCULO
1.5.1 Aços Classe A, 13
1.5.2 Aços Classe B, 14
1.5.3 Valores limites, 15
1.6 EXERCÍCIOS
2 SEÇÕES RETANGULARES
2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO.
M~NIO i)
2.1.1 Condições de equilíbrio, 17
2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19
2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20
2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO
2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22
2.2.2 Tabelas adimensionais, 24
2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24
2.2.4 Exemplos, 26
2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28
2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31
2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36
2.2.8 Exemplos de verificação, 39
2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42
2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICI-
DADE (DOMNIOS 2-3-4-4a)
2.3.1 Condições de equilíbrio, 45
2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46
2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49
2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51
2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53
2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO
~ ~ Á n c o
2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55
2.4.2 Exemplos, 57
2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60
2.4.4 Exemplos, 62
2.4.5 Diagrama retangular de tensões, 63
2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5)
2.5.1 Condições de equilíbrio, 64
2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65
,
2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66
2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67
2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade,
68
2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO
~ ~ Á n c o
2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69
2.6.2 Armadura unilateral, 70
2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72
2.6.4 Compressão uniforme, 75
2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77
2.6.6 Diagrama retangular de tensões, 79
2.7 EXERC~CIOS
3 SEÇÓES T
3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA
3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82
3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85
3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86
3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T
3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89
3.2.2 Exemplos, 90
3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 95
3.2.4 Exemplos, 96
3.3 EXERCICIOS, 100
4 FLEXÁO OBLÍQUA
4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW
4.1.1 Cálculo exato, 101
4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104
4.1.3 Exemplo, 108
4.1.4 Cálculo por tentativas, 110
4.1.5 Excentricidades acidentais, 11 1
4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO
4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112
4.2.2 Exemplo, 114
4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116
4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES
4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117
4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121
4.3.3 Roteiro de cálculo, 126
4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129
4.3.5 Exemplo, 131
4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136
4.3.7 Exemplo e advertência, 140
4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146
4.3.9 Exemplo, 146
4.4 EXERCÍCIOS, 152
PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE
5 INSTABILIDADE
5.1 FUNDAME&TOS
5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154
5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158
5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161
5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163
5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO
5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167
5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168
5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170
5.2.4 Cargas de longa duração, 172
5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO GERAL
5.3.1 Fundamentos do método geral, 177
5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178
5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179
5.3.4 Pilar padrão, 181
5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182
5.3.6 Exemplos, 188
5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO
5.4.1 O método do equilíbrio, 189
5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190
5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192
5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195
5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197
5.4.6 Exemplo, 198
5.5 EXERCICIOS
6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA
6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200
6.1.2 Curvaturas, 202
6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204
6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICA PELO MÉTODO GERAL
6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207
6.2.2 Pilar padrão, 210
6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICA POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS
6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215
6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216
6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218
6.4 EXERCÍCIOS
PARTE nI PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO
7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS
7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS
7.1.1 Condiçoes gerais, 222
7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222
7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223
7.1.4 Peças comprimidas, 223
7.1.5 Flexão composta, 224
7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES
7.2.1 Pilares não-cintados, 225
7.2.2 índice de esbeltez, 228
7.2.3 Pilares cintados, 230
7.3 PILARES DE EDIF~CIOS
7.3.1 Ação do vento, 233
7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235
7.3.3 Situações básicas de projeto, 236
7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238
7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239
7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240
7.4 PILARES CURTOS
~7.4.1 Situações de projeto e situações de cálculo, 241
7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242
7.4.3 Exemplos, 244
7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245
7.4.5 Caso particular de simplificação, 248
7.4.6 Exemplo, 250
7.5 PILARES ESBELTOS
7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251
7.5.2 Consideração da fluência, 252
7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253
7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256
7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO
7.6.1 Critério básico de simplificação, 258
7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259
7.6.3 Exemplos, 260
7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261
7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento
expedito, 262
7.7 PAREDES ESTRUTURAIS
7.7.1 Conceitos básicos, 263
7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264
7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265
7.8 DISPOSIÇ~ES CONSTRUTIVAS
7.8.1 Resistência ao fogo, 266
7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267
7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268
7.8.4 Armaduras longitudinais, 268
7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269
7.8.6 Armaduras transversais, 269
7.9 EXERC~CIOS, 271
8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO
8.1.1 Cargas de projeto, 272
8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273
8.1.3 Cálculo das vigas, 275
8.1.4 Carregamento dos pilares, 278
8.2 PILARES INTERNOS
8.2.1 Pilar curto, 279
8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281
8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283
8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação,
286
8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288
8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290
8.2.7 Pilar cintado, 292
8.3 PILARES DE EXTREMIDADE
8.3.1 Pilar curto, 297
8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1.O Exemplo, 304
8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311
8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313
8.4 PILARES DE CANTO
8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313
8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319
8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321
8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327
9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA
9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO
9.1.1 Consideração da fluência, 328
9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329
9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330
9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331
9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332
9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO
9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336
9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338
9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339
9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343
9.2.5 Exemplo, 344
9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS
9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347
9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348
9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348
9.3.4 Exemplo preliminar, 349
9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352
9.3.6 Exemplo definitivo, 353
9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO
9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354
9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356
9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358
9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360
9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362
9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363
9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364
9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS
9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365
9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367
9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369
9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371
9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372
9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374
Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377
Apêndice 2 Diagramas, 417
Referências bibliográficas, 462
índice alfabético, 463
PARTE i
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
DE RUPTURA OU DE
ALONGAMENTO
PLÁSTICO EXCESSIVO
Flexão Simples e Flexão Composta.
Fundamentos
1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem
NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no
mais englobam o momento fletor e a força normal.
De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita
tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas
peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes
são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade
da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.'
1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada
pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas
armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura.
Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura,
tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer
limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60
para o cálculo no estádio III.%
Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alongamento
da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alongamento
excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada,
atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado
concreto do banzo comprimido da peça.
Por essa razão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se
que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do
concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada.
Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornprimido
ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças submetidas
a solicitações normais.
No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil
identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura
quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justificados.
Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos
por estados de encurtamento último do concreto.
FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 3
1.1.3 ESTADO LIMITE Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade
ÚLTIMO resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite
último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação
plástica excessiva.
Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de
concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E~~.,OU quando na
armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor
último convencional E. = ]O%,,.
Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente
deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas
E.,
mos. - Esu = 10%'
Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3
correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas
já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o
estado limite último.
Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este caso
corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirnido,
ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última cons-
L = c..
= VARIAVEI
Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta.
Fig. 1.1.3-1 Ruptura do concreto
E, = E,' loO/,
L
I
Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura. Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina
tante e igual a 3,5%0, qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se
E,, , s E, = 1Wo.
Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido.
Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o
encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja
estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deformações
pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2.
O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura
está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da
borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, , S E,,, = 3,5%0, o
estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E, = 10%0.
O valor E,
= Iao
foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o
alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração
de 10%0, ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de
comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resistente
da peça.
Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será
atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo
quando forem simultaneamente E, < E,, e E ,, ,,, < E ,. Deste modo, para que um
diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessariamentepassarporumdostrêspontos,A,B
ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3.
Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações especificas
ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na
Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A, os domínios 3,4 e 4a pelo
ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos
diferentes domínios variam desde a reta a, correspondente a tração uniforme, até a
reta 6, correspondente a compressão uniforme.
Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação.
1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas
BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas:
1.2.1 MANUTENÇÃO DA Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a
SEÇÃO PLANA validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS
limite último, desde que se tenha uma relação
sendo to a distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção
transversal.
Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto,
proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança
o estado limite último.
1.2.2 SOLIDARIEDADE
DOS MATERIAIS
1.2.3 ENCURTAMENTOS
ÚLTIMOS DO CONCRETO
Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que
as envolve.
Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a
deformação específica do concreto que lhe é adjacente.
Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento
específico de ruptura do concreto vale:
3,5 x 10-3 na flexão pura
2,O x 10-3 na compressão axial
variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2
1.2.4 ALONGAMENTOS
ÚLTIMOS DAS
ARMADURAS
1.2.5 DIAGRAMA DE
TENSOES
PARÁBOLA-RETÂNGULO
Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura
tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0.
Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado
ao valor de Imo, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal. O
estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões
no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão.
Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção
transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de
acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte:
' GRAU
Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo.
O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com
vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0, prolongada por
um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
3,5%0. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a
1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição
RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuita-
TENS~ES dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados
obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados
ocorrem apenas no domínio 5.
I
DEFORMA ÓES
1 LARGURA DECRESCENTE
OU CRESCENTE PARA PARA A BORDA CDMPRIMIDA
A BORDA COMPRIMIDA
Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular.
1.3 CASOS DE
SOLICITAÇÃO
No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de
compressão. No trecho restante de altura 0.8~. admite-se distribuição uniforme de
tensões.
Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras
mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,.
Nas zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas,
admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por
exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice
do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua.
1.3.1 DOM~NIOS O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteri-
DE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de
cálculo e E~,, respectivamente, do concreto e da armadura tracionada.
Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é
necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o
diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada.
Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação,
explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A
posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais comprimida.
A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo
coeficiente
Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um
dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 7
seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme.
A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações:
1.3.2 DOM~NIO 1 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,, = 10%0. A linha neutra
é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada.
Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom
pequena excentricidade.
A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo participação
resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado.
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
1 =-"
Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão correspondentes
aos extremos dos domínios.
1.3.3 DOM~NIO 2 O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra
corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido.
Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen-
FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 9
tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade.
Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não
atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio
2, quando então E~,, = 3,5%0.
Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação
ou seja
3,5%0 - 1 Wo
X,, iim d - X2, iim
donde
Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respectivamente,
por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela
condição E,,, = 2%0, à qual corresponde a condição
obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor
A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser
determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as
armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no
subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão.
No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas,
pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta.
1.3.4 DOMINIO 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.
Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a
deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente
com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto,
pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de
ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças
srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas).
Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande
excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentncidade.
O domínio 3 é limitado pela condição
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resultando na posição limite da linha neutra
que é variável com o tipo de aço empregado
1.3.5 DOMÍNIO 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha
neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.
No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de
escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o
concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que
sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas
superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível.
No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com
grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a
excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um
banzo tracionado.
O domínio 4 é limitado pela condição
sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não
é solicitada.
1.3.6 DOMíNIO 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha
neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura
menos comprimida.
No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente
desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida.
O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por
uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois
1.3.7 DOM~NIO 5 No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excentricidade
e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção
transversal, a qual está inteiramente comprimida.
Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto,
sendo igual a 2%0 na compressão uniforme e 3,5%0 na flexo-compressão com a linha
neutra tangente à seção.
Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto
C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da
hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced = 2%0 na
fibra que passa ppr esse ponto C, estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e
3,5%0.
1.4 DIAGRAMAS DE
CÁLCULO DOS AÇOS
1.4.1 PROPRIEDADES O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracte-
GERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke.
Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E, a
NB-1 adota o modulo de deformação
i
FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 11
E, = 210 000 MPa (1 MPa = 10 kgf/cmz)
Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não
ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornportamento
na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer
ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão
o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento
de ruptura do concreto.
Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa.
1.4.2 AÇOS CLASSE A Para os aços da Classe A, caracterizados pelalinearidade do diagrama até o limite
de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama
indicado na Fig. 1.4.2-1.
Fig. f.4.2-1 A~os classe A. Diagrama tensão-deformafio.
1.4.3 AÇOS CLASSE B Para os aços Classe B, obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama
apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o
traçado do diagrama característico tensão-deformação.
Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção
do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2.
I N =0,1kgf I MPa = I MN/m' = I0 kgflcm'
IkN =lWkgf=O.ltf 1 kNlm = IW kgflrn = O,I tflm
I kN.m = IW k8f.m = 0.1 Ifm I kNim* = 1W kgflmz = 0.1 fim2
I kNcm = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlma= 100 kgflm3 = 0.1 fim3
I MPa = 0.1 kNicm' = 100 N/crn2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo
('0,
- o,7 )2
ycd
Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação.
~
Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos
diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB.
É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela
NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB ,
admite uma parábola do 5.O grau.
Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços
produzidos pela indústna brasileira.*
'Resultados obtidos em diversos laboratonos
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS
< : .
, . ...
. .
, .... ..
.
.....
.
. .I . .
o
.:.. . . ..
.
, .
' .
,
.: ' :
0.001 0002 0003
Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais.
,
-
5 bs
€obs- -
E s
Note-se que a parábola do 5.O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior
segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao
escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais simples,
pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1
não considera a fase de encruamento.
1.5 VALORES DE (y, = 1,15, E, = 210.000 MPa)
CÁLCULO
1.5.1 AÇOS CLASSE A
f"* = k
Ys
IN =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgflcm'
IkN =IWkgf=O,ltf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 ttm I kN/m2= 100kgilmz=O,I rf/m'
1 kN.cm= 100 kgi.cm = 0.1 tfcm I kN/mS= IWkgf/rna =O,I tf/m3
I MPa = 0.1 kN/cmz = 1W Nlcm'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo.
1.5.2 AÇOS CLASSE B
fud = 3%
Y.
cyd = 2%0 + Azyd
Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo
CA-40B 400 348 1,66 3,66
CA-SOB 500 435 287 4.07
CA-60B 600 522 2.48 4,48
IN -0,lkgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/cmZ
IkN =IWkgf=0,ld I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm
I kN.m = 100 kgfm s 0.1 tf.m 1 kNim2= 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2
I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mg= 103 kgflm" 0.1 U/m'
I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2
FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS
1.5.3 VALORES LIMITES
Para os aços Classe B cabe ainda considerar o limite de proporcionalidade fad e a
correspondente deformação específica E,,, dados por
fod = 0,7 f,d
CA-40B 400 348 243 1,16
C A-SOB 500 435 304 1,45
CA-6OB 600 522 365 1,74
Como é fisicamente definido o esgotamento da capacidade resistente das seções de
concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos correspondentes?
Como é definido o estado limite último da ruptura ou de deformação plástica excessiva?
O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite?
Qual a diferençaentre o estado limite último de ruptura ou deformação plásticaexcessiva
e o conceito de estádio III?
Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do
concreto? Quanto vale esse encurtamento?
Se o encurlamentomáximo~~, doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter
sido atingido o estado limite último?
Que interpretação física deve ser dada ao limite adotado para a deformação última da
armadura?
Quais as hipóteses básicas da teoria de flexão no estado limite último?
Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular de tensões de compressão
nas seçóes transversais?
Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de
ruptura ou deformação plástica excessiva de peças submetidas à flexo-tração. à flexão
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = IW kdim = 0.1 tfim
I kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kNlm' = IW kgf!m2 = 0.1 tfirn'
I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 rfcm I kNim,; = IW kgfim3 = 0.1 tfirn"
I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS
simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar.
Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações
correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar.
Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes?
Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes?
Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4,
4a e S?
Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação
normal que age na seção considerada?
Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples?
O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios
elas ocorrem?
Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3. Por que um destes
valores é constante e o outro variável?
Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar.
Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17
da borda mais comprimida?
Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB.
Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço.
Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama
característico dos aços?
Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida
pela NB-I?
Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B?
Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB.
2
Seções Retangulares
2.1 TRAÇÁO SIMPLES
E TRAÇAO COM
PEQUENA
EXCENTRICIDADE.
2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena
EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissuradas.
No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas
A,eks, Fig.2.1.1-1.
Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação
específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0.
Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não
w
Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
se conhece a priori a tensão rid que age na mesma, pois não se conhece a posição da
linha neutra, podendo ser E,, < E;,.
Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em
função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de
equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações.
No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito
a seguir, Fig. 2.1.1-2.
Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças.
a. Condições de equilíbrio
Das condições de equilíbrio, têm-se:
sendo
RSd = A:
b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,)
O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores
d d'
F,, =S A', - fvd (2.1.1-5)
e,
com
SEÇÕES RETANGULARES 19
Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for
suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd = fUd.
c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;)
Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição
obtendo-se então as áreas A, e A;
2.1.2 CÁLCULO DE
VERIFICAÇAO.
EXEMPLO*
Fig. 2.1.21 Exemplo
Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que
pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados:
h = 50 cm d' = 4 cm A, = 4 4 25 (20 cm2) A: = 2 4 25 (10 cm2)
Aço CA-SOA (f,, = 435 MPa)
e = MIN = 10 cm
Admitindo
têm-se
Md = M* = e = 10 Cm
Nd Nk
Das condições de equilíbrio, resultam
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
ou seja
F. = 3,82 Ri,
F. = 1,35 R,,
Considerando a condição limite o;, = uad = fvd, para a qual
sendo Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se
resultando finalmente
Fd = 1 175 kN
Em condições de serviço, adotando y, = 1,4, tem-se
2.1.3 CÁLCULO DE
DIMENSIONAMENTO.
EXEMPLO
Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço.
Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig.
2.1.3-1.
Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma
--
IN =0,1w I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm'
IkN =IWkgf=O,Ití 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm
I kN.m = IWkgfm = O,] ttm I kNlmZ= IWkgílm~=O,l d/mS
1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm"
1 MPa = 0.1 kNIcm' = ICü N/cm'
SEÇOES RETANGULARES
força de tração excêntrica Fk = N,, com excentricidade
Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a
solicitação dada por
Fig. 2.1.3-2 Condi~óes de $álculo.
Da geometria do sistema, têm-se
e das condições de equilíbrio, obtêm-se
Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, = 435 MPa, resultam para as
armaduras os valores:
I N =O,lkgf I MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn*
I kN = 103 kgf = 0,1 tf I kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm
I kNm = IW W.m = 0.1 1f.m I kN/mL lWkgflrna = 0,l tfirn*
1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn I kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn'
2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico
CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão.
No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábolaretângulo,
enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama
retangular de tensóes.
2.2.1 VARIÁVEIS
ADIMENSIONAIS.
ARMADURA SIMPLES
& b A
Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples.
Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com
armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir
da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo
,.\
R, = a bx.0,85 fcd
e
R, = A, c,
definindo-se os valores
(taxa mecânica de armadura)
(momento fletor reduzido)
as equações de equilíbrio
R, = R,
R, z = M,
podem ser escritas
donde
Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de
compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das
tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos
esforços internos.
Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações
fornecem as seguintes funções da variável f:
a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da
posição da linha neutra)
f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em
função da posição da linha neutra)
uSd = usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra)
Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a
uma incógnita:
I p, = função (01
a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa
Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a
equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração,
obtendo-se
w = 035 a - (2.2.14)
Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o., = fy,, resultando então
Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela
expressão
onde
z=d-5'x=d(l-5>6)
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando
2.2.2 TABELAS Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que
ADIMENSIONAIS intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na
Tabela 1 do Anexo desta publicação.
Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de
cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do
momento fletor majorado
2.2.3 VARIÁVEIS
ADIMENSIONAIS.
ARMADURA DUPLA'
Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de
flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos
os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou
armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para
qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais.
-1 )Md
= v,-
+ I--
(d-d')
,
As . As I As2
L---- 1
I
Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico
A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a
5 > fnm, isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta
precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais
a deformação E, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4,
co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa-
SEÇOES RETANGULARES 25
mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A.
Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas
partes
das quais M,, . é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a
parcela resistida por uma seção metálica.
Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se:
armadura de tração
armadura de compressão
/;7
De modo geral, faz-se
correspondente a 8 = [li,.
Nesse caso, obtêm-se
armadura de tração
1 M, ,I7"+=)
A, = - (.
Ud Z d-d'
armadura de compressão
\
É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi
admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada,
com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de
áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1.
Note-se que os valores
correspondem a 5 = 5irrn Em
também com os aços Classe B
adotado pela NB-I.
os valores
vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que
511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil.
Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS
2.2.4 EXEMPLOS a. Armadura simples
Fig. 2.2.41 Exemplo.
Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação:
q, = 20 kN/m
Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm
f,, = 18 MPa = 1,X kN,!cm2
h = 50 cm
b = 25 cm
d' = 4 cm (valor estimado)
d=h-d'=50-4=46cm
Pela Tabela 1 (para @, = pgd = 0,186)
5 = 0,31 < c,im (domínio 3, pode ser usada armadura simples)
5 = 0,867 logo z = b = 0,867 x 46 = 39,9 cm
E, = 7,49%0 (a,d = f,,)
Sendo Aço CA-SOA, têm-se
f,, = 500 MPa = 50 kN/cmZ
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/m2 = 10 kgf/cmS
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm
I kN.m = 1W M m = 0.1 tfm I kNlm2 = 1M kgflrn2 = 0.1 dlmz
I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m I kNlmL 100 kgf/ma = 0.1 tf/d
SEÇOES RETANGULARES
logo
-
ou seja
A, = 7,26 cmZ 4 6 16
sendo A, > A,, ,i, . pois para o Aço CA-50
p,,,,
= A,, ,,,/bd 3 0,15%, logo
A, ,. = 0,15 x 25 x 461100 = 1,73 cm2
b. Armadura dupla
cm.
Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12
Neste caso, obtém-se
Adotando pd = pd, lim = 0,319, têm-se
5 = (rim = 0.6283
5 = 0,739 logo z = < d = 0,739 x 46 = 34,O cm
Ecl = 3,5%0
d'
donde, sendo 8' = - = 4 0,09,
d 46
5 - '' - - = 3,00%0 >
tem-se E'* = eCl - - 3,5
5 0,628
ou seja
a', = f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ
Desse modo, sendo
Md, ii,
= pd, fim.bdZ fcd = 0,319 X
12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm
1 N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz
I k = 100 kgf = 0.1 ff I kNlm = 100 Wim = 0.1 tflm
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim'
I kN.cm= IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kN/mS= la)kgf/m3=0.1 tflms
I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resultam, com d - d' = 46 - 4 = 42 cm,
logo
2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado
DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente
TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k.
Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4
para o cálculo no estádio 11.
Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos
trabalhos de Langendonck2, já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensionais
quanto tabelas com variáveis dimensionais.
A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a
notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e.
posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas
durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho
profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresentadas,
mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém
os valores de calculo dos momentos fletores.**
Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela
NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindose
os seguintes coeficientes:*
*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,.
'.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo
1N =O.!@ i MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz
IkN =IWkgf=O,ltf i kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm
I kN.m = 100Wm = 0.1 tf.m I kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz
I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn I kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3
SEÇOES RETANGULARES
Com armadura simples:
Com armadura dupla, sendo A, = A,, + A,,,
AMd
A', = k:- d - d'
onde
O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área
A,,, e o momento AMd é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,,
tracionada e A: comprimida.
Usualmente é adotado o valor
Md, C = Md, lim (2.2.5-8)
correspondente a 5 = eiim.
Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e AMd são valores de cálculo.
Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes
k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais.
Assim, por suas próprias definições, têm-se
O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois
logo
1
k, = -
pd fed
Considerando seçóes com armadura simples, tem-se
onde
De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo
I AM,
A,$ = --
vid d -d'
podem ser escritas as expressões
resultando
e
-- AMd = knu8d
d - d' d -
A Md
d'
-- 1 AMd =kgl- AM,
uid d-d' d-d'
logo
I
k, = - (2.2.5-1 1)
08,
As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32,
CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck
iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,,
e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d.
Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do
§ 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes
100 A,,
100p, = -
bd
(2.2.5-13)
estando os valores de k, dados em função de a, e os valores de ki em função de 6.
As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adotados
pela NB-1, isto é,
Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser
empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar do valor real h, sendo
2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS
TABELAS DIMENSIONAIS.
FORMULÁRIO
FLEXÃO SIMPLES - ARMADURA SIMPLES
Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes.
i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE
Sendo
pode ser calculado o momento
Md = 0,85 fcd.0,8 x.b (d - 0,4 x)
logo
Md = 0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4)
obtendo-se então a relação
Sendo por definição
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resulta
k, = - 1 .
f,d
1 Depende da resistência do concreto e da posição
0,68 5- (1 - 0,4 f) da linha neutra, mas não depende do tipo de aço.
Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,.
Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de
concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão.
2. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE
Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se
Nd = O (flexão simples)
Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se
A', = O
A, = A,, (armadura simples)
logo
Do equilíbrio de forças, resulta
A, u,d = 035 f,d . b 0,8 x
logo
- A,
fCd
- 0,68 f -
bd
usd
donde
Para 8 &im. tem-se u.d = fud. Para f > &, no domínio 4, tem-se
logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Reciprocamente,
dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo
valor de Md compatível com a armadura A,,.
3. CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES
Para um dado
tem-se
z=d-0,4 x=[d
logo
A seção transversal da armadura é dada então por
ou seja
Nos domínios 2 e 3:
logo
Fazendo
k, =
1
(1 - 0,4f)fVd
Depende do tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas
não depende da resistência do concreto.
pode-se escrever
No domínio 4
logo
k, =
1
(I - 0 4)ud
Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas
náo depende da resistência do concreto.
As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças
superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzirem
a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A, os valores de k, são
fornecidos até o valor de c,,,.
Para os aços Classe B, cujas deformações e,, são muito maiores que para os
correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizável
a faixa de deformações
conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
L
Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços.
md-x
Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último
valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços Classe E , o último valor apresentado
corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A. Para os aços
Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão
abaixo do traço indicado na tabela.
Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se
Ec,, =35°/w
3,5%0 - Esd
x
logo
eed = 0,0075 - 1 -t
5
obtendo-se a tensão usd a partir da expressão adotada pela NB-1
E d
esd = (Tad + (5- 0,7)2
d
Fig. 2.2.6-3 Armadura simples - E, 45 fvd
Deformações
I B . ARMADURA DUPLA
I. SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO
Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla.
SEÇOES RETANGZTLARES
Dado o momento
tem-se
Sendo
resulta
1 AM,
A,, = - -
a,, d - d'
I
k, = -
a,
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do
concreto.
Quando se admite 5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad = fyd, logo
1
k, = - = k,, I,,
f vd
Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha
neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apresentado
nas tabelas resumidas.
Quando se considera 5 > frrm (domínio 41, tem-se
podendo ser feito
ud a=fud
Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço
e da posição da linha neutra.
2. SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO
sendo
A:=, I
AM,
U*d d - d'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resulta
1
k, = -
r,,
De modo geral, tem-se
Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do
concreto. .~
'eid
= ~id = &ad
x x-d' d-x
Ecld
Domínio 3 ( E ~ = , 3,5%0) ~
d'= ~ ' dsuT&id z = 0,0035 - 5-8' f
Domínio 2 (ead = 10%0)
u
Para f = tem-se
Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla - Deformações.
&id = 0,0035 fllm - "
tiim
resultando
logo
c',, = função (8')
ki, li, =
(r'sd) f =&im
I -
1
Válido para 5 = c,,,. Para cada tipo de aço são estes os
valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'.
No caso geral, pode-se escrever
1 - 1 f"d = f;d
k i = - - -
UM fld crid p
o:,
= f:,
Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo
de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da
armadura de compressão.
2.2.7 EXEMPLOS DE a. Exemplo I. Armadura simples
DIMENSIONAMENTO
Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k.
SEÇÕES RETANGULARES
Dados conhecidos:
Md = yfMr = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm
h = 50 cm
b = 25 cm
Aço CA-50A
fCk = 18 MPa
d'= 4cm
d = 46 cm
Calcula-se
De acordo com a Tabela6 do Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo
o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura
simples, sendo
A, = k,% = 0,026 . 12'* - 7,12cm2(4016)
d 46
b. Exemplo 2
Recalcular o exemplo do § 2.2.4-b, empregando as tabelas tipo k.
Dados conhecidos:
Md = 12 600 kN.cm
d = 46 cm
Aço 50-CA
b = 12cm f,, = 18 MPa
Calculando
k,=--
bd2 - 12 x 462
M, 12600
= 2,0 < k,, li,
(Tabela 6)
conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de
deformações estaria no domínio 4.
Desse modo, sendo
tem-se
IN -0.1kgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm'
I kN - IM) kgf = 0,l tf I kNlm = IW k8«m = 0,I tflm
I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN/rn2 = IW kgf/rnP = O,! tf/rn2
I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 tfcm I kN/m'= IWkgf/mim'=O,I n/mz
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resultando, com d - d' = 42 cm,
10 580 2 020
A. = 0,031- + 0,023- = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ (3020)
46 42
c. Exemplo 3
Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB.
De acordo com os dados do problema, têm-se
Md = 12 600 kN.cm
d = 46 cm
fcx = 18 MPa
Aço CA-50B
b= 12cm
(Tabela 7)
Sendo
k,=-- bd2 - l2 46z = 28 < kc. ,o, "til,,, ,e1
Md 12600
é necessário empregar armadura dupla.
Adotando-se
k, = k ,,,,
= 3,O correspondente a 6 = c,,, = 0,4623
resultam, sendo
a = 1,00 logo k, = - - 0,023
a
donde
- -
1N =0,1kgf I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2
IkN =IWkgf=O,ltf i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm
I kN.m = IW kgf.m = 0,l 1f.m I kN/mZ= tWkgf/m'= O,! tf/m'
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma= IW kgflm' = 0.1 tflmx
SEÇOES RETANGULARES
Sendo
isto é
obtêm-se
2.2.8 EXEMPLOS DE a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo*
VERIFICAÇAO
Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada
no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento).
Dados:
d = 46 cm
Aço CA-50A
b = 12 cm f,, = 18 MPa (Tabela 6)
Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras.
Sendo
a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a
k; = k,,
logo
AP2 = Ai = 1,60 cmZ
-0 cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas de inteniqão
I N =O,lkgf I MPa = I MN/m3 = 10 kgf/cmz
IkN =IWk~=O,Ilf i kNlm = 100 kgf/m = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kd.m = 0.1 1f.m I kNlm' = 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ
I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mL I00 kgí/ma = 0,I tflm*
I MPa = 0.1 kNIcm" - IW N/cm9
donde
A,, = A, - A,, = 9,45 - 1,60 = 7,85 cm2
Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura
resultando
2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco
sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando
tem-se para Md o valor máximo admissível de
resultando o valor
b. Exemplo S.
Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3
(caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB.
Dados:
d = 46 cm
b = 12 cm
A, = 3 4 20 = 9.45 cm2
Aço CA-SOB
f,, = 18 MPa
(Tabela 7).
A: = 2 c$ 12,5 = 2,50 cm2
1.O Tentativa.
-
Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas
proximidades de .&,
-
têm-se
a 1,O logo kS2 0,023
- e, para
-
S '
-
= df/d = 4/46 = 0,09 0,10,
p 0,W logo k; -- 0,026
03
Desse modo, sendo
da condição
As*
ks2
AMd = -(d - d') = -c (d - d')
ks
obtém-se
logo
-
A 82 = k,, A; = !!8?2,50 = 2,21 cmZ
k', 0,026
resultando
As, = As - A,, = 9,45 - 2,21 = 7,24 cm2
O valor 100 p, = 1,31% corresponde a
0,56 < f< 0,60
para o qual a 0.90, concluindo-se
-
que há a necessidade de uma segunda tentativa,
pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O.
2.O Tentativa. Admitindo-se a ,B = 0,9, tem-se
A,, = A6 = 2,50 cm2
donde
A,, = A, - AQ = 9,45 - 2,50 = 6,90 cm2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S
NORMAIS
correspondente a
k, = 2,6
a = 0,90
Nessas condições, têm-se
logo
Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na
I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se
mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tentativas.
2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados,
MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração.
CONTRÁRIOS. EXEMPLO
Fíg. 2.2.9-1 Exemplo.
Caso A. Armadura A, tracionada
Sendo
A: = 9,45 cmZ
A, = 18,90 cmZ
1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm9= IOkgfIcm'
1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,l tflm
l kNm = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm'
I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm I kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um'
procede-se da seguinte forma:
Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se
A, = A,, + AgZ = 18,90 cmZ
resultando
Calculando o valor de
pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,, = 13,5 MPa e 8' = 0,10, obtêm-se
ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em
escoamento.
Desse modo, resulta
ou seja
bd2 r (d - d')
Md = Md. c + AMd = - + As
k, k,'
Caso B. Armadura A,, tracionada
Neste caso, têm-se
I N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2= I0 kgflcm'
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNlm = 100 Wlm = 0.1 d/m
I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/rn9= 1WWlm' = 0,I d/m'
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kNIm3 = IW kgflm" 0.1 ffim"
i MPa = 0.1 kNlcm2 = IW N/crn2
Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a
relação ~ :~/f,~.
Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5.
Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapidamente,
para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16.
Tentativa. Admite-se o valor P = 0,34 correspondente a
resultando então
As, = A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6,21
A solução será verdadeira se for satisfeita a condição
Com os valores admitidos. têm-se
estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido.
Desse modo, de
Md = Md, c + AMe = - + A:
obtém-se, com k', = 0,23/0,34,
bd2 (d - d')
kc k:
logo
'ri
M, = 5 841 + 11 315 = 11 156 kN.cm
IN =0,1kgf I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm'
IkN =IWkgf=O,Itf 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm
1 kN.m = IW kptm = 0.1 tfm I kNlm3= IWl<gflm*=0,l tflm2
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlrn' = 1W kgflm" 0,1 tflrn'
I MPa = 0.1 kN/cmz c 100 Nlcm"
SEÇÓES RETANGULARES 45
2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal.
3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força nor-
COM GRANDE mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado.
EXCENTRICIDADE
(DOMINIOS 2-3-4-4a)
2.3.1 CONDIÇÕES DE Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.)
EQUILIBRIO
ll
F, = R, - R, - R;
R'
dl 1%
F, e, = R,(d - cx) + R:(d - d')
FLEXO-TRAÇAO
--
e6
Fu (tração)
rrTl
FLEXO-COMPRESSÁO
FLEXAO SIMPLES
F, = R, - R, - R; = O
N, e, = M, = R,(d - cx) + R:(d - d')
=,
d F. = R, + R; - R,
M
A$
F, e, = R,(d - Cx) + R;(d - d')
FLEXO-WMPRESSAO
R*
Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio
46 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da
flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexotração
seja feita F c: O.
Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso
da flexo-compressão como caso básico.
As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e
na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma
F, e, = R,(d - ['x) + R: (d - d') (2.3.1-2)
com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo
Nu = F, (2.3.1-3)
No caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo
Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao
centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos
comprimida).
2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em
BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos
RETANGULARES domínios 2, 3,4 e 4a.
Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1.
a. Domínio 2
Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares -
Notação usual
Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois
subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses
subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do
concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração
do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se
iniciou.
Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento
máximo do concreto eCld < 2%0, chegando-se, portanto, ao estado limite último
-
com
c,,, i a,, = 035 fedi OU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o
concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe
possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: 0.
No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0,
que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse
modo, no trecho em que 2%0< eCld s 3,5%0, a tensão no concreto é constante e igual a
Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se
I
SEÇOES RETANGULARES 47
Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2.
De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser
escrita
ou então
R, = 0,85 a bx fcd
onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida
- por
ou seja
o:, = 0,85 a fcd (2.3.2-4)
conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os
domínios 3, 4 e 4a. -2
A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da
linha neutra dada por 5, sendo
b. Domínios 3-44a
Nos domínios 3,4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma
fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão
são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4.
CEB - Boletim 82
I 4 rCm variável
Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão.
SECOES RETANGULARES
1 @c- i DOM~NIOS
3-4-40
Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão
De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual
C a 52, um = 0,2593
a resultante das tensões de compressão pode ser escrita
logo
3 2 4
R, = 0,85 fcd . b - x + - . 0,85 fcd . b- x
7 3 7
3 2 4
R, = 0,85 f ( + - . -) bx
Cd7 3 7
Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante
PARABOLA
DO ~"RAU
De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um
segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se
Fig. 2.3.2-5 Posi~ão do centro de gra.
vidade.
donde resulta, com R, = 0,8095.0,85 fCdbx, o valor constante
2.3.3 EQUAÇÕES
ADIMENSIONAIS DE
EQUII IBRIO
De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentncidade
podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2)
como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser
escritas
F, e, = RJd - cx) + R:(d - d') (2.3.3-2)
I
50 ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo
N, = F"
No caso de flexão simples, tem-se N. = 0, sendo
F, e, = M, (2.3.3-3)
FLEXO- COMPRESSÃO
Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão.
Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os
símbolos
x
(2.3.3-4)
FLEXÁO
SIMPLES
Fig. 2.3.3-2 Flexão simples.
- A', f:d
bd fCd
t
o -- - (2.3.3-7)
N,
vu = -
bd fCd
psu=---- Msu - Nu e,
(2.3.3-9)
bd2 f,d bd2 f,d
Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da
armadura de tração e lembrando que
R, = 0,85 a bx fCd (2.3.3-10)
FLEXO-TRAÇ~O F~ O as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional
Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração.
,Ld=--
Nd e, - 035 a bx fcd(d - c'x) + A', aid(d - d')
bd2 f,d bd2 fCd bd2 f,d
logo
onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando
Nd é de tração.
SECOES RETANGULARES 51
2.3.4 EQUAÇÕES Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra
ADIMENSIONAIS DE tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de defor-
COMPATIBILIDADE mações, já escritas na sua forma adimensional:
-
Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4.
No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig.
2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas
Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a.
Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que
ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se
E $ = - ,E*, <O
para indicar esse fato e lembrando que
resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
2, 3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2, 3, 4 e 4a têm-se
com eg < O quando A, for comprimida.
Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio
correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que comparecem
nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões
que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma
sintética na tabela seguinte.
Domínio
Variáveis
impostas pelo
domínio
Variáveis calculadas a partir
do valor de (
Variáveis
determinadas a partir
das anteriores
2
(f S 0,2593)
Eõ = 10%0
asd 2 fva
f
E8 = 0 ,0101
1-5 1 - I
Ecl = -
w, .$' Tabela da Fig. 2.3.2-3
I - 8' 6'
Es = 0 ,010L
1 -f 1 - C
E: = -
ocid
-
46
ECI = 3,5%0
w = 0,8095
-
vcld = 0.85 fcd
.$' = 0,416
-
3
(0,2593 G f S e,)
' -
E, = 0,0035 --
I I
Ea = -- 1-I
msd 2 f".,
I - %
E: = -- 5 - 8'
5 f
E=, = 0,0035 --
E<, = 3 30
a = 0,8095
-
UCI~ = 0,85 fcd
.$' = 0,416
-
4
(6<, I S I ,O)
1-5 1-6
E -- eC, = 0,0035 -
S -
I 5
V9d < fVd
E; = -" srl = 0,0035 -
f 8'
5 e
d d
= 334"
a = 0,8095
-
4á
h
(Ix0 2)
aCls = 0,85 fcd
C = 0,416
ss = - E", = 0.00351
< O
f
f
f 8'
6 S'
E: = - E", = 0.0035 -
I
f
-
vOd < 0 (compressão)
4
J
~
2.3.5 RESOLUÇAO DOS Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão
PROBLEMAS DE FLEXÃO composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio
SIMPLES E DE FLEXAO (2.3.3-11) e (2.3.3-12)
COMPOSTA
v, = 0,85 (1 6 + o' <TSd - w (iSd
fhd
fYd
nas 10 variáveis
das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5, sendo o valor de 6' estabelecido em
função do arranjo das armaduras.
Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e
v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variáveis
independentes
Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de
psd e v,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se w e w'.
Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas
equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis
independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que
restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,,
arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'.
É importante observar que a variável 6, que fixa a posição da linha neutra, pode
efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está
fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse
estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não
condicionou o estado limite.
Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593
= f2, < 5 < C3, I(m, sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de
ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0, logo a escolha de 5 =
0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0.
Nos problemas de verificação, -.S.- o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego de
/,_ ~ ....
diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p--
- . . . ---- .-
~ ~ à f e c 3 i ~ a ~ diagramas e ~ s são e apresentados s
com diferentes particularidade~,'.~
as quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplicação.
Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o', não
se pode arbitrar o valor de 6, pois existem infinitos pares de valores psd e v, que
satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor diferente
de 5.
Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig.
2.3.5-2.
Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verificação
da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,,
a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação
das condições últimas M, e N,.
*Nos problemasde vetifica~ãode segóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi
exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável.
~- ~
1 , diagrama de interoção
'>u, +ração simples Ju,compressáo simples
Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança
COMPOSTA COM
GRANDE
EXCENTRICIDADE.
CÁLCULO PRÁTICO
2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&=
ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao
EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir
UNIVERSAIS a resoluçáo_d~~e~gblqpas como"-se fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs,
empregando-se as mesmaa&las iá anteriormente analisada^.
A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas
tratados como se fossem de ilexão simples.
A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1
pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a
partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3.
Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a
equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é
exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse
fato decorre de se admitir o momento Mgd e não O momento M,.
1
Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada 1
pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na
srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu . . - na . -;on<rt.io,
. . . . .. . .
devendo R, scr .icre*ciJ:~ Jd forl;,i normal N. qiinndo ile ir~ilio, ou siihB«_da.dafùrça
. . . .
normal N, quando de compressao.
Desse modo, da equaçáo de momentos resulta aposição dalinha neutra e, quando 1
5,s pode ser empregada a armadura simples, sendo
5iim.
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
ARMADURA
SIMPLES
Flex6o simples Nd =O R, = R,
Flexo - compressáo Nd> O R< = R ~ -
Flexo- tracáo
I
nd 1 = R s , ~
I
I
I
- Nd 1
I
ARMADURA
WPLA
A', = o
Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade
onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0.
Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o
problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla.
Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples,
Msd = Msd, e + AMsd (2.4.1-3)
onde M,, .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela
resistida por uma seção metálica, tem-se ,
SEÇÓES RETANGULARES 57
onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e
Nos casos usuais, a decomposição do momento é feita tomando 6 = tlim e
determinando-se o valor
resultando então
tomando-se o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e
Observe-se que tanto o valor de M,
correspondem a condição imposta de 6 = &,.
2.4.2 Exemplos
, quanto os valores de z, os, e o:d
Considere-se o dimensionamento da peça indicada na Fig. 2.4.2-1, sendo admitidos
os seguintes dados:
e = 80 cm
yr = 1,4
Yc = 1,4
f,, = 25 MPa
a. Exemplo I
Fig. 2.4.2-1 Exemplo
Aço CA-SOA
b =25cm
h =70cm
IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrnz = 10 kgflcrn'
IkN =IMkgf=O,Itf I kNlm = IW kgfim = 0.1 tflm
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 ttm I kNlmP = 100 kgflrnP = 0.1 tflrn'
I kN.crn = IW kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/mS = IW kgflmJ = 0.1 tfimJ
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 1W Nlcm'
ESTRUTURAS DE COFWETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Sendo
Fd = yf Fk = 1,4 x 500 = 700 kN (compressão)
e, = 110 cm
obtém-se
M, = Fd e, = 700 x 110 = 77 x 103 kN.cm
fcd = fck = 2 = 17,8 MPa = 1,78 kN/cm2
YC 14
Empregando o Aço CA-SOA, tem-se
p., = 0,410 > psd, lim = 0,315
havendo, portanto, necessidade de armadura dupla, a fim de ser evitada a peça
superarmada.
Adotando-se então
têm-se
Psd = Psd, hm = 0,315
5 = tilm " 0,615 fVd)
x = 5d = 0,615 x 65 = 40,0 cm
= 0,744
z = cd = 0,744 x 65 = 48,4 cm
= 3,5%0
E$ = 2,8%0
uSd = fvd = - - 435 MPa = 433 kN/cmZ
1,15
IN =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgficmz
IkN =lWkgf=O,ltf i kN/m = IW kgfim = 0.1 fim
i kN.m = IW kgf.m = 0,I tf.m I kN/m8 = 100 kgf/m2 = 0.1 fim'
I kN.cm= IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm3= IWkgfim3= 0.1 d/m8
I MPa = 0.1 kNicmP = IW N/cmz
SEÇOES RETANGULARES
resultando
A;=- 1 AMSd= - I -- l7 'O - 632 cm2 (4 0 16)
ukd d - d' 43,5 65 - 5
b. Exemplo 2
Resolver o mesmo problema anterior, empregando o Aço CA-50B.
De acordo com os resultados obtidos no exercício 1, tem-se
obtêm-se
Para o Aço CA-SOB, psd, = 0,255, logo para psd = pSd, = 0,255
5 = 5,,,,, = 0,457
x = <d = 0,457 x 65 = 29,7 cm
6 = 0,809
z = cd = 0,809 x 65 = 52,6 cm
EC1 = 3,5%o
eg = 4,14%0
a,,, = f,,,, = - - 435 MPa = 433 kN/cm2
1,15
x-d'
e; = eel - = 0,0035 29'7 - = 0,00291 < e,, = 4,07%0
x 29,7
I N =O.lkgi I MPa = I MNlm' = 10 k8ficm'
IkN =IWkgf=O,lff I kNim = 100 kgilm = 0,l Ulm
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf m I kN/mP = 1W kgilm' = 0,l tflrn'
I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 U.cm I kN/rn8 = 1W kgflrns = 0.1 Ulm'
1 MPa = 0.1 kNlcrn2 = 100 Nlcrn'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Msd, um = PS~, um bd2 fcd = 0,255 X 25 X 65' X 1,78 = 47 940 kN.cm
AM,, = 77 000 - 47 940 = 29 060 kN.cm
resultando
2.4.3 VARIÁVEIS De acordo com o que já foi visto anteriormente, qualquer problema de flexão com-
DIMENSIONAIS. posta pode ser tratado como se fosse um problema de flexão simples, Fig. 2.4.3-1.
EMPREGO DE TABELPS
TIPO k
As
( As = AS? AS;
ARMADURA
DUPLA
ARMADURA
SIMPLES
Fig. 2.4.51 Reduçáo ao caso básico de flexáo simples
Lembrando as definições dos coeficientes k, dadas em § 2.2.5, a posição da linha
neutra é definida pelo coeficiente k,, sendo
tem-se
Nos casos de armadura simples, válidos para k, 2 k,,ll,, sendo
k,, =-
1
U8d
MSd
A, = k, -- + k,, Na (2.4.3-1)
d
com o sinal (+) para N de tração e o sinal (-) para N de compressão.
No caso de armadura dupla, adota-se k, = k,, ,,,, determinando-se o valor de
bd2
Mad, lim = --
kc, li",
sendo
têm-se
com o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e
M,d
A', = k', .-
d - d'
Desse modo, as tabelas tipo k apresentadas no Anexo desta publicação podem ~
ser usadas para o cálculo das seções retangulares submetidas a flexão composta.
Essas tabelas empregam as unidades kN e cm e foram calculadas para y, = 1,4 e
y, = 1,15. Para valores de y, # 1,4, deve-se empregar a largura fictícia
I
I N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10 kgflcmP
IkN =100kgf=O,Ilf I kNlm = 1W kgflm = 0,l Ulm
I kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kNlm2= 1WW/m2 =O,I U/ml
I kN.cm = IW kgf cm = 0.1 U.cm I kNlma = 1W kgflm3 = 0.1 Ulm3
62 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
2.4.4 EXEMPLOS Resolver os problemas apresentados em 5 2.4.2, empregando as tabelas tipo k, sendo
YC = 1 9 y, = 1,15
f, = 25 MPa
a. Exemplo 1. Aço CA-SOA (Tabela 6)
têm-se
Sendo d = h - d' = 70 - 5 = 65 cm
d-d' 65 - 5
% = e + - 2 = 8 0 + = 2 llocm
resultando
Sendo k, i k,, , = 13, é adotado k, = k,, ,,,,
obtendo-se
logo
Msd, iim =
bd2 =
25 = 58 680 kN.cm
kc, ,i, 13
Nessas condições, têm-se
onde o sinal (-) diante de Nd decorre do fato de N, ser de compressão, logo
58 680 18 320
A, = 0,031 - + 0,023 (- - 700) = 28,O - 9.1 = 18,9 cm2(4025)
65 65 - 5
1N =O,lkgf I MPa = I MN/mZ = I0 kgflcm'
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW Wlm = 0,l tflm
i kN.m = 1W kgf.m = 0,l tfm 1 kNlm2= 1Wkgf/mZ= 0,l tflm'
I kN.cm = 100 k&cm = 0.1 tfsm 1 kN/ms= 100 kgfim' = 0.1 ü/m3
SEÇÓES RETANGULARES
-
e com
dr/d = 5/65 = 0,08 0,l
b. Exemplo 2. Aço CA-50B (Tabela 7)
Neste caso, sendo k,, ,i,
= 2,2, têm-se
AMsd = Msd - MJd,
= 77 000 - 48 000 = 29 000 kN.cm
donde
2.4.5 DIAGRAMA
RETANGULAR DE
TENSOES
I .?,.I.,. .
Fig. 2.4.5-1 Diagrama retangular de tensões.
I
I
Conforme já foi visto, as equações adimensionais do equilíbrio para os casos de
flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade são
1N =O,Ikd I MPa = I MNlm2 = I0 kdlcm'
1kN =LWkgí=O,Itf I kN/m = IW kgfim = 0.1 lfim
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tfm I kNlm' = 1W kdlm' = 0.1 tf/m2
I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tfcm I kN/mS = IM kgfim' = 0.1 tf/mJ
I MPa = 0.1 kNlcmX = IW N/cm2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORNIAIS
Quando se emprega o diagrama retangular de tensões, Fig. 2.4.5-1, têm-se
resultando as expressões simplificadas
2.5 FLEXO-
COMPRESSAO COM
PEQUENA
EXCENTRICIDADE
(DOMINIO 5)
A experiência mostra que nos domínios 2, 3, 4 e 4a são obtidos resultados
praticamente iguais, quer se use o diagrama parábola retângulo, quer se use o diagrama
retangular de tensões. Por isso, as tabelas tipo k do Anexo foram calculadas
com o diagrama retangular de tensões.
2.5.1 CONDIÇOES DE No domínio 5, a seção transversal está inteiramente comprimida, sendo então mais
EQUIL~BRIO conveniente considerar-se como p610 de redução dos momentos o centro de gravidade
da armadura mais comprimida.
it-
Fig. 2.5.1-1 Pequena excentricidade
Considerando a notação indicada na Fig. 2.5.1-1 e tratando todos os elementos
em valor absoluto, obtêm-se
SEÇOES RETANGULARES 65
hgo as equações de equilíbrio podem ser escritas
e
Nd = R, + R; + Rs
Nd e; = R, (a - d') + R, (d - d')
2.5.2 CONDIÇOES DE A Fig. 2.5.2-1 indica as condições de deformação no domínio 5, para o qual são
COMPATIBILIDADE DE definidos os seguintes coeficientes:
DEFORMAÇOES
X
51= -
(2.5.2-1)
h
Fig. 2.5.2-1 Deformações no domínio 5
Da condição de manutenção da forma plana da seçáo transversal, têm-se
Ecl = EQ - E:
- --
x x-h x-d x-d'
(2.5.2-4)
e, da definição de domínio 5: resulta
obtendo-se as seguintes equações adimensionais de compatibilidade:
2.5.3 PROPRIEDADES Como foi mostrado na Fig. 2.5.2-1, no domínio 5, para qualquer posição da linha
BÁSICAS DAS SEÇÓES neutra, a deformação do concreto ao longo da espessura 3 h17 a partir da borda mais
RETANGULARES comprimida supera o valor 2%0. Portanto, nessa parte da seção, a tensão é igual a
No restante da seção transversal, as tensões ficam univocamente determinadas
desde que se estabeleça o valor de 5,.
Desse modo, definindo-se os coeficientes a, e 5; através das expressões
onde R, é a resultante das tensões de compressão no concreto e a é a distância dessa
resultante à borda mais comprimida da seção, Fig. 2.5.3-1, como R, e a são funções
unívocas de C, também são univocamente determinadas as funções
I
conforme está mostrado na tabela seguinte (CEB - Boletim 82)
I
Fig. 2.5.3.1 Resultante de compressáo - Domínio 5.
SEÇOES RETANGULARES 67
Domínio 5 - CEB (Boletim 82)
Observe-se que, no domínio 5, tanto o coeficiente de bloco do diagrama de
tensões
quanto o coeficiente 6; que determina a posição da resultante R, são definidos em
função da altura h da seção e não mais, como no caso de flexão com grande excentricidade,
em função da profundidade da linha neutra. Fara assinalar esse fato, todos os
coeficientes adimensionais definidos em função da altura total h são assinalados com o
índice 1.
2.5.4 EQUAÇÕES Conforme foi visto em 5 2.5.1, tomando-se como pólo de redução dos momentos o
ADIMENSIONAIS DE centro degravidade daarmaduramais comprimida, asequações (2.5.1-3) e (2.5.1-4) de
EQUIL~BRIO equilíbrio podem ser escritas
Nd = R, + R; + R,
N, e:. = R, (a - d') + R, (d - d')
onde todos os termos são tomados em valor absoluto.
Por outro lado, sendo
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
têm-se
Nd = 0,85 ai bh fCd + & rid + As uSd
Nd e; = 0,85 a, bhz fcd (5; - 8;) + A, uXd (d - dr)
Definindo-se os esforços solicitantes relativos adimensionais
e as taxas mecânicas de armadura
obtêm-se as equações adimensionais de equilíbrio
2.5.5 RESOLUÇAO GERAL Os problemas deflexo-compressão com pequena excentricidade devem ser resolvidos
DOS PROBLEMAS DE por meio de duas equações adimensionais de equilíbrio, nas quais comparecem as 11
FLEXO-COMPRESSÃO variáveis:
COM PEQUENA
EXCENTRICIDADE Vdr tii w', W, a,, C:, aJd, usdr 81, 8;
Analogamente ao que acontece com os problemas de flexão composta com
grande excentricidade, correspondentes aos domínios 2,3 e4, também nos problemas
de flexo-compressão com pequena excentricidade, correspondentes ao domínio 5, o
cálculo de verificação tem como solução ideal o emprego dos diagramas de interaçáo.
De maneira análoga, também nos casos de flexo-compressão o cálculo prático de
dimensionamento é feito através da fixação da posição da linha neutra.
De fato, estabelecendo-se o arranjo geral da armadura dentro da seção transversal
da peça, ficam fixados os valores de 8, e S', e, arbitrando-se o valor de (,, ficam
determinados os valores de a,, ti, vid e ea, restando portanto no problema apenas
as cinco variáveis independentes:
Desse modo, arbitrando-se o valor de C,, as incógnitas w e w' podem ser calculadas
em função dos esforços vd e &.
Nos casos de flexão composta com grande excentricidade, todos os problemas
eram reduzidos ao problema básico da flexão simples de uma seção com armadura
simples, isto é, com armadura unilateral. De forma análoga, nos casos de flexocompressão
com pequena excentficidade, todos os problemas serão reduzidos a um
dos problemas básicos seguintes: armadura unilateral (A, = 0) ou compressão uniforme
((, = m).
2.6 FLEXO-
COMPRESSÃO COM
PEQUENA
2.6.1 MOMENTO LIMITE Para os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, as duas equa-
DE SEPARAÇAO ENTRE OS çóes gerais de equilíbrio são as seguintes:
DOIS CASOS BÁSICOS
U.d
vd = 0,85 a, + o' * + w - (2.6.1-1)
fid
fVd
Conforme se observa pela segunda dessas equações, a presença da armadura
menos comprimida, de taxa mecânica w, contribui de fato para o equilíbrio do momento
&.
Desse modo, a condição o = 0, correspondente a armadura unilateral, somente
poderá ser aceita enquanto pid não ultrapassar o máximo valor possível de ser atingido
+-r
pela parcela 035 a,((; - 8;).
De acordo com a Fig. 2.6.1:1, o máximo valor de 0,85 a, (5;- 8;) ocorre na
compressão uniforme, pois, nesse caso particular, a, e 5; tomam simultaneamente
seus valores máximos:
i=k
a:, = 10
a,, moi. - 035 fcd
5;. a .
1
mas. --- - -
h 2
As
Eig. 2.6.1-1 Compressão unlfome
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Observe-se que o valor de pd cresce a medida que aforça Fd se aproxima do eixo
da peça, pois MQd cresce com a excentricidade e;. Quando o valor de& supera o valor
pid, limr a diferença pkd - pLd, somente poderá ser equilibrada se existir a força R,,
uma vez que R, já deu a máxima contribuição possível. No caso da compressão
uniforme existem duas armaduras, de taxas o e o', diferentes entre si, com as quais
podem ser equilibrados os momentos fletores Md atuantes na seção transversal.
Verifica-se portanto que a armadura unilateral, para a qual o = 0, somente pode
ser empregada para valores de pkd inferiores a
Esse valor limite também pode ser escrito
ou seja, sendo
logo
donde
h-2d1=d-d'
tem-se
Dessa maneira, todos os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade
podem ser reduzidos a um dos seguintes casos básicos:
2.6.2 ARMADURA
UNILATERAL (/L;, G /I:,, I,,)
a. Armadura unilateral - quando pkò pQd, lini
b. Compressão uniforme - quando pCgd > p'gd,~,m.
Fig. 2.6.2-1 Armadura unilateral
SEÇOES RETANGULARES 71
Neste caso básico, A, = 0, logo as equações de equilíbrio podem ser escritas, Fig.
2.6.2-1,
e sendo
Nd = Rc+ R:
Nd e,; = MBd = R, (a - d')
logo
R: = As crid = Al, fid
fld
Nd =0,85 a, + ASfha uJd
fCd bh fid bb fbd
têm-se
As expressões (2.6.2-1) e (2.6.2-2), que foram deduzidas diretamente, também
poderiam ser obtidas a partir das equações gerais (2.5.4-5) e (2.5.4-6), fazendo-se
simplesmente w = 0.
( DOMI'NIO 5 I
C' = 0,002
sd
$1 - 7
\ I
Fig. 2.6.2-2 Deforma~Ão da armadura mais comprimida
72 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Parao cálculo deo', pelaexpressão (2.6.2-I), é preciso que se conheça0 valor de
a&. Para isso, emprega-se a equação de equilíbrio de momentos, de onde resultou a
expressão (2.6.2-2). pela qual fica da linha neutra, pois a, e 5;
dependem apenas de e,. Uma
linha neutra, fica determi-
A partir dessa defor-
tabelados os
Desse modo, dados os valores de v, e p;,, em função de p;, é determinado o valor
de C, logo podem ser calculados os valores de a, e cri* Com isso, sendo
têm-se
2.6.3 ARMADURA
UNILATERAL. EXEMPLOS
Fig. 2.6.3-1 Exemplo.
I
Exemplo I 1
Dirnensionar a peça apresentada na Fig. 2.6.3-1, sendo dados:
Fk = 2 000 kN yf = 1,4
I N = 0.1 l<gf I MPa = 1 MNim' = I0 kgf/cm2
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O, I tfim
I kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kN/m2= IW kgf/m2 = 0.1 tflm'
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3= IW kgfims = 0.1 tflm3
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmZ
SEÇOES RETANGULARES 13
Sendo
Aço CA-SOA y, = 1,15 fvd = --- - 435 MPa = 43,s kN/cm2
1,15
fcK = 25 MPa y, = 1,4 fed = -- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ
1,4
N, = yf Nk = 1,4 X 2 000 = 2 800 kN
têm-se
Por outro lado, sendo
ou seja
comprova-se então a possibilidade de armar a seção com armadura unilateral, pois
Nessas condições, sendo
-
de acordo com a Tabela 9 do Anexo, tem-se a seção no domínio 5, com
e 035 a, 0,74
5, - 1,12
I N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = IOk~/cm2
I kN = 100 kgi = 0.1 tf I kNlm = IW kgilm = 0.1 Sim
I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/mP = 100 $gf/m' = 0.1 tf/m'
I kNcm = 100 kgfcm = 0.1 d.cm I kNlmL I00 kgflm* = 0.1 tf/rng
I MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmS
logo
e sendo
E;< = 3,04%01 E :~(Aço CA-50A) = 2,07%c
resulta
u;, = fia = 435 MPa
donde
o=0
Desse modo, sendo
I
têm-se
,, = A: f;,
bh fCd
Exemplo 2
Dimensionar a seção do exemplo anterior, adotando-se o aço CA-SOB.
~
Como a qualidade do açs empregado somente afeta a tensão r;,,, tem-se, neste
caso,
I
De acordo com a NB-I, sendo 1
SECOES RETANGULARES 75
obtém-se (com E, = 210 000 MPa)
6
logo
= 402 MPa
Esse valor também pode ser determinado pela Tabela 10 do Anexo, resultando
ou seja
Com o Aço CA-SOB, resultam
A, = O
2.6.4 COMPRESSÃO Quando a força de compressão está aplicada em posição próxima do centro de
UNIFORME gravidade da seção transversal da peça, torna-se conveniente o dimensionamento com
a hipótese de compressão uniforme.
De acordo com o que já foi visto, a condição de compressão uniforme pode ser
imposta desde, que seja
donde
Nesse caso, admite-se toda a seção com a mesma deformação de 2%0, ou seja,
&cld = EC2d = = Bsd = 2%0
v
I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmt = I0 kgficm'
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgflm = 0.1 tfim
I kN.m = I00 kgf.m = 0.1 ttm 1 kNimS= 100kgf/m2=0,1 tf/rn2
1 kN.cm= IWkgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNirnS= 100kgf/m'=OO,I fim3
1 MPa = 0.1 kNicmZ = 100 N/cm2
i
Considerando-se as condições gerais de equilíbrio na flexo-compressão com
pequena excentricidade, expressas pelas equações (2.5.4-5) e (2.5.4-6),
têm-se no caso da compressão uniforme, admitindo f,, = fh,,
Por outro lado, conforme jáfoi visto na dedução do momento limite, dado pela
expressão (2.6.1-I), tem-se
e sendo
obtêm-se as equações
e em virtude das relações
resultam finalmente
onde uSd corresponde a deformação E, = 2%,.
Para os aços Classe A, as expressões dadas podem ser simplificadas, pois para
esses aços pode-se admitir E, E,, logo
porquanto até para o Aço CA-SOA, para o qual
condição
= 2,07%0, pode ser aceita a
Desse modo, resultam:
AÇO CLASSE A
AÇO CLASSE B
2.6.5 COMPRESSAO Dimensionar a seçáo apresentada na Fig. 2.6.5-1, sendo dados:
UNIFORME. EXEMPLOS
F1,=3000kN yf= 1,4
e= 10cm b = 25 cm h=70cm d'=5cm
f,, = 25 MPa y, = 1,4
Fig. 2.6.5-1 Compressão uniforme - Exemplo.
Exemplo I. Aço CA-SOA (fVd = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)
IN =0,1kgf I MPa = t MN/m2 = Iokgflcm'
I kN = 100 kgf = 0,l tf I kNim = 1W kgflm = 0.1 Iilm
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 ttm I kN/m2= IWkgfIrn'=O,i d/ms
I kN.cm- 100 kgtcm - 0.1 tfcm I kN/ma = IW k@1m3 = 0,1 Sim3
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
fcd=fCL=-- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ
r, 1,4
Sendo ,L;, > pbd, I,mr é impossível armar-se unilateralmente a seção, sendo conveniente
adotar a hipótese de compressão uniforme. Nesse caso, tratando-se de aço
Classe A, têm-se
Exemplo 2. Aço CA-SOB (f,, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)
logo
(cUd = 4,07%a)
Neste caso, tem-se
usd = r*, 2s1= 356 MPa = 35,6 kN/cm2
o = (v,
43 5
-- 0,425) f"d = 0,024 = 0,029
d - d' Usd 35,6
*(Vide comentátio no final do 5 2.6.4, referente ao valor de f,,)
1N =O,IkBf I MPa = I MNlm2= 10kBf!cmz
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!rn = IW kgf!rn = 0.1 tflm
1 kN.m = IW k&.m = 0.1 1f.m I kN!mP = IWkgfim*=O,I tf!m2
I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlm" IW k8flms = 0.1 d!ma
I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NlcmP
2.6.6 DIAGRAMA
RETANGULAR DE
TENSOES
Fig. 2.6.6-1 Diagrama retangular de tensóes.
As equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena
excentricidade são, Fig. 2.6.6-1,
MJd = Fd e, = R, (a - d') + R, (d - d')
onde
Nd = Fd
Sob a forma adimensional, essas equações são escritas:
M:d
P J ~ = -- = 0.85 a, (5;- 8;) + w 2 (8, - O;)
bh2 fcd
fud
onde, conforme foi visto.
logo
tem-se
R, = 0,85 a, bh fcd (2.6.6-1)
Quando é adotado o diagrama retangular de tensões para a condição
x S 1,25 h (2.6.6-2)
0,8 x s h
havendo compressão apenas em uma parte da seção transversal
Nesse caso, sendo
onde
tem-se
com
logo
R, = 0,85 fCd .b.0,8 x
x = 5, h
R, = 035 X 0,8 5, bh fcd
a = 5; h = 0,4 x
Comparando as expressões (2.6.6-1) e (2.6.6-3), conclui-se que neste caso
Desse modo, as equações de equilíbrio podem ser postas sob a forma seguinte:
Os resultados numéricos mostram que não há diferenças significativas quando
são empregados os diagramas parábola-retângulo ou retangular de tensões, desde que
a linha neutra não se afaste muito da borda menos comprimida da seção transversal.
Todavia, quando x > 1,25 h, as diferenças podem ser significativas.
De fato, empregando-se o diagrama retangular de tensões, quando x > 1,25,
haverá compressão uniforme da seção transversal, com
SEÇOES RETANGULARES 81
valores sensivelmente diferentes dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo,
conforme se pode ver por comparação com os dados da Tabela incluída em 5 2.5.3.
2.7 EXERCICIOS 2.1 Por que os casos deflexo-tração com pequenaexcentricidadecorrespondem ao domipio 1
de deformações?
2.2 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular submetida 2 flexo-tração com
pequena excentricidade.
2.3 O que caracteriza uma flexão composta com grande excentricidade? Quais os casos de
solicitação correspondentes?
2.4 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular para todos os casos deflexão
com grande excentricidade.
2.5 Sendo R, = 0.85 a bx f,, e 5' = alx, determinar as expressões de a e de 5' em função de (
para os domínios 2, 3, 4 e 4a, quando é adotado o diagrama retangiilar de tensões.
2.6 Para uma seção retangular com armadura simples, escrever a expressão de p,, em função
de 5. quando é adotado o diagrama retangular de tensões.
2.7 Escrever as condiçóes de compatibilidade de deformações de uma seção transversal
retangular. Quais as variáveis conhecidas e quais as variáveis incógnitas, respectivamente,
nos domínios 2, 3, 4 e 4a?
2.8 Escrever as equações adimensionaisde equilíbrio de seções transversais retangulares para
os casos de flexão composta com grande excentricidade.
2.9 Considerando a questão anterior, explicitar o número de variáveis do problema. Em
principio, como são resolvidos os problemas de dimensionamento e os de verificação?
2.10 Quando deve ser empregada armadura dupla numa seção retangular submetida à flexão
simples? Como é ela calculada?
2.11 Justificar a validade da decomposição do momentofletor em duas partes paraocálculo das
seções duplamente armadas.
simples.
2.13 Como são calculadas as seçóes transversais duplamente armadas submetidas à flexão
composta com grande excentricidade? Justificar o processo adotado.
2.14 Definir os coeficientes empregados nas tabelas tipo k.
2.15 Qual a relação entre k, e p,,?
2.16 Qual o significado de k, e de k:? Definir os coeficientesa e p apresentados nas Tabelas 5 a
8.
2.17 Como devem ser empregadas as tabelas tipo k para coeficientes y, e y,diferentes de 1,4?
2.18 No domínio 4, o que se entende por zona utilizável dos aços ClasseB? Nas Tabelas 7 e 8,
quais os valores de k, correspondentes a essas zonas?
2.19 Como se emprega o coeficiente 100 p, apresentado nas Tabelas 5 a 8?
2.20 Do ponto de vista prático, como sejustificao cálculo de verificação de seçóes duplamente
armadas por meio de tentativas? Como são feitas essas tentativas?
2.21 Escrever as equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena
excentricidade de seçóes retangulares.
2.22 Estabelecer as condições de compatibilidade de deformações no domínio 5.
2.23 Que condição deve ser satisfeita para que uma seção retangular submetida à flexocompressão
com pequena excentricidade possa ter armadura unilateral? Justificar.
2.24 Nas mesmas condiçóes anteriores, quando é recomendável considerar a seçáo uniformemente
comprimida? Justificar.
2.25 Determinar o valor p:,, , que separa os casos básicos daflexo-compressáo com pequena
excentricidade de seções retangulares.
3.1 FLEXAO SIMPLES Nas estruturas de concreto, as vigas de seção T são de uso corrente, pois, de
E FLEXÁO COMPOSTA modo geral, as nervuras dasvigas estãoligadasaslajes, asquaisfornecem a necessária
mesa de compressão, Fig. 3.1.1-1. De acordo com os princípios de notação, as
3.1.1 AS "IGAS DE SECÃo dimensõesda mesasáo indicada~porb~e hf(flange), e alarguradaalmaporb,(web).
T DAS ESTRUTURAS DE A Fig. 3.1.1-2 mostra seções transversais com diferentes arranjos, cujo cálculo
CONCRETO recai na consideração de uma seçáo T.
Fig. 3.1.1-1 Notação usual.
É preciso salientar-se que uma viga de concreto composta por uma nervura e por abas
salientes apenas será considerada como de seçáo T quando a mesa estiver comprimida.
Caso contrário, quando as abas estiverem tracionadas, a viga será considerada
como de seção retangular.
A Fig. 3.1.1-3 mostra o caso usual das vigas contínuas de edifícios.
LAJES
NERVURADAS
VIGAS DE SEÇÃO CELULAR
Fig. 3.1.1-2 Diferentes seções transversais.
4
te 60 reta ulor seçóo retangulo
loja comprimido
laje tracionodo
sação T
seçáo retanqulor
Fig. 3.1.1-3 Vigas continuas de edifícios
Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios tem-se uma viga de seçáo
retangular, pois as abas estão tracionadas. Observe-se que no balanço da direita, junto
ao apoio C, a viga também deve ser considerada de seção retangular, em virtude da
descontinuidade aí existente na posição da laje.
Fig. 3.1.1-4 Largura colaborante.
--------
Fig. 3.1.1-5 Efeitos das cargas concentradas.
Fig. 3.1.1-6 .Carga na extremidade.
-
Nas vigas em que a mesa de compressão temlargura real sensivelmente maior que
a largura b, da alma, as tensões de compressão não têm distribuição uniforme, Fig.
3.1.1-4. Por esse motivo, em lugar da largura real, admite-se que a mesa tenha uma
certa largura b,, usualmente menor que a largura verdadeira. Pretende-se que dessa
forma fiquem corrigidos os efeitos da variação das tensões na mesa de compressão.
A determinação dalargura bf apresenta dificuldades de ordem prática. Assim, em
princípio, o valor bf será diferente conforme se considere a estrutura em regime
elástico ou em um estado último. De maneira análoga, bf terá valores diferentes
conforme se considere o problema de resistência ou o problema de rigidez da peça.
Além disso, a largura bf varia com as condições de apoio da viga e com o tipo de
carregamento.
Na Fig. 3.1.1-5 está ilustrado ofatode que, em regime elástico, a largura bftende a
diminuir na região de aplicação de cargas concentradas. A Fig. 3.1.1-6 mostra o
crescimento de bf a partir das extremidades onde se aplicam cargas concentradas.
Em virtude das múltiplas dificuldades existentes na determinação de b, adotamse
soluções simplistas a favor da segurança, como a que se indica no item seguinte.
3.1.2 A LARGURA DA Para as ações diretas, a largura bf é determinada de acordo com a NB-I da
MESA DE COMPRESSÃO seguinte maneira, Fig. 3.1.2-1:
DE ACORDO COM A NB-1
VIGA DE EXTREMIDADE VIGA INTERNA VIGA ISOLADA
Fig. 3.1.2-1 Largura colabarante conforme a NB-I.
sendo
b, = largura real da nervura
b. = largura da nervura fictícia
(b, = b, + soma dos menores catetos dos triângulos
das mísulas correspondentes)
b, = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas
tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de deformações, adotam-se
os valores
b,.
0,10 a
(8 hf
0,10 a
0,s b2 6 h,
onde:
viga simplesmente apoiada
a=(
tramo com momento em uma só extremidade
3
a=-e
4
I
tramo com momentos na. duas extremidades
a=-e
3
5
viga em balanço a=2!
3.1.3 O PROCESSO DE O dimensionamento das seções T é feito de acordo com os mesmos critérios
DIMENSIONAMENTO DAS gerais adotados paraas seções retangulares, considerando-se aqui apenas os casos de
SEÇÕES T
flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade.
FLEXO -
COMPRESSÃO
FLEXÁO
SIMPLES
FLEXO -
Fig. 3.1.3-1 Casos de dimensionamento
Fd
Embora os problemas de flexo-compressão com pequenaexcentricidade também
pudessem ser tratados pelos mesmos critérios, isso não será feito, pois nessas peças
usualmente existem armaduras distribuídas ao longo de todaa seção, e não apenas um
par de armaduras concentradas junto as bordas da mesma.
Dada a seção transversal, Fig. 3.1.3-1, no caso da flexão composta determinamse
os esforços solicitantes
e no caso de flexão simples calcula-se
O processo usual de dirnensionamento considera a transformação da seção T
numa seção retangular equivalente, conforme é indicado a seguir.
1. A linha neutra corta a mesa de compressão (x < h,)
i
Conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-2, quando a linha neutra corta a mesa de
Fig. 3.1.3-2 Linha neutra cortando a mesa.
compressão, não importa a formado restante da seção transversal, podendo a seção T
ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d.
2. A linha neutra corta a alma da seção (x > h,)
Considerando-se o diagrama parábola-retãngulo de tensóes, a determinação da
resultante das tensões de compressão na mesa da seção apresenta dificuldades numéricas.
Nesse caso, o dimensionamento da seção exige a construção de tabelas ou de
ábacos especiais, como o que é apresentado pelo CEB (Boletim 82, Tabela 26 -
página 90).
O problema pode, porém, ser resolvido de maneira bastante fácil, quando se
admite o diagrama retangular de tensões. Neste caso, consideram-se as seguintes
situações básicas:
a. A zona comprimida estd contida na mesa (x < 1,25 h,)
Admitindo-se o diagrama retangular de tensóes, Fig. 3.1.3-3, enquanto
x < 1,25 h,, aprofundidade da zonacomprimida efetiva, de 0,8 x, aindaestará restrita
a mesa da seção. Desse modo, a seção T ainda poderá ser tratada como uma seção
retangular de dimensões bf.d.
Fig. 3.1.3-3 Linha neutra cortando a nervura próximo à mesa.
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
b. A zona comprimida atinge a alma da seção (x 3 1,25 h,)
Admite-se a decomposição da seção, conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-4parao
caso de armadura simples e pela Fig. 3.1.3-5 para o de armadura dupla.
A seção formada pelas abas salientes, de largura b, - b,, e pela armadura &,tem
braço de alavanca interno igual a d - hJ2. Essa seção resiste à parcela de momento
indicada por M,,, ,.
A seção formada pelo concreto comprimido da nervura e pela armadura A,,
absorve a parcela de momento M, ,. Se esta seção puder resistir ao momento Msd, >L.
com C S &,, a peça poderá ter armadura simples.
Quando a armadura simples levar a um valor E > desdobra-se o momento
M,,, ,em duas outras parcelas, como no caso da seção retangular. A parcela M, .é
o valor resistido pela seção retangular com armadura simples A,,, e a diferença AM,,,
é resistida por uma seção metálica composta pelas armaduras de áreas A,, e A',.
Usualmente, M,,,, . será feito igual a M,,,, ,i, correspondente ac = cii,. No caso dos
aços Classe B, admite-se que a zona utilizável de deformações seja aceitável para a
decomposição do momento Msdw.
É oportuno observar-se que, em geral, não é recomendável o emprego de seções
T com armadura dupla. A necessidade de ser empregada uma armadura de compressão
frequentemente indica uma deficiência de altura da viga, a qual pode acarretar
problemas de flechas excessivas.
ARMADURA
SIMPLES
Fig. 3.1.3-4 Linha neutra cortando a nervura
ARMADURA
DUPLA
Fig. 3.1.3-5 Linha neutra cortando a nervura
3.2 CÁLCULO Verifica-se inicialmente se a seção pode ser tratada como retangular de dimen-
IIÁTICO DAS SEÇOES sões bl.d. Calcula-se
rp
I
ADIMENSIONAIS.
EMPREGO DE TABELAS com o qual é determinado o valor de 5 por meio das tabelas universais.
UNIVERSAIS Usando-se tabelas constmídas com o diagrama parábola-retângulo, quando se
tiver
I
o problema será resolvido como o de uma seção retangular.
Quando resultar
a manutenção da hipótese do diagrama parábola-retângulo exigirá tabelas especiais.
Nesse caso, é preferível admitir-se o diagrama retangular de tensões.
Desse modo, para 5 3 1,25 Sf, fa2ase
onde o momento MPd, I resistido pelas abas é dado por
h
Msd, = (ht- b,) h,.0,85 fCd (d - 2)
2
(3.2.1-3)
Observe-se que o momento Msd, também poderia ser calculado pela expressão
seguinte
Para o emprego dessa expressão seria necessário dispor-se de uma tabela universal
constmída com o diagrama retangular de tensões.
Esse caminho não será aqui\ seguido, preferindo-se o emprego da expressão
(3.2.1-3); a fim de evitar a duplicidade de tabelas universais. Um caminho dessa
naturezaé seguido no cálculo com variáveis dimensionais, pois as tabelas tipo k foram
construídas com o diagrama retangular de tensões.
O momento resistido pela nervura M,, é então calculado por
Considerando agora a seção retangular de dimensões b;d,
calcula-se o valor de
e a partir dele, por meio das tabelas universais, são determinados os valores de 5, a, e
de v',caso seja empregada a armadura dupla.
Note-se que, por coerência teórica, aqui também deveria ser empregada uma
tabela constmída com o diagrama retangular de tensões. No entanto, como as diferenças
de resultados são desprezíveis, emprega-se a Tabela 1 constmida com o diagrama
parábola-retângulo.
I
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Desse modo, são determinadas as armaduras nos seguintes casos:
a. Armadura simples (A, = A# + A,,)
com sinal (+) para tração e (-) para compressão.
b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,; A',)
-
1 [ Ma,. f + &
A,=- - + -- AMSdiu t N,
rsd d - hf
z d-d' I
com sinal (+) para tração e (-) para compressão
sendo
A:=- 1 .-
AMsau
r, d-d'
onde usualmente é feito
3.2.2 EXEMPLOS a. Exemplo I. Dimensionar a armadura de uma viga simplesmente apoiada de edifício,
indicada na Fig. 3.2.2-1. São dados:
fck = 15 MPa YC = 1,4
Aço CA-50B
b, = 12 cm
hf=7cm
h = 45 cm
M, = 60 kN.m Yf = 1,4
h 4
Fig. 3.2.2-1 Exemplo
i T
De acordo com as expressóes (3.1.3-11, a largura disponível de mesa vale
bf = b, + 2 b,
IN =O.lkgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm*
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm
I kNm = 100 kgfm = 0.1 ttm
I kN/mP = 100 kgi/m8 = 0.1 tfimS
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm 1 kN/m3 = 100 kgf/m3 = 0.1 tfim3
onde
0,10 a = 0,10 x 500 = 50 cm
b,h[8hl =Sx7=56cm
0,5 h, = (admite-se que não seja condicionante)
logo
15
fCd = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
1,4
fUd = - 500 - 435 MPa = 43,5 kN/cm2
1,15
Verificação inicial: seção retangular b,.d
-
Da Tabela 1, para wSd = 0,044, têm-se
5 0.11 x = 0,11 x 40 = 4,4 cm < h, = 7 cm
Esd = 10%0, logo (Tsd = f#d
resultando, para o Aço CA-50B,
h. Exemplo 2. Dimensionar a armadura de uma viga continua de ponte, indicada na
Fig. 3.2.2-2. São dados:
f,, = 18 MPa YC = 1,4
Aço CA-50A y, = 1,15
e = 20 m (tramo de extremidade)
1N =O,lkgf I MPa = I MNlm' = 10 kgf/cm2
I kN = IW kgf = 0.1 d I kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 !í.m
I kNlmX = 100 kgf/mP = 0.1 If/mP
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlmJ = I00 kgf/mJ = 0.1 tfim'
I MPa = 0.1 kNlcmZ = 100 Nlcm'
Fig. 3.2.2-2 Exemplo
De acordo com a NB-1 (vide Fig. 3.1.2-1)
bf = b, + h, + b, = h, + 2 x 20 + b, + h, (viga de borda)
I
0,10a=0,10x-Ç=l5Ocm
3 (a=-e)
3
4 4
h, C 8 h, = 8 x 12 = 96 cm
0,5 h, = (admite-se que náo seja condicionante)
Verificação inicial: seção retangular h,. d
18
fcd = - = 12,8 MPa = 1,28 kN/cmZ
1,4
De acordo com a Tabela 1, constmída com o diagrama parábola-retângulo, para
pSd = 0,093, têm-se
5 =0,17 logo x = 0,17 x 155 = 26,4 cm > h,
O problema deve então ser tratado como seção T e não como seção retangular,
pois a zona comprimida atinge a alma da seção.
Fazendo-se
onde
M~, = (b, - b,) hf . 035 fcd . id - -I*
2
'Vide comentário em $3.21
IN =O,lkgf MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cmP
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm =O,] tfim
I kN.m = I00 kgfm = 0.1 tfm
I kN/m8 = I00 kgf/mZ = 0.1 tf/mz
I k ~ c m = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/mS= IW kgfimJ = 0.1 tf/ma
I MPa = 0.1 kN/cmZ = IW N/cmX
SEÇOES T
tem-se
logo
M , , = (238 - 30) 12 x 0,85 x 1,28 (155 - 6) = 404 600 kN.cm
M, , = Md - Md, , = 680 000 - 404 600 = 275 400 kN.cm
Considerando agora a seçáo retangular b;d,
têm-se
z- 0,76d- 118cm
sendo possível empregar armadura simples, resultando:
ou seja
c. Exemplo 3. Armar a mesma vigado Exemplo 2, empregando-se o Aço CA-50B.
Neste caso, os resultados seguintes são os mesmos para qualquer dos dois aços
considerados:
No entanto, para o Aço CA-SOB, de acordo com a Tabela 1,
Fazendo-se
com
Md,,
c = Mdw, t~rn
resultam
Mdw, lim = pd, ,<, b, d2 fcd = 0,257 x 30 x 155% x 1,28 P 237 000 kN.cm
I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcmz
I kN = 100 kgf = 0.1 lf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 k ~.m = 100 kgf.m = 0.1 I k ~im* = IW kgf(mz = 0.1 tfimP
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/mJ = 100 kgflm" 0.1 !fim3
1 MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmZ
e
Por outro lado, sendo
= Mdw - Mdw, lim = 275 400 - 237 000 = 38 400 kN.cm
com
logo, de acordo com a Tabela 2,
dSd= 405,2 MPa = 40,52 kN/cm2
obtêm-se:
logo
e
A, = 62,4 + 43,6 + 6,O = 112 cm" (23 0 25)
IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlm' = 10 kgflcms
I kN = IW kgf= 0.1 tf 1 kNlm = IW kpfim = 0,I tflm
I kNm = 100 kgfm = 0,I tf.m
I kNlm' = 100 kgflm2 = 0,I tflm'
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlms= 100 kgf/m3 = 0.1 tf/m3
3.2.3 VARIÁVEIS De acordo com o que jáfoivistoanteriormente, em primeiro lugar deve ser feita a
DIMENSIONAIS. tentativa de consideração de uma seçáo retangular de dimensóes bfd.
EMPREGO DE TABELAS Dados os esforços
TIPO k
Nd = FK.Y~ (3.2.3-1)
calcula-se o valor de
e a partir dele, pelas Tabelas 3 a 8, fica conhecido o valor de
sendo válida a hipótese desde que
resultando
com o sinal (+) para tração e (-) para a compressão.
Quando resultar c > 1,25 h, deve ser feita a decomposição
onde
(b, - b,)d2
Msd, I. =
kc, = 1,25 w
devendo o momento
Msd. w = Msd - Msa. I
ser resistido pela seçáo retangular de dimensóes b, x d
Calculando-se o valor
quando
ke, to kc, ~im (3.2.3-9)
pode ser empregada a armadura simples, e, no caso contrário, quando
kc, w > kc, iim (3.2.3-10)
95 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
é preciso fazer-se a decomposição
MadW = Msdw, c + AMsd
sendo aparcela M, ,resistida pela nervuracom aarmadura simples A,, e adiferença
AM,,, resistida pela seçáo metálica composta pelas armaduras A, e A',.
Observando-se que a real posição da linha neutra é condicionada pelo momento
M,,,, do qual decorrem os coeficientes k,,, k,, k,, e k',,resultam as armaduras
seguintes:
a. Armadura simples (A, = A* + A,,)
I
com k, e k, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e (-)
para Nd de compressão.
b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,,; A(,)
com k,, k', e k,, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e
(-) para N, de compressão.
3.2.4 EXEMPLOS a. Exemplo 4. Resolver o Exemplo 1 (53.2.2), empregando as tabelas tipo k.
Dados:
f,, = 15 MPa YC = 1,4
Aço CA-SOB
Calculando-se
I N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgficm'
I kN = IW kgf = 0.1 if I kNim = 100 kgfim = 0.1 [fim
I kN.m = IW kgf.m = O,? tfm
I kN/m2 = 100 kgfimZ = 0.1 ff/m2
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ff.cm I kNlmJ = I00 kgfim3 = 0,1 fVm3
SEÇOES T
-
da Tabela 7 resultam, a favor da segurança,
6 0,07, logo x = 0,07 x 40 = 2,8 cm < h,
e
8 400
k, = 0,024, logo A, = 0,024 - = 5,M cm2
40
(4 0 1 23
b. Exemplo 5. Resolver o Exemplo 2 (5 3.2.2), empregando as tabelas tipo k.
Dados:
M, = 6 800 kN.m = 680 000 kN.cm ?r= 1,4
f,, = 18 MPa YC = 1,4
Aço CA-SOA (Tabela 6)
b, = 30 cm
d = 155 cm
h, = 12 cm
b, = 238 cm
Verificação inicial
Calculando-se
da Tabela 6 resulta 6 - 0,15,
logo
não sendo possível tratar a seçáo como retangular.
Determinando-se o momento
sendo
logo
5 = 1,25 6, = 1,25 x 0,077 = 0,097
IN =O,lkgf I MPa = I MNlm2 = 10 kgficm2
I kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O. I !fim
i kN.m = 100 kgtm = 0.1 rfm I kNim' = 1W kgflm' = 0.1 rfima
I kNcm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kN1d = 100 kgfim" 0.1 tf/m3
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
resulta da Tabela 6
donde
k,, ,- 11,9
Md,
= Md - Md, = 680 000 - 419 930 = 260 070 kN.cm
Nessas condições, sendo
têm-se
5 = 0,52 logo x = 0,52 x 155 = 80,6 cm
resultando de
o valor
Mdf
d - 2
h
2
MdW
d
A, = k,, - + k, -
C. Exemplo 6. Resolver o problema anterior usando Aço CA-50B (Tabela 7)
Neste caso, valem os seguintes resultados:
M, = 419 930 kN.cm
M,,
= 260 070 kN.cm
com
k,, = 2,s i k,, , = 3,0, embora o valor de k, = 2,8
ainda esteja dentro da chamada zona utilizável. Todavia, a fim de comparar os
IN =0,1kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgf/cmS
I'kN =lWkgf=O,Id I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 d.m
I kN1m2 = IW kgflm* = 0.1 dlm2
I kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 ü.cm 1 kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tf/m3
I MPa = 0,I kN/cm2 = 100 Nicm'
resultados deste problema com os resultados do problema 3, será adotada armadura
dupla.
Fazendo
com k,, li,
= 3,0, tem-se
logo
AMdw = Mdw - Mdw,
= 260 070 - 240 250 = 19 820 kN.cm
As armaduras são determinadas pelas expressões
onde, para 5 = tiim = 0,4623 e 8' = 71155 = 0,05, têm-se
k, = 0,029
a = 1 ,O0 logo k, = 0,023
0 023
p = 0,93 logo k: = L = 0,025
0,93
resultando
isto é
e
A, = 64,U + 3,l + 44,9 = 112,U cmZ (23 0 25)
~~~~,
, ~ ~~-.
1kN =IWkgf=O,Itf I kNim = 100 kdm = 0.1 ifim
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tfm I kNimS = 100 kgfim' = 0.1 tfim'
I kNcm = IM) kgf.cm = 0.1 tfcm I kN/m3 = IW kgfim3 = 0.1 tf/mJ
3.1 Nas vigas de edifício, quais as que devem ser consideradas de seçáo retangulare quais as
de segáo T? Exemplificar, considerando lajes naface superior da viga e lajes rebaixadasde
um e dos dois lados da nervura.
3.2 Que variáveis devem ser considei-adas nadeterminaçáo da largura bf da mesa de compressâo?
3.3 Quando a seção T pode ser tratada como uma seção retangular?
3.4 Admitindo-se o diagrama retangular de tensões, qual aposição limite dalinha neutra para
que a seçáo T seja tratada como retangular? Justificar.
3.5 Justificar a decomposição do momento M, nas parcelas M,[, e M,: ,.. para as seções T
com armadura simples.
3.6 Por que a parcela Md, , náo depende da real posição da linha neutra? Discutir.
3.7 Por que a posição da linha neutra só depende da parcela M,, ,?
3.8 Qual a relação existente entre os momentos M,, e M,, i>
3.9 Por que o cálculo de M,, ,com o diagrama parábola-retângulo apresenta maiores diticuldades
do que com o diagrama retangular de tensões? Justificar.
3.10 Comparar os exercícios I e 4. Comentar os resultados.
3.1 1 Comparar os exercícios 2 e 5. Comentar os resultados.
3.12 Comparar os exercícios 3 e 6. Comentar os resultados.
4
F1exã.o Oblíqua
4.1 MÉTODOS GERAIS
DE CÁLCULO
4.1.1 CÁLCULO EXATO Considerando o caso geral daflexáo oblíquacomposta, Fig. 4.1.1-1, têm-se os seguintes
elementos para a solução exata do problema.
Fig. 4.1.1-1 Flexão composta oblíqua.
i
102 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
a. Condições de equilíbrio
M~, = F, e, = J J ued
A..
x . d ~ + d ~ A, c~dd X,
i = l
M = F e = ucd Y.~X~Y + i A, uw Y*
A,,
i = l
h. Condições de compatibilidade
As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana
da seção transversal.
Dada a posição da linha neutra e imposta a deformação específica de um ponto
particular da seção transversal, ficam determinadas as deformações específicas de
todos os outros pontos da seção e, conseqüentemente, as respectivas tensões.
Assim, por exemplo, Fig. 4.1.1-1, uma vez fvtada a posição da linha neutra e
imposta a deformação eeld = 3,S%o no ponto mais comprimido, ficam determinados o
diagrama de tensões no concreto bem como as tensões que agem em cada uma das
barras da armadura.
c. Solução do problema
Para umadada seçáo transversal, escolhidas inclinação <r dalinha neutrae fixada
a profundidade x da zona comprimida., impondo-se o valor de E,, = 10% no domínio 2,
o valor de E,,, = 3,5%0 nos domínios 3, 4 e 4a e o valor de E, = 2%0 no domínio 5,
podem ser calculadas todas as tensões.
As equações de equilíbrio (4.1.1-1) fornecem então os valores dos esforços
solicitantes correspondentes Ndr Msd e M,,.
d. Apsentação dos resultados
-\ Variando a profundidade x da zona comprimida e, para cada x, variando a
inclinação a dalinha neutra, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores Nd, Mrde
M,, que conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de alòngamento
plástico excessivo.
Confoiine se mostra em § 4.1.3, esses ternos de valores podem ser representados
por meio de superfícies ou de diagramas de interação.
I
Cabe, no entanto, salientar que o traçado sistemático dos diagramas de interação
somente pode ser feito, do ponto de vista prático, da maneira indicada a seguir.
e. Traçado dos diagramas de interação
Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, ao invés do sistema de
coordenadas indicado na Fig. 4.1.1-1, adota-se o sistema indicado na Fig. 4.1.1-2.
Com o sistema de coordenadas mostrado nessa figura, as equações de equilíbrio
podem ser escritas da seguinte forma, onde as integrais seguem um sentido de
circuitação preestabelecido:
O traçado sistemático dos diagramas de interação é feito para valores constantes
de N,.
Nessas condições, adotado um valor de N,, ou seja, admitido um valor de
fixa-se uma inclinação a para a linha neutra e calculam-se os valores de Nd para
valores crescentes da profundidade x,, da zona comprimida.
Quando se obtém o valor preestabelecido para N,, nessa posição são calculados
os momentos M, e MWd e, a partir deles, os momentos Mzd e M,,, obtendo-se então
valores de
com os quais fica determinado um ponto do diagrama de interação, Fig. 4.1.1-3.
Observe-se que, na Fig. 4.1.1-2, M, é o momento que age no plano que contém o eixo
M, atua no plano que contém Gy.
dotam-se a seguir novas inclinações a para a linha neutra e repete-se para cada
elas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse modo, por pontos, o
aiagrama de interação (/L=, pyd, vd = const.)
104
ESTRU-rURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇóES NOHXAIS
Pyd
(Jd = valor prefixado )
J'(yd, cai
I
-----
r
I
i%
N xd, calculado
Fig. 4.1.1-3 Traçado ,do diagrama de intelacão
4.1.2 SUPERFICIES DE Conforme jáfoi visto, dando-se a forma da seçáo transversal, definindo a armadura e
INTERAÇAO E especificando as resistências de cálculo dos materiais, podem ser determinados os
DIAGRAMAS DE ternos de valores N,, M,, e M,,que levam a seção transversal ao estado limite último
INTERAÇAO de ruptura ou alongamento plástico excessivo.
A Fig. 4.1.2-1 mostra de forma genérica a superfície de interaçáo dos valores
últimos Nu, M,, e M,,.
1
u , compressão
"" ,"
(ELEMENTO FUNDAMENTAL p/
AS APLICAÇ~ES )
__C M~ u
o 5'0
OP'O
OE'O
02'0
01'0
00'0
O
01'0 -I
3
C3
Z
02'0 <a
+
hrl
lx
0£'0 1
-x
-I
O
o*"' 3
CC
'$
Oi'O
u
5
a
OC'O E
w a
Oi,O,
. .
O
""t
a
O
01'0 Z
O
00 'o
01'0,
*
02'0 '1
0
-
O
O£'O ;
OC'O,
4
OS'O
OS'O
OE'O
O
o
2i
: 219
I. a
O
2i
I rp
I
a
OE'O -I
m
.a
o*, ,u
OS'O
a
a
C
W
02'0 5
Z
01'0 O
OE'O ..
OE'O
a
m
Ob'O
OE'O
-
OE'O a-
108 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
A propriedade mais importante dessas superfícies de interação (Nu, MA, M,,)éa
sua convexidade, conforme está mostrado nos cortes correspondentes a N, = 0,
M,, = O, M,,, = O e Nu = constante # 0, respectivamente, Fig. 4.1.2-1.
Essa propriedade de convexidade permite, como será visto posteriormente. o I
estabelecimento de processos aproximados de cálculo, a favor da segurança. Na I
verdade, a convexidade dos diagramas de interação (M,,,, M,,) para N, = constante
# Oparece não ser rigorosamente perfeita. Todavia, Eomo é aparente nos diagramas
aqui apresentados, para todos os efeitos práticos pode ser admitida a convexidade
perfeita da superfície de interaçáo.
A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos. por vezes
chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação,
definidos por diferentes valores de v,.
Para as seçóes com dupla simetria. os diagramas de interação são frequentemente
apresentados em octantes.', Vara o emprego rotineiro, esse tipo de representrição
não é o mais cômodo.
Nas figuras seguintes," Figs. 4.1.2-2 a4.1.2-4, estão apresentados ábacos calcu- ,
lados de acordo com as especificações da NB-1/78.
Em qualquer caso, para as aplicaçóes é importante observar quais as coordenadas
adotadas para os diagramas de interaçáo, pois alguns são apresentados em função das
excentricidades relativas e,lh, e e,/h, e outros em função dos momentos relativos
w, = ve,/h, e w~ = vedh".
De forma análoga. deve-se prestar atenção nas definições adotadas para as
grandezas adimensionais. pois pode haver pequenas diferenças de uma apresentação
para outra.
4.1.3 EXEMPLO Para exemplitlcar a utilizaçao dos diagramas de interação, considere-se a seção
transversal mostrada na Fig. 4.1.3-1.
Sao dados os seguintes valores:
I
'Marcos Antonio Marino, Sesó- ~ran~~er~ai~ de c<I~c~P~<> armado sujeitos a solicitacoes normais. Dissertaçáo de
Mestrado elaborada sob a otientaqáo do Autor. Escola Politécnica USP, Sáo Paulo, 1978.
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrnZ = 10kgficm2
I kN = 100 kgf = 0.1 ti I kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm
I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/m2
i kNcm = 100 kgf.cm = 0.1 Ifcm I kN/mS = 100 kgf/ma = 0.1 tf/rn3
fck = 15 MPa = 1,s kN/cm2 ?c = 1,4 f,., = - - 1.07 k ~/cm~
1,4
Aço CA-SOB y, = 1,15 fyd = 43.5 kN/cinY
Ábucos du Fiz. 4.1.2-2
Para a utilização destes ábacos, calculam-se os valores:
De acordo com a Fig. 4.1 .?-2, tem-se
e para
Interpelando linearmente, para u = 0.62, obtém-se
resultando
ou seja, pode ser adotada a soluçáo
8 1 =u,lkgf I MPa =I MNlm2= 10ksficmZ
I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 rtm 1 kN/m2 = 100 k8fim2 = 0.1 tflm* '
I kN.cm = 100 kbicm = 0.1 S.cm I kN/rnS = 100 kgf/ms = 0.1 tf/m3
110 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I
4.1.4 CÁLCULO POR Quando não existem os diagramas de interação paraa seção transversal consideradae
TENTATIVAS nem são aplicáveis outros processos de cálculo, o dimensionamento da seçãopode ser
feito por tentativas, conforme é indicado na Fig. 4.1.4-1.
P
Dada a seção transversal e a posição da força Fd, escolhe-se o arranjo da
armadura de traçáo de forma tão concentrada quanto possível, a fim de facilitar a
solução do problema.
A posição da linha neutra deverá ser determinada por tentativas, sabendo-se que
a força Fd aplicada, a resultante R, das tensões na armadura de tração e a resultante
R,, das tensões de compressão no concreto deverão estar contidas num mesmo plano.
FLEXAO OBL~QUA 111
Desse modo, conhecendo-se as posições de Fd e de R,,, Fig. 4.1.4-1, e sabendose
que
sendo
Nd = Fd (4.1.4-2)
determina-se, por tentativas, a posição da linha neutra que satisfaz as condições
(4.1.4-1) a (4.1.4-3).
Uma vez determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de tração
pela condição
com o sinal (+) para N, de traçáo e o sinal (-)para compressão, controlando-se as
deformações para verificar se realmente é satisfeita a condição
4.1.5 EXCENTRICIDADES De modo tradicional, na presença de força normal de compressão, os casos de
ACIDENTAIS solicitações normais são classificados em: compressüo centradu,flexüo normal composta
eflexüo oblíqua composta. Todavia, de acordo com os novos princípios de
verificação da segurança, no caso de força normal de compressão, passou-se a
considerar explicitamente a incerteza na localização do ponto de aplicação da resultante
dos esforços normais. Foi assim criado o conceito de excentricidade adicional,
que na nova NB-1 é designada por excentricidade acidental.
A excentricidade acidental foi fixada convencionalmente com o maior dos dois
valores seguintes:
onde h é a maior dimensão da seção na direção considerada.
Desse modo, em princípio, todos os problemas de compressão passaram a ser
problemas de flexão oblíqua composta.
Evidentemente, por razões de ordem prática, nem todos os problemas serão
tratados com o mesmo grau de rigor. Assim, na Fig. 7.3.1-1 do B 7.3.1 estão indicadas
as excentricidades a serem admitidas no cálculo, em função das situações teóricas de
projeto, deacordo com a NB-I. Quando a situação suposta no projeto for de compressão
centrada ou de flexo-compressão normal, a obliquidade decorrente das excentricidades
adicionais será tratada de forma simplista. Pelo contrário, quando a situação
teórica de projeto já for de flexão oblíqua composta, o problema será tratado com
maior rigor, conforme será discutido posteriormente no Cap. 7.
Observe-se que no caso de peças esbeltas, além das excentricidadesjá consideradas,
ainda deverão ser levados em conta os efeitos de segunda ordem, decorrentes da
deformação das peças.
4.2 MÉTODOS
SIMPLIFICADOS DE
CÁLCULO
4.2.1 LINEARIZAÇÃO DOS Este critério conduz a soluçóes necessariamente a favor da segurança, em virtude da
DIAGRAMAS DE convexidade da superfície de interação, Fig. 4.2.1-1.
INTERACAO Emprega-se um diagrama linearizado de interação para o dimensiona-
DIAGRAMA
REAL
DIAGRAMA
LINEARIZADO
I
Resultados
sistematicamente
0 fovor do segurança
xd, cal
Fig. 4.2.1-1 Mérodos simplificados de cálculo.
mento de seçóes submetidas à flexáo oblíqua composta, obtendo-se a expressão
I
--
Muo, u Ma, u
Mvd + Mzd = 1
válida para Nu, , = Nd.
A critica a ser feita a esse processo simplificado é a de conduzir, por vezes, a
soluções sensivelmente antieconômicas. A sua defesa é a de conduzir sempre a
soluções a favor da segurança e de permitir o dimensionamento da armadura por
tentativas, e não a simples verificação da carga que pode ser aplicada numa dada
posição de uma seçáo conhecida.
Observe-se que a linearidade dos diagramas de interaçáo pode ser interpretada
tanto nas coordenadas M,, e M,, quanto em e,, e e,,, bem como em e,,/h,e e,,/h,.
conforme mostra a Fig. 4.2.1-2 e de acordo com o que já havia sido mostrado nas
figuras do § 4.1.2.
Para o emprego do método, dado o pontoA (psd, pyd, vd), escolhe-se uma reta
que passe por esse ponto, cortando os eixos coordenados nos pontos B GyO, d, vd) e
C (w~,,~, vd). Fig. 4.2.1-1.
Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos
pontos A e B e verifica-se, a seguir, para a outra flexáo normal.
Caso esta última verificação dê resultado satisfatório, a seçáo terá segurança
superabundante para a flexão oblíqua original.
Fig. 4.2.1-2 Linea"zaç80 dos diagramas de interacão
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS
No caso de seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces, os
diagramas de interação linearizados terão uma inclinação de 45O com os eixos coordenados,
bastando então um único cálculo de dimensionamento numa das direções
principais.
4.2.2 EXEMPLO
Considere-se o dimensionamento aproximado doexemplo resolvido de modo rigoroso
em § 4.1.3.
São dados os seguintes valores:
N, = 1000 kN y, = 1,4 Nd = 1,4 x 1000 = 1400 kN
f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2
Aço CA-SOB y, = 1,15 f,d = 43,5 kN/cm2
h, = b = 30 cm e, = 6 cm - -- - 0,20
b 30
Y
IJ
Plano de My
ey : 28
Plano de M,
e~
r 3, -
h Y
Fig. 4.2.2-1 Exemplo.
1N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10kgf/cm*
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = IW kgfim = 0,I tflm
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 1f.m 1 kN/m2 = IW kgfim2 = 0.1 tflrn2
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/rn3 = 100kgf/~= = 0.1
I MPa = 0.1 kN/crnn = 100
Admitindo-se diagramas de interação linearizados e mantendo-se o mesmo arranjo
da armadura, isto é, colocando-se armadura igual nos quatro cantos, o dimensionamento
mais econômico deflexáonormal compostacorresponde ao que se mostra
na Fig. 4.2.2-1.
Quando se empregam diagramas de interaçáo nas coordenadas e,/h, e e,/h,,
como é o caso apresentado na Fig. 4.2.1-1, o dimensionamento mais econômico
corresponde a
Quando se empregam diagramas de interação nas coordenadas pZd e pVdi como
aqueles apresentados nas Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4, a condição econômica é obtida com
Ambas as condições decorrem do fato de a armadura estar igualmente concentrada
nos quatro cantos, pois, nesse caso, o diagrama linearizado mais econômico
corresponde a uma reta igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados. De
fato, com esse arranjo de armadura, para um mesmo valor de v,, deve ser obtida a
mesma taxa de armadura quer se considere uma flexáo normal composta segundo o
eixo Gx, quer segundo o eixo Gy.
Nessas condições, empregando, por exemplo, os ábacos de flexão normalcomposta
de Montoya,* para
obtêm-se:
d'
para 6' = - = 0,10 o = 0,86
h
d'
para 6' = - = 0,05 o = 0,76
h
Interpolando-se para 8' = 0,07, tem-se
resultando
logo
A,, ,,C, L= 4 x 10,3 cm2
Sabendo que este resultado é sempre a favor da segurança, seria aceitável a
mesma solução obtida anteriormente
A,, ,,,,L = 4 X 3 c$ 20 = 4 x 9,45 cmZ
Note-se que a aproximação do cálculo simplificado foi muito boa neste caso
particular em que os diagramas reais de interação são praticamente lineares, Figs.
4.1.2-2 a 4.1.2-4.
Observe-se novamente que, pelo fato de a armadura estar igualmente concentrada
nos cantos, bastou o cálculo de flexão normal composta em uma só direção.
4.2.3 UM PROCESSO Em face das dificuldades existentes no cálculo das seções submetidas a flexáo com-
EMPIRICO TRADICIONAL posta oblíqua, muitos processos empíricos foram sugeridos pelaliteratura técnica. Na
Fig. 4.2.3-1 está ilustrado o chamado processo da Norma Russa, que teve larga
aceitação durante muito tempo.
I
Fig. 4.2.3-1 Um método antiga de cálculo.
Por esse processo, sendo
N,,, = força normal última na compressão centrada
N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,
N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,
admite-se que, na flexão oblíqua composta, a força normal última Nu, acompanhada
dos momentos M, e M,,, seja dada por
1 -
1 I I
-+---
Nu N, N, No,
Alguns autores tentaram justificar teoricamente essa expressão, mas conforme se
ilustra na Fig. 4.2.3-1, ela deve ser entendida como uma expressâo empirica.
De acordo com estudos realizados por Moran," a chamada fórmula da Norma
Russa pode conduzir a erros contra a segurança de importância bastante significativa,
não existindo estimativa do máximo erro possível. Os resultados indicados na Fig.
4.2.3-1 são válidos apenas para a seção particular aí indicada. Por esse motivo, a
chamada fórmula da Norma Russa deve ser definitivamente abandonada.
4.3 MÉTODO DA
TRANSFORMAÇAO
AFIM DAS SEÇOES*
4.3.1 TRANSFORMAÇAO O método da transformação das seções é baseado na possibilidade de realizar uma
AFIM DAS SEÇOES transformação da seção, mantendo constantes os valores dos parimetros adimensio-
RETANGULARES nais que intervêm no dimensionamento da mesma sob a ação de solicitações normais,Iu
Fig. 4.3.1-1.
Fig. 4.3.1-1 Sesões ntins
'Telèmaco van Langendonck, Fierio comportu ubiíouo no con<iciu ormodo. A.B.C.P.. São Paulo. 1977
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAB
Considerem-se duas seções retangulares de lados paralelos aos eixos coordenados
Ox e Oy, armadas em cada uma dessas duas direções com duas camadas de barras
de aço. Admita-se que as duas seções estejam submetidas àflexão composta oblíqua.
Os parâmetros de cada uma das seções estão indicados, respectivamente, pelos
índices 1 e 2.
Para a manutençáo dos parâmetros adimensionais são possíveis dois caminhos
diferentes: num deles altera-se a intensidade da forçalongitudinal F na mesmaproporção
que a razão A de afinidade e mantêm-se as resistências dos materiais; no outro,
alteram-se as resistências dos materiais na proporção li1 e mantém-se a intensidade
da força F.
Considerando então as duas seçóes, a original e a transformada, a cada uma delas
correspondem as seguintes grandezas:
a. Dimensóes: h,,, h,,, A,,, A,,, A ,$ , A,,,
b. Materiais: fcdlr fydl = fidl
c. Taxas mecânicas de armadura:
os, =
As,, fvdl
hz1 hu, fCdl
wu, = as#^ fudl
h,, h,, fCd,
= A'8Zl f~dl o;l = K8U1 fUdl
h91 fcdl
hzl hyl fcdl
d. Esforços: Ndl = Fd
e. Esforços relativos:
MZdi = Fd.e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)
M,,,, = F,.e,, (atuante no plano que contém o eixo Oy)
Fd . e,,
Pzdl = h,, hZ,, fCd1
b. Materiais: f ,,,, fvd2 = fid2
c. Taxas mecânicas de armaduras:
r - AS,, f'vdz
h52 hy2 fcd2
W,z2 -
d. Esforços:
,y, - ASa flud2
fcd2
Ndz = Fd (por hipótese)
M,, = Fd . e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)
MVd2 = Fd . eVz (atuante no plano que contém o eixo Oy)
e. Esforços relativos:
Admita-se que aSeção 2 sejaobtidaapartir daSeção 1 por meio de umaafinidade
paralela ao eixo Oy, de razão h igual a
Como a afinidade é paralela ao eixo Oy. são alteradas apenas as dimensões
paralelas a essa direção, mantendo-se as dimensões paralelas ao eixo Ox.
Desse modo, resultam as relações seguintes:
h,* = h h,,
e,,
= h e,,
h,* = h,,
er2 = e,,
1 ." Alternutiva
Admita-se ainda que existam as seguintes relações entre as resistências dos
materiais das duas seções consideradas:
f',dl
f, = -
A
Com todas as hipóteses formuladas anteriormente, obtêm-se então
Vp =
Fd - Fd = V,
h,, h,, fcd, h,, Ah,, f,,,
Conforme já foi assinalado, há uma outra forma alternativa de transformar a
seção, mantendo-se também os valores dos parâmetros adimensionais.
De fato, basta manter os valores das tensoes e alterar a intensidade da força
longitudinal, fazendo-se
Neste caso, têm-se
Py~d =
FP~ ey2 = AF,d . Ae,, - Puid
h,, h;z fCd h,, A2 h:, fCd
o52 =
A,,, fvd = AA,,, . fvd - os,
h,, h,, f,, h,, . h,, fCd
012 = A, fuL = h A3,1 . fv, = o:,
hzz h,, fcd h,, . A hyl fcd
4.3.2 FUNDAMENTOS DO
MÉTODO DE CÁLCULO
Considere-se uma seção transversal retangular de lados h, = b e h, submetida à
flexão composta oblíqua em virtude daaplicação da forçalongitudinal Fdr que age com
as excentricidades e, e e,, Fig. 4.3.2-1.
1
Fig. 4.3.2-1 Transforrna~io afim
Admitindo-se a transformação da seção por uma afinidade paralela ao lado maior
h,, com razão
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS
obtém-se uma seção quadrada de lados
hxQ = h,, = b (4.3.2-2)
Com essa afinidade tamhém ficam alteradas as áreas das seções transversais das
armaduras, sendo
(4.3.2-3)
A,u = A As,
Aszu = h
De forma análoga, admite-se que a afinidade também afete as excentricidades da
força F,, resultando
e
ezy = e, (4.3.2-4)
Admitindo ainda a hipótese suplementar de que também seja alterada a intensidade
da força axial, sendo
sabe-se, de acordo com o que foi visto no item anterior, que permanecem invariantes
os valores das seguintes grandezas adimensionais:
Observe-se que, em virtude dà alteração da força axial, conforme (4.3.2-6), n6o
1
haverá alteração das resistências dos materiais empregados.
b. Condições de dimensionamento
De acordo com o que foi visto em § 4.1.1, as condições gerais de equilíbrio da5
seções retangulares, Fig. 4.3.2-2, podem ser escritas:
N.=,=//
%dXdY+i Astu..
A,, 1
Fig. 4.3.2-2 Flexão composta oblíqua.
I
Introduzindo as condições de compatibilidade de deformações nas expressões de
equilíbrio, elas podem ser reduzidas as suas formas adimensionais, resultando num
sistema de equações nas variáveis seguintes:
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
11. Armaduras:
111. Cobrimentos:
d!,
ss = - ., 8'
hz
d',,
3, = -
hu
IV. Posição da linha neutra:
X
5=- ; a, (Fig. 4.3.2-2)
h,é,ccia
V. Resultante das tensões no concreto:
a = R" ; tt, ; E ' ~
A," 'J"ld
([L
VI. Tensões nas armaduras:
e 5: coordenadas adimensionais da posição de R,,)
VII. Deformaçáo de referência:
(no ponto mais comprimido da seçáo)
(juntamente com 5 e a, definem o
domínio de deformações da seçáo)
Tendo em vista que a transformação afim de razão h juntamente com a trarisformação
da força longitudinal para FQd = A F, não alteram as variáveis V,, pzd, pyd, ws.
I
a',, w,, o:, s:, s:, e que as demais variáveis a, C,, t:, usa/f,,~, 'Jss/fvd? 'Jsc/fUd3
uSD/fi,, são funções unívocas de 5, o, e E,.,~, conclui-se que o dimensionamento pode
ser feito com a seçáo transformada em lugar de ser realizado com a seção original.
De fato, impondo-se os mesmos valores de 5, a, e E,,, para as duas seções, a
original e a transformada, são iguais os correspondentes valores de todas as demais
variáveis adimensionais que regem o equilíbrio e a compatibilidade do sistema.
Desse modo, dimensionando-se a seção transformada, é obtido o dimensionamento
da seção original.
Para a realização desse dimensionamento, um dos caminhos possíveis é o do
traçado dos diagramas de interaçáo V,. psd. pyd.
Com essa finalidade, dada a seção transversal e admitidos os valores de w,, w',,
w, e o',, para cada terno de valores E ~ , 5 ~ e , a,, resultam nos valores dos esforços vd,
psd e pUdr que podem ser aplicados.
Pelo exposto conclui-se que, se existissem os diagramas de interação da seção
transformada, o dimensionamento poderia ser efetivamente realizado, de forma rigorosa,
com a própria seção transformada.
O dimensionamento aproximado, considerado a seguir, tem por finalidade eliminar
a necessidade do emprego dos diagramas de interação da seção transformada.
c. Dimensionamento aproximado
O dimensionamento aproximado das seções submetidas a flexão composta obliqua
pode ser feito, em princípio, pela decomposição dos esforços solicitantes.
Várias soluções dessa natureza são encontradas na literatura referente ao assunto.
Em todas elas, em lugar de uma flexão composta oblíqua, são consideradas duas
flexões normais. Algumas soluçóes consideram duas flexões normais compostas,
enquanto outras consideram uma flexão normal composta e uma flexáo normal simples.
Para seçóes retangulares, a decomposição tem sido tradicionalmente feita
considerando-se duas flexóes atuantes em planos paralelos aos lados da seção, Fig.
4.3.2-3.
Em cada uma dessas flexões esgota-se uma parceladaresistênciaf,, do concreto.
As armaduras calculadas em cada caso são somadas para a obtenção da solu~ão
completa. Todavia, a distribuição das armaduras calculadas não é a que melhor se
adapta a resistência aos esforços decorrentes de uma flexão oblíqua.
Fig. 4.3.2-3 Decomposição tradicional de esforços
O dimensionamento aproximado a seguir considerado,* que requer a transformação
preliminar da seção retangular em uma seção quadrada, decompõe os esforços
aplicados em duas flexões normais compostas, agindo uma delas num plano paralelo a
um dos ladosdaseção e a outra segundouma das diagonais do quadrado, Fig. 4.3.2-4.
Fig. 4.3.2-4 Decornposiçào dos esforços na seção transformada
Também neste caso, a resistência do concreto é esgotada parcialmente em cada
uma das solicitações.
Na solicitação que age segundo o plano que contém o eixo Oy, admite-se uma
'Telêmaco van Langendonck. Flexriu composro oblíqua no concreto ormudu. A.B.C.P.. Sáo Paulo, 1977
resistência 0,85 feda e, na solicitação segundo o plano que contém a diagonal Z,
considera-se a resistência 0,85 f, sendo
As armaduras calculadas para cada uma das flexões consideradas são somadas
para a obtenção da solução final.
Note-se que, com a decomposição agora adotada, é obtida uma distribuição de
armaduras mais adequadapara aresistênciaaflexão oblíqua. Essa melhor distribuição
pode ser obtida em virtude de se considerar uma das flexóes no plano diagonal. Para
isso é necessário transformar a seção retangular original numa seção quadrada, pois só
então o plano diagonal passa a ser um plano principal da seção.
4.3.3 ROTEIRO DE Dada uma seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, transforma-se a
CÁLCULO seção num quadrado, por meio de uma afinidade paralela ao lado naior, alterando-se
também na mesma proporção A a força aplicada, sendo A a razão de afinidade, Fig.
4.3.3-1. A seguir, desdobra-se a flexão composta oblíqua em duas flexões compostas
normais, conforme está mostrado na Fig. 4.3.3-2.
Fig. 4.3.3-1 Transformacão da seçáo.
A força longitudinal FQ é decomposta em duas outras, F,, e F,,, que lhe são
estaticamente equivalentes. A força F,, age no pontoA sobre o eixo Oy paralelo ao
lado, e a força F,, atua no ponto B sobre a diagonal Oz, sendo
Como as duas forças F,, e F,, estão sobre a mesma paralela ao eixo Ox, não se
altera o momento fletor M,,, pois
M,Q = FQ eu, = (FUQ + FN) eu, (4.3.3-2)
Para que não se altere o momento M,,,
Fig. 4.3.3-2, deve ser
~ig. 4.3.3-2 Seção transformada.
I
e, como a seção é quadrada, tem-se
KB = ÓA = e,,
I
I
I
logo
ou ainda
pois
FXg = FQ. tg a
-- e= - tg a
~ V Q
com (tg a s 1 ,O), resultando também
FVQ = F, (1 - tg a)
Uma vez decomposta a força longitudinal
Fg = A Fd
nas componentes
F,y = FQ (I - tg a) = h Fd (I - tg a)
de excentricidade
de excentricidade
e.~ = fl ~ V Q
é feito o dimensionamento das armaduras para cada uma das solicitações separadamente,
Fig. 4.3.3-3. Admite-se que a re~istênciaf,~ sejadecomposta nas duas parcelas
seguintes:
flexão paralela ao lado
fcdY = fcd (1 - tg a)
flexáo diagonal
sendo, portanto, respeitada a condição
fcdv + fcdx = fcd
Y
FyQ=XFd(i-t9 o<)
e = Xe
YQ Y
-f cdy = fcd (1- t9 a)
d5YQ
.:'w
b
FLEXÁO PARALELA FLEXÃO DIACONAL
AO LADO
Fig. 4.3.3-3 Esforços atuantes
Uma vez calculadas as armaduras da seçáo quadrada, obtêm-se as armaduras da
seçáo original pelas expressões
~EXAOBL~QUA
1
AS, = - A',,,
A
Com as armaduras assim calculadas, os parâmetros adimensionais da seção
original e da seçâo quadrada obtida pela transformação afim de razão A são iguais.
4.3.4 FLEXAO DIAGONAL Analogamenteao que se fez na seçáo retangular, tambémno estudo daflexâodiagonal
DA SEÇÃO QUADRADA. da seção quadrada, o momento fletor será sempre tomado em relação ao centro de
GRANDE gravidade da armadura de traçáo, Fig. 4.3.4-1.
EXCENTRICIDADE
AR
A SIMpLE
Fig. 4.3.4-1 Flexiio diagonal da seção quadrada
Pelas mesmas razões já discutidas no estudo da seção retangular, como situação
básica de estudo será considerada a seçâo com armadura simples.
Neste caso, têm-se:
Flexáo simples Nxd = O RE = R, R, = R,, M
Flexo-compressão NZd > O R* = R< - Nzd Rs = RI. M - Nzd
Flexo-tração Nzd > O R, = R, + N.d R, = R,, M + Nid
Desse modo, a seção pode sempre ser dimensionada com o emprego de tabelas
universais preparadas para o caso básico daflexão simples, obtendo-se a armadura de
tração pelas expressões
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Como no caso da seção retangular, a armadura simples poderá ser empregada
desde que o momento MS2, aplicado seja compatível com uma posição da linha neutra
tal que 5 < tlim, isto é, sempre que isso não resultar numa seção superarmada.
Quando a tentativa de empregar armadura simples conduzir a 5 > deverá ser
empregada armadura dupla.
Para o cálculo da seção com armadura dupla, a seção resistente é desdobrada em
duas partes, Fig. 4.3.4-2.
ARMADURA DUPLA
1
I
I I
Fig. 4.3.4-2 Flexão diagonal da se+
quadrada.
A seção com a armadura simples, de área A,,,,, resiste ã força normal NZd e a
parcela M,,,, , do momento fletor. Para esta parcela admite-se a situação 5 = &,.
A parcela restante AM,, = M,,,, - M,,,, . do momento fletor é resistida por uma
seção metálica.
Desse modo, têm-se
Analogamente ao que foi visto para a seção retangular e de acordo com o que se
mostra na Fig. 4.3.4-3, o problema de dimensionamento fica inteiramente resolvido
quando se impóe a posição da linha neutra. Na Fig. 4.3.4-3 está mostrada a notação
empregada para a organizaçáo das tabelas de cálculo.
De fato, seiido
onde
Fig. 4.3.4-3 Flexjo diagonal com grande excentricidade
e
z,=d-a=d-('x
dado o valor de
ficam univocamente determinados os valores de
Na Tabela 1 I do Anexo estão apresentados os elementos necessários ao dimensionamento.
Essa tabelafoi organizada empregando-se odiagrama parábola-retângulo
de tensões no concreto, nos termos da NB-1178.
A I .a Parte da Tabela 11 corresponde a valores de 5 -S 0,50, para os quais não há
influência do valor de 6' = d'ld. Na?.a Parte, correspondente a( > 0,50, a influência
de 6' é explicitada.
4.3.5 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento da seção retangular já estudada em § 4.1.3.
As diferentes fases do cálculoestão ilustradas pelos desenhos das Figs. 4.3.5-1 a
4.3.5-4.
a. SEÇÃO ORIGINAL (Fig. 4.3.5-1)
1N =0,lkgf I MPa = I MNim' = I0 kgficmz
I kN = 1W kgf = 0.1 ti I kNlm = 100 kgfim = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 1i.m I kN/m2 = 100 kgflrn* = 0.1 àimP
I kNcm = 100 kgfcrn = 0.1 rtcm I kN/rn3 = 1W kgfim3 = 0.1 tilrn3
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4
15
f,, = 1 = 1 ,07 kN/cmZ
1,4
Aço CA-50B y, = 1,15 fyd = 435 MPa = 43,s kN/cmZ
I
I
b. SEÇAO TRANSFORMADA (Fig. 4.3.5-2) I
e,, = e, = 6 cm
e,,
3
= Ae, = - x 28 = 12 cm
7
e,, = fle,, = flx 12 = 16,97 cm
tga =e, =- 6
= 0,s
~ V Q 12
F,, = F, (1- tg a) = 600 (I - 05) = 300 kN
F,, = F, tg a= 600 x 0,5 = 300 kN
fcdu =fcd (1 -tg a) = 1,07 (1 - 0,5) = 0,535 kN/cm2
f,,, = f,,.tg a = 1,07 x 0,5 = 0,535 kN/cmZ
c. FLEXAO PARALELA AO LADO (Fig. 4.3.5-3)
F,, = 300 kN
e, = 12 cm
fcdu = 0,535 kN/cm2
hyp = 30 cm
Fig. 4.3.5-1 Seção original.
Fig. 4.3.5-2 Seção transformada.
F = F (I-tgu)= 300kN
YQ Q
fcdy = fcd
( I - tq a1 = 0,535 kN/cm
2
rig. 4.3.5-3 Flexáa paralela ao lado.
Fig.
I
r
d,, = h,, - d' = 30 - 2 = 28 cm i
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Psud =
Fue . esu = 300 25
b,, dZ,u fcdu 30 x 28% x 0,535
= 0,596
Admitindo-se o emprego do Aço CA-50B, de acordo com a Tabela I correspondente
a flexão com grande excentricidade, têm-se
logo
I
Para a seção real, obtêm-se os valores
A,, = 0
7
A:, = - A ,T,,o = - x 3,8 = 8,9 cm2 + 3+20 = 9,45 cm2
A 3
I
d. FLEXAO DIAGONAL DO QUADRADO (Fig. 4.3.5-4)
FZa = 300 kN
e,, = 16,97 cm
f,.di = 0,535 kN/cm2
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = IOkgf/cm2
I kN = IW kgf = 0.1 rf I kNim = 1W kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgtm = 0.1 tfm I kN/mZ= 100 kgfimn = 0.1 tflmx
I kNcm = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgfim" 0,l tflmx
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmS
donde
h
e,, = e ,~ + (1- dtZ) = I6,97 + (21,21 - 4) = 34,18 cm
2
M,,, = F,,.e, = 300 x 34,18 = 10254 kN.cm
Empregando-se Aço CA-SOB, de acordo com a I .a Parte da Tabela 1 I, têm-se
paz,, = 0,090
5 = 0,738
z, = 0,738 x 38,43 = 28,36 cm
M,,,,, =pai,, limd3i fcdr = 0,090 X 38,433 x 0,535
Msrd, c = 2732 kN.cm
AM,,, = M,,, - M,,,, c = 10254 - 2732 = 7522 kN.cm
1 2732 7522
A,,, = -- -- + -- - 300 =
43,s [ 28.93 34.43 1
Para a seção real, obtêm-se os valores
A,, = O
A;, =
1 7
- A',,, = - x 5,02 = 11,72 cm2+ 4$ 20
h 3
A Fig. 4.3.5-5 mostra a solução final do problema
(12,60 cm2)
Fig. 4.3.5-5 Arranja da armadura.
w
IN =O.lkgf I M = I MNim" = 10k&cm2
I k~ = 1W kgf = 0.1 rf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 iflm
I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/m2 = IiKl kgfim' = 0.1 [fimz
I kNcm = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tfimJ
4.3.6 FLEXAO DIAGONAL O dimensionamento da seção quadrada sob flexo-compressão com pequena excentri-
DA SEÇAO QUADRADA. cidade será feito de modo semelhante ao que foi considerado no estudo geral da seção
PEQUENA retangular.
EXCENTRICIDADE Em virtude de a excentricidade ser pequena, a seção estará inteiramente comprimida.
O diagrama de deformações está no domínio 5, caracterizado pela deformação
= 2%0 na fibra situada ã distância 3 h17 da borda mais comprimida. O diagrama de
tensões no concreto terá a forma da parábola-retângulo admitida na teoria geral.
Também para este tipo de seção, serão considerados dois casos básicos: seção
com armadura unilateral e compressão uniforme.
a. Armadura unilateral
Neste caso, a seção possui armadura apenas do lado mais comprimido, Fig.
4.3.6-1. Os momentosfletores M',,, são sempre considerados em relação ao centro de
gravidade da seção desta armadura de compressão, de área A',,,.
Fig. 4.3.6-1 Fiexáo diagonal com pequena excentriiidade.
Estando a seção totalmente comprimida, a resultante das tensões de compressão
vale
onde a, é função exclusiva de
O momento em relação ao centro de gravidade da armadura de compressão vale
MVSpd = Fid. e;, (4.3.6-3)
sendo igual a
onde (; também é função exclusiva de x.
Na Tabela 12, em função da posição dalinha neutra, dada por(, = xlh > 1 ,O, para
diferentes cobrimentos relativos
são apresentados os valores de 0,85 a,, que permitem a determinação de R,, e os
valores do momento fletor relativo
determinado pela expressão
ou seja, por meio da equação
Desse modo, dado o valor de w',,,, obtêm-se de forma unívoca os valores de c,,
5'1 e a,.
A solução do problema de flexo-compressão por meio do emprego de armadura
unilateral somente será possível enquanto for válida a equação (4.3.6-4) de equilíbrio
de momentos.
O máximo valor que pode ser tomado pelo segundo membro de(4.3.6-4) corresponde
a um diagrama uniforme de tensóes de compressão, obtendo-se assim
logo
Quando se tiver a situação
IL:.~ > Krd, [im
em princípio será obrigatório o emprego de armadura do lado menos comprimido, pois
somente assim poderá ser satisfeita a condição (4.3.6-4) de equilíbrio. Nesse caso,
será preferível o emprego da solução seguinte, de compressão centrada.
No caso presente, a armadura de compressão é obtida a partir da condição de
equilíbrio de forças.
Sendo
com
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
tem-se
logo
onde
I
Fzd = 035 ai A, fcdl + Asa, uQd
1
A,,, = -- (Fzd - 0,85 01 . Ac fcdJ (4.3.6-9)
d d
A expressão de equilíbrio de forças também pode ser escrita
--
Fad
Ac fcdz
- 0,85 a, + ASI~ 'dd
Ac fcdz
e fazendo
resulta
- &.a fld = KgZe fid
6JLQ -
A, fCd, 1
- hZ fC&
2
donde
Na Tabela 12, em função de 5: = xih e de 8: = d'ih, estão indicados os valores de
gd. Para os aços definidos pela EB-3, a Tabela 10 permite a determinação do
correspondente valor de uld, de acordo com os diagramas tensão-deformação admitidos
pela NB-I.
i
b. Compressão uniforme
Quando o momento pLZd ultrapassar o valor limite
~:,d,.~i~
= (i - 8;)
2
o equilíbrio somente poderá ser mantido com o emprego de duas armaduras, Fig.
4.3.6-2.
Para que acondição de compressão uniforme possa ser mantida, é necessário que \
as armaduras KS, e A,, sejam diferentes, a fim de que os momentos possam ser
Fig. 4.3.6-2 Compressáo uniforme
equilibrados.
Neste caso, sendo as deformações de todas as fibras da seção iguais, tem-se
Sendo u:, a tensão nas duas armaduras e 0,85 f,, a tensão no concreto ao longo de
toda a seção, têm-se
F,, = R, + R', + R, (4.3.6-14)
onde
RQ = A',
ujd
R, = Ama c&
Da condição de equilíbrio de forças, obtém-se
resultando
onde
A condição de equilíbrio de forças também pode ser escrita
resultando
ou ainda
Da condição de equilíbrio de momentos (4.3.6-15) em relação ao centro de
gravidade da armadura indicada por A:,, Fig. 4.3.6-2 tem-se
resultando
onde
A condição de equilíbrio de momentos também pode ser escrita
ou seja
donde
uzd '- = 0,425 (1 - 26') + w,, (1 - 2Srl) (4.3.6-19)
h
fvd
4.3.7 EXEMPLO E
ADVERTÊNCIA
A. Exemplo
Como exemplo de aplicação considere-se a seção indicadana Fig. 4.3.7-1, sendo
fed = = ??- = 1,42 MPa = 1,42 kN/cmZ
Yc 124
fUd = - 500 = 435 MPa = 433 kN/cm2 (Aço CA-SOA)
1,15
B. Seção Transformada (Fig. 4.3.7-2)
h, - 40 2
h=---=h,
60 3
e,, = e, = 3 cm
C. Flexúo Paralela ao lado (Fig. 4.3.7-3)
FyQ = FQ (I - tg a) = 2667 (1 - 0,75) = 667 kN
fCdY = fcd (1 - tg a) = 1,42 (1 - 0,75) = 0,36 kN/cm2
40
e',, = -- - d~ - evQ = -- 4 - 4 = 12 cm
2 2
De acordo com a Tabela 9, pam 6; = 0,10, resulta
não sendo possível o emprego de armadura unilateral.
Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se
1N =O,Ikgf I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm'
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgfim = 0,I tfim
1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 fim'
I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 dcm 1 kNimg = IW kgfim5 = 0.1 tflm3
I MPa = O,1 kNicm' = IW Nicrn"
FQ =
Fd = 2.667 kN
exQ = ex = 3 cm
eyO= Xey = 4 cm
tg a = ex, /e = 0,75
YQ
Fig. 4.3.7-1 Seção original.
Fig. 4.3.7-3 Flexão paralela ao lado.
Fig. 4.3.7-4 Flexão diagonal
Com vid = 42 kN/cm2 correspondente a = 2%0 obtêm-se 1
D. Flexão Diagonal (Fig. 4.3.7-4)
F,, = F,.tg a = 2667 x 0,75 = 2000 kN
f,,,
= fcd.tg a = 1,40 x 0,75 = 1,06 kN/cm2
e',,=?-d> h -e,,=--6-5,7=16,6cm
56,6
2 2
De acordo com a Tabela 12
interpolaçáo,
Parte), para 6' = 6 0,11, resulta, por
56,6
não sendo possível o emprego de armadura unilateral.
Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se
donde, sendo uQld = 42 kN/cm2 (Aço CA-50A), resultam
e
A',,,
1
= -(2 000 - 0,85 x 1 600 x 1,06) - 0,56 = 12,74 cm2
42
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgflcm'
1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,) Ulm
I kN.m = IW kgfm = 0.1 tfm
I kN/m2= IW kgflm' = 0.1 tf/m2
I kN.cm = 10 kgtcm = 0.1 tfcm 1 kNlms = 100 kgf/ma = 0.1 U/m3
I MPa = 0,I kN/cmP = IW N/cms
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
E. Solução Final (Fig. 4.3.7-5)
Admitindo-se o arranjo mostrado na Fig. 4.3.7-5, de acordo com os resultados
anteriores, a armadura da seçáo transformada é composta por
resultando para a seçáo verdadeira, Fig. 4.3.7-5,
1 3
A, = - A,, = - x 0,69 = 1,04 cm2
h 2
= O,! I cmz = 0,45 %
A =%I9 cm2 =89,04 % A
3
A to1
A = 1,58 cm' ' 6,3 4 %
4 A to1
Alo+=
2492cm'
Fig. 4.3.7-5 Arranjo da amadura.
F. Advertência
O emprego de seções transversais com armaduras muito assimétricas pode conduzir
a superfícies de interaçáo h, pyd, ud) do tipo indicado na Fig. 4.3.7-6.
Fig. 4.3.7-6 Caso particular da superfície de interaçáo.
Note-se que, para forças normais relativas v, muito altas, o diagramade interação
(pzd, pua) é uma curva fechada que não envolve a origem do sistema, Fig. 4.3.7-7.
Essa circunstância decorre da grande assimetria das armaduras e do fato de ter
sido admitidaa hipótese de compressão uniforme. Com isso, o eixo mecânico da peça
é excêntrico em relação ao seu eixo geométrico, e a seção transversal não tem
AÇO CA- SOA
3, = 1,20
A3
A4
=80%. A,,,
= 10%. A,,,
Fig. 4.3.7-7 Advenència
146 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
condições de resistir a força longitudinal Fd dada, quando esta se aplica na posição do
eixo geométrico.
Em situações dessa natureza é necessário cautela para que se considerem adequadamente
as excentricidades acidentais de projeto, levando-se em conta as reais
posições mais desfavoráveis da força longitudinal.
4.3.8 OUTRAS FORMAS DE Em principio, o método da transformação das seções pode ser aplicado a seçóes com
SEÇAO TRANSVERSAL outras formas que não a retangular.
Para que a aplicação seja possível, é preciso que a seção transformada seja
simétrica em relação à diagonal do quadrado circunscrito, além de o ser também em
I
relação aos eixos paralelos aos lados do mesmo. Fig. 4.3.8-1.
(a, =b,)
(a, =b,)
Fig. 4.3.8-1 Transformasão de outras seçóes transversais.
Observe-se que nos casos de seçóes cruciformes e de seções retangulares vazadas,
mostradas na Fig. 4.32-1, as dimensões a, e b, devem estar na mesma proporção
que os lados h,, e h,,. Desse modo, ao transformar-se a seção por uma afinidade
paralela ao lado maior, obtém-se uma figura simétrica em relação a diagonal do
quadrado circunscrito.
Para o cálculo destas seçóes transversais emprega-se o diagrama retangular de
tensões, com tensão máxima igual a 0,80 f,,, atuando na profundidade 0,s x.
4.3.9 EXEMPLO
a. Dados
Considere-se o dimensionamento da seção retangul; xr vazada mostrada na Fig
FLEXAO OBLÍQUA 147
4.3.9-1, sendo
Fd = yf Fk = 3300 kN
15
fcd = & = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
YC 1,4
- 030 fcd = 0,80 X 1,07 0,86
kN/cmZ
500
fyd = - = 435 MPa = 433 kN/cmZ
1,15
b. Seçáo transformada
têm-se
Sendo
h,, - 80 - 2
A=-----
h,, 120 3
2
F, = AFd = - X 3 300 = 2 200 kN
3
e,, = e, = 30 cm
2
e,, = Ae, = - X 75 = 50 cm
3
'(Aço CA-SOA)
C. Flexão paralela ao lado
F,, = (1 - tg a) FQ = (1 - 0,6) x 2200 = 880 kN
e,, = 50 cm
eSv. = e.. + (d. - %) = 50 + (72 - 40) = 82 cm
M,,, = F,,.e,,, = 880 x 82 = 72160 kN.cm
0,80 f,,, = 030 (1 - tg a) fcd = 0,80 x 0,4 x 1,07 =0,34 kN/cm2
De acordo com a Fig. 4.3.9-2, têm-se
Aço CA-50A
&.,I
= 2,07%0 (uud = fud = 433 kN/cmZ)
IN =0,1kgf I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmZ
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgi/rn = 0,1 tfirn
I kNm = 100 kgfm = 0.1 1f.m I kN/mZ= 1Wkgf!m2 = 0.1 tf/m2
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3 = 100 kgfimb 0.1 fim'
14s
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Fig. 4.3.9-1 Exemplo.
;,,=(I-
tg a)FQ
Fig. 4.3.9-2 Flexão paralela ao lado.
A resultante das tensões no concreto comprimido vale
R, = R,, + ReZ = (2 x 16 x 36,2+ 48 x 16)cmZ x 0,34 kN/cmZ = 393,9+ 261,1=
655,O kN
logo, a seçáo com armadura simples pode resistir até o momento
havendo portanto necessidade de armadura dupla.
Sendo
ASUQ
1 ( Mld, c + "M*- - .-)
= - -
f f ~ d
d, - d',
onde
resultam
= fld = 43,5 kN/cm2
d-d'=72-8=64cm
IN =O,ikgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgficm2
I kN = IW kgf = 0.1 ti I kNlm = 1W kgfim = 0.1 tflm
I kN.m = IM) kgtm = O,l tf.m 1 kN/m2= IW kgfim2 = 0.1 tflm'
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNima = IW kgfima = 0.1 tfim'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlClTAÇÓES NORMAIS
Voltando a seção retangular original, obtêm-se
A,,=-AsuQ=-
1 3
h 2
x 7,l = 10,7cmZ
A',,
1 3
= - A',,, = - x 12,3 = 18,s cmZ
h 2
d. Flexão diagonal
F,, = tg a.FQ = 0,6 x 2200 = 1320 kN
e,, = g e,, = fl x 50 = 70,7 cm
r,,, = e, + (d, -
2)
h
= 70,7 + (101,~
2,
M,,, = F,,.e,,,
= 1320 x 116 = 153120 kN.cm
0,80 fcd, = 030 tg a.fcd = 0,80 X 0,6 X 1,07 = 0,51 kN/cm2
De acordo com a Fig. 4.3.9-3. tem-se
I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrn2 = 10kgficm*
IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 fflm
1 kNm = 1W kgtm = 0.1 ttm I k~im2 = IW kgfim* = O,I tfimn
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 ttcm I k~/m= IW kgflrn3 = 0.1
A resultante das tensões no concreto comprimido vale
102,4 X 51,2
R.=( - 57,2 2836) cm2 x 0,51 k ~/crn~ =
2
= 1337 - 417 = 920 kN
O momento limite resistido pela seção com armadura simples é
+ L
51
3
2
)
28 6
- 417 (50,6 + L)= 3
No caso, sendo c,, = <r& = f,, = 43,s kN/cm2, as armaduras são dadas pelas
expressões
valendo, respectivamente,
Voltando a seção retangular original, resultam
A',, =
1
AQZQ
3
= - x 22,3 = 33,s cm2
A 2
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmZ = 10 kdlcm'
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = O,! tflm
I kN.m = IW kgfm = 0.1 1f.m I kN/mP = 1W kgflm' = 0.1 tf/mZ
I kNcm = 1W kgf.cm = 0.1 1f.cm I kN/m8= 100 kgflmg = 0.1 lf/rn3
I MPa = 0.1 kNlcm* = IW N/cm2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
A título de controle dos valores calculados, determina-se a seguir a resultante das
forças internas na seção retangular original:
ZR, = [(As, + &d - (A,, + Asz)l fu, =
= [(18,5 + 33,s) - (10,7 + 19,7)] X 43,5 = 940 kN
1 3
ZR,= - (R,, + R,,) = - (655 + 920) = 2363 kN
A 2
Desse modo, resulta
4.4 EXERCICIOS 4.1 Como são usualmente apresentados os diagramas de interação para o.cálculo da flexão
oblíqua composta?
4.2 Qual a diferença que existe na representação correspondente às seções com simetria
simples e com simetria dupla?
4.3 O que se entende por superfície de interação naflexão oblíqua composta? Qual aprincipal
propriedade dessas superfícies?
4.4 Como se faz o cálculo por tentativas? Justificar.
4.5 O que são excentricidades acidentais? Quanto valem?
4.6 O que se entende por linearizaçáo dos diagramas de interação? Justificar o seu emprego.
4.7 Como são determinados os esforços para a transformação da flexão oblíqua em duas
flexóes normais?
4.8 Que simplificação de cálculo das seções retangulares acarreta o emprego de armaduras
iguais nas quatro faces? Justificar.
4.9 Quais os fundamentos do método de transformação afim das seções transversais?
4.10 Qual a vantagem em transformar a seção retangular numa seção quadrada, conforme o
método da transformaçáo afim das seçóes?
IN =O,Ikgf I MPa = I MNlma = 10 kdlcm*
l kN = 100 kgf = 0.1 lf i kN/m = 1W kgfim =O,] tf/m
1 kN.m = 100 kgtm = 0,l 1f.m 1 kNlm' = IW kgflm' = 0.1 lf/m2
1 kN.cm= 1M)kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kNima= lWl<gfIm*=O,l tflms
I MPa = 0.1 kNIcmk I00 N/cmz
PARTE 2
ESTADO LIMITE ÚLTIMO
DE INSTABILIDADE
5
Instabilidade
5.1. FUNDAMENTOS
5.1.1 INSTABILIDADE NA Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimental-
COMPRESSAO AXIAL. mente que sob aaçáo de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite,
FLAMBAGEM a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse
estado limite é dita carga crítica Feri,, ou carga de flambagem. No regime elástico,*
para cargas F > F,,,, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida,
Fig. 5.1.1-1.
Nesse caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um
comportamento simétrico estável. O comportamento é simétrico porque não importa
para que lado ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configuração
secundária de equilíbrio é estável.
'FORMA
RETA INST~VEI
'PONTO DE, BIFURCASÁO
DO EQUILIBRIO
Fig. 5.1.1-1 in\iiibilidadr na cornprçbsio aniai.
O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser
caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que
relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento transversal a da barra.
IDefine~se o regime el6rliro como sendo aquele em que existe o <umporramrnto elasrico lineor dos mater
INSTABILIDADE 155
Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto são possíveis duas diferentes
configuraçóes estáveis de equilíbrio. Fig. 5.1.1-1.
Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, o estado limite de
flambagem é um estado limite último. De fato, conforme se mostra na Fig. 5.1.1-1,
para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima já é igual a uma fração
apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe entáo por flexao composta.
Em certos materiais, principalmente nas chamadas mutériasplásricas, como, por
exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores
a carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um
estado limite último.
Em princípio, a determinação das flechas da barra para cargas superiores à carga
crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha
elástica, ou seja,
1
onde - é a curvatura da barra, E1 o produto de inércia correspondente ao plano de
r
flexão e
o momento fletor.
Se, em lugar da equação exata (5.1.1-I), for empregada a equaçáo aproximada
ainda assim podem ser determinados os valores da carga critica, embora fiquem
indeterminadas as flechas da configuraçáo fletida, Fig. 5.1.1-2.
Fig. 5.1.1-2 Emprego da equafáo aproximada da curvatura
Desse modo, para a simples determinação da carga critica, basta empregar a
equação aproximada (5.1.1-2), obtendo-se, de acordo com a Fig. 5.1.1-3:
y = C, sen k x + C, cos k x
com
y = O para x = O, logo C, = O
e
I
X
dy - O para x = e, logo
dx
C, k k e = o
Fig. 5.1.1-3 Integraçáo da equação
aproximada da curvatura. resultando para a configuração fletida, com C, # O, o valor cos k = 0, logo
Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de
Euler
onde o comprimento de flambagem e,* é dado pela Fig. 5.1.1-4 para os casos mais
usuais.
Fig. 5.1.1-4 Comprimentos de flambagem
As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência
de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto
a tensão critica de compressão uc,, for inferior ao limite de proporcionalidade f, do
material, ou seja, enquanto for
*Esta é a atual not~ão
adotada pelo CEB. A NB-i reteve a notagáo anterior e,
onde
i =
INSTABILIDADE 1
15' I
= raio de giraçiio
te
A = - = índice de esbeltez
1
Quando ucfir = f, tem-se
A = A,,,
= gE
Conforme se mostra na Fig. 5.1.1-5, afórmula de Euler é válida para h 3 h,,,, pois
nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico.
Quando h < h,,,, a barra é menos esbelta, e ucnl > fo. hova-se que nesse caso a
expressão (5.1.1-4) ainda pode ser empregada desde que se substitua o módulo de
elasticidade E pelo módulo tangente
i- GCdl
~ 6 0 TANGENTE ~ ~ 0
f fc c .
TANGENTE
)i :-
I
Fig. 5.1.1-5 Curva de flambagem
Xl,m
O que se quer salientar é que o fenômeno de instabilidade das barras retas
comprimidas axialmente pode ocorrer tanto com tensões menores quanto com tensões
maiores do que o limite de proporcionalidade, sem que se altere a natureza do
fenômeno, que é o da mudança da forma de equilíbrio.
Todavia, quando não mais existe a elasticidade linear do material, é possível
provar-se que a mudança da forma de equilíbrio pode corresponder a um comportamento
simétrico instável,l3 Fig. 5.1.1-6.
P
o= flecha de referênclo
1
Fig. 5.1.1- 6 Flambage m além do limite F, dé proporcionalidade.
I
~
donde
158 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Neste caso, para F > F,,, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletidaé
impossível.
Quando se pretende aplicar uma carga F > F,,,,, por menor que seja o acréscimo
em relação a F,,,, será efetivamente atingido um estado limite último, pois a barra
passará à forma curva de equilíbrio impossível.
5.1.2 ESTABILIDADE DA A fim de ser ilustrada a possibilidade de a existência de uma configuração de equilí-
CONFIGURAÇAO brio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas
FLETIDA DE EQUIL~BRIO axialmente, admita-se que após a flambagem exista uma linha elástica senoidal, Fig.
5.1.2-1.
Ix
/F
Com a hipótese adotada, têm-se:
a. linha elástica
71
y =asen -x (5.1.2-1)
e
b. curvatura aproximada
P
y =a.sen C x 1 = d2y = rr
t a ($1 sen-x (5.1.2-2)
r dx2 A
logo
1 E d2y = -
r dx2 (5)1 (5.1.2-3)
Observe-se que o emprego da equação aproximada da curvatura permite estabelecer,
para cada seção, a relação
Y 1
y = k -
r
(5.1.2-4)
I
Fig. 5.1.2-1 Linha elástica senoidal.
C. curvatura exata
3 -a (+I2 sen 71 x
- 1 dx2 - - (5.1.2-5)
r [1+(:)1"' [1+az(+)'cos2-x e
i
Considere-se agora o carregamento progressivo da barra, após a ocorrência do
fenômeno de flambagem.
A um aumento da força F corresponde um aumento das deformações da barra,
aumentando conseqüentemente os momentos fletores atuantes, dados por
,----+.
INSTABILIDADE
cujo valor máximo vale
Os momentos fletores atuantes F.y são consideradosmomentos externos, porque
são determinados pelas ações externas F e pelos correspondentes braços de alavanca,
que no caso presente são definidos pelos deslocamentos y da barra.
A cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de
momentos fletores da barra. Em cada seção atua o momento
Neste caso o valor máximo age na seção a meio comprimento, sendo dado, com a
hipótese de elasticidade linspela expressão
.
-
-,---".
I
Estes momentos - . E1 são considerados momento., internos, porque são de-
!'
1
terminados pela rigidez E1 da barra e pela curvatura - da seção considerada.
r
Em princípio, o equilíbrio da barra será estável se a um aumento do momento
externo corresponder um aumento do momento interno, de tal forma que fique
satisfeita a condição de equilíbrio
~ --\- ~
I
L-.__d
Nas figuras seguintes está ilustrada a possibilidade de existência da configuraçáo
fletida estável.
Para que o equilíbrio possa realmente ocorrer, as funções M,,, e Me,, devem
necessariamente se cruzar, sem que com isso sobrevenha a ruptura do material.
a. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO SIMPLI-
FICADA
A necessidade de cruzamentodas funções M,,,e M,,,mostraaimpossibilidadede
se justificar a estabilidade da forma fletida de equilíbrio quando se usa a equação
diferencial sim~lificada da linha elástica, Fir. - 5.1.2-2.
Pela equação (5.1.2-3), tem-se
/-,
'\
r
M,,, = F.y
da condição de equilíbrio
Me,, = M,,,
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlCITAÇOES NORMAIS
obtendo-se assim o valor da carga crítica
embora fiquem indeterminadas as flechas para cargas maiores que a carga de flambagem,
conforme se mostra na Fig. 5.1.2-2.
b. COMPRESSÃO CENTRADA -REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO EXATA
Quando se usa a expressão exata da curvatura, têm-se as expressões:
a) COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTI C0 -
E quaçáo simplificada
Fig. 5.1.2-2 Estabilidade das formas de equilibrio
/
RUPTURA DO MATERIAL
Fig. 5.1.2-3 Estabilidade das formas de equilíbrio
INSTABILIDADE 161
C) COMPRESSÃO CENTRADA - ( GCrl+>fo) - EOUAÇÃO COMPLETA
L;;-
I ( rm,z f.
EsTivIL Mext = t,tint
FUNTK~O-L;NÉAR
PARA
f o= limite de proporcimali
A"*
Fig. 5.1.2-4 Estabilidade das formas de equilibrio.
I
'.-"-.!
i
1
onde y pode, em princípio, ser calculado a partir da curvatura - dada pela expresr
são (5.1.2-6).
Conforme se mostra na Fig. 5.1.2-3, enquanto subsiste o regime elástico as
funções Me,, e Min, cruzam-se obrigatoriamente num ponto, o qual corresponde a
configufação estável de equilíbrio. A estabilidade do equilíbrio é garantida pelo
andamento retilíneo da função Mi,,, a qual sempre interceptará a curva de M,,, para
<
valores de F > FCtit
Note-se porém que o equilíbrio somente poderá existir de fato se não ocorrer a
ruptura física do material.
c. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ANELÁSTICO I
I
No regime anelástico a função M., deixa de ter um andamento retilíneo, Fig.
i
5.1.2-4.
Desse modo, se a curva de M,,, tiver um andamento convergente com a curva de
Me,, correspondente a um certo valor F > F,,,, então será possível o equilíbrio estável
da configuração fletida de equilíbrio, desde que antes não ocorra a niptura material.
Neste caso a mudança de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico
estável.
Pelo contrário, se as curvas de M,,, e Me,, tiverem um andamento divergente, elas
não se cruzarão, não existindo equilíbrio estável para F > F,,,. Neste caso, tem-se um
comportamento simétrico instável.
5.1.3 FLEXAO COMPOSTA Considerando-se a flexo-compressão de barras esbeltas em regime elástico, Fig
DE BARRAS ESBELTAS NO 5.1.3-1, as suas flechas podem ser determinadas pela equação diferencial
REGIME ELÁSTICO ." . .
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
e,: O
FC,,I, EULER
1.0
Fig. 5.1.3-1 Flexáo composta de barras esbeltas no regime elástico.
onde
que pode ser escrita
sendo
A equação diferencial (5.1.3-3), por ter segundo membro, permite o cálculo das
flechas mesmo com o emprego da expressão aproximada da curvatura. No entanto,
conforme mostra a Fig. 5. 1.3-1, a equação simplificada da curvatura leva à falsa idéia
de que a carga crítica de Euler, correspondente a compressão axial, tenha algum
significado físico na flexáo composta.
- F F,,,
O resultado obtido com a curvatura aproximada -! = dZy
r dx2'
lim
a = m
não tem significado físico real, como se comprova pelo emprego da expressão
curvatura3gJ J,3=l,
/ C!nclui-se, desse modá que enquanto o m>al permanecerno reg^ elástica
I
nao existe problema de instabilidade na flexáo composta. Chegaremos novamente a
essa mesma conclusão no item seguinte ao analisar a estabilidade da configuração /
fletida das barras submetidas a flexão composta. /
--
INSTABILIDADE 163
5.1.4 INSTABILIDADE NA Considere-se agora o problema da estabilidade da configuração deformada das barras
FLEXÃO COMPOSTA submetidas ã flexo-compressão.
Para isso, admita-se inicialmente que a barra tenha uma linha elástica senoidal,
Fig. 5.1.4-1.
Fig. 5.1.4-1 Barra de eixo senoidal,
A hipótese de que a linha elástica seja senoidal é admitida, de inicio, como mera
simplifícação.
Esta simplificação, mais o emprego da expressão aproximada da curvatura levam
a uma expressão linear do momento externo Me,, em função da curvatura llr.
Com a hipótese adotada, têm-se:
,
,-
y = a sen-
x
i
b. curvatura aproximada
Para a justificação do aparecimento do fenômeno de instabilidade na flexão
composta, pode-se admitir a expressão aproximada da curvatura. Na continuação
deste item esta restrição será eliminada, juntamente com a hipótese de ser senoidal a
linha elástica.
Admitindo-se então a expressão aproximada
resulta
ou seja, em valor absoluto,
Enquanto perdurar a validade da equação diferencial aproximada (as rotações
dy/dx deverão ser desprezíveis em face da unidade), o momento externo Me,, será
uma função linear da curvatura da seção.
De fato, sendo e, a excentricidade inicial de I.a ordem, tem-se
(3 :
1
= F (e, + y) = F.e, + F - -
obtém-se para Me,, a função acima, que é linear da curvatura- , conforme se mostra
na Fig. 5.1.4-2.
r
RUPTURA DO MATERIAL
r EouaCÃo aPROxiMAOA oa
CURVATURA 1
~ a u ~ ~ í s ESTÁVEL ~ i o
ELASTICA
NAO-SENOIOAL
FLEXO- WMPRESSÁO NO REGINIE ELÁSTQ
NXO HÁ PROBLEMA DE ESTABILIDAPT
RUPTURA DO M4TERIAL
EQUIL~BRIO INST~VEL
EO~~L~BRIO ESTÁVEL
FLE xo -CDMPRESS;O
com rmox.7fe
INSTABILIWDE NA FLEXO- WMPRES~Q
Fig. 5.1.4-2 Instabilidade na flexo-compressão,
Para ser verificada a estabilidade das formas de equilíbrio, considere-se a possibilidade
de ser mantido o equilíbrio, dado pela condição
quando é dado um acréscimo a M,,.
Enquanto a barra permanecer no regime elástico, sempre haverá uma configuração
de equilíbrio estável, pois M,,, também será uma função linear das curvaturas.
Nesse caso, uma situação de mína somente poderá ser alcançada por ruptura do
material, Fig. 5.1.4-2. Pelo coneário, se for ultrapassado o regime de proporcionali-I \
dade, o diagrama de M,,, passará a ser curvo, surgindo então um novo fenômeno de \
instabilidade.
Na Fig. 5.1.4-2, esse fenômeno de instabilidade na flexão composta é caracterizado
pela existência de uma carga F,,, para a qual a reta Me,, é tangente a curva M,,,.
Para F < F,,,épossível o equilíbrio estável, e para F > F,,,, o equilíbrio é impossível.
~ -
Observe-se agora que o emprego da expressão exata dacurvatura ou a consideração
de uma lei não-senoidal para a linha elástica não altera os resultados anteriores.
De fato, abandonando-se as hipóteses simplificadoras a expressáp Me, deixa de ser
1
linear em funcão de - . Esse fato não altera a circunstância de sempre existir o
r 1
equilíbrio estável enquanto M,,, for uma função linear de -.
Somente a não-linearidade da função M,, permitirá o aparecimento do ponto de
tangência entre as funções Me, e M,,,, seja Me,, uma funçáo linear ou não, como se
pode observar na Fig. 5.1.4-2.
Na Fig. 5.1.4-3 estão reunidas todas as conclusóes tiradas sobre os diferentes
fenômenos que podem ocorrer com as barras comprimidas.
a COMPRESSÁO CENTRADA - REGIME EL/~STICO - EOUAJO SIMPLIFICADA
@ COMPRESS~O CENTRADA - REGIME ELASTICO - EOUAGLO COMPLETA
FLEXO- COMPRESSÁO - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇ~O SIMPLIFICADA
FLEXO-~MPRESS~D - REGIME ELASTICO - EQUACÁO COMPLETA
COMPRESSAO CENTRAOA - REGIME ANELÁSTICO
@ FLEXO-COMPRESSÁO - REGIME ANELÁSTICO
Fig. 5.1.4.3 Estabilidade das formas de equillbno
Observe-se, Fig. 5.1.4-3, que no caso de flexo-compressão o equilíbrio é impossível
para F > F,. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de
equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de c
se atingir o ponto B, isto é, para F < F,,,, a um aumento de F corresponde um
aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não somente é
impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será
possível com um sistema de deformaçáo controlada, pois o aumento das flechas
corresponde a uma diminuição das cargas.
Conforme se mostra na Fig. 5.1.4-2, o fenômeno de instabilidade na flexáo
composta é caracterizado pelo fato de que, para uma dada excentricidade inicial de l.a
ordem e,, existe um valor máximo daforçaaxial além doqual o equilíbrio é impossível.
Conseqüentemente, para uma dada força axial F = F, = constante, existe uma
excentricidade máxima de l.a ordem, além da qual o equilíbrio é impossível. Essa é a
excentricidade e,, .dt indicada na Fig. 5.1.4-4: com F = F,, para e, > e,, ., não há
equilíbrio, e para e, < e,, , o equilíbrio é estável.
-1ext
Equllibrlo
eat8ve1
I
y = k r
Fig. 5.1.4-4 Valor crítico da excentricidade de I.a ordem.
Na Fig. 5.1.4-5 está ilustrado o aparecimento do fenômeno de instabilidade em
função do momento fletor de I .a ordem M, = F e,.
M, 'MOMENTO FLETOR DE
I Ig ORDEM
M, =MOMENTO
I
FLETOR DE
I! ORDEM
RU~NA POR INSTABILIDADE
/
'
+
RU~NA POR
RUPTURA
DESLOCAMENTOS
ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE
RUPTURA
ESTADO
LIMITE ULTIMO DE
INSTABILIDADE.
Rig. 5.1.45 Estados Ilmltes últlmos na flexo-compressão
INSTABILIDADE 167
A presença do ponto de máximo relativo no diagrama da Fig. 5.1.4-5 indica que o
equilíbrio é impossível para o momento de l .a ordem M, > M,, ., e que o aumento das
flechas além do valor correspondente a M,, , somente seria possível em condições de
deformações controladas, para as quais haveria redução automática do valor de M,.
Para uma dada força normal F = F,, a segurança contra o estado limite último de
instabilidade na flexão composta é garantida impondo-se a condição de que, na
situação de cálculo,
a
M,, d Mi, .,t
De forma prática, conforme serávisto adiante, isso é feito levando-se em conta os
momentos de 2.a ordem no dimensionamento das seções transversais das peças
submetidas a flexo-compressão.
5.2 DEFORMAÇ ÕES Nota: A presente seção apresentaapenas os conceitos essenciais referentes ao cálculo
NA das deformações das peças fletidas que são necessários ao entendimento dos métodos
FLEXO-COMPRESSÁO
de cálculo da carga crítica relativa a instabilidade na flexão composta.
O estudo geral da deformabilidade das peças de concreto estmtural será feito
posteriormente, ao se estudar a segurança contra os estados limites de utilização.
5.2.1 DIAGRAMA Considere-se a deformação de uma barra submetidaàflexão simples. Da Fig. 5.2.1-1,
MOMENTO FLETOR- com as convenções de sinais nela indicadas, têm-se:
Por outro lado, considerando o alongamento da fibra TD, tem-se:
resultando então
logo
Aplicando a expressão acima as fibras extremas, têm-se:
pois c, < O e y, < 0, bem como E, > O e y, > O. Desse modo, resulta
a
No caso de uma viga de concreto armado, com deformações extremas E, no
concreto comprimido e E, na armadura de tração, resulta
(5.2.1-3)
onde
e E, sáo considerados em valor absoluto.
7
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES ~ORMAIS
6 O ALONGAMENTO
FLEXÁO SIMPLES
Fig. 5.2.1-1 Curvatura na flexão simples
Admitindo a linearidade física do material, têm-se
I
que é a equação diferencial da linha elástica das barras fletidas.
Dentro do regime de elasticidade linear o cálculo das flechas pode ser feito, seja
por integração direta da linha elástica, seja pela aplicação da analogia de Mohr.
5.2.2 CÁLCULO DE A Fig. 5.2.2-1 mostra o diagrama tensáo-deformação de um material que apresenta
FLECHAS COM escoamento bem definido e o diagrama momento fletor-curvatura correspondente a
NÁO-LINEARIDADE um dada seçáo transversal retangular. Para tensóes acima do limite de proporcionali-
FíSICA dade, o diagrama é determinado por pontos, impondo-se o diagrama de
deformações na seçáo transversal e calculando-se o correspondente valor do momento
fletor.
O momento fletor Mo correspondente ao inicio do escoamento vale
e a respectiva curvatura é dada por
I
O momento fletor último vale
ou seja
sendo
I
1 O
RUPTURA
E
I
I
I
I
I
I I I
I
I L: 2- I
r. r" r.
-
I
r
Fig. 5.2.2-1 Diagrama momento-curvatura.
L/
Para o cálculo das flechas de uma dada viga, Fig. 5.2.2-2, a partir do diagrama
r de momentos M, conhecendo-se o diagrama correspondente a seção consi-
I
.. p
derada, determina-se o diagrama de curvaturas
r
obtém-se a flecha por meio da analogia de Mohr.
/'
/"
Fig. 5.2.2-2 Determinação do eixo deformado no regime anelástico.
5.2.3 DIAGRAMA Conforme se mostrana Fig. 5.2.3-1, naflexo-compressãoacurvaturadabarranãovai
MOMENTO FLETOR - depender da deformação total E de suas fibras, mas tão somente da diferença E - 80
FORCA NORMAL - entre a deformação total e a deformação da fibra situada no nível do centro de
,
CURVATURA
ou seja, tem-se
Fig. 5.2.3-1 Curvatura na flexo-campressáo.
Desse modo, resultam as seguintes condições de compatibilidade de deformações
em função da curvatura:
no concreto
i
I
i
1-8 - E
- - eu logo
r YC
na armadura
1 - &ai - E0
r
--- logo
Ysi
~~ -
INSTABILIDADE 171
e uma vez conhecidos os diagramas tensão-deformação, tanto do concreto quanto do
aço, ficam determinadas as tensões
Por outro lado, das condições de equilíbrio na flexo-compressão, têm-se:
N = 1 o, d A, + 2 o, A,,
Desse modo, os esforços solicitantes M e N podem ser escritos
~~~ ~~~ ~ ~~~ \
~~~.
\..
_-------A-
_ /
,'
_ /
__--/
As expressóes acima permitem a determinação de M e de N em função de -,
P.2 i -~
- , - ~-
tomando-se E~ C mo parâmetro a ser determinado por condições limitès; .~.
O parâmetró E, é determinado a partir das condições
.
_ __ T~.-~-~-
- Yc1
i Ec, mar. = 80, mos. + - sEcd. tim = (3,5%0 S EC,~ S 2%0)
L J
-~./~-.: r . .. -~ ~~~
-. -~
OU
Ysi 2 <
li", = '7 10%o
&si, mas. = &O, mo*. + - - E*&
,
r
~. . .
. -
1'
onde y,, e y,,, , são as ordenadas extremas referentes, respectivamente, ao concreto
mais com~rimido e a armadura mais tracionada.
Com as expressóes acima podem ser determinados os diagramas
para uma seção transversal conhecida, pelo processo iterativo seguinte:
h
(1)
4
Adota-se um valor de,
i
(2) Adota-se um valor de E,,
i
1
(3) Calculam-se M e N (para o valor T- escolhido)
1
(4) Adota-se um novo c,>(até se chegar a e ,)
1
(E,, < E,>. ma.
(e,, =
e,,, ,,..I
r - - - - - - - - - - - - - - - - -
(5) I Adota-se um novo valor de f
- - - - - - - - - - - -
CEB Boletim 103 (vide a notacão no )
FIG 5.2.3-3
TAáLE 2:::-1 I;Ci:'.::T-:3tiil':i.,:i:SsE FGR 4 = O and 4 r 2, RECTANGULAR
SECTION,COXNER REINFORCEMENT c6 = 0.2 % d'/h = 0.1
)
O ...........
. . . e . e . . . .
. .....
-
,"&%C.N
.-- --r" ..
. ..... ..... .....
N
S . . . . . . a .
C-O*Cri
a. ..... ..... ..... e . . . . .
..... ..... e
..... . . . a .
- N - .
. . , .
"moo* "-.-4.- .-.-_IA,". .,l"-Ci -C?-.-. **".-r '.C.,ri"
C -~rieo --orne. R--*- *-.,=C -c<-* .L-,%-- a-:o<w.
?v -.--,N .--w.. --h?, N?.,
.....
.
O.,*IDn ir*<.,,-, .,r*<- o . c . . .>?.r.'- ir.-.,?.
.-*-OU0 m-Oov,o .,=r,un <-*Nu r.non- n a o r o unr.Ln m*,v,u..
- -7- m -
.
.
OCOan .,e.--o na&"- h.Od".* D.".>NC LI0C.T. c-.- . hCF.CII
N"-L<O -..-N"c3 -"C.-- Ern'L.*" o".-F." -C->)- NE--rC *-"--O
- --N -.--,v .-L-- CNNCI --h-- C-5v.m ..-.,,-.
. ..... ..... .....
. . . S . a , . . . e . . . . .
*"-"L.,
,.?.-,O *e..,-o e . -,.o., .-N?"- c*..-.-- "C,. . 4-.".n
- .--N --NN .-ZN,? C--.-._ -L-,.,- ---.C. C-...".
.--A, ---A, -.--,., -A,-." . ..
. . e . .....
e . . . .....
.,.,C"* UI\.CNN -C+.,- *"VNY 0m.r)r.U .-..C.*"
. . S . .....
","".-.,,
"
C
I . OL"Y."
..... a . * e . . -r-n.0 CIIUl.P C..-.--
a , . . .
/ "C-%" ,.O.,*- V"V.491 ,.-.--C ..-">r,.. ".*.-"r. " *,..--o
- -.-'h.. .--nr.- Cnl." C-."., L..*.* C...""
..... *-..r.- ..... . . . . a <.,r-- *---a ..... , . . . CLCOW
OOC..N
-I r-
NO"
-".-a-
.-Ye.A,_
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P.e.0-
nO*RO
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Dim-3e.N
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C*,,.,..
- - c-.-,"
r -,..,"a O"*.,. 4004. -"-NO
. CQmO- ,.-.,,,r "Oro- ---.,o
--*N" --.v.."
:
O -0a~a4 a o---n NO-*-
ncn-o mr-mo man-o
-
0'.
: ...............
.--.wm -*nn
.
. . e . .
. e . .i.*.
r( n e
Fig. 5.2.3-2 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura
INSTABILIDADE 173
Fig. 5.2.3-3 Diagrama momento fletor-for$= normal-curvatura.
Fig. 5.2.3-4 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura
Fig. 5.2.3-5 Diagrama momento fletor-força normal-curva!
INSTABILIDADE 175
IA1
Na Fig. 5.2.3-2 estão reproduzidos os dados correspondentes aos diagramas
.\
(M - N - - de seções retangulares com armaduras iguais concentradas nos qual)
r
tro cantos da secão.
Algumas das funções tabeladas na figura anterior sáo apresentadas na Fig.
5.2.3-3.
Observe-se que, de início, para valores baixos da força normal, para uma dada
curvatura, a um acréscimo de N corresponde um aumento de M. Todavia, para
valores de v > 0,5, esta tendência se inverte. A um aumento da força normal
corresponde um abaixamento do diagrama
última que pode ser atingida pela seçáo transversal.
As Figs. 5.2.3-4 e 5.2.3-5 mostram os diagramas
, diminuindo também a rotação
correspondentes
a seções retangulares com armadura simétrica, nos casos, respectivamente, de aços
CA-50A e CA-SOB, para uma taxa mecânica o = 0,2.*
5.2.4 CARGAS DE LONGA Na presença de cargas de longa duração o concreto sofre aumento de deformações ao
DURAÇAO longo do tempo. Com isso, são aumentados os momentos fletores de 2.a ordem e,
conseqüentemente, fica diminuído o valor critico dos momentos de I.a ordem, Fig.
5.2.4-1.
e, = EXCENTRICIDADE DE I ORDEM.
er = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM. IOEFORMAFXO INSTANT~NEA i
e = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM (FLUÊNCIA)
\
e,+% *a+ et+ e*,,
CARGA OE LONGA
.
Fig. 5.2.41 Cargas de longa duração.
No caso da Fig. 5.2.4-1, a parcela F, da carga age em caráter permanente,
reduzindo a parcela F, da carga variável que posteriormente poderá ser aplicada. Para
a determinação da influência da deformaçáo lenta admite-se a teoria da deformaçáo
'Diagramas elaborados pelo Eng. Roberto Buchain nodesenvolvimentode sua Disserta~áode Mestrado na EPUSP. soba
0"e"tagào do Autor 'O
JBTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
lenta linear, onde
E,, = 'P E,
sendo <p o coeficiente de deformação lenta.
Para a determinação da carga critica pelo método geral, pode-se proceder da
- mesma maneira que no caso de deformações instantâneas, admitindo porém o diagrama
tensão-deformação do concreto, conforme se indica na Fig. 5.2.4-2. Esse
diagrama é obtido a partir do diagrama parábola-retângulo por meio de uma afininidade
paralela ao eixo das deformaçõesLNa_Fig. 5.2.3-2 já foi apresentada uma
tabela (M - N - .!) comespondente a p =
\
\
Fig. 5.1.4-1 Diagramas tensão-defurma$ão.
c ri r lp 3 SQ
a
Observe-se que, embora seja adotada a teoria linear da fluência, essa linearidade
é apenas referente a deformabilidade do material. Não existe a linearidade física do
sistema e, além disso, não é válido o princípio da superposição dos efeitos, pois não
existe a linearidade geométrica, a qual não pode existir quando são considerados
efeitos de 2.a ordem. Por esse motivo, sendo e, a excentricidade instantânea de 2.a
ordem, essa deformação ao longo do tempo não será obtida multiplicando-se o valor e2
por (1 + v), pois a fluência afeta apenas uma das parcelas das deformações que
definem a curvatura, sendo genericamente
Tendo em vista a simplificação do cálculo, o CEB* apresenta dois métodos
aproximados para a consideração da fluência. Num deles transforma-se o efeito da
fluência numa excentricidade suplementar equivalente. No outro admite-se a expres-
são acima, tomando-se porém em lugar de (1 + (P)E< O valor-(i + apV)&,; onde a é a
fração da força normal que produz fluência e
também produz fluência.**
é a fração do momento fletor que
5.3 CÁLCULO DA
CARGA CRÍTICA
PELO MÉTODO
GERAL
5 3.1 FUNDAMENTOS DO A determinação da carga crítica pelo método geral é feita através do cálculo de
METODO GERAL deformações da estrutura, considerando-se tanto a não-linearidade física do material
quanto a não-linearidade geométrica do sistema.
O método geral é aplicável a qualquer tipo de estrutura, podendo portanto ser
empregado para a determinação da carga crítica de barras de seção variável com
qualquer tipo de carregamento, Fig. 5.3.1-1.
Observe-se todavia que o trabalho material necessário a aplicação do método
geral é muito grande. Por esse motivo, no caso de pilares de seção variável, é
recomendavel o emprego do método doguilíbrio_pm o processo do deslocamento de
referência, conforme está m"oSfi"d~ no item 5.5.1.
Fig. 5.3.1-1 Casos de aplicação do método geral
I
-cro - c6digo Modelo.
**A aplicação sistemática desses métdor aproximados será feita na 3.a pane deste volume. ao se tratar do dimensionamento
de pilares não-contraventados e de estruturas de contraventarnento.
Em princípio deve ser determinado o diagrama carga-deslocamento, adotando-se
para isso um parâmetro a que represente o carregamento aplicado e escolhendo um
deslocamento y que sirva de referência para aaferição daestabilidade daconfiguração
de equilíbrio, Fig. 5.3.1-2. Este é o fundamento do processo de carregamento progressivo
adiante considerado.
Fig. 5.3.1-2 Processo de carregamento progressivo.
A presença de um ponto de máximo relativo nesse diagramacaracteriza ainstabilidade
do sistema, podendo assim ser determinada a carga crítica correspondente.
a determinaçáo da carga crítica pelo método geral, em alguns casos é conveniente
do carregamentoprogressivo proporcional, adiante descrito, Fig. 5.3.2-1.
exato e deve ser empregado em peças de grande esbeltez ou que
variável ao longo do seu comprimento. O processo é
.$
a. O carregamento da estrutura é aplicado por incrementos progressivos AF,, partindo
de zero e aumentando-se todas as açóes proporcionalmente ao mesmo
coeficiente a, tomando como carregamento de referência, por exemplo, as cargas
F de serviço. 4
b. Para cada etapa de carregamento aF, calcula-se o deslocamento y,,de uma seção
de referência. Para o cálculo da flecha y,, correspondente ao carregamento
a,.F = AF, + AF, + . . . .AF,, além dos efeitos de I.a ordem devidos a cargaa,.F
são considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes das deformaçóes devidas
ao carregamento a,-,.F da etapa anterior.
amento crítico é obtido através do valor a,,,.F para o qual tend
diagrama carga-deslocamento.
do método exato, basta ter-se a disposição meios para o cálculo
do deslocamento y de referência.
é suficiente o conhecimento da analogia
apenas da grandeza dos incrementos .i
de carga aplicados. Quanto menor o valor desses incrementos, maior será a precisão
conseguida.
Nas estruturas hiperestáticas, em cada etapa de carregamento deve sei resolvida
a estrutura, considerando-se simultaneamente a não-linearidade geométrica do sistema
e a náo-linearidade física do material.
INSTABILIDADE 179
I? ETAPA
Fl
F, .e,
no ETAPA
AF, +.. AFn
CARREGAMENTO
APLICADQ
~ig. 5.3.2.1 Processo das excentricidades progressivas
No processo de carregamento progressivo proporcional, as excentricidades das cargas
são mantidas constantes, com seus valores verdadeiros, variando-se apenas o
PROGRESSIVAS módulo das forças aplicadas.
Em princípio o carregamento critico também pode ser determinado mantendo as
cargas constantes, com seus valores de cálculo, variando-se progressivamente as
excentricidades de ordem, até serem atingidos os seus valores cnticos e,, ,
Esta outra formulação do método geral é aqui apresentada com a finalidade de se
ilustrar a determinação do carregamento critico quando se faz constante o valor da
força normal, variando-se apenas a excentricidade de ordem.
A Fig. 5.3.3-1 mostra um exemplo de aplicação.
Como no processo anterior, o cálculo é feito por etapas. Na primeira etapa
aplica-se a excentricidade e,, , = Ae, e calcula-se a flecha y,, de uma seção de
referência, desprezando os efeitos de 2.a ordem. Nas etapas seguintes, considera-se a
no ETAPA
CARREGAMENTO
APLICADO
DESLOCAMENTO
CALCULADO
LF
K--
F~"., Ee,,"
CARREGAMENTO
APLICADO
~ig.5.3.3-1 Etapas do processo do carregamento progressivo.
INSTABILIDADE 1%
deformação da estrutura provocada pela excentricidade da etapa anterior.
O valor crítico da excentricidade é obtido como o valor assintótico e,, , do
diagrama (e,, ., Y,).
É importante assinalar que, uma vez conhecido o diagrama (e,, y), também pode
ser construido o diagrama (M, y), Fig. 5.3.3-2, onde
pois
Mi = F.y
Rg. 5.3.3-2 Determinaçáo do valor cntlco do momento de 1 " ordem
Reciprocamente, se puder ser traçado o diagrama (M, y), pela subtração do
momento de 2.a ordem M, = F.y, pode ser obtido ovalor crítico M,, ,. Esse caminho
.,.., será seguido no processo do pilar padrão, examinado a seguir.
Fig. 5.3.4-1 Pilar pidráo.
Conforme foi visto anteriormente, a aplicação do método geral de cálculo com o
i
processo exato de carregamento progressivo proporcional exige, em cada etapa de
carregamento, o cálculo das deformações da barra por meio da integração do diagrama
de curvaturas. O trabalho material resultante é em geral excessivo para o cálculo
manual.
Tendo em vista uma simplificação do método geral, criou-se o conceito depilar
padrão, aplicável a barras de seção transversal constante, inclusive a armadura, ao
longo de todo o seu comprimento.
,*r a_~e&ítZ":
p . 2
P
,- '-"
2
Pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que
provoque na sua extremidade livre, Fig. 5.3.4-1, uma flecha a dada por
ez e: I.
. -a = 0.4 (T) = - (-) (5.3.4-1)
a .% ---~.~~ ,
base 10 r .se
Obseri ~ação:
h,,. -:I
ivu piar padrão admite-se que a flecha máximaa seja uma função linear da curvatura
da seç ão da base.
182 ESTRUTURAS DE CONÇRFTO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
b. Fundamento do conceito:
Frequentemente a linha elástica na flexão composta pode ser substituída de forma
satisfatória por uma função senoidal, Fig. 5.3.4-2.
Desse modo, sendo
têm-se:
I
?T '7r
e e
* (3
y' = -a - cos - x
y" = a - sen - x
e fazendo
obtém-se a curvatura da seção média
Nessas
\'xz-lcondições,
a flecha máxima a pode ser escrita sob a forma
1 -----..-_L
Considerando-se agora a viga em balanço, sendo
resulta ,+ ,-
/ . +fl-
.h-+'
a
eZ
= L ($1
.O\>.
10 nose
" i
~onAi-se, pÓrtanto, que o pilar padrão é um pilar em balanço, com uma linha
elástica senoidal. A flecha máxima, que depende apenas do seu comprimento e da
curvatura da seção de engastamento, é uma função linear dessa curvatura na seção da
base do pilar.
5.3.5 PROCESSO DO PILAR O processo do pilar padrão segue o caminho delineado anteriormente com o processo
PADRÃO (COM O MÉTODO das excentricidades progressivas. A possibilidade de ser seguido esse caminho de-
GERAL) corre da propriedade básica do pilar padrão, a saber:
- Yestremidade liure = (5.3.5-1)
/
.*'
- ,.~
*,-
./"
Desse modo, pode se; construido o diagrama da Fig. 5.3.5-1, diretamente a
partir do diagrama
da seção transversal da base do pilar padrão, sem
a necessidade de integração das curvaturas ao longo do comprimento do pil,
INSTABILIDADE 183
Fig. 5.3.5-1 Método geral com o processo do pilar padrio.
Para uma dada seção transversal, sendo conhecido o diagrama
mitindo-se um certo valor da força normal N, pode ser traçada a curva do momento
interno resistente
Mj,, = função -
O momento externo solicitante vale
Mmt = MI + MZ
onde
M, = momento de I .a ordem
M, = momento de 2.a ordem
Na seção da base, tem-se
i/ L,'
lembrando que se admite que a força normal N = F não fique alterada por efeitos de
2.a ordem.
Admitindo-que se tenha um pilar padrão, será
logo . ~. . C- ^
%-.
e:
.- ~:,
?+? M2, .a* = N - (+) :.
1 o
..
Desse modo, Fig. 5.3.5-1, na seção da base, do momento interno disponível Mjnt,
C_<%j.. .
"nsr . .
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS
restará para as solicitaçóes de 1 .a ordem a parcela
M1. bme = Mil - Mz, base
-
cujo valor máximo M,, C,, corresponde ao estado limite último de instabilidade. Com
esse cálculo foi obtido 1 ponto do diagrama de interação (N, M,),,,,, para um certo
valor de e,, Fig. 513.5-2.
Fig. 5.3.5-2 Diagramas de interaçao.
1i
Repetindo o cálculo para diferentes valores de N, tem-se o diagrama de interação
da seção considerada, parateconhecido, Fig. 5.3.5-2. Nocaso de seçóes transversais
que difiram apenas pela taxa de armadura o, podem ser traçados diagramas adimensionais
de interaçã-o (P,, vcrit)r +emp~ew:p?~~-~_dado0~~!~~,~~omp
... ~. de
flaeagem .%---- daj-eça, -~. Fig__3.5,2,-. .-
. Para a apresentação dos resultados, em lugar dos diagramas de interação sugeridos
pela Fig. 5.35 2, podem ser adotadas tabelas de interaçáo, como a que é mostrada
na Fig. 5.3.5-3, a qual foi realmente calculada com o processo do pilar padrão."j~17
As Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5 mostram diagramas de interaçáo calculados apartir dos
diagramas (momento fletor-força normal curvatura) calculados para os aços nacio-
nais, conforme indicado em B 5.2.3.18
3
Note-se, finalmente, que o processo do pilar padrão com o método geral conduzirá
ao resultado exato se a linha elástica for realmente senoidal. Isso acontecerá
quando a barra for de seçáo transversal constante e náo houver cargas transversais.
No caso de existirem cargas transversais, o processo pode ser melhorado, chegandose
ao chamado "processo do pilar padráo corrigidoM.*
'CEB - Manual de Flarnbagern.'" ''
fl:
O m ."
*-o
O .i 4
S . .
C. Q N
C W O
C. o-lV
- S . .
4:
0
n o--N ocnc r-**
....
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O-.",
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. .
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NDm-m
I 1 - U N 00-r
~ . ~ N Y o .
.,-mil-
Od-Nn
..e... .. -L.~.
Fig. 5.3.5-5 Diagramas de interação (M,,, N,) para pilares esbeltos.
188 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
5.3.6 EXEMPLOS Apresentam-se a seguir exemplos de cálculo, nos quais são empregadas as tabelas da
Fig. 5.3.5-3, que foram preparadas empregando-se o processo do pilar padrão com o
método geral.
, -'
I /EXEMPLO NQI.
Fig. 5.3.6-1 Exemplos.
fck = I5 MPa = 1,5 kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2
0,85 fcd = 0,91 kN/cm2
,
I ACO CA-SOA (fUd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2) 1
Considerando a excentricidade adicional e,, sendo 1
tem-se:
e, = e, + e, = 13 + 2 = 15 cm.
J
Calculando-se os valores reduzidos:
IN =0,1kd 1 MPa = I MNlm" IOkgflcm'
IkN =IWkgf=O,ltf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100kgf.m = 0.1 tf.m I kNlmZ= 100Wlm" =0.1 tflm2
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlmh 11M kgflm5 = 0.1 tflm'
I
I MPa = 0.1 kN1cm2 = 100 Nlcm'
INSTABILIDADE
Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolaçáo entre os valores apresentados,
obtêm-se:
-
8,lh = 600160 = 10
v. = 035 (entre v, = 0,80 e v, = 0,901
/
o, 0,29
-
A,, ,O,,, = 2134 cm2 = 4 x 5,46 cmZ = 4 x 3 + 16 (4 x 6,0 cm2) v
-
/
b. Exemplo n." 2. e, = e,, = 5 cm
;Y g,66~
= -=
62
logo
A excentricidade de I .a ordem vale:
e,=ei+e,=5+2=7cm /
( - v, = 035 v'
Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolação entre os valores apresentados,
obtêm-se:
8,lh, = 600130 = 20
v. = 035
o, = 0.39 /
po = 0,198
5.4 CÁLCULO DA
CARGA CRITICA
PELO MÉTODO DO
EQUILIBRIO
A,, , , = 2 A, = 2 x 14.69 = 29,37 cmZ J
A,, ,O,,,
= 29.37 cm2 = 4 x 7,34 cm2 = 4 x 3 4 20 (4 x 9,45 cmz)
5.4.1 O MÉTODO DO Conforme foi visto no item anterior, adeterminaçáodacarga crítica pelo métodogeral
EQUILIBRIO exige sempre o traçado completo de um diagrama esforço-deslocamento.
"- fato. com o processo exato do carregamento progressivo deve ser traçado o
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
*'
diagrama completo (F, y). Com o processo exato das excentricidades progressivas
deve ser traçado o diagrama completo (M,, y). Com o processo do pilar padrão, que é
suficientemente preciso apenas quando a barra é de seção transversal constante,
inclusive a armadura, e não existem cargas transversais aplicadas, também deve ser
traçado o diagrama completo . A vantagem do processo do pilar padrão
( :)
que a do diagrama (M, y) ou do diagrama (F, y).
reside no fato de que a obtenção do diagrama M,, - é muito menos trabalhosa
A idéia central do método do equilíbrio é proceder à verificação da segurança
contra o estado limite de instabilidade sem o traçado de um diagrama completo
esforço-deslocamento. O método do equilíbrio faz a verificação, calculando apenas 1
ponto desse diagrama.
1 5.4.2 MÉTODO DO Conforme já se sabe, a carga crítica pode ser calculada pelo método geral,
!, EQUILIBRIO. PROCESSO empregando-se o processo do carregamento progressivo ou o processo das excentri-
',.DO DESLOCAMENTO DE cidades progressivas, conforme se ilustra na Fig. 5.4.2-1, a qual resume as idéias já
,~
'*.
REFERÊNCIA
discutidas anteriormente.
Com ambos os processos a carga crítica é determinada quando a flecha y , da
seção de referência tende a uma assíntota paralela ao eixo das abscissas.
O método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência consiste
em se garantir a segurança contra o estado limite de instabilidade através da verificação
de que, sob a ação do carregamento de cálculo F,, ou da excentricidade de cálculo
e,,, a flecha y,,, , da seção de referência corresponde a uma configuração estável de
equilíbrio.
Fig. 5.4.2-1 Processa do deslocamento de referência
INSTABILIDADE 191
Com isso, calcula-se apenas um ponto do diagrama esforço-deslocamento, conforme
mostra a Fig. 5.4.2-2.
Para a constataçáo da estabilidade da configuraçáo de equilíbrio, procede-se por
etapas como indicado na Fig. 5.4.2-3.
Fig. 5.4.2-2 Modos de aplicação da processo
desconhecida
fFd
YFd YFd
colculo de y, cálculo de y 2
cálculo de y n
I* ETAPA Z"ETAPA n9ETAPA
rig. 5.4.2-3 Etapas do processo do deslocamento de referência.
Na primeira etapa calcula-se o deslocamento y, considerando apenas os efeitos
de l.a ordem. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação de seçüo
( , i)
transversal, dispondo-se dos diagramas M N, - podem ser calculadas as fle-
chas y,.
Na segunda etapa já se considera a configuração da barra com as deformações
calculadas na etapa anterior e assim sucessivamente.
As flechas calculadas y,, y,, ... , y ,_,, y, constituem-se numa sequência que,
quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio.
Observe-se que pelo fato de. a sequência ser construída a partir da flecha y,
decorrente apenas dos efeitos de l.a ordem, quando ela for convergente o equilíbrio
será estável, pois ele corresponderá necessariamente ao ramo ascendente da curva
(F, yve,).
A convergência da sequência pode ser constatada numericamente. Quando ela
ocorre, sabe-se que o ponto Fd estáabaixo do ponto F,,,. Nesse caso fica provado que
a estrutura tem segurança superabundante, embora náo se saiba quanto de exagero
- :.- está sendo cometido.
,~-
1,'
5.4.3 MÉTODO DO métododo equilíbrio, com o processo do pilarpadrão, a verificaçáo dasegurança
i EQUIL~BRIO. PROCESSO arbitrando-se deformações 8, e E, tais que nüo ocorra o estado limite último de
1,
DO PILAR PADRÃO ou de alongamento plástico excessivo na seçáo mais solicitada da peça. Com
1
.-. /essas deformações são calculados os valores de: -, N,., e M,,,.
I
r
A peça será considerada segura contra o estado limite último de instabilidade na
flexão composta se forem simultaneamente satisfeitas as condições, Fig. 5.4.3-1:
onde
10 arbitrado
(5.4.3-4)
1
'int
ÚNICO PONTO CALCULADO
//
/#L--
/'
/
/
/
I 0 ,0
/ /'
I
(TI
mo..
0'
/0
-
e : 2 P 2
I-) I
2 10 r orbllrodo
repão mais witcitodo
M,"+
= c,
-
I
r
,
C"AL0,
ARBITRADO
Fig. 5.4.3-1 Método do equ~librio com o processo do pilar padrão.
INSTABILIDADE 193
O método do equilíbrio com o processo do pilar padrão é baseado nas seguintes
considerações:
1. Arbitrando-se as deformações específicas E, e E, das fibras extremas de uma seção
transversal, ficam conhecidos os valores de:
a. curvatura - 1 - E* - + E,
r d
b. força normal resistente .Nint = R,, + R; - R,
c. momentojletor resistente M,, = S (dos momentos de R,,, Ri e R,)
As deformações arbitradas náo devem superar os valores correspondentes ao
estado de ruptura ou de deformações plásticas excessivas.
Em lugar de E, e E, poderiam ter sido arbitrados diretamente os valores de E,,
1
deformação da fibra no nível do centro de gravidade, e de -, curvatura na seção
r
considerada.
Observe-se, na Fig. 5.4.3-2, que à medida que aumenta a força normal resistente
N,,,, diminui o valor da excentricidade interna e,., correspondente à mesma
1
curvatura -. Isso pode ser constatado, por exemplo, pelos resultados mostrados
r
anteriormente na Fig. 5.2.3-3, sendo, em geral, verdade pelo menos para v a 0,s.
,
i Y&LOR FIXADO
/---
.R.--r- AUMENTbNOO-SE O VALOR
Kg. 5.4.3-2 Influência da intensidade da forca normal
2. Admitindo-se que a flecha máxima a seja uma função conhecida da curvatura da
seção mais solicitada, os momentos de 2." ordem podem ser calculados em função
das deformações específicas arbitradas para essa seção.
Adotando o conceito de pilar padrão, tem-se
3. A peça será considerada segura contra o estado limite de instabilidade se forem
satisfeitas simultaneamente as condiçóes seguintes, Fig. 5.4.3-3:
Observe-se que a condição ei,,, a e, + a não pode ser substituída pela condição
Mi,,, a M, + N,a, pelo fato de ser N,,, a N,. Essa substituição somente seria lícita se
fosse Ni,,, = N,. De fato, da condição
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
i
F M ~ O ((ti
Nint 5 VALOR
JIL~BRIO ESTÍVEL SE
FOSSE N,", : Na.,
e2=a
I
Fig. 5.4.3-3 Verificação da estabilidade com N,,, = Nd,
sendo N,,, 2 N, e M,/N, = e,, obtém-se
I
I
ou seja, dessa condição resulta 1
e,,, (um número desconhecido menor do que e, + a)
I
concluindo-se que ela não se constitui numa condição de segurança.
Desse modo, a condição de segurança relativa aos momentos fletores obrigato- ,
riamente deve ser feita em função das excentricidades, pois N,,, 3 Nd. Com essa
1
verificação, a partir do valor arbitrado de -,
r
5.4.3-4.
obtém-se o valor limite de e,, Fig.
Fig. 5.4.3-4 Verificaçáo da estabilidade com N,, > N,.
INSTABILIDADE 195
4. Com o método do equilíbrio, a verificação de segurança contra o estado limite de
instabilidade é feita através da constatação da existência de um estado possível de
equilíbrio com N,,, 2 N,. O método garante a segurança mas não dá a solução
ótima, pois não fica determinado o grau de superdimensionamento existente.
5.4.4 PROCESSO O processo simplificado do equilíbrio corresponde à aplicação do método do equilí-
SIMPLIFICADO DO brio com a restrição suplementar de que a curvatura da seção mais solicitada é
EQUIL~BRIO arbitrada com um valor convencional.
O processo simplificado do equilíbrio decorre da observação de que, para
_* $ 1
muitas formas de seção transversal, a curva de h.Z, em função de -, para um dar
do valor de N,,,, tem andamento próximo de um diagrama bilinear, Fig. 5.4.4-1
I
Fig. 5.4.4-1 Processo simplificado do equilibrio.
I
(r),, convencioml
Esse fato pode ser constatado de modo muito claro nos diagramas das Figs.
5.2.3-3 a 5.2.3-5.
Nessas condições, para barras não excessivamente esbeltas, o ponto de tangência
correspondente à situação crítica está muito próximo do ponto correspondente à
capacidade última relativa a barras de esbeltez nula.
Surgiu assim o processo simplificado do equilíbrio, que engloba a verificação da
segurança contra a instabilidade na flexão composta dentro do próprio processo de
dirnensionamento da seção transversal.
Para isso, a capacidade última da peça é calculada, como se a esbeltez fosse nula,
com os esforços
onde Mjd engloba todos os efeitos de 1 ."ordem, inclusive os decorrentes da excentricidade
adicional e,, sendo
Observe-se que neste caso a segurançapode ser medidaem função dos momentos
M,, não sendo necessário recorrer-se as excentricidades, pois no dimensionamento é
imposta a condição Ninr = N,.
O valor adotado para a curvatura última - é um valor convencional, ajus.
(:),,
tado em face de verificações feitas para diferentes seções transversais.
Para cálculos rápidos o Código Modelo do CEB recomenda o valor
/
( ) 5
-L
..
I j ^
= x (5.4.4-4)
.-
P
Anteriormente a este valor único, o CEB* recomendava os valores
0,0035 + -d
para v, .s 0,5
(5.4.4-5) I
0,0035 + !&
para v, > 0,5
com - I
B Os valores adotados pela NB-I são:
0,0035 + h
E,
($1: (vd + 0,5) h
a\ %"".-.,*
, . . -
com
v, + 0,s 3 1 (5.4.4-9)
onde
Fd
v, = - (5.4.4-10)
& fcd
I
Observe-se que as expressões (5.4.4-4) a (5.4.4-10) tendem a fornecer para a
curvatura última convencional um valor maior do que o da curvatura última efetiva
para o estado limite último de ruptura, desde que a força normal tenha valores
significativos.
As conseqüências de uma condiçáo dessa natureza estáo mostrada!
5.5.4-2. )
TEB - Boletim 103.
INSTABILIDADE 197
I
PARA Nint = Nd
Fig. 5.4.4-2 Emprego de uma curvatura úlrirna convencional
5.4.5 PROCESSO NO caso de barras ~ouco esbeltas, Lom x 80, a,h~-l adotou o processo simplificado
SIMPLIFICADO DA NB-I do equilíbrio. L-'
A secão transversal mais solicitada deve ser dimensionada como se a esbeltez
fosse nula, adotando-se os esforços
onde M, engloba os efeitos iniciais e os efeitos da excentricidade adicional (acidental),
ou seja
u
(e, = comprimento de flambagem)
I
\ isto é, quando v < 0,s toma-se v + 0,5 = 1, sendo I
(5.4.5-6)
I
I
equivalem as do CEB, tendo
havido um ajuste em função do emprego da força normal reduzida v e não de
v
v0 = -.
0,85
Observe-se finalmente que não é feita distinção entre os aços Classe A e os
aços Classe B. Conforme se mostra nos diagramas
5.2.3-5, essa diferença não seria significativa.
das Figs. 5.2.3-4 e
5.4.6 EXEMPLO Considere-se novamente o mesmo exemplo n.O 2 apresentado no item 5.3.6 pelo
método geral. Para efeito de comparação, a armadura será dimensionada pela tabela
de interação da Fig. 5.3.5-3, ressaltando-se que poderia ter sido empregada qualquer
outra tabela ou ábaco de dimensionamento de seçóes submetidas à flexáo composta.
\ Dados:
e, = e,, + e, = 5\-f= 7 cm V' U, = 0.198
De acordo com a expressa0 (5.4.4-6), tem-se:
I
O momento de 2.a ordem vale, conforme (5.4.4-3),
I
ou seja,
I N =0,1kgi 1 MPa = 1 MNlrn' = I0 kgficmZ
I kN = 100 k8f = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm 5 0.1 tflm
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 rfm I kN/rn3 = 100 kgflm* = 0,I rf/m2
I kN.cm = IW kgi.cm = 0.1 tfcm I kN/mL I00 kgf/ml r 0.1 tilm'
1 I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 Nlirn'
INSTABILIDADE 199
Somando os efeitos de
e de 2.a ordem, obtém-se
po =/L,<+ ppd= 0,198 + 0,ll =0,31
-
e da tabela da Fig. 5.3.5-3, resulta
o, 0,39
valor este idêntico ao obtido pelo método geral, daí resultando a mesma armadura
A,, r,t., = 4 x 7,34 cmZ = 4 x 3 4 20
5.5 EXERC~CIOS
5.1 Qual é o fenômeno de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas
axialmente? Como pode ser caracterizado esse caso de instabilidade?
5.2 Que resultados podem ser obtidos quando se emprega a expressão aproximada da cur-
1
vatura - = d2y/dx2?
r
Que novos resultados podem serobtidos com o empregodaexpressão exatadacurvatura?
5.3 Por que a segurança das peças comprimidas de concreto estmtural não é mais verificada
em relação ao estado limite de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas
axialmente?
5.4 Por que não existe problema de instabilidade na flexáo composta dentro do regime
elástico?
Por que tal fenômeno somente existe quando é ultrapassado o limite de proporcionalidade?
5.5 Como é determinado o diagrama
5.6 Qual a infiuência da deformação lenta sobre a estabilidade na flexo-compressão? Justificar.
5.7 Definir pilar padrão. Como se emprega esse conceito com o método geral?
5.8 Descrever o método do equilíbrio para o cálculo das solicitaçóes criticas.
5.9 Justificar o processo simplificado do equilíbrio.
5.10 Descrever o processo simplificado de verificação da segurança contra a instabilidade na
flexão oblíqua composta.
Instabilidade na Flexáo
Composta Oblíqua
,
6.1 DEFORMAÇOES
NA FLEXÁO
COMPOSTA OBLÍQUA
6.1.1 DEFORMAÇÕES DO Considere-se uma barra submetida a um carregamento que produza flexão composta
EIXO DE BARRA oblíqua em suas seçóes transversais, Fig. 6.1.1-1.
excentricidade de
1 % ordem
excentricidade
total
Fig. 6.1.1-1 Excentricidade do carregamento.
Sob a ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaçóes. P
de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidade
segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 201 I
/
PLANO DE FLEXÁO DA
SECA0 DA BASE
Fig. 6.1.1-2 Configuração deformada.
!W
LINHA NEUTRA DA BASE
Fig. 6.1.1-3 Esforços solicitantes na seção da base.
Na Fig. 6.1.1-2 ilustra-se a cod~guração deformada de um pilar submetido à
flexão composta oblíqua. Admitem-se como desprezíveis as deformações devidas a
uma eventual torção da peça.
Note-se que o eixo deformado do pilar é umacurvareversa e que o plano deflexão
é variável, de seÇão para seção, em virtude da própria deformação da barra.
Na Fig. 6.1.1-3 estãomostrados os esforços solicitantes na seção dabase do pilar,
onde:
Observe-se que o plano de deslocamento do eixo do pilar, no topo, em princípio
não é perpendicular a linha neutra da seção da base.
Esse perpendicularismo somente poderia existir se o eixo deformado da barra
fosse uma curva plana. Isto exigiria que a linha neutra de todas as seções tivesse
sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer quando o plano de flexão
varia de seção para seção, conforme se mostra na Fig. 6.1.1-2.
6.1.2 CURVATURAS Na Fig. 6.1.2-1 estão mostradas as curvaturas de um pilar submetido à flexão
composta oblíqua.
Numa barra de seção transversal retangular, sendo E,, E,, E, e ED as deformações
específicas dos vértices, a curvatura no plano perpendicular à linha neutra vale
I
onde h, é a maior dimensão da seção, medida perpendicularmente a própria linha
,
neutra.
Tendo em vista que se admite a hipótese de manutenção de forma plana de seção
1
transversal, a variação de deformação específica ao longo de qualquer fibra paralela ao
eixo Gx é sempre a mesma, daí resultando
I
Fato análogo ocorre com as fibras paralelas ao eixo Gy, sendo
1 - EA - EB ED - Ec
- - --
r, h, b
Desse modo, sendo
das condiçóes anteriores, resulta:
Por outro lado, sendo
h, = h, cos ol + h, sen a
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 203
Q. 6.1.2-1 Curvaturas,
tem-se
-+--
h, h, h, cos a + h, sen a
r, r, r,
Para que esta condição seja satisfeita para quaisquer valores de h, e de h,, devem
ser simultaneamente
1 - 1 - - - cos a (6.1.2-1)
r, r,
1 - 1 -- - sen a
r, r,
6.1.3 CÁLCULO DAS Em princípio, também na flexão composta oblíqua podem ser determinados
CURVATURAS diagramas (momento fletor-força normal-curvatura), análogos aos que são determinados
para a flexão composta normal.
Entretanto, como se trata de flexão composta oblíqua, devem ser considerados
dois momentos fletores, M, e M,, bem como deve ser definida a direção da linha
neutra.
Teoricamente esses diagramas podem ser determinados conforme se mostra na
Fig. 6.1.3-1.
Na verdade, o trabalho material para essa determinação tende a ser proibitivo. O
raciocínio teórico é aqui apresentado principalmente para o esclarecimento dos conceitos
básicos referentes a instabilidade na flexão composta oblíqua.
Para um valor constante da inclinação a da linha neutra, pode ser estabelecido o
seguinte algoritmo de cálculo.
1 /%2d - sCldl
adota-se um novo valor de -=
r, h, I
adota-se um valor de EO
I
Nesta fase está inteiramente fixado o diagrama de deformações, logo são conhecidas
as tensões na seção transversal.
Calculam-se então os valores da resultante de compressão R, e da resultante
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 205
de tração R,, donde se obtêm Nd, M,, e Mvd. Obtêm-se assim 1 ponto do diagrama
(A, p., v) e 1 ponto do diagrama
1
Observe-se que não basta fixar a curvatura- = E~Zd - Ecid para a determinar,
h,
ção dos esforços. Para essa determinação também deve ser fixado o valor de E,,
pois só assim fica definido univocamente o diagrama de deformações.
4.,
Adota-se um novo valor de E,, voltando à etapa 3, até ser alcançado um
dos valores limites E~I~, lim OU ES%d, tlm = 10%
1
IE~I~I
e
< I ~ad, ~tml
(E.2d E82d. 14,")
-
11
l~cldl = l~eld, lim/
Ai
OU
(Eg2d = Ead, ltm)
1
adota-se um novo valor de T,
Note-se que a representação dos diagramas indicada na Fig. 6.1.3-1 não seria das
mais adequadas para as aplicações.
Para emprego prático, a representação indicada na Fig. 6.1.3-2 seria a mais
conveniente.
I
Fig. 6.1.3-1 D i a s @r - fiy - Y - (I - I/T.)
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA
Fig. 6.1.3-2 Alternativa dos diagramas
- fiy - Y - u - l/ro),
6.2 CÁLCULO DA
CARGA CRITICA
PEI ;o MÉTODO
GERAL
Paraum valor e, 1 e, = tg 0 = constante, entrando-se com as intensidades de p, e
de forçanormal v, podem ser obtidos os valores dacurvaturae dainclinaçãoa dalinha
neutra.
.1 PROCESSOS EXATOS Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode
DE CÁLCULO ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão composta normal, com as
devidas adaptações para a consideração tanto da existênciade dois momentos fletores
quando da variação da posição da linha neutra.
Fig. 6.2.1-1 Cálculo eiato da carga crítica.
'i
/
/
DEFINE O PLANO
DE FLEX~O
I
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Na Fig. 6.2.1-1 estáilustrado como senafeitaadeterminaçáo dacargacríticapelo
método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional. Neste
processo todas as ações crescem proporcionalmente ao mesmo coeficiente K.
Na Fig. 6.2.1-2 está mostradaa 1 .a etapa de cálculo. Nesta primeira etapa devem
ser considerados apenas os momentos fletores de 1 .a ordem. Com essa hipótese serão
determinados os deslocamentos do eixo da barra.
Na Fig. 6.2.1-3 estão ilustradas as etapas subsequentes docálculo. Em cadaetapa
VALORES ADMITIDOS VALORES CALCULADOS
I
OS MOMENTOS DE
i/r
O(
ADMITINDO-SE PILAR DE
MNSTANTE
SECAO
sen Q
W
Yl,J
BASE
X
W 'TOPO DA BARRA
&
lg ETAPA DE CARREGAMENTO ( F = Fl )
Fig. 6.2.1-2 Método geral - Processo do carregamento progressivo proporcional
INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBL~QUA 209
I
ADMITE-SE A OEMIETRIA
DETERUINAD* NA ETAPA
ANTERIOR MU A CARGA I
/ no ETAPA DE CARREGAMENTO ( F= F, )
Fig. 6.2.1-3 Carregamento progressivo proporcional
deverão ser considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes dos deslocamentos
calculados na etapa anterior.
Conforme se mostra na Fig. 6.2.1-1, em função do parâmetro K, definido por
onde F , é um carregamento adotado como referência, podem ser traçados os diagramas
de flechas w, e w, de uma seçáo de referência.
A cargacrítica serádeterminada pelo diagramade flechas w,, ou w,, que primeiro
tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos.
As figuras anteriores mostram que o trabalho material necessário à aplicação de
um processo rigoroso de cálculo é bastante volumoso.
O delineamento de cálculo que foi apresentado teve por objetivo principal o
esclarecimento dos conceitos pertinentes ao problema, a fim de que possam ser
claramente entendidos os processos simplificados de cálculo.
210 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
CARGA F= F,
I ADMITEM-SE AS POSI~ES
CAL .CULAOAS SOB
DA CARGA
Fn-l
.-- 1 L PLANO DE FLEX~O
CALCULADO NA ETAW
ANTERIOR SOB
DE Fn-,
A
VALORES
CALCULADOS
Fig. 6.2.1-4 Carregamento progressivo proporcional
6.2.2 PILAR PADRAO De acordo com o que já foi visto anteriormente, opilar padráo é um pilar em
balanço com linha elástica senoidal, Fig. 6.2.2-1, ou seja,
?7
w = -a sen -7.
e,
A propriedade fundamental do pilar padrão é dada pela relação
ou seja,
INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA
Fig. 6.2.2-1 Pilar padrão
Com essa propriedade, pode ser calculado o momento fletor de 2.= ordem na
seção da base do pilar, obtendo-se
Com o emprego do pilar padrão o momento fletor de 2.a ordem é calculado como
função exclusiva da curvatura da seção da base, não havendo a necessidade de se
proceder à integração da equação diferencial do eixo deformado da barra ao longo de
todo o seu comprimento.
Todavia, conforme se mostra na Fig. 6.2.2-2, o emprego do conceito de pilar
padrão corresponde a se admitir que o eixo da barra sejaumacurva plana contida num
plano perpendicular à linha neutra da seção da base do pilar.
u
Fig. 6.2.2-2
k
Pilar padrão - Deformaçáes admitidas.
INHA NEUTRA DA SFÃO
m BASE
M
-CALCULA-SE
A
Mln+= fun~ao de [~/r ) base
para N = valor
dado
- I
ra
Fig. 6.2.2-3 Determinação da valor
critico de M,.
Ng. 6.2.24 Determinaç!~ do mameniv inrerno M,,
da segão da base em funçáo de F, e a, para um dado
valor de 1.
INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 213
Uma vez fixada a geometria da seção transversal, paraumadada força nonnal N e
para uma dada inclinação O, = arctg (e,Je,J do plano de flexáo da seçáo da base do
pilar, deve ser traçada acurva do momento interno M,a,, Fig. 6.2.2-3. O máximo valor
disponível para M, = M,,, - M, fornece o valor M,, ,.
Na Fig. 6.2.2-4 está esquematizado o cálculo do diagrama
mnr = função ($)
Em princípio, pode ser empregado o seguinte algoritmo de cálculo:
7
t
Admite-se uma inclinação a da linha neutra
I
I
Admite-se um valor para a curvatura
(~s2 a O)
I
I !
I
Adota-se um valor para E,, respeitadas as condições 1 E,, ( s E,,, ,i, e
t
E82 5 10%0
Calcula-se o valor de Nd e compara-se com o valor fixado para F,
I
_I
i
Calculam-se os valores de M,, , e M,, , obtendo-se o valor dovetor
momento interno
-f +
M,nt = Mo,,
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
%
I
Calcula-se o momento de 2.a ordem
t
+
-f
sendo o vetor M,,
+ ee2 1
M2, base = Fd. -. -
10 r,
paralelo à linha neutra
I Calcula-se o valor disponível para o momento de oidem M,, , (
I
sendo -+ -3 +
M1, b~8e = MIN - M2, be8e
I
t
Verifica-se se o plano de ação do momento M,, , tem a inclinação
13 = O, sendo O, = arctg e'i
e,,
I
A 7 t
I
Obtém-se assim 1 ponto do diagrama
M1, = função (llra)
Uma vez traçado o diagrama M,., = função (llra), obtém-se o valor M,, ,,.,
conforme indicado na Fig. 6.2.2-3. Este valor corresponde aos parâmetros v e O,
adotados.
Variando-se a seguir o valor de O,, podem ser traçados diagramas de interação
como os que se mostram na Fig. 6.2.2-5.
Observe-se finalmente que, mesmo se fossem determinados inicialmente os
diagramas ( M, N, llra) conforme o delineamento teórico do item 6.1.3, ainda assim
seria necessário o cálculo por tentativas, a fim de garantir que o momento disponível
de 1." ordem, dado por
-+ -f -+
MI, orne = Mint - Mz. base
tivesse o plano de ação predeterminado inicialmente.
INSTABUDADE NA n ~ x à COMPOSTA o
OBL~QUA 215
X
420
0,IO
o 0,iO 0,20
Jlx= J--
h,
6.3 CÁLCULO DA
CARGA CRITICA POR
PROCESSOS
SIMPLIFICADOS
Fig. 6.2.2-5 Diagrama de interação (adaptado da Fig. 212-4 do Boletim 103 do CEB).
6.3.1 LINEARIZAÇAO DOS O andamento dos diagramas de interação, como os que são mostrados na Fig. 6.2.2-5,
DIAGRAMAS DE indica que, analogamente ao que acontece em relação ao estado limite último de
INTERAÇAO ruptura ou de alongamento plástico excessivo, também no caso de instabilidade a
superfície de interação (M,, M,, N),,, pode ser admitida como convexa.
Desse modo, a verificação da segurança pode ser feita como se indica na Fig.
6.3.1-1. A simplificação adotadaéportanto análoga à que foi proposta par ao estudo da
flexão oblíqua composta com esbeltez nula. Os resultados obtidos são usualmente a
favor da segurança, não havendoem geral restrição ao emprego deste processo, o qual
pode ser qlicado para peças com qualquer índice de esbeltez. No item seguinte será
apresentada a condição de validade da simplificação.
Observe-se que os pontos A e B, correspondentes à instabilidade, respectivamente,
nos planos Gx e Gy, podem ser determinados por qualquer dos processos de
cálculo anteriormente estudados.
I issim, no caso de peças muito esbeltas, em princípio devem ser empregados
proce :ssos rigorosos de cálculo.
1 \To caso de peças mcdianarnente esbeltas, os pontos A e B podem ser determinados
p or meio de processos simplificados de cálculo. Esse é o caminho seguido no item
seguinte.
d: VALOR
J = VALOR
M"' F ~ e, .
M :F~. e
Y
Y
DADO
DADO
"
A.
Fig. 6.3.1-1 Linearimção do diagrama de interação.
6.3.2 PROCESSO No caso de peças medianamente esbeltas a linearização do diagrama de interação
SIMPLIFICADO DO pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.2-1.
EQUILIBRIO. DIAGRAMA A validade da simplificação adotada decorre da hipótese de convexidade da
LINEARIZADO superfície de interação (Y , +SI, , +I,, Estudos de investigação n~rnénca'~
mostraram que essa convexidade pode deixar de existir quando os índices de esbeltez
A, e A, forem muito diferentes entre si, podendo provar-se15 que a lineanzação do
diagrama é válida sob a condição
Para a determinação dos pontos A e B que definem a região de segurança é
adotado o conceito de pilar padrão, calculando-se:
Nessas condições, sendo
INSTABILIDADE NA FLEXAO COMPOSTA OBL~QUA 217
PLANO DE A ~ Ã O M
I
T
I
( SOLU c80 EXATA )
0 "VALOR DADO
$ :VALOR DADO
e
M,=F
d x
M ~ = d F e Y
JA x
fi 2,
poro
tex / hx)
Fig. 6.3.2-1 Processo simplificado do equilibrio.
com
A, = área da seção transversal geométrica,
onde as curvaturas no plano onde atua M, e no plano onde atua M. po-
dem, no caso de barras medianamente esbeltas, ser admitidas com os valores convencionais
(L) = (L) = ($1
r, , r, , =i
C O ~ O ~ ~ I ~ ~ I
Admitindo as curvaturas recomendadas pela NB-I, têm-se:
L,,,
com
Observe-se que o emprego do método do equilíbrio simplificado, em função
diretamente dos momentos críticos de I .a ordem, exige que seja imposta a condição
N,,, = Nd. Caso contrário a verificação da segurança deveria ser feita em função das
excentricidades.
6.3.3 REDUÇAO DA Em muitos casos práticos é possível simplificar-se averificação da segurança contraa
FLEXAO OBL~QUA A instabilidade através da redução daflexáo composta oblíquaaduasflexões compostas
DUAS FLEXÕES NORMAIS normais.
Essa simplificação será aceitável nos seguintes casos básicos,* ilustrados pelas
Figs. 6.3.3-1 e 6.3.3.-2.
a. São diferentes as zonas mais solicitadas em cada uma dasjiexóes normais a que
foi reduzida a jiexão oblíqua.
Como cntério prático admite-se que esta condição seja satisfeita quando os terços
centrais dos eixos deformados correspondentes a cada uma das flexões normais não
ficam superpostos. Não há restrições quanto a forma da seção transversal.
Assim, na Fig. 6.3.3-1, ao pilar P1 pode ser aplicada a simplificação porquanto
não existe superposição dos terços centrais das linhas elásticas das duas flexões.
Note-se que, para a flexão no plano (xz), a seção mais solicitada é a do engastarnento
na base. Para a flexão no plano (yz), a seção mais solicitada está situada ameia altura
do pilar.
O pilar P2, mostrado nessa mesma figura, não pode ser calculado com a simplicação
considerada. Em particular, neste caso, a seção da base é a mais solicitada para
ambas' as flexões.
Observe-se finalmente que não há restrições de aplicação desta simplificação em
função da forma da seção transversal do pilar, uma vez que o cntério de aplicação
decorre apenas da separação das zonas mais solicitadas em cada uma das flexões
consideradas.
b. Pilares de seçáo retangular quando for satisfeita uma das seguintes condiçóes,
Fig. 6.3.3-2:
onde e, e e,, são excentricidades iniciais de I .a ordem, não incluídas as excentric idades
acidentais e, ou e.,.
.CRB - CUgo Modelo.
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
h,
Fig. 6.3.3-2 Seçáo retangular - Redução a 2 flexoes normais.
Conforme se vê na Fig. 6.3.3-2, admite-se a possibilidade de substituição da
flexáo oblíqua por duas flexões normais quando a obliquidade é pequena.
Neste caso, para cada uma das direções principais, a seção mais solicitada deve
ser verificada separadamente para as excentricidades.
e
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-3)
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-4)
c. Pilares de seção retangular submetidos a solicitações iniciais daj7exão normal
composta.
Neste caso, no plano de flexão iniciai faz-se a verificação com a excentricidade
total
e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-5)
e no plano transversal com a excentricidade
e, = e,, + e,,
Em lugar da expressão (6.3.3-6) a NB-1/78 adota uma expressão alternativa
equivalente, a qual será considerada posteriormente no estudo do dimensionamento
dos pilares.
6.4 EXERCICIOS 6.1 Mostrar que, emgeral, naflexáocompostaobliquadepilaresesbeltosoeixodeformadonáo
pode ser uma curva plana.
6.2 Como se processaalinearizaçãodos diagramas de interaçáo para o cálculo dacargacntica,
havendo esbeltezes diferentes segundo os dois eixos principais da seçáo transversal?
6.3 Qual a limitação imposta à linearização dos diagramas de interação?
6.4 Quando se pode reduzir a flexão composta oblíqua a duas flexões normais? JustU ficar
PARTE 3
PILARES, PAREDES E
ESTRUTURAS DE
CONTRAVENTAMENTO
7
Pilares e Paredes Usuais dos Edifícios
7.1 VERIFICAÇÃO DA
SEGURANÇA DAS
PEÇAS ESTRUTURAIS
7.1.1 CONDIÇÕES GERAIS Em princípio, a verificação da segurança contra os possíveis estados limites últimos
das estruturas é feita através da condição geral
onde Face representa a intensidade das ações atuantes e F,,, a intensidade das ações
resistentes.
As ações atuantes são aquelas que agem sobre a estrutura. As ações atuantes,
quando ultrapassam determinados valores, levam a estrutura a estados limites.
Entendem-se como ações resistentes aquelas ações que, se aplicadas a estrutura,
esgotam a sua capacidade resistente. As ações resistentes são portanto os limites das
ações atuantes correspondentes ao aparecimento de determinados estados limites.
Para verificação da segurança, ambas as ações F,,, e F,,,, são tomadas com
seus valores de cálculo, isto é, com seus valores determinantes.
Na maior parte das vezes, em lugar de a condição de segurança ser expressa
diretamente em função das ações F,,, e F,,,, empregam-se condições do tipo
Neste caso, a segurança é verificada em função de determinados efeitos S das
ações. Na verificação da segurança contra estados limites últimos, usualmente os
efeitos considerados são os esforços solicitantes.
Frequentemente os esforços solicitantes atuantes são indicados por Ss, e os
esforços solicitantes resistentes por SR.
7.1.2 TRAÇ AO SIMPLES. Nas peças submetidas à tração simples, a segurançaestágarantidaquandoé satisfei-
TIRANTES a condição
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍcIos 223
onde
N, é o valor de cálculo da força normal atuante
NRd
é o valor de cálculo da força normal resistente
Nessas peças, o concreto tem o papel de simples elemento de proteção das
armaduras. A segurança depende apenas da armadura, e a mína da peça tem características
essencialmente dúcteis, com grande capacidade de acomodação plástica. Por
essa razão, mesmo sabendo que é pequena a probabilidade de uma peça estar efetivamente
submetida à tração axial, pode-se desprezar a influência das excentricidades
inevitáveis que ocorrem no carregamento real das estruturas. Essa mesma hipótese
não pode, porém, ser admitida no caso de compressão simples.
7.1.3 FLEXÃO SIMPLES. No caso de peças submetidas a flexão simples, a segurança está garantida desde
VIGAS que em todas as seçóes transversais seja verificada a condição
onde
Msdé o valor de cálculo do momento fletor atuante
MRdé o valor de cálculo do momento fletor resistente
7.1.4 PEÇAS A verificação da segurança das seçóes submetidas a compressão simples é feita, em
COMPRIMIDAS princípio, pela condição
onde
N, é o valor de cálculo da força normal de compressão atuante
NRd é o valor de cálculo da força normal de compressão resistente
Todavia, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão centrada,
admite-se que haja uma certaincerteza quanto à real localizaçãodo pontode aplicação
das forças externas. Por isso, as solicitações de cálculo são determinadas
introduzindo-se, sucessivamente segundo cada uma das direções principais da seção
transversal, uma excentricidade mínima dada por, Fig. 7.1.4-1:
A aplicação prática destes critérios tem mostrado que, em estruturas de edifícios
correntes com pilares de 20 cm de largura, o valor absoluto e,,. = 2 cm frequentemente
conduz a dimensóes significativamente maiores que as que vinham sendo
empregadas até agora. Por esta razão, tendo-se
essidade de calibrar o
modelo de segurança adotado pela NB-1/78
usualmente
obtidos anteriormente, parecepossível que
luto, respeitando-se apenas o valor
' /i I
1
Nas
I
SITUAÇÃO OE PROJETO
i / I
Fig. 7.1.4-1 Excentricidades mínimas inevitáveis.
Fig. 7.1.4-2 Efeitos de 2.* ordem.
si~unçõ~s DE CALCULO
Para peças comprimidas de esbeltez não muito grande, em geral é permitido
substituir-se o cálculo exato de flexo-compressão por cálculos aproximados de compressão
simples, majorando-se convenientemente o valor da força normal atuante.
peças comprimidas, além das excentricidades inevitáveis acima vistas, também
devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, Fig. 7.1.4-2.
Os momentos F.e, de l.a ordem são acrescentados aos momentos F.e, de 2.a
ordem, verificando-se a segurança em função da flexo-compressão assim determinada.
Em peças de esbeltez reduzida, usualmente adotam-se simplificações de cál-
CU~O.
7.1.5 FLEXAO COMPOSTA O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo
composta possui um caráter vetorial, Fig. 7.1.5-1.
I
M
diqromo de intaoç&
ZONA DE SOU
i lrog
( N ~d, t r a simples) ~
Fig. 7.1.5-1 Veriiicaçáo da segurança
Na Fig. 7.1.5-1, o ponto A, representa as condições características de solicitação
e o ponto A, as condições de cálculo. A direção de verificaçáo da segurançs i, fixada
pelo vetor A,Ad, é definida pelos coeficientes de ponderação empregados na 1 determinação
das solicitaçóes de cálculo.
- ra qualquer combinação de solicitações M,, e N., a segurança fica garariuud
quando o respectivo ponto representativo A, está situado dentro da zona de segurança
delineada pelo diagrama de interação (M,,, NRd).
Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do
ponto correspondente a tração simples, verifica-se que geralmente a presença de um
eventual momento fletor parasitário não afeta significativamente o valor da força
normal resistente N,,.
O mesmo fato não ocorre, porém, nas proximidades do ponto correspondente a
compressáo simples. Neste caso, a presença de um momento fletor parasita usualmente
acarreta uma perda significativa no valor da força normal resistente NRò.
Em princípio, as peças submetidas à flexão composta com força normal de
compressão serão verificadas com a seguinte combinação de solicitações atuantes:
onde
Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto
Mid = momento fletor devido às ações inicialmente consideradas no projeto
F,.e, = momento fletor devido a excentricidade adicional e,
F,.e, = momento fletor de 2.a ordem
Nas peças submetidas a flexo-compressáo, é admitida uma certa incerteza
quanto ao ponto de aplicação da resultante das forças externas. Consideram-se por
isso as excentricidades adicionais e,, cujos valores são os mesmos admitidos para
as excentricidades mínimas das peças teoricamente submetidas a compressão simples,
ou seja,
onde h é a maior dimensão da seção transversal da peça, na direçáo em que se
considera a excentricidade.
As expressões acima indicadas serão posteriormente reconsideradas, tendo-se
em vista o dimensionamento prático das seções transversais dos pilares.
7.2 COMPRESSAO
SIMPLES DE PILARES
7.2.1 PILARES O dimensionamento de seções submetidas a compressão simples é feito da forma a
NÃO-CINTADOS seguir analisada.
Admitindo que sejam conhecidos os valores de
N, = valor de cálculo da força normal atuante 1
f,, = valor de cálculo da resistência do concreto
i I
I
f,, = valor decálculoda resistênciadoaço comprimido (obedecidaarestrição
Es, e 2>0 %o)
e sendo, Fig. 7.2.1-1:
I
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
*-
d
A, = área da seção geométrica da peça
A,, = área da seçáo de concreto comprimido
A, = área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida,
Fig. 7.2.1-1 Pilares não-cintados.
tem-se a condição de segurança
fld 035 fcd . Acc + fsd
A,, = A, - A,
i
(7.2.1-3)
pois na compressáo centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto
seja de 2%0.
Da condição de segurança acima indicada, tem-se a condição de dimensionamento
que também pode ser escrita
Nd = 0,85 fCd A, +
w
Definindo a taxa geométrica de armadura longitudinal pela expressão
onde A, é a área da seção geométrica da peça (área da seção de concreti
desconto da parte ocupada pela armadura longitudinal), de (7.2.1-4) obtém- J sem o
se
resultando
>
-'w'
<
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS
Para o dimensionamento prático das seções comprimidas, é conveniente definirse
a tensão ideal de compressão u, pela expressáo
Na verdade, conforme será visto adiante, quando se faz o cálculo a compressão
simples, aforça normal de cálculo Nd deve ser majorada afim de ser levada em contaa
influência das excentricidades acidentais e das excentricidades de 2.a ordem,
tomando-se o valor
resultando
Substituindo as expressões acima em (7.2.1-6), tem-se finalmente
~ i = d 0.8' fd + PS (fr- 0%) (7.2.1-10)
Por vezes a expressão acimaé escntada forma simplificada seguinte, que ignoraa
devida à presença da armadura longitudinal:
(7.2.1-11)
s (1.2.1-9) a (7.2.1-11) permitem o dimensionamento das seções
transversais comprimidas.
Para os aços classe A, a resiçtência de cálculo à compressão é dada pelo menor
dos dois valores seguintes:
Para os aços classe B, a resistência de cálculo à compressão, de acordo com a
NB-I, pode ser obtida a partir da expressão
esd = 2 + - <r86 - 0,7 e-
fazendo-se
e
e8d = 2%0
E, = 210 000 MPa* I
Na tabela seguinte apresenta-se o resumo dos valores f,, para os aços especificados
pela EB-3.
*I MPa = 10 kgficmz
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS
a*
,* *-
f,, (compressão simples
(MPa)*
*I MPa = 10 kgflcm*
Na Tabela 13 do Anexo apresentam-se valores de fa - 0,85 fcd para diferentes
valores de f,,.
7.2.2 INDICE DEESBELTEZ O índice de esbeltez dos pilares não-cintados é definido pela relação
onde
= comprimento de flambagem
i = raio de giração da seção geométrica da peça (seçáo transversal de concreto,
não se considerando a presença da armadura).
Nas estmturas de nós indeslocáveis, a NB-I permite considerar-se como comprimento
de flambagem(,de um pilar a distância entre os eixos das vigas entre as quais
ele se situa.
Essa hipótese corresponde a se admitir os pilares como barras com nós articulados
fixos.
A existência de vigas, cuja rigidez inibe parcialmente arotação que existiria se as
extremidades dos pilares fossem perfeitamente articuladas, diminui o comprimento de
flambagem. A NB-1 não considera essadiminuiçáo, embora o CEB* permitadescontos
de até 15% na determinaçáo do valor de e,.
No caso de estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem pode ser
significativamente maior do que a distância entre os andares sucessivos da estrutura.
Nesse caso, o comprimentot, somente pode ser estimado de forma adequada através
da consideração da flambagem do conjunto da estrutura.
No caso particular de estruturas com nós deslocáveis mas com vigas de rigidez
muito grande, capazes de tornar desprezível a rotação dos nós da estrutura, o comprimento
de flambagem e, também é igual a distância entre os eixos das vigas que
delimitam o pilar considerado. Cada pilar é entáo considerado como se tivesse nas
suas extremidades apoios de simples escorregamento, Fig. (7.2.2-1).
Na determinaçáo da distância entre os eixos das vigas que delimitam os pilares, é
preciso considerar-se a eventual ixistência de vigas invertidas e de lajes rebaixadas
em cada um dos pisos considerados.
Conforme é ilustrado pelas Figs. 7.2.2-2 e 7.2.2-3, apresença de vigas invertidas
ou de lajes rebaixadas pode alterar o comprimento de flambagem em relaç;
direito usual da constmçáo.
Fig. 7.2.2-1 Pilares deslocáveis com vigas de grande t.igider
Fig. 7.2.22 Arranjo estrutural do nó
230 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Fig. 7.2.2-3 Vigas invertidas e lajes rebaixadas
7.2.3 PILARES CINTADOS a. Condições de emprego
De acordo com a NB-1 é permitido o emprego de pilares cintados por armadura
de projeção circular desde que se tenha esbeltez A < 40, referida ao núcleo, Fig.
7.2.3-1, admitindo-seque apresença do cintamentqseja equivalente aumaumentoda
resistência característica do concreto de f,, para o valor
t
onde -
e
= excentricidade do carregamento, já incluída a excentricidade acidental, devendo
ser
A, = volume de armadura transversal por unidade de comprimento do pilar
rd,. A,,
(7.2.3-71
A,, = área da seção transversal da barra de cintamento de diâmetro 6,
A - r+t2
11 - - 4 (7.2.3-4)
k s , = espaçamento entre as espiras da armadura de cintamento
A,, = área da seção do núcleo, definido pelo eixo da barra de cintamento
Fig. 7.2.3-1 Pilares cintados
Com as considerações acima, o pilar é calculado como se não fosse cintado, não
se considerando o concreto exterior ao núcleo. A resistência total de cálculo dapeça
cintada não poderá, porém, ser considerada com valor superior a 1,7 vezes a resistência
do pilar calculado como se não houvesse cintamento. O efeito do cintamento sobre
aresistência do concretojáfoi analisado deformageral em outro volume deste curso.*
b. Compressão centrada
No caso de ser admitida uma situação de compressão centrada, sendo h < 40,
pode-se fazer:
logo
*Fundamentos do Projeto Estmturd "
-
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS
Sendo A,,a área da seção
-
da armadura longitudinal e n o coeficiente de majoração
correspondente à influência das excentricidades acidentais, resulta a condição de
segurança
A
f,, + 2 f,,
aNd 0,85 (A,, - + fsd As, (7.2.3-8)
Yc
que também pode ser escrita
Ignorando, por simplicidade, a redução da seção efetiva de concreto devida a
presença da armadura longitudinal, tem-se a condição simplificada:
A
f,, + 2 L f,,
aN, < 0.85 A,; + f., A,, (7.2.3-10)
da qual resulta
devendo ser
c. Prescriçóes construtivas
As prescnçóes construtivas, impostas pela NB-I, sáo as seguintes:
1. esbeltez da peça
as extremidades das barras de cintamento, sejam elas formadas por uma armadura
helicoidal ou por estribos isolados, deverão estar bem ancoradas no núcleo
de concreto
Y"\
3. , ~toly inimu da barra de cintamento
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS
/-
S. valores limites da armadura de cintamenro
L-- . /'
6. armadura ion~irudinal
.
(inclusive na seçáo de emenda por traspasse)
7.3 PILARES DE
EDI FICIOS
7.3.1 AÇAO DO VENTO De modo geral, exige-se a consideração da açáo do vento nas estruturas em que esta
ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes.
Essa possibilidade existe de modo significativo nas estmturas aporticadas com
nós deslocáveis.
Definem-se como sendo de nós deslocáveis as estruturas cujos nós mudam de
posiçáo em virtude da flexáo de suas barras. No estudo da deslocabilidade das
STRUTURA DESLOCÁVEL ESTRUTURA INDESLOC~VEL
r.* ,.i-1 Deslocabilidade das estmturas.
234 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras. Na
Fig. 7.3.1-1 são mostrados exemplos de estrutura deslocável e de estrutura indeslocável.
De acordo com a NB-1 (item 3.1.1-3) a ação do vento deve ser considerada
"obrigatoriamente no caso de estrutums com nós deslocáveis, nas yuais a altura sqju
maior que quatro vezes a largura menor, ou em que. numa drida direção, o número de
filas de pilares seja inferior a 4".
Na Fig. 7.3.1-2 é mostrada a aplicação dessa exigência da NB-1.
Admitindo que as estmturas mostradas nessa figura tenham nós deslocáveis, pelo
critérios o vento deverá ser considerado apenas na direçãox, pois nesta direção Hlb
> 4, enquanto que na direção y tem-se Hlb < 4. Pelo critério b, o vento deverá ser
considerado em ambas as direçõesx ey, pois em ambas existem menos de quatro filas
de pilares.*
4 critério de altura relativa
4
critério do número de filas
de pilares
Fig. 7.3.1-2 Consideração obrigatória da açáo do vento.
'O símbolo H foi empregado intencionalmente para chamar a aten$áo sobre o ieru us as iratar da altura
con~fm~ão
total da
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfCIOS 235
CONTRAVENTAMENTO Nos edifícios correntes não é recomendável que todos os pilares participem do
DAS ESTRUTURAS sistema estrutural que se admite como responsável pela estabilidade global da estrutura
e pela resistência às açóes horizontais atuantes. Caso isso fosse admitido, o
projeto seria em geral excessivamente trabalhoso, com resultados reais de precisáo
duvidosa, em virtude da complexidade das estruturas assim consideradas.
Usualmente os pilares dos edifícios são divididos em duas categorias, Fig. 7.3.2-1:
pilares contraventados e pilares (elementos) de contraventamento.
Os elementos de contraventamento sáo constituídos por pilares de grandes dimensões,
por paredes estruturais, por treliças ou pórticos de grande rigidez.
De modo geral procura-* fazer com que a estrutura de contraventamento,
composta por dois ou mais elementos de contraventamento e pelas lajes do edifício,
tenha rigidez suficiente para que os demais pilares possam ser considerados como
participantes de uma estrutura com 116s indeslocáveis, Fig. 7.3.2-2. Os elementos de
contraventamento devem assegurar a va'lidade desta hipótese.
Além disto, o sistema de contraventamento deve garantir a estabilidade da
estrutura no seu conjunto, bem como deve resistir a açao do vento sobre toda a
construção.
Os elementos de contraventamento podem, em princípio, ser classificados em
flexíveis e rígidos, Fig. 7.3.2-2.
Consideram-se como elementos flexíveis de contraventamento os que devem ser
calculados com a consideraçáo de efeitos de 2.a ordem. Este tipo de elemento de
contraventamento, sempre que possível, deve ser evitado, pois em geral acarreta
grandes dificuldades de cálculo.
Consideram-se como elementos rígidos de contraventarnento os que podem ser
calculados sem a consideração de efeitos de 2.a ordem. Para isso eles devem ter rigidez
superior a certos mínimos preestabelecidos. De acordo com os critérios de rigidezdo
CEB, para pilares essa rigidez mínima corresponde ao índice de esbeltez A = 25.
Fig. 7.3.2-1 Pilares contraventados
I
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
I
CONTRAVENTADOS ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO
7.3.3 SITUAÇÓES BÁSICAS De acordo com a NB-I os pilares de edifícios podem ser calculados de forma simplifi-
DE PROJETO cada, desde que respeitados certos requisitos complementares adiante considerados.
O cálculo simplificado permitido pela NB-1 pode ser aplicado as "estruturas de
edij%ios em que stj afuem carxas previstas na NB-5 e em que não seja necessário
considerar a açáo do vento".
Nocaso de estruturas submetidasaaçáo do vento, o cálculo simplificado podeser
aplicado aqueles pilares que ,260 participem dos sistemas estruturais resistentes aaçáo
do vento.
Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos
seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, Figs.
7.3.3-1 e 7.3.3-2, desde que sejam pilares adequadamente contraventados.
A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto
diversa.
Os pilares intermediários estão basicamente sujeitos a cargas axiais de compressão.
Como as vigas e lajes que se ap6iam nesses pilares não sofrem interrupção total
sobre os mesmos, admitern-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos
para os pilares. A situação básica de prqjeto dos pilares intermediários é, portanto, a
de compressáo centrada.
Os pilares de extremidade, em principiu, estão submetidos a flexão normal
composta. A flexáo decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à
borda considerada, Fig. 7.3.3-2.
No caso dos pilares de canto, em virtude da intermpção das vigas situadas nas
duas bordas, existe basicamente uma situação de projeto de flexão oblíquacomposta.
Em todos os casos considerados é importante notar que as situações de projeto
levam em conta apenas os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de l.a
ordem, decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estmtura.
Para o dimensionamento dos pilares, devem ainda ser consideradas as excentricidades
acidentais, que também são excentricidades de I .a ordem, bem como; no caso
:s esbeltos, as excentricidades de 2.= ordem.
PILAR
INTERMEDIARIO
EXTREMIDADE
Fig. 7.3.3-1 Pilares de edifícios
Fig. 7.3.3-2 Arranjos estmturais dos pilares de edifícios.
7.3.4 SOLICITAÇÕES As solicitações iniciais dos pilares intermediáriospodem ser calculadas sem cocside-
INICIAIS DOS PILARES ,ração de momentosfletores.
INTERMEDIÁRIOS As solicitações iniciais resumem-se, neste caso, a força normal devida ao carregamento
aplicado.
A situaçáo de projeto dos pilares intermediários é portanto a de compressão
centrada, podendo ser aplicados os processos simplificados de cálculo adiante descritos.
Para o cálculo das cargas que atuam sobre os pilares dos edifícios, de acordo com
o item 3.2.2.3 da NB-1, as vigas podem ser calculadas como continuas, sem ligações
rígidas com os apoios, respeitadas certas restrições impostas pela própria NB-1.
No caso de vigas contínuas em que os tramos tenham aproximadamente amesma
rigidez, desde que o menor índice de rigidez Iltnão seja inferior a 80% do maior, a
NB-1 permite que as reações das vigas sobre os pilares sejam calculadas
considerando-se cada tramo independente dos demais e livremente apoiado. Todavia,
se houver balanço de extremidade, o efeito de suas cargas será calculado,
considerando-se a continuidade existente.
De modo geral não se recomenda o emprego dessa permissao da NB- I para vigas
com número reduzido de tramos, nem para a ava!iaçao das cargas dos pilares que
suportam os tramos de extremidade das vigas.
Nos exemplos de projeto apresentados no Cap. 8, essa permissão da NB- I não foi
empregada.
7.3.5 SOL~CITAÇOES Os pilares de extremidade sã riamente calculados a flexáo composta, Fig.
INICIAIS DOS PILARES DE 7.3.5-1.
EXTREMIDADE Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por um
momento fletor atuante no plano perpendicular a borda em que se situa o pilar.
A situação de projeto dos pilares de extremidade é, portanto, a deflexão normul
composta.
De acordo com a NB-1, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos
poderão ser calculados pelas expressões seguintes:
onde
Ma,
= Me,,
r,
+ r, + r,
1
(7.3.5-2)
Me,, = momento de engastamento perfeito
I . .
r = - (indice de rigidez)
e
Fig. 7.3.5-1 Pilares de extremidade.
Fig. 7.3.5-2 Efeito da superposiçáo de pilares.
Observe-se que o tramo extremo da viga estará solicitado por momentos negativos,
cujo valor máximo é dado por
Conforme se mostra na Fig. 7.3.5-1, paraas extremidades opostas, tanto do pilar
inferior quanto do pilar superior, propagam-se momentos que, em geral, podem ser
admitidos com metade do valor do momento propagado.
Nos edifícios de vários andares, os momentos que aparecem nos pilares são
provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis, Fig. 7.3.5-2.
Assim, por exemplo, no pilar situado entre os níveis (i) e (i + 1) são:
ondeMi, ,,e Mi+ ,,i, são os momentos calculados isoladamente pelas expressóes
(7.3.5-1) a (7.3.5-4).
Observe-se que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável o conhecimento
da seção transversal do pilar. O dimensionamento final será obtido então por
m e i o de aproximações sucessivas.
No caso de pilares usuais de edifícios, para efeito de pré-dimensionamento da
seção de concreto, pode-se admitir, de início, uma excentricidade relativa ei/h entre
0,05 e 0,10, onde e, = MIN e h é a dimensáo do pilar no plano de flexão.
7.3.6 SOLICITAÇÕES Nos pilares de canto, em princípio existe uma situaçáo de projeto deflexao oblíqua
INICIAIS DOS PILARES DE composta.
CANTO Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por dois
I
momentos fletores, os quais atuam nos planos verticais que contêm os eixos das vigas
que formam o canto considerado.
Para a determinação desses esforços repetem-se, para cada um dos planos de
I
flexáo considerados, os raciocínios feitos para o caso do pilar de extremidade, Fig.
I 7.3.6-1.
I
Rg. 7.3.6-1 Pilares de canto
-
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 241
7.4 PILARES CURTOS
7.4.1 SITUAÇÓES DE Entendem-se porpilares curtos aqueles que podem ser calculados sem a consideração
PROJETO E SITUAÇOES DE de suas deformações.
CÁLCWLO De modo geral admitem-se como curtos os pilares que tenham índice de esbeltez
não maior que A = 40, desde que sejam devidamente contraventados.
No dimensionamento dos pilares curtos, além dos esforços iniciais decorrentes
da situação de projeto em consideração, também devem ser admitidos outros esforços,
que se adicionam aos anteriores, e que têm por finalidade cobrir certos riscos
ei =EXCENTRICIDADE INICIAL N~ = F M ~ = F e
d d.
e, = EXCENTRICIOAOE AOICIONAL
( N8- I ACIDENTAL) Mxd=Fde~
Fig. 7.4.1-1 Pilares curtos.
devidos à incerteza quanto a real posição do ponto de aplicação da força de compressão.
A NB-1 considera essa incerteza acrescentando à excentricidade inicial ei outras
excentricidades e,, ditas excentricidades acidentais, conforme se mostra na Fig.
7.4.1-1. Observe-se que todas essas excentricidades são excentricidades de I .a ordem.
No caso de pilares esbeltos, deverão ainda ser consideradas as excentricidades de 2.a
ordem.
Em virtude da consideração das excentricidades acidentais e,, a maioria dos
casos em que agem forças normais de compressão deveria ser tratada, em princípio,
como se fossem problemas de flexão composta oblíqua.
Todavia, como o cálculo rigoroso de seções submetidas a flexão composta
oblíqua somente é exequível em termos práticos quando se dispõe de auxilio de um
computador ou, o que é equivalente, quando já existem os diagramas de interação (v,,
pZdr pUd) da seção considerada, diferentes simplificações são admitidas no projeto de
pilares. No item 7.5.6 é feita uma sugestão visando a simplificaçáo das situações de
cálculo atualmente admitidas pela NB-I .
7.4.2 CASO PARTICULAR Conforme foi mostrado na Fig. 7.4.1-1, quando se tem uma situação de projeto de
DE SIMPLIFICAÇAO DAS flexão normal composta, uma das situações de cálculo a ser teoricamente considerada
SITUACOES DE CÁLCULO é a de flexao composta oblíqua.
No entanto, como a obliquidade dessa flexão decorre apenas da excentricidade
acidental e,,, medida na direção do eixo Gy que não contém a excentricidade inicial
e,,, a NB-1 permite uma simplificaçáo. Em lugar da flexão composta oblíqua,
considera-se uma outra flexão composta normal, majorando-se o valor da excentricidade
e, de acordo com os critérios indicados na Fig. 7.4.2-1.
Em princípio, majoram-se as excentricidades na proporção
onde e é aexcentricidade daflexãooblíqua. Comisso, como se indicana Fig. 7.4.2-2, é
considerada agora a flexão composta segundo o eixo Gy, com excentricidade
e
e = Z VeiZ2 + e,,"
! e,,
uma vez qlte na direção Gx já foi considerada a flexão composta com excentricidade
e, = e,, + e,, (7.4.2-2)
Admite-se que, neste plano, esta última verificação já seja suficiente para a
garantia da segurança da peça.
Para a verificação da seção na direção Gy, em lugar da expressão (7.4.2-1)
adotam-se os valores indicados na Fig. 7.4.2-1, os quais decorrem das aproximações
indicadas na Fig. 7.4.2-2.
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 243
Fig. 7.4.2-1 SituaçUes simplificadas de cálculo. 1 1
Fig. 7.4.22 Citéio de sirnplificaçáo. 1
244 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
7.4.3 EXEMPLOS Considere-se a situação de projeto de flexão normal composta, Fig. 7.4.3-1, com os
seguintes dados:
Fig. 7.4.3-1 Exemplo.
Para esta seçáo transversal, as excentricidades acidentais valem:
ear a e,, = 3 cm
eou
e,, = 2 cm
1.' Exemplo: e,, = 10 cm
Neste caso, sendo e,, > 3 e,,,
tem-se e, = e,,, logo:
I I.a situação de cálculol
e, = e,, + e,, = 10 + 3 = 13 cm (---- e, - l3 - 0,144)
h, 90
12.a situaçáo de cálculo (e,, > 3 e,,)l
e, = e,, = 2 cm
2." Exemplo: e,, = 5 cm
Neste caso, sendo e,, < e,, < 3 e,,, tem-se
logo:
e, = e,, + e,, = 5 + 3 = 8 cm ( -
/ 2.a situaçáo de cálculo I
e, - 8
- = 0.089)
h, 90
3.O Exemplo: ei, = 1,5 cm
Neste caso, sendo e,, < e,,, tem-se
logo:
,
] situaçáo de, cálculol
e, = e,, + e,, = 1,5 + 3 = 4,5 cm
1 2.a situaçáo de cálculo/
7.4.4 PROCESSOS Em muitos casos da prática é possível adotar-se um tratamento simplificado quando
SIMPLIFICADOS DE existe uma situação de cálculo de flexão composta obliqua. As possíveis simplifica-
CÁLCULO DE FLEXAO ções de cálculo sáode três tipos, conforme adiante indicado. Noitem 7.5.6é mostrada
COMPOSTA OBL~QUA uma possível simplificação geral do problema.
a. Transformaçáo afim da seçáo transversal
Para aquelas seções que, por uma transformaçáo afim paralela a uma direçio,
possam ser reduzidas a uma figurainscrita num quadrado, com simetria emrelação aos
eixos paralelos aos lados e também em relação a uma diagonal, pode ser aplicado o
método de cálculo tratado na Seçáo 4.3.
Ainda assim, o trabalho material requerido para essa aplicação náo é de todo
desprezível, pelo que também são de interesse prático os métodos de transformação
daflexáo composta oblíqua em umaflexáo normal composta equivalente, atuante num
plano paralelo a um dos lados da seçáo.
h. Transforma~áo daJlexáo oblíqua em uma flexáo normal equivalente
Quando se conhece o andamento das curvas (pgd, pyd) dos diagramas de interação
(pldr pud, vd), é possivel transformar-se a flexáo composta obliqua em uma flexáo
normal composta equivalente, Fig. (7.4.4-1). Essa transformação tem por objetivo
reduzir o trabalho de cálculo nos casos rotineiros.
Conforme se observa na Fig. 7.4.4-1, para uma dada força normal relativa
Fd
Yd = -
A, fCd
deve ser empregada a mesma taxa mecânica w de armadura para ambas as combina-
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
1
X
= F~ .e,
-
h d , eq
Il xd
M ~ = F e
d' Y
Ii "d = Jd
pyd = 'd
-
h,
- e Y
h Y
Fd
- A, fcd
3 --
Fig. 7.4.4-1 Transformaçao da flexão oblíqua em flexão normal.
çóes de momentos a seguir consideradas:
Flexão oblíqua real
Flexão normal equivalente
Psd, emtualente = F sd + P Pyd
Pvd = 0
A condição de equivalência
Pzd, eQ = CL,d + P Pvd
também pode ser escrita
logo
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 247
daí resultando a excentricidade equivalente
aqual age no plano onde é maior a excentricidade relativa, istoé,adireção x é definida
pela condição
A expressão (7.4.4-2) é a adotadapela NB-I para a simplificação por ela considerada
no seu 5 4.1.1.3(A).
Os valores do coeficiente /3 podem ser determinados a partir dos diagramas de
interação (V,, pxdr p,). A tabela incluída na NB- I corresponde a seções retangulares
com armaduras iguais nas quatro faces. Para outros arranjos de armadura o raciocínio
pode ser repetido, determinando-se o coeficiente /3 a partir dos diagramas de interação
da seção.
I
c. Linearizaçáo do diagrama de interaçao
Quando não se dispoe do conhecimento prévio do andamento das curvas (pd,
pyd) dos diagramas de interação (v,, p,,, p,,), pode-se recorrer a linearização do
diagrama de interasão, Fig. 7.4.4-2.
Fig. 7.4.42 Linearizaçáo do diagrama de interaçáo
Ao invés da flexão composta oblíqua de esforços (ud, prd, pyd), sáo consideradas
duas flexóes normais compostas, respectivamente, de esforços (vdr pxd) e (V,, pvOd);
!
24s
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
onde
As expressões anteriores são válidas para seções transversais de forma qualquer
Elas permitem que sejam escritas as relações
Observe-se que com esse método a solução obtida pode ser muito antieconômica.
A força Fd é considerada sucessivamente no ponto A, sobre o eixoGy, e no
ponto B, sobre o eixo Gx. A essas posiçóes correspondem, respectivamente, os
momentos relativos pyo,a e l .~~,,,~. O erro cometido, contra a economia, decorre do
fato de o diagrama de interação ser curvo e não reto.
Note-se que, quando se dimensiona a seção sob a ação dos esforços (vd; fiuo, a)
e (v,; pzn, d), impõe-se que o diagrama real (p,,, pua) para v = vd passe efetivamente
pelos pontos P, e P,, Fig. 7.4.4-2.
Todavia, se o dimensionamento fosse feito separadamente para cada uma das
flexões normais, somando-se as armaduras assim calculadas, o erro cometido sena
muito maior, pois entao o diagrama real @L=,, pyd) passaria pelos pontos P', e P',. Este
último tipo de dimensionamento teve portanto ser evitado.
Observe-se que este tipo de erro não é cometido pelo método da traiisformação
afim de seção, pois nesse método a força F, é decomposta em duas partes, sendo cada
uma delas levada em cònta apenas em uma das flexões consideradas. O que não se
deve fazer é considerar duas flexões normais com a totalidade da força normal Nd em
ambas as flexões e,aseguir, somaras armaduras obtidas em cadaumadessasflexóes.
O método da linearização do diagrama de interação somente deverá ser usado
quando nao se dispuser de outra alternativa válida de cálculo.
7.4.5 CASO PARTICULAZ De acordo com a NB-1, no caso particular de seções retangulares comarmaduraigual
DE SIMPLIFICAÇAO nos quatro lados, a situação de flexão composta oblíqua pode ser tratada da forma
simplificada discutida no item 7.4.4(b), considerando-se uma flexão normal composta
equivalente, Fig. 7.4.5-1.
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfClOS
Fig. 7.4.5-1 ~ilar'corn armadura igual nas 4 faces
Admite-se a excentricidade equivalente de valor
com
sendo o valor de p, de acordo com a NB-I, dado pela tabela seguinte
Valores de 100 p
o = A, f,d/A, f,,i
7.4.6 EXEMPLO Considere-se como exemplo a seção indicada na Fig. 7.4.6-1, sendo:
Fig. 7.4.61 Exemplo.
Os esforços solicitantes reais valem, neste caso:
vd = 0,7
da por
10 2
hz h, 50 20
Sendo de fato 5 > 5, pois - > -,
a excentricidade equivalente é defini-
Admitindo o valor aproximado w = 0,5, da Tabela incluída na NB-1, tem-se:
donde
50
e,, .. = 10 + 0,63 - . 2 = 13,2 cm
20
logo, a seção pode ser dimensionada a nexo-compressão no. rmal, sob a ação dos
esforços:
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS
7.5 PILARES
ESBELTOS
7.5.1 CONSIDERAÇAO DOS Nas peças esbeltas, além dos esforços de l.a ordem, os quais abrangem os esforços
EFEITOS DE 2.a ORDEM iniciais dexidos as cargas aplicadas a estrutura e os esforços devidos as excentricidades
acidentais, também devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem,
que aparecem em virtude das deformações da própria estrutura.
Na Fig. 7.5.1-1 é mostrado um exemplo no qual são indicados os esforços de I.=
ordem iniciais e os esforços de 2.a ordem. Nesse exemplo, não estão indicados os
momentos fletores devidos as excentricidades acidentais.
FORÇA NORMAL MOMENTOS FLETORES MOMENTOS FLETORES
I NICIAIS
DE 2e ORDEM
Fig. 7.5.1-1 Solicitações dos pilares esbeltos.
Em geral admite-se que nas peças muito robustas sejam desprezíveis os efeitos de
2.a ordem.
A NB-1 admite que os efeitos de 2.a ordem possam ser ignorados quando o índice
de esbeltez da peça está abaixo do valor limite A = 40, e esta é contraventada.
Sendo o índice de esbeltez definido pela relação
onde[, é o comprimento deflambagem e i o raio
&):\:
de giração referente ao plano deflexão
j /
considerado, a limitação A s 40 corresponde nos casos práticos correntes aos seguin- 11
tes valores:
I
seção retangular de lados h, e h, i. ll, z 33~<:,
i = - ee G 12
seção circular de diâmetro d
LI.
-. 4) '1) .., ,- I
I
. -.. +/' -'.., '.
, ,
!
L
i i --
i
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS
As exigências feitas pela NB-I para a verificação da segurança dos pilares
esbeltos estão resumidas no quadro mostrado na Fig. 7.5.1-2.
Fig. 7.5.1-2 Venficaçáo da segurança dos pilares (NR-I 4.1.1.3)
7.5.2 CONSIDERAÇAO DA Na determinação dos efeitos de 2.a ordem das peças submetidas à compressáo por
FLUÊNCIA ações de longa duração, em princípio deve ser considerada a fluência.
Em virtude dacomplexidade de determinação dos efeitos da fluência, usualmente
sáo adotados métodos aproximados de cálculo.
De acordo com o CEB será dispensável a consideração da fluência dos pilares
isolados quando for satisfeita pelo menos uma das seguintes condições:
a. jlexo-compressão com grande excentricidade
(ei = excentricidade inicial de 1." ordem)
ei/h 2 2,O (7.5.2-1)
b. predominância de cargas de curta duração
Fo*s 02 Fo+v,k (7.5.2-2)
c. pilares pouco esbeltos
A < 50 (7.5.2-3)
2. CRITÉRIOS DA NA-I
De acordo com a NB-I é desnecessário levar em conta o efeito da fluência nas
seguintes alternativas:
a. predominância de cargas de curta duração
lomo a NB-1 náo fornece critério quantitativo
apenas que afluência deve ser considerada "se for o caso", parece razoável o critério
do CEB, adotando-se a condição de dispensa de consideração.
Fsh 02 Fo + c, k (7.5.2-4)
b. pilares curtos ou mediatzanznzte esbeltos
h S 80 (7.5.2-5)
Subentende-se que esta restriçáo é paralelamente completada pela condição de
existir uma armadura de compressão. Com a presença de uma armadura de compressáo,
a fluência do concreto é substituída, em parte, por um processo de transferência
das tensões de compressão do concreto para o aço. Usualmente esta condiçáo é
satisfeita pelos pilares que dispõem de armadura simétrica.
Nos casos em que não existe justificativa para a dispensa da consideraçáo da
fluência, o cálculo poderá ser feito adotando-se simplificações de diversas naturezas,
de acordo com o que está apresentado no Cap. 9 referente aos pilares nãocontraventados
e as estruturas de contraventamento.
\
7.5.3 SITUAÇÕES DE No item 7.4.1 foram examinadas as situações de projeto e as correspondentes situa-
PROJETO ESITUAÇOES DE ções de cálculo, de acordo com as exigências da NB-I.
CÁLCULO As situações de cálculo determinam os esforços solicitantes de dimensionamento
que agem nos pilares curtos, para os quais não são feitas considerações de deformação,
nem elástica nem viscosa, pelo fato de os pilares serem pouco esbeltos.
Estas mesmas situações de cálculo também serão suficientes pardaverificação da
segurança dos pilares esbeltos, desde que sejam calculados por processos rigorosos.
De fato, embora nesses pilares existam efeitos de 2.a ordem bem como de
fluência, o cálculo da carga crítica ou da excentricidade crítica pelo método geral com
os processos do carregamento progressivo e da excentricidade progressiva, bem como
pelo método de equilíbrio com o processo do deslocamentode referência,já incluem
esses efeitos dentro dos próprios métodos de cálculo.
rig. r.=.=-l Pilares curtos e pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. Simplificação das situa-
~ões básicas de cálculo.
O conceito de excentricidade e, de 2.a ordem do carregamento bem como o de
excentricidade suplementar e, devida a fluência somente surgem na aplicação do
método do equilíbrio, particularmente com o processo do pilar padráo. As deformações
da peça, de natureza elástica e de natureza viscosa, sáo transformadas em
excentricidades adicionais das cargas aplicadas.
Tendo em vista que as excentricidades acidentais e, têm por finalidade estabelecer
tão-somente uma segurança suplementar contra os efeitos das incertezas quanto
ao ponto de aplicação das cargas e quanto àlinearidade e verticalidade dos pilares, as
situações de cálculo estipuladas pela NB-I e reproduzidas na Fig. 7.4.1-1 podem ser
Fie. 7.5.3-2 Simpliiicaçáodas situaçóes básicas de cátculo. Pilares esbeltos calculados por processos
:ados.
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS 255
simplificadas conforme se mostra na Fig. 7.5.3-1. Estas simplificações são coerentes
com o que recomenda o Código Modelo do CEB.3 Essas são as situações básicas de
cálculo, válidas para os pilares curtos e para os pilares esbeltos calculados por
processos rigorosos.
No caso depilares esbeltos calculados por processos simplificados, as situações
de cálculo são derivadas das situaçóes anteriores, considerando-se também as excentricidades
e,, e e, quando houver fluência significativa. As situaçóes de cálculo assim
resultantes estão mostradas na Fig. 7.5.3-2.
É oportuno observar-se que as simplificações propostas são coerentes com ofato
de que a excentricidade e, de 2.a ordem e a excentricidade suplementar e, devida a
fluêncianão podem ser admitidas na mesma direçáo da excentricidade oblíqua e(, Fig.
7.5.3-3, conforme já foi discutido no Cap. 6.
Quando se emprega o método geral de cálculo com o processo do pilar padrão,
utilizando, por exemplo, diagramas de interação (Mldr Nd) como os que são mostrados
nas Figs.(5.3.5-4) e (5.3.5-5),nas situações de cálculo devem ser explicitadas as
excentricidades suplementares e, mas não as excentricidades e,, as quais são consideradas
pelo próprio método de cálculo. Um exemplo dessa situação é mostrado no Cap.
8, item 8.2.6.
Fig. 7.5.3-3 Flexáo obliqua
NEUTRA
Quando a fluência é considerada através de uma excentricidade equivalente de
ordem, as excentricidades suplementares e,, e e,, serão calculadas pelas expressões
gerais discutidas no Cap. 9, as quais fornecem:
onde
F, = carga de longa duração, a qual produz fluência.
F, = carga de flambagem de Eul'er, calculada conforme se indica no Cap. 9.
4 (t, , to) = função de fluência.
. e,,, = excentricidade na direçáo Gx da carga F,
e,,, ..= excentricidade na direção Gy da carga F,
e,,
= excentricidade acidental na direção Gx
e,, = excentricidade acidental na direçáo Gy
I
i
I
t
I
sendo
A carga de longa duração F, vale
Fn = Y n (Fgk + $2
7.5.4 SUPERPOSICIO
F~R)
F,, = valor característico da carga permanente
$2F-o-cela.&longa duração do valor característico da carga acidental usual
.
1,110 a 1,25, conforme o tipodG&
"--4
DOS A determinaião seuarada dos momentos fletores de 1," e de 2.. ordem com a sua
MOMENTOS FLETORES DE posterior superposição somente será possível se os pilares da estrutura puderem ser
1.a E DE 2.a ORDEM considerados isoladamente, sem a necessidade de uma análise global da estabilidade
do conjunto.
Discute-se adiante, no Cap. 9, as condiçóes gerais para que os pilares de uma
estrutura possam ser tratados isoladamente. Essa possibilidade sempre existe nas
estruturas de nós indeslocáveis, como as estruturas usuais dos edifícios correntes.
No caso de pilares de estruturas com nós indeslocáveis, distinguem-se os dois
casos básicos seguintes:
a. Momentosfletores iniciais nulos ou constantes, Fig. 7.5.4-1.
e, = const -- 3,-
Fig. 7.5.4-1 Superposiçáo dos momentos de
e de 2.* ordem.
Neste caso, a seção mais solicitada do pilar é aquela onde se dá a máxima
excentricidade e, de 2.a ordem.
O dimensionamento será feito então para os valores
e = e, + e, + e, (7.5.4-1)
acrescentando-se ainda a excentricidade
caso, resultando
b. Momenrosfleiores iniciais variáveis, Fig. 7.5.4-2.
Fig. 7.5.4-2 Superposi~áo dos momentos de 1."
de 2." ordem
Neste caso, não se sabe a priori se a seção mais solicitada é aquela onde ocorre
e,, , ou aquela onde existe e,, ,
No caso de não existirem cargas transversais aplicadas ao longo do pilar, Fig.
7.4.7-2. a NB-I prescreve a verificação nas seguintes seções da peça:
1. Seçi io da extremidade mais solicitada (elA = e,, , ; e, = 0)
.
1 2. Seçáo intermediária (e, = e,, ; e, = e,,
Nd = Fd
admitindo-se convencionalmente o valor
I
com
I
eic > O quando tiver o mesmo srntido que e,.
Neste último caso, se houver fluência significativa, deverá ser considerada a
excentricidade suplementar e,, resuitando
7.6 PROCESSOS
SIMPLIFICADOS DE
CÁLCULO
e = e, + e, + e, + e, (7.5.4-6)
!
7.6.1 CRITÉRIO BÁSICO DE O critério básico de simplificaçáo decorre da análise dos diagramas de interaçáo,
SIMPLIFICAÇÃO como o que é mostrado na Fig. 7.6.1-1.
!
i
d'= 0.5 h
I
<
-- Jd
36
3 d e =3 dii(Pd
Fig. 7.6.1-1 Transformagáo da flexo-cornpressáa em compressáo centrada
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFíCIOS 259
Desde que se tenha um arranjo simétrico de armaduras e uma força normal
relativa de compressão com valores
a taxa mecânica w de armadura correspondente as solicitações reais (v, ,,L,)
pode ser
determinada, a favor da segurança, em função de uma compressão centrada equivalente,
com uma força normal relativa equivalente (vd, eR) dada por
que também pode ser escrita
com
ud, =C = aud (7.6.1-2)
logo
No caso da Fig. 7.6.1-1, tem-se K = 3,
ou seja,
O coeficiente K = 3 é válido para seções retangulares em que pelo menos 213 da
armadura estejam concentrados junto as bordas perpendiculares a altura h da seção.
Para as demais seções retangulares e para as seçóes circulares, da análise dos
diagramas de interação resulta
1
ou seja,
No item (7.6.4) estas condições de equivalência estão ilustradas por algumas
figuras explicativas.
7.6.2 PILARES CURTOS
SOB CARGA CENTRADA
De acordo com a NB-I, quando Fd é suposta centrada e A c 40, o pilar poderá ser
calculado à compressão, com a força normal aumentada na proporção I + 6lh, mas
não menor que 1 ,I, onde h, medido em centímetros, é o menor lado do retângulo mais
estreito circunscrito ã seçáo transversal, Fig. 7.6.2-1.
No caso de pilares curtos (A c 40) em situações de projeto de compressão
centrada (ei = O), o critério adotado pela NB-1 é o mesmo admitido pelo CEB, o qual
"7
---- - ~ ~ -
de à condição (7.6.1-2), ou seja,
Fig. 7.6.2-1 Retingulo circunscrito a seção transversal.
donde
Neste caso, não se faz qualquer restriçáo ao valor v,, e a adoção da expressão
única(7.6.2-1) deve ser entendidacomouma soluçáo simplistaválida paraos casos em
'
que a excentricidade é pouco significativa.
De fato, neste caso a única excentricidade a ser considerada é a excentricidade
acidental e,, dela decorrendo:
1. parahs 60cm : e, = 2cm
2 6
a= li3-=I+h
h
2. para h 3 60 cm : e, = h130
Na Tabela 13 estão apresentados os coeficientes u de majoração da força normal,
correspondentes a pilares curtos (A s 40).
7.6.3 EXEMPLOS Determinar a força normal equivalente para o dimensionamento das seguintes seçóes
transversais, admitindo-se sempre A < 40.
a. Seçáo refungular: h, = 30 cm , h, = 70 cm
b. Seção circular: d = 40 cm
7.6.4 PILARES Neste caso, válido para 40 < A < 80, de acordo com a NB-l , além das excentricidades
MEDIANAMENTE acidentais também devem ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. as quais
ESBELTOS SOB CARGA podem ser determinadas da forma convencional já discutida anteriormente, ou seja:
sendo
onde
1 -
--
0,0035 + f,,/E,
com vd + 0,5 a 1 ,O
r (v, + 0 3 h
Como a situaçáo de projeto é de compressão centrada, a situação de cálculo
decorre dos valores de e, e h, medidos na direção correspondente à maior esbeltez.
Para a determinação da força normal equivalente são adotados os critérios já
discutidos em (7.6.1), a saber:
a. Seçbes retangulares com@, = A, a 3) Fig. 76.4-1
3
com
Fig. 7.6.4-1 Seçóes retangulares com A,, 2 AJ3.
b. Seçóes circulares e seções refangulares com
Fig. 7.6.4-2 Seçoes circulares e seçoes retangulares com A,, , A,/3
Nas Tabelas 14 a 19 são apresentados os valores do coeficiente c< de majoração de
força normal, correspondentes aos aços CA-25, CA-50 e CA-60, para pilares medianamente
esbeltos (40 < A < 80).
Exemplos numéricos de aplicação estao apresentados no Cap. 8.
7.6.5 PROCESSO Em princípio, o critério introduzido no item 7.6.1 para a transformaçáo de umaflexão
i APROXIMADO DE composta normal em uma compressáo centrada, expresso pela equação
PRÉ-DIMENSIONAMENTO
E DE DIMENSIONAMENTO Ud,en = Vd + pdi (7.6.5-1)
EXPEDITO
pode ser empregado mesmo quando no momento pd existir uma parcela devida a uma
excentricidade inicial ei.
Entretanto esta aplicação deve ser usada com cautela, pois a precisáo de seus
resultados depdnde do andamento dos diagramas de interação nas faixas de valores
altos de pd.
Por esta razão, a expressão (7.6.5-1) pode ser empregada irrestritamente tãosomente
para o pré-dimensionamento. O emprego desta expressão para dimensionamento
somente é lícito após o seu controle, por meio da análise do andamento dos
correspondentes diagramas de interação.
Em muitos casos da prática essa aplicação é possível, com precisão numérica
muito boa, conforme será visto nos exemplos de projeto.
Generalizando o critério de simplificação, pode-se resolver de forma semelhante
o problema do pré-dimensionamento das peças sujeitas a flexão composta oblíqua.
Através da análise dos diagramas de interação (v,, pzdi pyd), a flexáo composta
oblíqua pode ser transformada numaflexão composta normal equivalente, para a qual
se obtenha a mesma taxa o de armadura, conforme já foi mostrado no item 7.4.4,
particularmente através da Fig. 7.4.4-1.
A seguir, esta flexão composta normal é transformada numa compressão centrada
equivalente, podendo-se fazer assim o dimensionamento expedito da seção
transversal da peça.
7.7 PAREDES
ESTRUTURAIS
7.7.1 CONCEITOS BÁSICOS Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiaz
das de modo continuoem toda a sua base, com comprimento b maior que cinco vezes a
espessura h, solicitadas predominantemente por cargas contidas no seu plano médio,
Fig. 7.7.1-1.
b > 5h
PAREDE
b G 5h
PILAR
Fig. 7.7.1-1 Distin$ao entre paredes e pilares
Para efeito de dimensionamento, as paredes estruturais são tratadas da mesma
forma que os pilares, alterando-se apenas alguns detalhes particulares.
Um problema particular que merece consideração especial é constituído pelos
pilares de seção celular, compostos elementos que podem ser assimilados a
paredes estruturais, Fig. 7.7.1-2.
Particularmente em relação a armadura mínima dos pilares de seção celular, é
importante lembrar que as exigências de um mínimo de armadura nos pilares nasceram
do conceito de excentricidade acidental.
No caso de seções nãu-vazadas, as exigências tradicionais parecem usualmente
satisfatórias.
No entanto, no caso de pilares de grandes seções transversais, como é o caso
usual dos pilares de seção celular, essas mesmas exigências frequentemente são
exageradas, pois nesses casos nada se melhora, em princípio, em relação a segurança
da peça, pelo aumento da armadura além dos valores requeridos pelo cálculo.
No caso de pilares de seção celular, cabe então garantir, através das exigências de
armaduras mínimas, a segurança contra flexões localizadas não previstas das paredes
que compõem o pilar.
Em casos destanatureza, a solucão lógica - será admitir-se a existência de um pilar
para o cálculo do conjunto e dar-se o tratamento de parede estmtural para a consideração
das disposicoes - . construtivas, tais como cobrimentos mínimos, armaduras mínimas,
espaçamentos miximos e exigências quanto as armaduras transversais.
I
I
Fig. 7.7.1-2 Pilares de seçia celular
7.7.2 EXCENTRICIDADE De modo geral, o dimensionamentodas paredes estruturais será feito considerando-se
DO CARREGAMENTO queacargatenhaumaexcentricidade emrelaçãoaoplano médio da peça, Fig. 7.7.2-1.
Fig. 7.7
"cidade do carregamento das paredes
A excentricidade a considerar será a soma das seguintes parcelas:
a. excentricidade inicial ei correspondente a posição prevista para o ponto de aplicação
das cargas;
b. excentricidade acidental e, resultante da imprecisão de execução;
c. excentricidade de 2.a ordem e,, correspondente as deformações de flexáo em plano
perpendicular a parede.
No caso de paredes estruturais, a determinaçáo da excentricidade inicial e, deve
considerar ainteração das paredes tanto com as vigas quanto com as lajes com as quais
elas estejam monoliticamente ligadas.
No caso de pilares, as ligações destes com as lajes são usualmente ignoradas,
exceto quando existirem lajes-cogumelo. Com paredes estruturais, a interação das
mesmas com as lajes pode ser importante, mesmo quando as lajes são maciças,
particularmente no caso de paredes de extremidade dispostas paralelamente à borda
da construção, Fig. 7.7.2-2.
Fig. 7.7.2-2 Interaçao laje-parede.
De acordo com a NB-1, as excentricidades acidentais a serem adotadas para o
cálculo de paredes estruturais deverão estar no intervalo
dependendo a escolha do valor específico, a ser adotado no cálculo, dos cuidados
previstos para a execução da obra.
7.7.3 MOMENTOS No caso de paredes estruturais fixadas no topo e no pé, os momentos fletores
FLETORES DE 2.a OR,DEM ordem poderão ser calculados da mesma forma que para os pilares, adotando-se o
processo simplificado do equilíbrio, pelo qual
onde a curvatura Ilr é adotada com o valor convencional
com
266 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
sendo h a espessura da parede e
Para a determinação do comprimento de flambagem e,, a NB-1 admite os seguintes
valores aproximados, determinados em função da altura (da parede e da relação
altura da parede
P =
largura da parede
I
a. Topo e pé articulados fixos
Bordas verticais livres
b. Topo e pé articuladosfixos
Uma borda vertical livre e outra faa (articulada ou engastada)
c. Topo e pé articulados fixos
Bordas verticais firas (articuladas ou engastadas)
e e, = - para íj3 G 1)
1 + pz
(7.7.3-4)
i
7.8 DISPOSIÇOES
CONSTRUTIVAS
e e, = - para íj3 > 1)
2 P
d. Topo e pé engastados, com P G I
Adotam-se os valores indicados em a, b, c multiplicados por 0,85
(7.7.3-5) 1
7.8.1 RESISTÊNCIA AO Os valores máximos e mínimos relativos as disposições construtivas consideram as
FOGO exigências das seguintes normas brasileiras: 1
NB-1/78: Projeto e execução de obras de concveto armado
I
NB-503177: Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido em
relação a resistência ao fogo
I
Tendo em vista a ação do fogo sobre as estruturas, devem ser analisados os 1
seguintes aspectos fundamentais:
1. Classificação dos incêndios
Para a consideração da intensidade do fogo, a NB-503 classifica os incêndios da
seguinte forma:
a. Admite-se para o poder calorífico da madeira o valor de 4 500 kcalJi.0
b. Transformam-se os materiais combustíveis da e num equiv
-
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 267
madeira, considerando o poder calorífico e a quantidade desses materiais.
c. Admite-se a seguinte correlação entre o potencial calorifico equivalente em
madeira e a duração do incêndio:
Tabela 1
Potencial calorifico
equivalente em
madeira (kg/mz)*
30
60
90
120
Duração do
incêndio
(minutos)
60
120
180
240
Representação
simbólica
do fogo
F 60
F 120
F 180
F 240
*Para valores inrermediários do potencial calorifico adota-se a duracão imediatamente
superior.
2. Incêndio a ser considerado no projeto
a. Para edifícios residenciais de altura não superior a 12 m, medida do piso
mais baixo ao teto mais alto, pode ser adotada a duração F 60 para toda a
estrutura.
b. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente não exceda a 60 kg/m2
de madeira, deve o projeto considerar no mínimo as seguintes durações:
- para elementos estruturais essenciais aresistência global da estrutura, tais
como pilares e vigas de transição: F 120
- para os demais elementos da estrutura: F 60
c. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente exceder a 60 kg/m2, em
lugar da duração F 120 adotar-se-á a duração indicada na Tabela 1, e a duração
imediatamente inferior em lugar da duração F 60 para os elementos estruturais
classificados no caso b.
7.8.2 DIMENSOES Valores exigidos pela NB-1
EXTERNAS M~NIMAS
Nota 1 - apoiado em toda a extensão da base e obrigatoriamente considerada a
flexáo devidaãs ligações com lajes e com os pilares de andares adjacentes.
e, = altura livre
i = raio de giração mínimo
L = distância numa certa direçao entre eixos de pilares
di = diâmetro do núcleo cintado
b = largura da seção
h =. espessura da seção
268 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Observação: Náo sáo permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pilares,
quer no concreto, quer em espaços vazios sem aberturas de
drenagem.
Valores exigidos pela NB-503 (centímetros)
Peças
F60
Duração do fogo
FIZ0 F180
F24
1: Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e
expostos ao fogo em duas ou mais faces.
2. Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e
expostos ao fogo em uma só face.
3. Paredes de seçáo retangular com relação de lados
blh 5, inteiramente comprimida.*
4: Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direçáo
longitudinal.
20
12
12
8
30
16
16
11.5
36
20
20
15
40
24
24
18
'Para pilares com relagão de lados entre 1 e 5, interpela-se linearmente entre os valores dos casos 1 e 3.
7.8.3 COBRIMENTOS Valores exigidos pela NB-I: Cobrimento c (centímetros)*
M~NIMOS
Concreto revestido
com argamassa de
pelo menos 1 cm de
espessura
Concreto aparente
Peças
Pilares
Paredes
Interior de
edifícios
1,s
1,0
Ao ar
livre
2,O
1s
Interior de
edificios
2,O
28
Ao ar
livre
2.5
2,s
Concreto
em contato
com o solo
3,O
3 ,o
Concreto
em meio
fortemente
agressivo
4.0
4,O
'Cobnmento c medido a partir dor estribos ou das armaduras secundárias externas à armadura principal.
.Valores exigidos pela NB-503: Cobrimento c( da armadura longitudinal (cm)
I
I~ilares
Peças de concreto náo-revestido
(7 (**I
com seção inteiramente comprimida 1 2,5 1 4.5 / 6,O / 7,s 1
Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direção
longitudinal
Paredes / 1,5 1 3,O / 4,s 1 -
I I I I I 1
'Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimcnto c,, para cada 1,s cm de revestimento de argamassa de cal e areia.
"Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimento c,. oara cada 0.4 sm de revestimento de xsso ou de fibras de
amianto, ou de argamassa de vermiculite
2.5
4,O
5,O
6,O
7.8.4 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1
LONGITUDINAIS
a. Pilares não-cintados que tenham todas as barras comprimidas
= 0.8% para teli > 30
,i, = 0,5% para t,/i s 30
'
lusive no trecho de emenda I
sse)
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS
b. Pilares com seção efeíiva A,, ,f superior a seçáo calculada A,, ,.,l
A, = 03% A,, .., para (,/i > 30
A,, ,i, = 0,5% A,, .., parateli s 30
A,, ,i, = 0,5% A,, , (videcomentários, § 7.7.1, arespeito de pilares de seção
c. Paredes (b 6 h)
celular). De modo geral esta condiçáo da NB-I parece
exagerada, podendo por isso ser suprimida.
...
p,,, = 0,4%
d. Paredes com seçáo efetiva A,, ,superior a seçáo calculada A,., ,.,
A,, min = 0,4% A,, c,
A,, ,i, = 02% A,, ,f
e. Paredes com 5 h < b < 6 h
Interpolar linearmente entre os valores recomendados para pilares e paredes.
f. Pilares cintados
Veja-se o § 7.2.3
I
7.8.5 ESPAÇAMENTO DAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1
BARRAS LONGITUDINAIS
a. Espaço livre mínimo entre barras; 2 cm; 1 4; 1,2 dogregodo
+ = diâmetro das barras, das luvas ou dos feixes
b. Espaço livre mínimo entre barras, na posição das emendas por traspasse: 2 $
I
c. Espaçamento máximo, junto ao contorno dos pilares náo-cintados:
i
40 cm
d. Espaçamento máximo, das barras da armadura principal das paredes: I
2 h, 30 cm i I I
7.8.6 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-I
TRANSVERSAIS
a. Espaçamento máximo dos estribos dos pilares náo-cintudos
f,k.Jf,.,
- 30 cm
- menor dimensão externa da seção da peça
- 21 +,e 340 m2,1 +, para aço CA-25 e CA-32
- 12 +, e 190 +2,/ +, para aço CAIIO, CA-50 e CA-60
Caso f,k, esi,.o, < fuk, armadura reduzir o espaçamento proporcionalmente a
b. Arranjos básicos dos estribos
Na Fig. 7.8.6-1 são mostrados os arranjos básicos dos estribos, de acordo com as
exigências da NB-1.
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS
Fig. 7.8.6-1 .4rranjos básicos dos estribos das peças náo-cintadas.
c. Diâmetro mínimu dos estribos
De acordo com a NB-1, deve-se ter:
d. Armaduras secundárias das paredes
A armadura secundária, normal à armadura principal, deverá ter seção tr,.,, .,-
sal no mínimo 50% da principal.
PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF'fCIOS
e. Estribos suplementares nas paredes
O emprego nas paredes de estribos suplementares, como os indicados na Fig.
7.8.6-1, é exigido pela NB-1 apenas quando ocorre pelo menos uma das seguintes
circunstâncias:
f. Pilares cintados
Veja-se o § 7.2.3
7.9 EXERC~CIOS 7. 1 Que são ações atuantes e ações resistentes? Definir solicitações atuantes e soiicitaçóes
resistentes.
7. 2 Qual a condição de segurança na flexão pura?
7. 3 Definir a direçáo da verificação da segurança na flexão composta.
7. 4 Que são excentricidades acidentais?
7. 5 Deduzir as expressões básicas de dimensionamento dos pilares não-cintados submetidos a
compressão centrada.
7. 6 Qual a funçáo do coeficiente a de majoraçáo da força normal?
7. 7 Como é determinado o índice de esbeltez dos pilares dos edifícios correntes? Quais as
hipóteses envolvidas nessa determinação?
7. 8 Que é pilar cintado? Qual o efeito do cintamento?
7. 9 Como a NB-I considera quantitativamente a influência do cintamento?
7.10 Quais as restriçóes ao emprego de pilares cintados?
7.11 Quais as exigências da NB-I quanto a dimensões, espaçamentos e taxas de armadura dos
pilares cintados?
7.12 Quais as condiçóes que tornam obrigatória a consideração da açáo do vento sobre os
edifícios?
7.13 Que são estruturas de contraventamento?
7.14 Como são considerados os nós dos pilares de estruturas contraventadas?
7.15 Quais sáo as situações básicas de projeto dos pilares dos edifícios?
7.16 Como são calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de extremidade?
7.17 Como sáo calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de canto?
7.18 Definir as situaçóes de projeto e as correspondentes situações de cálculo estipuladas pela
NB-1. Como podem ser elas simplificadas? Justificar.
7.19 Como se faz a transformação de uma flexáo composta oblíqua numa flexáo composta
normal equivalente?
7.20 O que se entende por diagrama de interação linearizado na flexáo composta oblíqua?
Quando é lícita essa linearizaçáo?
7.21 Quais as desvantagens do emprego do diagrama de interaçáo linearizado?
Pilares Usuais de Edifícios.
Exemplos de Dimensionamento
8.1 DADOS BÁSICOS
DE PROJETO
8.1.1 CARGAS DE PROJETO Para a determinação das cargas de projeto, dispõe-se da Norma Brasileira NB-5/78
(Cargas para cálculo de estruturas de edificações), a qual "fixa as condições exigíveis
para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de
estruturas de edificações, qualquer que seja a sua classe e destino, salvo os casos
previstos em normas especiais".
A NB-5 classifica as cargas em permanentes e acidentais, indicando-as, respectivamente,
pelos símbolos (g) e (q).
A carga permanente (g) da construção é constituída pelo peso próprio da estwtura
e pelo peso de todos os elementos constmtivos fixos e instalações permanentes.
Para os casos em que não há determinação experimental, a NB-5 fornece os
valores dos pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes.
A tabela seguinte é um extrato da Tabela 2.1.3 da NB-5178.
Blocos
artificiais
e concretos
Peso específico aparente
1 Materiais I íkN/m3)
blocos de argamassa
cimento amianto
lajotas cerâmicas
tijolos furados
tijolos maciços
tijolos sílico-calcários
argamassa de cal. cimento e areia
argamassa de cimento e areia
argamassa de gesso
concreto simples
concreto armado
22
20
18
13
18
20
19
2 1
12.5
24
25
I N =0.1kgf I MPa =I MNlmX= 10kflcm2
I kN = IWkgf= 0.1 tf I kN1m = IW kgfim = 0,l tfim
I kN.m = 1W kgfm = 0.1 ttm
I kNimS= IW kgfimP = 0.1 tflm'
1 kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNimb IW kgflm' = 0.1 tfIm3
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 273
De acordo com a NB-5, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a
estrutura de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos,
veículos etc.).
Na tabela seguinte apresenta-se um pequeno extrato da Tabela 2.2.1.2 da NB-5,
na qual são especificados os valores mínimos das cargas verticais.
Local
Casas de máquinas
Corredores
Edifícios residenciais
Escritórios
(incluindo o peso próprio das máquinas)
a ser determinada em cada caso, porém com o
valor mínimo de
com acesso ao público
sem acesso ao público
dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro
despensa, área de serviço e lavanderia
salas de uso geral e banheiro
Carga (kN/mZ)
7.5
3
2
1.5
2
2
C
A NB-5 fixa ainda diversos valores numéricos e formula uma série de recomendações
para diferentes casos específicos de carregamento.
No caso de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas
a depósito, para o cálculo de pilares e defundações, as cargas acidentais podem ser
reduzidas de acordo com os seguintes valores prescritos pela NB-5.
I
-
Número de pisos que atuam sobre o Redução percentual das cargas acidentais
elemento
1.2 e 3
4
5
6 ou mais
0
20
40
60
8.1.2 ARRANJO GERAL E Na Fig. 8.1.2-1 está delineado o arranjo geral da estrutura que servirá de suporte
CARREGAMENTO DAS para os exemplos de dimensionamento a seguir apresentados.
LAJES Nos itens seguintes serão dimensionados os pilares P1, P4, P5, W e P8,
admitindo-se diferentes índices de esbeltez.
a. Carregamento das lajes
g, = peso próprio = 0,12 m x25 kN/m3 = 3,O kN/mZ
g, = revestimento (taco + argamassa) = 0,8 kN/mZ
q = carga acidental (escritórios) = 2,O kN/m2
-
p = carga total
5,8 kN/mZ
1N =O,lkgf i MPa I I MNlm* = IOkgf!cm2
I kN = IW kgf = 0,1 tf I kN1m = IW kglirn =O,! tfim
I kN.m = IWkgfm = 0.1 tf.m I kN!mS= 100kgf/m2=0,1 tf/rnS
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 õcm I kN/rnS = lW kgflm' = 0.1 tflm"
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Fig. 8.1.2-1 Arranjo geral
b. Reações das lajes
De acordo com o quejáfoi discutido anteriormente,* as reações de apoiadas lajes
sobre as vigas são obtidas da seguinte forma:
'Fundamentos do Projeto Estnitural.
IN =O,Ikgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm2
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = 100 kgf/m = 0.1 tflm
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m I kNlms= 100kgf/mP = 0,1 tfim2
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tfcm I kNlm3 = 100 kgfIm3 = 0.1 tflm=
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 275
8.1.3 cÁLCULO DAS VIGAS I. Viga VI
VIGA @ (20/50 + 12)
Fig. 8.1.3-1 Cálculo da viga VI
a. Cargas
peso próprio + alvenaria
laje (L1 = L2)
-
12,0 kN/m
7,8 kN/m
p = 193 kN/m 20 kN/m
b. Reaçóes
As reações estão indicadas na Fig. 8.1.3-1 e foram calculadas admitindo-se uma
viga contínua (os momentos nos apoios internos foram calculados de forma aproximada
pelo valor - pt2/10).
Não convém, em situaçóes dessa natureza, o uso indiscnminado da permissão
dada pela NB-I em seu 5 3.2.2.3 B (d).
c. Rigidez (de acordo com a Tabela 27)
-
0,i kd 1 MPa = i MN/mS = 10 kgficrnP
I00 kd =- 0,l lf
1 kN/m = 100 kgfim = 0,l tfim
i00 kgtm = 0.1 tf m I kNim2 = 1001<gWmP = 0.1 tWmz
100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgf/mg = 0,l tfima
1 MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cmz
d. ?víomento de engastamento perfeito
VIGAS
o=@ (20/50+ 12)
Fig. 8.1.3-2 Cálculo das vigas V2 e V3
a. Cargas
peso próprio = 0,20 m x 0,60 m x 25 kN/m3 = 3,O kN/m
- -
laje (L1 L2)
L1 = 7,s kN/m
laje (L3 L4)
L3 = 7,s kN/m
p = 18,6 kN/m 19 kN/m
b. Reações
Valores indicados na Fig. 8.1.3-2.
c. Rigidez
IN =O,lkgi I MPa =I MNlrn2= IOkgflcm'
I kN = IWkgi= 0.1 tf I kNlm = IW kgflm = O, I tfim
I kN.m = 1W kdm = 0.1 tfm I kN1m' = IW kgfimP = 0.1 lflm'
I kN.cm= 1Wkgj.cm =U,I tf.cm 1 kNlmZ= 1Wkgflm8=U,1 tfirn3
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMF'LOS DE DIMENSIONAMENTO
d. Momento de engastamento perfeito
pe2 - 19 kN/m . (6mY = 57 kN,m
Me, = 12 -
12
111. Viga V4
Fig. 8.1.3-3 Cálculo da viga V4
a. Cargas I
peso próprio + alvenaria
= 10 kN/m
-
laje (Ll)
= 5,s kN/m
p = 15,s kN/m 16 kN/m
b. Reações
O equilíbrio de rigidez dentre os pilares P1 e P4 permite que neste caso sejaválida
uma simplificação como a do item 3.2.2.3 B (d) da NB-1.
Os valores das reaçóes estão indicados na Fig. 8.1.3-3.
c. Rigidez
h
b,/b, = 12/36 = 0,33
hJh = 12/52 = 0,23
I) = 0,51 (Tabela 27)
I MPa = 0,l kN/cm2 = I00 N/cmP
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
r, =- I =i
21 = 0,55 dm3
t 40
d. Momento de engastamenro perfeito
IV. Viga V5
I
1
a.
Fig. 8.1.3-4 Cálculo da viga VS.
Cargas
peso próprio
laje L1
laie L2
= 2,O kN/m
= 5,s kN/m
= 5.8 kNim
8.1.4 CARREGAMENTO a. Cargas devidas a 1 andar
DOS PILARES
b. Reações
Reações calculadas de forma simplificada. Valores indicados na Fig. 8.1 5 4.
Total = 82 kN Total = Ill kN Total = 181 kN
I I I I
'Peso próprio já incluído na consideração das alvenarias.
"Valor estimado para o peso próprio.
1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 kgf/cm2
1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm
1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kN/m2 = 1W k8f/mP = 0.1 rf/m2
1 kN.cm= 100 kgf:cm = 0,l tfcm I kNIm3 = IW kgflms = 0.1 tfim"
b. Carga de 10 andares (Valores característicos)
P1 = 820 kN
P4 = 1110 kN
P5 = 1810 kN
P7 = 1110 kN
P8 = 1810 kN
8.2 PILARES
INTERNOS
.2.1 PILAR CURTO (h s 40) a. Problema proposto
Considere-se o dimensionamento do pilar PS, admitindo que o comprimento de
flambagem seja l', = 3,50 m.
De acordo com os dados básicos, têm-se
Admita-se o emprego dos seguintes materiais:
Aço: CA-SOB y, = 1,15
Na compressão simples = 2%0): fsd = 356 MPa (Tabela 20)
Concreto: fCk = 15 MPa YC = 1,4
Na compressão simples: 0,85 f,,
15
=0,85 = 9,l MPa
1,4
b. Pré-dimensionamento '
Admitindo-se a taxa geométrica de armadura
p, = 1%
a tensão ideal a,, vale (Tabela 23)
aia = 035 f,d + p, (fad - 0,85 f,n) = 12,5 MPa = 1,25 kN/cmZ
,I I
resultando a estimativa
ou seja, será adotada a seção
A, = 35 cm x 60 cm = 2100 cm2
1N =O,lkgf I MPa = 1 MNlmZ = 10kgficmZ
I kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNim IW kgfim = O,] tfim
1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tf.m 1 kN/rnP = 100 kgfim* = 0.1 tfimP
I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNim3 = IW kgfimb 0.1 tfima
I MPa = 0.1 kN/cmZ = 100 Nlcm'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
c. Dimensionamento
Adotando-se a seção definitiva
têm-st
De acordo com a NB-1 , para A < 40, a excentricidade acidental mínima pode ser
substituída por uma majoração da força normal, devendo tomar-se
com
É óbvio que esta majoração será feita em função da menor dimensão da seção
transversal, a qual já foi considerada na determinação de A,.
Neste caso, as duas situações de cálculo de flexáo composta, teoricamente
definidas pela NB-I, Fig. 7.4.1-1, ficam reduzidas a uma única situação de cálculo de
compressão centrada.
Desse modo, resulta
obtendo-se a tensão ideal média
. = -
ld
Nld = 2965 kN kN
= 1,41 - = 14,l MPa
A, 2100 cmZ cmZ
De acordo com a Tabela 23, para o Aço CA-50B e f,, = 15 MPa, a tensão
ufd = 14,l MPa corresponde a taxa de armadura
logo
não havendo restrições quanto ao arranjo da armadura longitudinal além das prescnções
constmtivas da NB-I.
0,l kgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgflcm'
: IW kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW kgfim = 0.1 tfim
100 kgf.m = 0.1 tfm I kNlma = 1W kgf/mP = 0.1 fims
; IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNid = IWkgfid = 0.1 ifim3
PILARES USUAIS DE EDIF'~cIoS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 281
8.2.2 PILAR a. Problema proposto
MEDIANA MENTE ESBELTO Considere-se novamente o mesmo pilar P5, admitindo agora o novo compnmento
(40 i A s 80) de flambagem
e, = 5,60 m (e,, = te, por hipótese)
e a mesma seção transversal do caso anterior, ou seja,
Neste caso têm-se, novamente, Fig. 8.2.2-1: 1 1
Fig. 8.2.2-1 Arranjo da armadura
I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmz
+
sendo mantidos os mesmos materiais: Aço CA-SOB, f,, = 15 MPa
b. Pimensionamento
O pilar poderá ser novamente dimensionado apenas em função da esbeltez
máxima. De acordo com a NB-I , o pilar poderá ser admitido numa situação de cálculo
de compressão uniforme, majorando-se a força normal proporcionalmente a
onde
K = 3 (decisxo de projeto, válida para seçóes retangulares
e, = e,, + e,,
1
com A,, 3 - A,, Tabela 16)
3
e,, = 2 cm faz = 2 cm > -
30
(Ver comentário feito em 7.1.4)
logo
tZ,, . 0,0035 + 0,0027
eZs = -
10 (v, + 0,s) h
Empregando-se a Tabela 16, com f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2, tem-se
2 cm
?!E = = 0,057
h, 35 cm
e sendo
IN =O,lkgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz
I kN = IW kgf = 0.1 tf i kNim = IW kgfim = 0.1 fim
I kN.m = 100 kgf.rn = 0.1 tf.m I kNimS= IW kgfimP = 0.1 @/me
I kNcm = 1W kgfcm = 0.1 tfcm I kNima = IW kgfim3 = 0.1 tfirn3
1 MPa = 0.1 kNicm2 = 100 Nicm'
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
resulta (Tabela 16)
a2 = 0,26
obtendo-se
ou seja
a=a,+a2= 1,17+0,26= 1,43
Nld = a Nd = l,43 X 2534 = 3624 kN
Com a seção adotada, obtém-se
Nld =
Uid = - 3624kN - 1,73 - kN = 17,3 MPa
A, 2100 cmZ cm2
e da Tabela 23 resulta (CA-SOB, f,, = 15 MPa)
logo
p, = 2,4%
2100
A, = 2,4 -- = 50,4 cm2 = 16 4 20 (50,4 cm2), devendo ser respeitada a con-
1 O0
1
dição A,, > - A,, Fig. 8.2.2-1.
3
8.2.3 PILAR ESBELTO SEM a. Problema . urouosto .
CONSIDERAÇAO DA Considere-se mais uma vez o pilar P5, admitindo os valores:
-
.+Ac.= 20 cm x 150 cm = 3000 cmz
e, = 560 I& (e,, = e,,)
h i 7 * p a = 1,07 kNIcmZ L. ! 1 Í
1 i
Na direção de menor rigidez, têm-se
1 i
IN =0,1kgf 1 MPa = I MNlrna = 10 kgflcrn*
IkN =IWkgf=O,ltf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tfim
I kNm = 100 kgfm = 0.1 tfm 1 kN/rn2= I00 kgf/rn3= 0.1 tf/m2
I kN.cm = IlM kgfcm = 0.1 tfcm I kN/m3 = IW kgf/rn3 = 0.1 tf/mJ
1 MPa = O,] kN/cmz = 100 N/cmz
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
e na direção de maior rigidez
A Fig. 8.2.3-1 mostra as situações de cálculo especificadas pela NB-1,
ignorando-se ainda as possíveis simplificações permitidas.
SITUAÇÃO SUPOSTA
NO PROJETO
e. =
I
Y
SITUAÇ~ES DE CÁLCULO CONFORME A NB -I.
1'
( 1"
( 2O 1
i d * x
~ d b a y ~ x
eax
i,' 97
Xy= 13
Fig. 8.2.3-1 Situaçóes de cálculo
b. Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso pelas tabelas do Manual de
Flambagem do CEB)
Neste caso, o único momento de I .a ordem decorre da excentricidade acidental
e,,, sendo
hz - 20
e,, = 2 cm (e,, = 2 cm > - - - = 0,67 cm)
30 30
logo
Parao emprego das tabelas daFig. 5.3.5-3 do Cap. 5,'6~"calculam-seos valores:
1N =O,lk&f I MPa = I MNim2 = I0 kgficm*
IkN =IWkgf=O.ltf I kNim = I00 kgflm = 0,I tfim
1 kN.m = IWkgfm = 0.1 1f.m 1 kNimZ= IWkgfim2=0,1 tiim'
1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I ücm I kN/ma = I00 kgfima = 0.1 tfim3
I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NicmP
"
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
De acordo com a tabela citada, têm-se:
para
para
Interpolando linearmente para <,/h = 28, resulta
Observe-se que, de acordo com a definição adotada,'" l7 a taxa o. não fornece a
armadura total, mas sim a armadura de cada uma das faces.
Sendo então wn =
5 fUd
2
0,85 fc, A,
0,85 x 10,7 MPa x 3000 cm2 = 25,7 cmZ
tem.se 5 = 0,41
2 435 MPa
logo A, = 2 x 8 6 20 (2 x 25,2 cm2), conforme indicação da Fig. 8.2.3-2
Fig. 8.2.3-2 Atnanjo da armadura.
/yh,=
20cm
I N =0,1kgf I MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cm2
I kN = 100 kgf = 0.1 tf r kN/rn = 100 kgfim = 0.1 tf/m
1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 k8firn2 = 0.1 WmP
1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 dcm I kN/m3 = 100 kgf/mS = 0.1 tf/rn3
I MPa = 0.1 kN/crn2 = 100 N/cmZ
c. 2.O Situaçáo de cálculo (Dimensionamento simplificado)
A 2.a situação de cálculo especificadapela NB-1 corresponde aflexáo no plano de
maior rigidez da seção transversal do pilar, Fig. 8.2.3-1.
Neste caso, sendo A, < 40, adinite-se o cálculo simplificado, resultando:
Nld = 2787 kN kN
Uid = -
= 0,93 - = 9,3 MPa
A, 3000 cm2 cmP
1 De acordo com a Tabela 23, para CA-SOB, fek = 15 MPa e u,, = 9,3 MPa, resulta
I
um valor
I
Ps, nec < Ps, dismnível = Ps, I.* sit. de esleuio
8.2.4 PILAR ESBELTO. a. Problema proposro
SOLUÇAO ALTERNATIVA Considere-se novamente o pilar, P5, nas mesmas condiçoes do item anterior.
POR MEIO DE O objetivo deste exemplo é mostrar o emprego de diagramas de interação de
DIAGRAMAS DE flexão composta de barras esbeltas, como os que foram mostrados no Cap. 5, Fig.
INTERAÇÃO 5.3.5-5.
Basicamente, esses diagramas de interação fornecem os mesmos dados que as
I< tabelas apresentadas pelo Manual de Flambagem do CEB.17
Tendo em vista o objetivo deste exemplo, será considerado apenas o dimensionamento
referente a I .a situação de cálculo do item anterior (58.2.4-b), Fig. 8.2.3-1.
b. I.a Situação de cálculo (Solução alternativa - dimensionamento rigoroso por
meio dos diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5)*
Dados do projeto:
N, = 2534 k~ N<r IJ
e,, = e,, = 2 cm
A, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2
h, = 20 cm
*ReferSncia (18)
I; @,
&J
IN =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgf/cmZ
I kN = 100 kgf = 0.1 rf I kN1m = IW kdim = 0.1 tflm
1 k Nm = 1W kgf.m = 0.1 tfm I kN/ma = 1W kgf/m2 = 0.1 tflm'
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kNim3 = l m kgfim3 = 0.1 tf/m3
i
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
kN
fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 -
cm2
kN
f,, = 435 MPa = 43,5 -
cm2
Com esses dados, obtêm-se os valores:
Dos diagramas deinteração da Fig. 5.3.5-5, com vd = 0,79e pId = 0,08, obtêm-se:
para 5 = 25 : w = 0,65 r/
h
para 5 h = 30 : o = 0,85
Interpelando para 5 = 28, obtém-se
h
e sendo
resulta
I N =O,lkgf 1 MPa =I MNlmZ = 10kgf/crn2 '
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = IW kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m I kN/m2 = IW kgflmz= 0.1 tflm'
I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mS = 100 kgfimg = 0.1 tf/mJ
I MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cms
zss
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
ou seja
resultado praticamente igual ao anteriormente obtido.
8.2.5 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto
SOLUÇÁO ALTERNATIVA Repetir o dimensionamento feito no item anterior, mas empregando-se direta-
POR MEIO DE mente os diagramas (moment~ fletor-força normal-curvatura).
DIAGRAMAS (M, N, Ilr) 1
A Fig. 8.2.5-1 mostra os diagramas (M, N, -) correspondentes a d'/h = 0,05 e
r
ACO CA 50-A
d'lh = 0,15, respectivamente, ambos válidos para u = 0,80
8 =orctg 0,066 el=arctg 0,074
Fig. 8.2.5-1 Solu~ão por meio de diagramas (M- N - llr).
b. Dimensionamento
- N
UA = d = 0,79 0,8
.- -
\
\
\ I
PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
\- 291 1
\
sendo
tem-se
ou seja
Considerando que os diagramas daFig. 8.2.5-1 têm por abscissaavanável 103d/r,
pode-se escrever
Desse modo, o coeficiente angular da reta que determina o momento de 2.= ordem
p2 é dado por
No caso presente, têm-se:
d
para- - = 0,95 : tg 8
H
d
para - = 0,85 : tg o
h
Conforme se vê na Fig. 8.2.5-1 têm-se:
d
para - = 0,95 : OJ = 0,65
h
d
para - = 0,85 : = o,90
h 1
I
d
resultando por interpolaçáo, para - = 0,90,
h
aticamente o mesmo valor obtido no item anterior, ao qual corresponde
= 2 x 9 C$ 20 (2 x 28,35 cm2)
I
-.
.
~ ~.~.
290 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
8.2.6 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto
CONSIDERAÇAO DA Considere-se novamente o dimensionamento do pilar P5, levando em conta o
FLUÊNCIA efeitoda fluência. Para isso, serão admitidos os seguintes valores:
'\ \ i, \
a e n a duração
-'.~-
N~, +.bk~=o,sr N.
! Fg = y, (No, + +, Nck) com y, = 1,10
,..~~
função de fluência +(L, to) = 2
A, = h,h, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2
b. Cálculo da excentricidade suplementar e,
.- --\
i ;
- carga que produz fluência F- (Ngk + I)~N~,) = y,.0,95,Nk
/-v-----------.
'\-.'
F, = 1,10 x 0,95 x 1810 = 1890 kN
'%,
,''
\
'8
l
- excentricidade de I .a ordem da carga F,
~.
e, = e, + e.
sendo
;ei
= 0 (situaç,áo..de.projeto de compressão centrada)
i-.--.-
.. .. ~ ~
~.
. ~~
- módulo de deformação longitudinal do concreto
E, = 0,9 x 6600 dfck + 3,5 (em MPaj
f,, = 15 MPa
E, = 0,9 x 6600 d m =
25550 MPa
kN
= 2555 -
cmZ
- momento de inércia ideal
Admitindo-se a seção retangular da Fig. 8.2.3-2 como fruto de um prédimensionamento
aproximado, têm-se
A, = 2 x 8 4 20 = 50,4 cm2
E, = 210000 MPa
IN =O,Ikgf I MPa = I MNlm2 = lOkgfIcm2
IkN =IWkgf=O,Itf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 1W kgtm = 0.1 1f.m I kN/mz= IW kgflm2 = 0.1 tf/mS
1 kN.cm= IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNImz= IWkgf/mS= 0,I tf/ma
I MPa = 0.1 kN1cm2 = IW N/cm2
PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
- carga de flambagem de Euler
sendo e, = 5,60 m
- excentricidade suplementar
S*.> " c
~.
.
2,??&890 ) V
e, = 2 { exp ( !- I)} = 2,e-0,5z = 1,19 cm L'
9800 - 1890 ,
<
L ..
c. Situaçóes de cálculo
A Fig. 8.2.6-1 mostra as situaçóes de cálculo, considerando-se o efeito dafluência.
SITUAÇAO SUPOSTA SITUA~ÕES DE CÁLCULO CONFORME A NB - I
NO PROJETO ( 1 " ) (2%)
-
ei=O
_I + h,= 20
e,,
ecx
e
X = 13
Y
x
Fig. 8.2.6-1 Situaçóes de cálculo.
Observe-se aue na Fie. - 8.2.6-1
Isto decorre do fato de que o pilar ; d á calculado pelo processo hEla~padrai$
mas sim por um processo rigoroso, no qual são explicitadas apenas as excentricidades
de I .a ordem
IN =O.lkgf I MPa = I MNlrn2 = 10 k&icrns
IkN =lmkgf=o,lrf I kNim = IW kgfirn = 0.1 tflm
1 kN.m = IW kgf.rn = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 tfim2
I kN.crn = 1U kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNirnL IW kgfim3 = 0.1 @/ma
1 MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 Nlcm*
292 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS .C
e
d. Dimensionamento em função da situação de cálculo
Neste caso, empregando novamente os diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5,
têm-se
Nd = yf Nk = 1,4 x 1810 = 2534 kN
e,, = e,, + e, = 2 + 1,19 =3,19cm
A, = 20 em x 150 cm = 3000 cm2
h, = 20 cm
logo, sendo
I
para
obtém-se:
6 = 25 : = 0,80
h
resultando para <,/h = 28
ou seja
3
w = 0,80 + - x 0,20 =
5
podendo fazer-se A, = 2 x 11 4 20
(2 x 34,65 cm3
8.2.7 PILAR CINTADO a. Problema proposto
Considere-se o dimensionamento do pilar P8, admitindo uma seção transversal
1N =O,lkgf 1 MPa = I MN/mP = IOksficm'
IkN =lWkgf=O,IIf 1 kN/m = 1W kgflm = 0.1 tfim
I kN.m = 1W kgf.m = 0,I ttm 1 kN/mz = 100 kgf/m2 = 0.1 Um'
1 kN.cm= 1W kgi.cm = 0,1 tf.cm 1 kNlmS= lWIrBflmS=O,I Iflm"
k'-\ 1
circular com diâmet d = 45 cm e a otando um comprimento de flambagem e, = 3,50
m.
s são os seguintes:
uYY
Nk = 1810 kN
Nd = ,Nk = ,4 x 1810 = 2534 kN
Aço: C - = l,l5 fvk = 500 MP
Concreto: fck = I5 MPa y, = 1,4 fcd
b. Tentativa de dimensionamento como pilar náo-cintado
De acordo com a NB-1, em lugar da excentricidade acidental
pode-se admitir compressão centrada com
Sendo (Tabela 13)
Nld = aNd = 1,15 x 2534
resultando
uid = - Nld _--
2914 kN
= 2,32 - = 23,2 MPa
A, 1256 crn2
A esta tensão ideal corresponderia a taxa geométrica de armadura dada por
1 MPa = 0.1 kN/cmz = IW N/cmP
294 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
.A
6 '>
que no caso vale
resultando a armadura longitudinal
Admitindo-se que houvesse emendas por traspasse, estariaultrapassado o limite
de 6% imposto pela NB-1 para a máxima armadura longitudinal de pilares nãocintados.
~.
C. Condiçóes de dimensionamento como pilar cintado
Admita-se a colocação da máxima armadura longitudinal
considerada, impondo a bitola +&ara as barras da armadura longitudinal e respepando
as prescrições construtivas da NB-1 e da NB-503, conforme o que foi
n b -
7.3. --~ -
----- ~ ~ ~ - - ~
Prescriçóes da NB-503
- Admitindo-se um edifício com potencial calorífico equivalente em madeira não
superior a 60 kg/m2, deve ser considerado um incêndio F 120 para o dimensionamento
dos pilares, uma vez que o prédio tem 10 andares conforme os dados básicos
de projeto.
- Cobrimento c, da armadura longitudinal, admitindo-se um revestimento de argamassa
de cal e areia com 1,5 cm de espessura:
Prescriçóes da NB-1 -
de edifícios: c = 2,0 cm
por traspasse. 2 +,
d. Determinaçüo da armadura longitudinal
O
Desse modo, conforme indicado na Fig. 8.2.7-1, tem-se o número máximo de
di ' 38,5cm
EMENDAS POR TRASPASSE
d=45cm
di
38,5 cm
Fig. 8.2.7-1 YLLI...~~~~~,~o do máximo
número de banas longitudinais~
PILARES USUAIS DE EDK~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 295
barras
Armadura longitudinal adotada é então
A,, = 18 4 16 = 36,O cm2
A área do núcleo cintado vale
resultando a taxa
Jw"
que é aceitável, pois conduz, nas emendas, a um valor inferior a 8%, que é a taxa
máxima permitida para pilares cintados. -
e. Dererminação rln armadura de cinramento
Sendo
resulta /
sendo possível empregar-se o pilar cintado (NB-I : h,,, = 40)
Existindo uma situação de projeto de compressão centrada, com
pode-se admitir a situação de cálculo de compressão centrada, pois
h
A força normal majorada vale então
resultando
NIa = 1,16 X 2534 kN = 2940 kN
a expressão simplificada (7.2.3-1 I), tem-se
1 2 i
1164cmZ - -
50 (r:Zrl
a
AI = 9,85 cm2
Por outro lado, de acordo com a definição dada por (7.2.3-3), tem-se
nd . Atl
onde AI, é a área da seção transversal da barra de cintamento e sl é o espaçamento
das espiras, logo
Adotando-se sl = 5 cm, resulta
donde
AI, = 9,85
n x 38,5
= 0,4l cmZ
i/-
+, = 8 mm \ (A,t = + 8 cada 5 cm) )
f. Verificaçãofinal
De acordo com a NB-I, deve ser
Calculando-se a carga limite do pilar não-cintado, tem-se
ou seja
N,,, IE<r-C,LodO -
- (0,85 x 1,07 - x 1256 cmZ + 35,6 - x 36 cm2 = 2090 kN
I
1 kN kN
I
1,16 cm" cm2
2i-i
I
1 N = 0.1 kBf I MPa = I MNlmz = 10kBflcmP
IkN =100kgf=0,ltf I kNlm = IW k8fIrn = 0,l tflm
1 kN.m = 1W kgf.m = 0,1 1f.m 1 kNlrn2= 100 kgflm' = O,l tflm'
1 kN.cm= I00 W.cm = 0,I tf.cm 1 kNlmk lfWkBflms = 0.1 tflma
PILARES USUAIS DE ED~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
8.3 PILARES DE
EXTREMIDADE
estando portanto satisfeita a condição
Na, ~intaa~ = 2543 kN <
J
1,7 x Na, .so.~intaao = 3552 kN
8.3.1 PILAR CURTO a. Problema proposto
Considere-se odimensionamento do pilar P4, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.
Esse pilar está submetido à flexão composta em virtude do seu monolitismo com as
vigas V2 dos diferentes pisos. Como o plano de flexão contém um eixo de simetna da
seção transversal do pilar, a flexão composta será normal.
b. Dados de projeto
De acordo com o que foi estabelecido em 5 8.1.4 deste capítulo, têm-se:
Admitam-se ainda os seguintes elementos:
C = C, = 2,80 m
f,, = 15 MPa
15
fcd = fCK = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
Yc 134
Aço CA-50B
f@ = - fuk
= joO MPa = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ
Y* 1,15
c. Pré-dimensionamento
Para pré-dimensionamento dos pilares de extremidade dos edifícios usuais, em
geral pode ser admitido um valor
No caso presente, admitindo-se um valor médio e,/h = 0,07, com h = 25cm,
resultam as excentricidades
logo
1N =O,Ikd I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/crnP
1kN =IWkgf=O,ld 1 kNlm = 100 W /m = 0.1 tflm
1 kN.m = 100 kBf.m = 0,l tfm I kN/mz= 100 kgflm' = 0,l tflm'
1 kN.cm = 100 kdcm = 0.1 tf.cm 1 kNlmS = 100 kdim' = 0.1 üimS
1 MPa = 0,l kNlcmx = 100 N/crnZ
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
donde
logo
De acordo com o § 7.6.5, pode-se fazer, neste caso,
~d,~~=vd+3pd=vd(1+3~ 0,15) = 1,45 vd
logo
De acordo com a Tabela 23, para p, = 1%, tem-se
aid = 12,s MPa = 1,25 kN/cmZ
donde
A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2
d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais Fig. 8.3.1-1
Sendo
h = -
e, -- 280
= 38,8 < 40
i 7.22
(Pilar curto)
Calculando o índice de rigidez do pilar, têm-se:
1N =O,Ikgf 1 MPa =I MNlmz= 10k8ficm2
1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = 0.1 tíim
L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlmP = 100 kgfim' = 0.1 tíim*
I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 ffcm I kN/mL ILW 1<8f/m3 = 0.1 tí/mJ
P4
X
( kN. m ikN m)
25cm/l'__i
(A-A)
MOMENTOS
FLETORES ( Mik)
Fig. 8.3.1-1 Determinação dos momentos fletores iniciais.
Admitindo-se r,, = r,,, Fig. 8.3.1-1, a presença da viga V2 de um único andar
acarreta os seguintes momentos fletores:
donde
Desse modo, considerando a propagação dos momentos através das expressóes
(7.3.5-6) e (7.3.5-7), obtêm-se os valores
donde
MI,,
6 = Moose, 6 = yf Mk = l,4 x 15,5 = 21,7 kN.m
IN =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz
1kN =IWkgf=O,Itf I kNlm = 100 kgflm = 0,l dlm
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tfm 1 kN/rn2 = 100 kgf/mz = 0.1 d/m2
I kNcm = 1W kgfcm = O,l tf.cm I kN/m3 = 1W kgfim' = 0.1 Wm'
I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm*
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
Os esforços soliciiantes iniciais têm portanto os valores indicados na Fig. 8.3.1-2.
Observe-se que é desprezada a variação de força normal ao longo de um tramo de
pilar, adoiando-se o valor constante
Em arnbas as extremidades, os módulos das excentricidades máximas da força
axial são iguais a
FORÇAS NORMAIS MOMENTOS FLETORES (M,~)
(Nd) M,A= 21,7
e , ~ = 1, 4cm
(kN)
(kNm)
Nd - 1 554
ele= 1,4cm
Fig. 8.3.1-2 Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais
e. Excentricidades acidentais
De acordo com a NB-1, deve-se fazer:
e,,
= 2 cm
e,,
70
= !!?i = .- = 2,3 cm
30 30
A essas excentricidades acidentais correspondem os momentos fletores acidentais:
f. Efeitos de 2.O ordem
No caso presente, por se tratar de um pilar
fletores de 2.= ordem a serem considerados no
existem momentos
Por essa razão, os
LN =O,lkgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgf/crns
IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = 100 kgfim = 0,I tfim
1 kN.m = IW kBfm = 0.1 ifm I kN/ms = 1W kgfim2 = 0.1 tiim'
I kN.cm = 1M kgf.cm = 0,l tfcm I kN/m'= IW kgf/m8 = 0.1 tflm'
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 301
momentos fletores totais são obtidos pelasimples superposiçãodos momentos iniciais
com os momentos acidentais.
g. Momentosfletores totais e situaçóes de cálculo
A Fig. 8.3.1-3 mostra os diagramas de momentos fletores totais ao longo do
comprimento do pilar. Estes momentos são de 1 .a ordem, porque o pilar é suficientemente
curto para que sejam desprezados os efeitos de 2.a ordem.
Tendo em vista o andamento dos diagramas de momentos fletores, a armadura
será constante ao longo do comprimento do pilar e com arranjo simétrico dentro da
seção transversal.
Na Fig. 8.3.1-4 estão mostradas as situações de cálculo a serem consideradas no
dimensionamento do pilar.
ENVOLT~RIA DOS ENVOLTÓRIA DOS
VALORES DE Myd VALORES DE MXd
Fig. 8.3.1-3 Diagramas de momentos fletores totais (pilar curto).
h. I.a Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso)
Nd = 1554 kN
MSd = 52,s kN.m
A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2
f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
fUd = 435 MPa
1 N = 0,l kBf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficm'
I kN = 100 kgí = 0.1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgí.m = 0,l tf.m 1 kN/mX= lWkgf/ma =O,I tf/ms
1 kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mz = 100 kBf/ma = 0,l n/ma
I MPa = 0.1 kNlcm' =/ 100 N/cmz
w e
= 1,4 crn
y
si~unçio SIMPLIFICADA 4 /( PARA eix < e 0 Y )
SITUAÇÃ~ EQUIVALENTE (NB-i)
e = e +0,4 ela' = 2,3 cm
X I X
e. = i,4 cm e,, = 1,4 cm
I X .-
e, = 3,4 cm
Fig. 8.3.1-4 Condl~óer de dirnen~ionarnentu
donde
Empregando-se os diagramas de interação (Ref. 7), resulta
w = 0,31 (para d,' = 0,15 h)
I N =0,1kgf I MPa = I MNlm2 = 10kgficmP
I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!m = 100 kgfim = O,! tfim
1 kN.m = 100 k8fm = 0,1 tfm I kN/mL IW kgfimP = 0.1 tfim*
1 kNcm = 100 kgf.cm = 0,l tfcm I kN!m3= IW kgfiinL 0.1 tfimg
PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEWlPLOS DE DIMENSIONAMENTO 303
A,= 12 fl 12,5 logo, Fig. 8.3.1-5,
A,, , = 12 4 12,s (A,,,
= 15,O cm2)
i. I.a Situação de calculo (Dimensionamento expedito)
Tendo em vista o que já foi dito sobre o andamento dos diagramas de interação,
pode-se, em casos desta natureza, proceder da seguinte forma:
I!
I
125 i
Fig. 8.3.1-5 Dimensionamento rigoroso.
v, ,,,,,,, = ~ ~ , ~ ~ + =0,83 3 p ~ +3 ~ , X d 0,ll = 1,16
Desse modo, sendo
Fig. 8.3.1-6 Dimensianamenia expedito.
tem-se
logo
uid = - N1d = vd, fed = 1 ,I6 x 10,7 MPa = 12,41 MPa
A,
-
Para f,, = 15 MPa e Aço CA-50B, pela Tabela 23 obtém-se
p, 1 ,O%
A
A,= 1,02= 1750 cmz = 17,s cmz
1 O0 1 O0
resultando, Fig. 8.3.1-6,
A,, e = 14 4 12,5 (A,, , = 17,5 cm2)
j. 2.a Situaçáo de calculo (Dimensionamento simplificado)
De acordo com a NB-I , em lugar da situação teórica de flexão oblíqua é possível ,
considerar-se uma situação de flexão normal com a excentricidade
I
I
I
I
No entanto, é plenamente satisfatóna a verificação com
I
e, = e,, = 2,3 cm
1 N = 0,l kgf I MPa = I MNlm2 = I0 kgficm'
fkN = 100 kgf = 0,l tf 1 kNlm = 100 kgfim = 0.1 tfim
I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tfm 1 kNimZ = IW kgfirns = 0.1 dlm'
1 kNcm = 100 kgf.cm = 0,l tf.crn 1 kN/rn3 = IW kgfirns = 0.1 tfirn'
I MPa = 0.1 kNicrnZ = 100 Nicrn'
304 ESTRUTüRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
conforme foi discutido em § 7.5.3
Fazendo-se o cálculo simplificado, neste caso, resulta:
N, = 1554 kN
e, = e,, = 2,3 cm
Como a armadura está disposta ao longo das bordas de maior comprimento, Fig.
8$.1-5, têm-se
ri, = - a Nd - 1759 kN = 1,Ol kN/cm2 = 10,l MPa
A, 1750 cm2
Pela Tabela 23, para fck = 15 MPa, tem-se
p. ' 0,5% < P , ,! c.,
Note-se que, se fosse feito e, = e,,+ 0,4 ei,, conforme exige a NB-1, o resultado
obtido seria exatamente o mesmo.
8.3.2 PILAR a. Problema proposto
MEDIANAMENTE Considere-se o mesmo pilar P4 no item 8.3.1, admitindo porém que seu compn-
ESBELTO. 1 .O EXEMPLO mente seja de 4,60 m.
b. Dados de projeto
Conforme o que foi determinado na Seção 8.1, bem como no item 8.3.1, têm-se:
I
Nk = 1110 kN
N, = yfNh = lr4 x 1140 = 1554 kN
Me,,, = 57 kN.m (V2)
Me,,, = yfMeng,k = 1,4 x 57 = 79,s kN.m
r, = 1,16 dm3
Pilar: h, = 25 cm, h, = 70 cm
A, = 25 x 70 = 1750 cmZ
Admitam-se também os seguintes elementos:
e = e, =4,60m
f,, = 15 MPa
fck - 15
fed = - - - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
Yc 1,4
'íPa = 0.1 kNlcm2 = 100 Nlcm'
PILARES USUAIS DE EDlFfCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENT~ 305
Aço CA-SOB
f,,,, = 435 MPa
c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais
Analogamente ao que foi mostrado na Fig. 8.3.1-1, têm-se agora:
h, = 25 cm
- Az=-- 460 - 63,7
7,22
64 (pilar medianamente esbelto)
Momentos devidos à viga V2 de um único andar:
donde
logo
Considerando-se a propagação de momentos devidos a diversos andares, tem-se
M , , = -M ,,,,, , = I,5 r 7,3 = 10,95 kN.m
M ,
= -Mo ,,,,
= yfMk = 1.4 x 10,95 = 15,3 kN.m
A Fig. 8.3.2-1 mostra os esforços solicitantes iniciais ao longo do pilar considerado.
FORÇAS NORMAIS
(Nd)
MOMENTOS FLETORES
(Mid)
h A
Mia =I53
~ig. 8.3.21 Situaçóes de projeto. Esforços
solicitantes iniciais.
1N =O,lkgf MPa = I MN/m3 = l0kgf/cmS
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = IW kgflm = 0.1 tfim
I kNm = 100 kgf.m = 0,1 ff.m I kN/mP = 1W kgfim* = 0,I d/m2
1 kN.cm = 1UO kgtcm = 0,1 tfcm 1 kN/m8= IWkf/m3 = O,L d/ms
1 MPa = 0.1 kNlçms = IW Nlem'
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
d. Excentricidades acidentais
h, = 25 cm, logo e,, = 2 cm
h, = 70 cm, logo e,, = !?!i = ?! = 2,3 cm
30 30
e. Excentricidades de 2.O ordem
Na direção de maior esbeltez, tem-se
devendo ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem cujo valor máximo, de
acordo com a NB-I , pode ser calculado pela expressão
com
No caso presente, empregando Aço CA-50 (não importa para esta expressáo
se o aço é da Classe A ou da Classe B), tem-se
Esta expressão está tabelada na Tabela 25, da qual, para
resulta
ou seja
e,, = 0,14 x 25 = 3,5 cm
Na direção de menos esbeltez, têm-se
1N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10 kgflcm2
1kN =IWkgf=O,ltf I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 100 1<gtm = 0.1 tf.m I kNlm' = 100 kgflm' = 0.1 tflms
I kN.cm = 100 kgfcm = 0,1 tfcm 1 kN/ms = 100kBflm2 = 0,1 tflmS
1 MPa = 0.1 kN/cm2 = L00 N/cma
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
3W
sendo portanto desprezíveis, nesta direção, os efeitos de 2.a ordem.
f. Situaçüo de cálculo. Superposição dos esforços
Neste caso, sendo h, > 40, no dimensionamento deverão ser levados em conta os
momentos fletores de 2.a ordem.
Admite-se que o pilar em consideração, por pertencer a uma esttutura de edifício
devidamente contraventada, possua extremidades indeslocáveis. Nessas condições,
os máximos momentos fletores iniciais agem nas extremidades do pilar e os máximos
momentos fletores de 2.a ordem agem em sua seção intermediária.
Por essa razão, conforme foi visto no item 7.5.4, a NB-1 especifica que sejam
considerados os seguintes momentos fletores iniciais:
1. Seção intermediária
onde
Mic < 0 quando tracionar a face oposta aquela tracionada por M~A
No caso presente, tem-se
logo
donde
M~A,<I = - Mim = 15,3 kN.m
Mi,.,
= 0,4 MiA,d = 0,4 x 15,3 = 6,l kN.m
2. Seçóes das extremidades
logo
Mt,, d = MLA, = 15,3 kN.m
Desse modo, resultam as seguintes situações de cálculo:
-
1 N = 0.1 W I MPa = I MNlm' = I0 kgflcm*
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN/mP = IW Wlm' = 0.1 tflm'
1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 e.cm L kNlm" IW kgflm9 = 0,l tflm'
I MPa = 0.1 kNlcmP = LW Nlcm2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
.2 Situações
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 309
1. Seção intermediária
Na = 1554 kN
1 .a Situação: e, = e ,~
2.= Situação: e, = e,, = 2,3 cm
2. Seçáo de extremidade
+ e,, + e,, = 0,4 + 2,O +3,5 = 5,9 cm
N, = 1554 kN
I.a Situação: e, = e. + e,, = 1,0 + 2,0 = 3,0 cm
2.a Situação: e, = e,, = 2,3 cm
A Fig. 8.3.2-2 mostra as situações de cálculo para as duas seções criticas do pilar,
isto é, para a seção intermediária e para a seção de extremidade. As situações de
cálculo foram determinadas com as simplificações expostas no item 7.5.3.
g. l.a Condição de dimensionamenro (Cálculo rigoroso) .
Do exame das situações de cálculo mostradas na Fig. 8.3.2-2, torna-se evidente
que, para o pilar em consideração, a condição mais desfavorável é aprimeira condição
de cálculo da seção intermediária.Desse modo, sendo:
Nd = 1554kN
-
e, = 5,9 cm
fCd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
fVd = 435 MPa (CA-SOB)
A, = 25 cm x 70 cm = I750 cm2
têm-se
logo
Dos diagramas de interaçáo, com 8' = 0,15, resulta
o = 0,61
A, = o A,f,, = 0,61 1750 =,26,3 cmz
f ~ d 435
125.1 ou seja, Fig. 8.3.2-3,
Fig. 8.3.23 Cálculo rigoroso.
A, = 14 4 16 (A,,, = 28,0 cm2)
I N = 0,l kgf I MPa = I MNIrn' = I0 kgficrnP
IkN =lOOkgf=O,Itf I kNim = 100 kgflm = 0,l tWm
L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 ttm 1 kNlmP = 1W kgflrn' = 0.1 tWm2
1 kN.cm= 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNimJ = 100 kgfim' = 0.1 tfima
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
A,= 16 $ 16 h. 1 .a Situação de dimensionamento (Cálculo expedito)
Admitindo-se o emprego do cálculo expedito, têm-se
logo
e
a=I+3-=1+3x0,24=1,71
h
Nld = a Nd = 1,71 x 1554 =2654kN
Da Tabela 23, para fck = 15 MPa e
Nld =
uid = - 2654 kN = 1,52 kN/cm2 = 15,2 MPa
A, 1750 cm2
Fig. 8.3.24 Cálculo expedito
resulta
p, = 1,78%
logo
I
ou seja, Fig. 8.3.24,
i A, = 16 4 16 (A,, d = 32,O cm2)
i. 2.a Condição de di~nensionamento (Cálculo simplificado)
A 2.a Condição de dimensionamento é igual para as duas seções críticas do
pilar, Fig. 8.3.2-2.
Desse modo, sendo
têm-se
Nd = 1554 kN
e,, = 2,3 cm
A, = 1750 cm2
PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 311
logo
N,,I = aNd = 1,12 x 1554 = 1740 kN
resultando então
i
1
I
I
Desse modo, o dimensionamento feito pela 1 .a condição é o que determina a armadura
I
do pilar. 1
I
8.3.3 PILAR a. Problema proposto
MEDIANAMENTE Considere-se agora o pilar P7, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.
ESBELTO. 2.O EXEMPLO Esse pilar tem esforços iniciais equivalentes aos do pilar P4.
Este outro exemplo de pilar de extremidade tem por finalidade salientar a importância
da excentricidade acidental e da correspondente excentricidade de 2.a ordem
sobre o dimensionamento da peça.
Sendo um problema de mesma natureza que o anterior, os seus resultados serão
apresentados de forma relativamente sintética.
b. Dados de projeto
r = 1,16
Pilar: h, = 70 cm, h, =-25 cm com a maior rigidez correspondendo
ao plano de flexao da viga V3
A, = 70 x 25 = 1750 cm2
e, = 4,60 m
f,, = 15
fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 kN/cm2
L = 435 MPa
c. Esforços solicirantes iniciais I
lilar medianamente esbelto)
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm2= IOkgflcm*
I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm
1 kNm = 100 kgfm = 0,1 tfm 1 kN/m2 = 100 kgflm* = 0.1 tflrna
1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kN/mJ = 100 kgflm' = 0.1 fimJ
I MPa = 0,l kNIcmx = 100 Nlcms
d. Situações de cálculo
1. bireçáo x (h < 40)
Seção crítica: topo e base do pilar
h= - 70
e,, = - - - = 2,3 cm
30 30
e,, E O
2. Direçio y
Seção crítica: seção intermediária
Sendo
Nd = 1554 kN
ei, = O
e,, = 2 cm
da Tabela 25 resulta
ou seja
e,, = 0,14 X 25 = 3,5 cm
e. Dimensionamento
Embora o momento fletor inicial atue no plano que contém o eixo Gx, o d
sionamento é comandado pela flexão no plano Gy, decorrente dos esforços
1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/mX= lOkgf/cm2
I kN = 100 kgf = 0,l lf I kN/m = 1m kgflrn = 0,I õ/m
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 ttm 1 kN/m3= IMkgi/m'= 0,I tf/mZ
I kN.cm = 100 Wcrn = 0,l ff.cm 1 kN/m" 102 kgffma = O,l lffmS
com
My, = Nd. e,,
Com estes esforços obtém-se praticamente a mesma quantidade de armadura que
a do item 8.3.2 (l.a condição de dimensionamento).
Como no caso anterior, a 2.a condição de dimensionamento não afeta os resultados
já obtidos.
Observe-se que o dimensionamento do pilar P7 dependeu da força normal N, e
das excentricidades e,, e e,,, não tendo sido influenciado pelo momento inicial e,, ao
contrário do que aconteceu no caso anterior do pilar P4.
8.3.4 O ESTUDO DOS A consideração de pilares esbeltos com momentos fletores iniciais que variam ao
PILARES ESBELTOS longo do comprimento não pode ser feita de forma adequada através dos processos já
exemplificados.
A dificuldade essencial que impede essa consideração é a incongruência existente
entre um diagrama de momentos fletores de forma qualquer e o conceito de pilar
padrão, o qual admite sempre uma linha elástica senoidal.
A solução geral dos problemas de pilares esbeltos será estudada no Cap. 9, onde
são considerados os processos do pilar padrão corrigido e do deslocamento de referência.
-
8.4 PILARES DE
CANTO
8.4.1 PILAR CURTO. a. Problema proposto
DIMENSIONAMENTO Considere-se o dimensionamento do pilar P1 de canto, mostrado na Fig. 8.1.2-1. ,
RIGOROSO O pilar P1 está submetido aflexão composta oblíqua, emvirtude de sua continuidade
estmtural com as vigas V1 na direção Ox e com as vigas V4 na direção Oy.
d Admite-se o comprimento de flambagem e, = 2,80 m.
I
b. Dados de projeto
De acordo com o que foi estabelecido em 8.1, os dados básicos de projeto são os
seguintes:
1
I
viga VI: Me,,,, = 60 kN.m
rd,,, = 0,96 dm3
viga V4:
Mew,Uk = 21,3 kN.m
r,,,,, = 0,55 dm3
fck = 15 MPa Aço CA-SOB
1 N = 0.1 kgf 1 MPa = 1 MNlm' = 10 kgilem2
1 kN = 1W k$ = 0.1 tf 1 kNlm = IM kgflm = 0.1 fflm
I kN.m = 1Wkgf.m = 0,I ttm 1 kNlm2= 1Wksflm2= 0.1 tflm*
1 kN.cm = 1W kgi.em = 0,l tf.crn I kNlma = 100 kgflm3 = 0.1 fflm"
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
c. Pré-dimensionamenro
Analogamente ao que foi feito em 8.3.1, admitem-se as excentricidades iniciais
transformando-se aflexão compostaobliquanumaflexão composta normal, conforme
foi discutido em 7.4.4.
Desse modo, sendo
onde
a expressão anterior, conforme mostrado pela equação (7.4.4-2), pode ser escrita
ou seja
A tabela do item 7.4.5 reproduz os valores de p recomendados pela NB-1 para
pilares de
-
seção retangular com armadura igual nas quatro faces. Estimando-se
vd 0,7
w
-
0,50
resulta
p 0,63
donde
Por outro lado, de acordo com a expressão (7.6.1-7), estaflexão normal composta
equivalente pode ser transformada num caso de compressão uniforme, sendo
e
a=1+4-=1+4X0,11=1,44
h
resultando
NM = a Nd = 1,44 X 1148 = 1653 kN
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 315
Desse modo, admitindo-se uma taxade armadurap, da ordem de 1,2%, de acordo
com a Tabela 23, para f,, = 15 MPa e Aço CA-SOB, tem-se
ad = 13,2 MPa = 1,32 kN/cmZ
resultando para a área de concreto o valor
podendo ser adotada a seção
onde
A, = 25 cm x 50 cm = 1250 cm2
Com a seção adotada, sendo
tem-se -
h=-=-- 280 - 38,s i 40 (Pilar curto)
i 7,22
d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.1-1)
I Direção x
-
r,ila,
Mtw. k = Mmp, k =
~SUU + r,, + riw
Me, ,k
donde
logo
IN =O,lkgf I MPa = I MNlmn = 10 kgf/cms
IkN =lWkgi=O,llf 1 kN/m = IM) kgfim = 0.1 tfim
1 kN.m = 1W k8f.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 k8f/mz = O,l fim'
1 kN.cm = IM) k8f.cm = 0.1 1f.cm 1 kN/ms = 1W kgf/mS = 0,l tflm3
1 MPa = 0.1 kN/cmz = 1W N/cmz
resultando
M,,.,
= -Maoae. d = y, MK = 1,4 X 14,58 = 20,41 kN.m
logo
.
Md 2041 kN.cm =
eu, = e,,
1,78 cm
= --
Nd 1148 kN
2 Direçáo y
hl,~, k = MNP, L =
rpiiar
rgup + ~VIY.
+ rinf
Me,.
k
donde
logo
Mtwo,k=
resultando
-Mbose,k = 1,s X 8,22 = 12,33 kN.m
*~-
logo
e. Excentricidades acidentais
Tendo-se em vista o que foi dito em § 7.5.3, serão consideradas apenas as
excentricidades segundo os eixos centrais de inércia das seções transversais.
Observando-se as exigências da NB-I e o pré-dimensionamento já feito, têm-se
h, = 50 cm e,, = 2 cm
I MPa = 0.1 kNlçm' = 1W Nlcm*
*
h, = 25cm
SEÇÁO DO TO^ SE#O DA BASE
Fig. 8.4.1-1 Situaçoes de3rojeto - Momentos fletores iniciais
Y
A Y
3
c1
e,, = i,78 cm
'L
-, -.
-
(e,=ei,= 1,78 em
-
e = e,y = 1,50cm
_BI f ,. B 2
x eiy= 1,50cm x
'1
4
A1
eay=2,0 cm
J- e, = 2,O cm I
c2 A 2
\e,=
3,78cm
-.
Fig. 8.4.1-2 Situações de cálculo.
ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
f. Situações de calculo
Como a armadura será disposta com dupla simetria, não se fará qualquer distinção
entre a seçáo do topo e a seção de base.
A. Fig. 8.4.1-2 mostra as situações de cálculo das seções transversais do pilar,
resultando:
I .a Situação
2.Q Situação
g. Dimensionamento rigoroso
De acordo com os dados de projeto, têm-se
Nd = 1148 kN
A, = 25 x 50 = 1250 cm2
fcd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
fud = 435 MPa = 43,s kN/cm2
1 .a Situação de cálculo
Nd -
vd = -- - = 0,86 (compressão)
A, f,, 1250 x 1,07
Empregando-se o ábaco da Fig. 4.1.24, válido para o Aço CA-SOB, com o arranjo
de oito barras, obtêm-se
resultando, para v, = 036,
2.O Situação de cálculo
De forma análoga, sendo
vd = 0,86
1 N = 0,l W 1 MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cmx
IkN =IWkgf=O,Id 1 kNlm = 100 kgfirn = 0,I dlm
1 kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 tf.m 1 kN/mZ= IW kgf/rnz = 0.1 tf/rnz
I kN.cm = 1W kgf.ern = 0.1 tfcm I kN/mJ = 1W kgflm' = 0.1 WmJ
I MPa = 0.1 kNlcm2 = IW Nlcm'
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
obtém-se o = 0,40
valor determinado a favor da segurança com v, = 1,0.
Desse modo, predomina a I.= situação de cálculo, resultando
Como o arranjo admitido foi o de oito barras, tem-se, Fig. 8.1.4-3,
A, = 8 4 16 (A, = 16,0 cmz)
li
Fig. 8.4.1-3 Arranjo da armadura.
8.4.2 PILAR CURTO. a. Problema proposto
DIMENSIONAMENTO Considere-se novamente o dimensionamento da armadura do pilar PI,
SIMPLIFICADO empregando-se agora o processo simplificado permitido pela NB-1. Serão admitidas
as mesmas dimensões obtidas no item anterior para a seção transversal do pilar.
b. Dados de projeto
De acordo com o que foi visto no item anterior, têm-se
I.a Situação de dlculo: e, = 3,78 cm e, = 1,50 cm
2.a Situação de cálculo: e, = 1,78 cm e, = 3,50 cm
f,, = 1 ,O7 kN/cmZ
fud = 43,5 kN/cm2 (Aço CA-SOB)
IN =O,Ikgi 1 MPa = I MNlm2 = I0 kgf/cm2
IkN =IWkgf=O,lff I kN/m = 1W kgfim = 0,l tfim
I kN.m = IW k&m = 0.1 tf.m I kNim2 = 1W kBfim2 = 0.1 tfim*
1 kN.cm = IW kgtcm = 0,l tfcm I kNima = 1W kgfim3 = 0.1 @/ma
1 MPa = 0.1 kNicm' = 1W N/cm'
ESTRUTLJRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
c. Excentricidade equivalente
De conformidade com o que foi visto em 7.4.5, inicialmente deve ser verificado o
setor em que se encontra a força normal, Fig. 8.4.2-1.
Fig. 8.4.21 Simplificação permitida pela NB-I.
%;m=Q07
hy 50
A excentricidade equivalente, de acordo com (7.4.5-I), tem por expressão
onde p é dado pela NB-I em função de vd e de o.
Considerando a situação de cálculo, tem-se
25
e,, ., = 3,78 + p- x 1,50
50
não sendo necessário, conforme já foi discutido, considerar a 2.= condição.
Por outro lado, sendo
e admitindo p -
cmZ
1,2%, ou seja, tomando-se
1N =0,1k@ 1 MW = I MN/mZ = IOkgflcm2
IkN =100kgf=O,Itf I kNlm = ICQ kgílm = 0.1 dlm
1 kN.m = 100kgf.m = 0.1 d.m 1 kNlmZ= 100kgfImz= 0.1 tflm'
1 kN.cm = 100 Wcm = 0.1 d.cm I kNlma = I00 kgf/m3 = 0.1 UIm'
PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 321
da tabela do item 7.4.5, resulta
logo
/3 = 0,55
e,, ,
25
50
= 3,78 + 0,55 x - x 1,50 = 3,723 + 0,41 = 4,19 cm
d. Dimensionamento
Admitindo-se os valores
do diagrama de interaçáo correspondente ao arranjo de oito barras de aço encmado a
frio, (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se
o = 0,47
resultando a mesma solução obtida no item anterior, ou seja,
i
-.-/
ME DIANAMENTE
A, = 0,47 1250 = 14,45 cmZ (A, = 8 qi 16)
433
1 dos itens anteriores, admitindo porém que o seu
i
r*,,,
= 0,%.d
, . -\
,/
viga V4: Mew,uk = 21,3 k ~fX
r"'sa., = 0;-
fck = 15 MPa f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2
Aço CA-50B fvd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2
1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlma= 10 ksf/cm2
1kN =IWkgf=O,ld 1 kNlm = 1M ksflm = 0,l dlm
1 kN.m = 100 kgf.m = O,I 1f.m 1 kNlm2 = 100Lgf/m2 = 0.1 dlm'
1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/ma = IWkgflma =O,I #ma
c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.3-1)
1. Direção x
, MI~, k = MNP, L =
donde
logo
MI~. k =
0,14
0,14 + 0,96 + 0,14
+ + rffl
M~W. zk
x 60 kN.m = 6,77 kN.m
Mt,,,k=
resultando
-Mbaae,k= 1,5 x 6,77 =
donde
Mtogo, d = -Mbase,
Md =
e,., = - ~Ic, = -
Nd 1148 kN \
2. Direçáo y
u
logo
M,,,,k= Mbaae,k= 1,5 x7,18 = 10,78 kN.m
resultando
IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrn2 = 10 kgflcmZ
IkN =lWkgf=O.itf 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm
1 kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kNlmL lWkgflm'= 0,l tflm'
i kN.cm = 1W Wem = 0.1 Ii.cm 1 kN/ma = IW kgflma = 0.1 tfim'
I MPa = 0.1 kNlcmz = 100 Nlcm'
PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO
Fig. 8.4.3-1 Situações de projeto. Esfovos solicitantes iniciais,
d. Excentricidades acidentais
h, = 25 cm, logo e,, _=_~ ~~~~~
h, = 50 cm, logo /e,, = 2 cm
, --
e. Excentricidades de 2.R ordek-
1. Direçáo x
h, = 25 cm
1N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgf/cmP
IkN =IWkgf=O,lõ 1 kNim = IW kgfirn = 0.1 fim
1 kN.m = 100 W .m = 0.1 tfm 1 kN/ms = 1W kgfim' = 0.1 t£lm2
I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 d.cm I kNlrnS = 100 kgf/ma = 0.1 tfima
I MPa = 0.1 kNicmP = tM N/çms
De acordo com a NB-1, para um pilar de esbeltez média, com Aço CA-50.
pode-se admitir o valor
com
O valor de 3 pode ser obtido da Tabela 25, da qual, para
h,
resulta
2. Direção y u
Sendo A, < 40, não há necessidade de ser considerada uma excentricidade de 2.a
ordem na direção y.
Todavia, caso fosse
os efeitos de 2.a ordem na direção y seriam determinados pelas mesmas expressões
PILARES USUAJS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMEiWO 325
empregadas para a determinação de e,,.
Nesse caso, seria tomado o valor
f. Situações de cálculo. Superposição dos esforços
A Fig. 8.4.3-2 mostra as situações de cálculo, considerando-se separadamente as
seções de extremidade e a seção intermediária.
SECÕES
DAS EXTREMIDADES
%.-
,Y
ei, =1,24 cm
X
A
eX=1,24cm
-
e, = 3,24cm
ey =3,3 cm
SITUAC~O DE
19 SITUAÇ~
PROJETO DE CALCULO
-
I
2% S ITUAÇ~
DE CÁLCULO
e,, =0,50 cm
e,=
6,O cm
= 2,0 crn
SITUAÇÃO DE i! SITUAÇÃO I
PROJETO DE CÁLCULO 20 SITUAÇÃO
Fig. 8.4.3-2 Situaçóes de cálculo
DE ÇÁLCULO
g,
)
T:~~
-..__
1
ESTRUTURAS DE CONCRETBSO&lC~TA~OESN~S
i.%
/~-~ P --I;
?/r
2.a Situação
i
,. e, = r
1 l
d
I.a Situação de cálculo /
e, = 0,5 + 2,O % 3,s = 6,O cm
2.a Situação de cálculo
e, = O
< ~
.4
. ~
Dimensionamento . . . ---...--------
Tendo em vista que a seção terá um arranjo de armadura com dupla simetria,
parece evidente que a situação mais desfavorável corresponde a I.a situação de
cálculo da seção intermediária. Caso persista qualquer dúvida, as seções de extremidade
também devem ser verificadas.
Cpdeqndo;se então a 1 .a situação de cálculo da seção intermediária, tem-se:
Do diagrama de interação naflexão composta normal, correspondente ao arranjo
de 8 barrasd~ aço encniado (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se
ou seja, Fig. 8.4.3-3
I
A, = 8 4 20 (A, = 25,2 cm3
I
No caso presente, o dimensionamento feito no item 8.4.2 permite dispensar-se a 1
verificação tanto das seções de extremidade quanto da2.a situação de cálculo da seção
I
intermediária.
Fig. 8.4.3-3 Arranjo da armadura
8.4.4 O ESTUDO DOS Analogamente ao que já foi dito em 8.3.4 em relação aos pilares de extremidade,
PILARES ESBELTOS também no caso de pilares de canto não se podem aplicar os processos simplificados
aqui considerados, quando a esbeltez ultrapassa determinados limites.
No Cap. 9 serão estudados os problemas de instabilidade na flexão composta
oblíqua de pilares esbeltos e muito esbeltos.
Problemas Especiais de Determinação da
Carga Crítica
9.1 CARGAS DE
LONGA DURAÇÁO
9.1.1 CONSIDERAÇÁO DA Na avaliação da segurança dos pilares com esbeltez acima de certos limites (k = 80),
FLUÊNCI A quando houver cargas de longa duração, também deverão ser obrigatoriamente . considerados
os efeitosda fluência.
Como a fluência ocorre sob aação dos esforços permanentes de serviço (característicos),
as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a
teoria linear da fluência, na qual é admitidauma função 4 de fluência independente da
tensão aplicada. Nesse caso, sendo
têm-se
CC = tensão de compressão no concreto
Ec = módulo de deformação longitudinal do concreto
&C = deformação imediata do concreto
Ecc = deformação por fluência do concreto
'0'01 = deformação total do concreto
4 = função de fluência
Com a hipótese adotada de ser 4 independente de uc, por efeito da fluência, o
diagrama tensão-deformação do concret'sofre uma transformação afun, de razão 4,
paralelamente ao eixo de E,, Fig. 9.1.1-1.
Conforme já foi mostrado na tabela da Fig. 5.2.3-2, de posse do diagrama
tensão-deformação correspondente a um certo valor 4 da função de fluência, podem
ser determinados os diagramas (M, N, l/r), onde as curvaturas são dadas por
.
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 329
Fig. 9.1.1-1 Influência da fluência sobre o diagrama c - E do concreto.
Umavez conhecidos os diagramas (M, N, llr) correspondentes aum dado+, para
o cálculo da carga crítica, em princípio poderiam ser aplicados os mesmos métodos já
vistos anteriormente, se as cargas aplicadas fossem todas de longa duração.
Todavia, como na grande maioria das constmções, nem todas as cargas são de
natureza permanente, o problema de determinação da carga crítica precisa ser reanalisado.
9.1.2 CARGA No caso de existirem cargas de longa e cargas de curta duração, a verificação rigorosa
PARCIALMENTE DE da segurança contra o estado limite de instabilidade fica bastante complicada.
LONGA DURAÇÁO A dificuldade maior decorre do fato de que, para as cargas de longa duração,
devem ser empregados diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a + # O e, para o
restante do carregamento, que é de curta duração, os diagramas de acréscimos (AM,
AN, 1lAr) +=, devem ser calculados com + = 0.
Note-se que, para a intensidade do carregamento de longa duração, deveria ser
admitido o valor característico F,, ou, no máximo, o valor y, F,,.* Em muitos casos
também existe uma parcela$, F, da carga variável que deveria ser consideradacomo
de longa duração. O valor II<, Fck é a parcela de longa duração (quase permanente) da
carga acidental F,.
Admita-se então estabelecida uma certa história de carregamento da estrutura,
constituída, por exemplo, da seguinte sequência:
. . .., --
1. Açóes iniciais de longa duração: F,,
2. Açóes suplementares de curta duração: (F, - F,,) + Fd
Na Fig. 9.1.2-1 estão ilustradas as diferentes soluçóes associadas a esse problema,
empregando-se o método geral com o piocesso de carregamento progressivo.
Pelo fato de não ser válido o princípio da superposição dos efeitos, a solução
rigorosa seria teoricamente possível, desde que fossem traçados os diagramas (M, N,
l/r) de cada seção transversal com a respectiva história de carregamento. Para o
traçado desses diagramas, considerar-se-ia o efeito da fluência para valores de M e de
N inferiores aos esforços provocados, na seção considerada, pelo carregamento F,, +
Jr,F,. Para os valores de M e N superiores a esses limites, os acréscimos de esforços
não provocariam deformação lenta, mas o cálculo dacurvatura exigiria a definição do
diagrama (Ao, AE) correspondente a esses acréscimos de esforços.
Em face dacomplexidade do problema são empregadas as soluçóes aproximadas
.---.
'Paras discussão do significadoda cargay, F,ver do Autor: Fundamentos doPi.ojetoEstrulural. O Código Modelodo
CEB introduz esse conceito sob a forma de um coeficiente y. de comportamento, admitindo valores de 1.10 a 1.25.
i
Folt,$=o
. 0 '0 ITOW O CARREGAMENTO DE
CURTA oun~çloi
Fcrit
.,-=-=-
- Fgk
I xiw o CARREGAMENTO DE LONGA DURA~~,~)
SOLUÇÃO RIGOROSA ACENAS
TEORICAMENTE POSSIVEL
yref
Fig. 9.1.2-1 Carga parcialmente de longa duração
,/*'
,s I
É
,",< -,-----
--, a seguir analisadas.
preciso observar desde já que essas soluções aproximadas são plenamente
L satisfatórias, pois as cargas de longa duração atum com seus valores de serviço, não
havendo portanto muito interesse no que se poderia chamar de solução exata.
9.1.3 MÉTODO DE De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga
FUNÇAO EQUIVALENTE fosse de longa duração, adotando-se para a função de fluência o valor equivalente i
~
DE FLUÊNCIA efetivo
(9.1.3-1)
,,y+a--, i-l valor
.~
o
a = fração da força normal que produz fluência
p = fração de momento fletor de 1 .a ordem que produz fluência
@(t,,t,) = função de fluência real do problema
,,
-~~ i
Para emprego prático, esta solução somente será exequível se forem conhecidos
os diagramas (M, N, llr) para o valor adotado. I
Para isso, os diagramas (M, N, l/r), = , poderão ser calculados diretarnente ou
obtidos porinterpolação entre os diagramas (M, N, Ilr), =, e (M, N, Ilr),, onde4 éum
padronizado, por exemplo, 4 = 2. I
I
~ma;ez conhecidos os diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a$,f, podem ser 8
aplicados todos os processos de cálculo discutidos anteriormente.
Deve-se observar que este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive
nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável.
i
9.1.4 MÉTODO DA Com este outro método aproximado de cálculo admite-se que todo o carregamento
EXCENTRICIDADE seja de curta duração, introduzindo-se para todas as cargas longitudinais, tanto de
EQUIVALENTE longa quanto de curta duração, uma excentricidade suplementar e, de l.a ordem, dada i
por
I
F, = carga de longa duração que produz fluência
e,, = excentricidade de I.a ordem dacarga F,, na qual se inclui a excentricidade
acidental &, ou seja,
-
I
-,
= e;. + e. I
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C~TICA 331
e,, = excentricidade inicial da carga F,
F, = carga de flambagem de Euler, sendo
n--- -\ \
F, = 10 E, 1,/ee2 ,J
L- -
E, = módulo de deformação longitudinal do concreto
w /L r De acordo com a NB-1/78, tem-se I
7 w
5 I>- 2.
I E, = 0,9 x 6600 flf
(MPa) ( 1 MPa = 10 kgf/cm2)
I
~~~~ - . ~ -
~ ~
.. '\
/I, = momento de inérciada seção total A, de concreto. Tendo em vista agrande !
,'
i influência da armadura na inibição da deformação lenta, será razoável
tomar-se a seção ideal no estádio Ia,* levando em conta, pelo menos de , '
,
.. ~- forma - apr~~ximada~a~presençadaarmadura~
e, = comprimento de flambagem
Admite-se o valor
F, = yn (F,k + $2 F,)
com
/
sendo $, F, a parcela de longa duração da carga acidental.
Uma vez transformado o efeito da fluência numa excentricidade de 1." ordem,
aplicam-se os mesmos métodos de cálculo já estudados anteriormente.
Um exemplo de aplicação deste método já foi visto no item 8.2.6 do capítulo
anterior.
Tendo em vista que os efeitos de longa duração ocorrem sob tensões relativamente
baixas do concreto e que, além disso, existe um efeito inibidor da fluência pela
presença das armaduras, não há em princípio necessidade de grande rigor na consideração
desse fenômeno.
Por essa razão, no caso de peças com armadura variável, é preferível
determinar-se a carga de flambagem de Euler ignorando a presença da armadura e
considerando um valor atenuado da função de fluência, adotando-se a expressão
em lugar da expressão (9.1.4-1).
De forma análoga, no caso de pilares de seção transversal variável, é aceitável a
determinação da carga de flambagem de Euler por processos simplificados, ou mesmo
por processos aproximados. Nos casos usuais são muito úteis as tabelas organizadas
por Langendon~k.~~
-
*O Código Modelo do C1 EB sugere a adoção da se$ão de concreto simples, desprezando-se a armadura
1N =0,lk8f I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm'
IkN =lWkgf=O,Itf I kNim = 100 kgflm = 0,l tflm
1 kN.m = 1W W m = 0.1 tf.m 1 kNlmZ = IW kgflm' = 0,1 tflm2
i kN.cm= 1W kd.cm = 0,l dcm 1 kNlmS= IW kgflm3 = 0.1 tflma
9.1.5 JUSTIFICATIVA DO A justificativa da validade desse método de cálculo pode ser dada da maneiradescrita
MÉTODO DA a seguir.
EXCENTRICIDADE
EQUIVALENTE Consideração
Em reeime - elástico. a determinação das flechas das barras esbeltas submetidas a
flexo-compressão pode ser feita assimilando-se a excentricidade inicial e, do carregamento
a uma flecha inicial w, da barra, Fig. 9.1.5-1.
Fig. 9.1.5-1 Carga de curta duraçéa. Flexão composta de b ms esbeltas - Regime elástico.
Desse modo, tomando uma barra articulada nas extremidades cujo eixo já tenha
uma pequena curvatura inicial, a aplicação de uma força de compressão longitudinal
com linha de ação segundo a reta que une as extremidades da barra acarreta a
ampliação das flechas, as quais passamdos valores iniciais y, paraos valoresfinais y,.
Quando a configuração inicial da barra for dada pela curva senoidal
TX
y, = wl sen -
e
prova-se quer9 a configuração final é expressa por
\
F = força de compressão aplicada
F, = carga de flambagem de Euler de uma barra reta de mesmo compri
mesmo produto de rigidez E1
A flecha máxima da barra, que originalmente tinha o valor w,, pass; i a valer
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CR~TICA 333
2.a Consideração
Nas mesmas condições do caso anterior, admita-se que o material da barra seja
visco-elástico e que, portanto, sofra um processo de fluência.
Esse processo se dá com tensões variáveis, pois, a medida que aumentam as
flechas, aumentam as tensões devidas aos efeitos de 2.a ordem, Fig. 9.1.5-2.
INSTANTE INICIAL to INSTANTE FINAL 1,
Fig. 9.1.52 Barras com curvatura inicial - Fluência
No caso de barras de eixo senoidal, prova-se que2'
onde
+(t,,to) = função de fluência entre os instantes t, e to
Sendo w, aflecha máxima da barra no instante to logo após a aplicação das forças
F,, a flecha máxima no tempo infinito t, passa, por efeito de fluência, a valer
b_
WI = w2 . exp + (t,, to)
['
\ %
b 1. (9.1.5-2)
F, - F,
3.a Consideração
Conforme se mostra na Fig. 9.1.5-3, para a verificação da segurança contra o
estado limite de instabilidade, em lugar da história real de carregamento pode ser
admitida uma história equivalente. Esta história equivalente de carregamento admite
que, ante s da aplicação da carga de curta duração F,, a estrutura seja descarregada da
carga F, de longa duração e, a seguir, carregada com o valor total F, + F,.
A Fi g. 9.1.5-4 mostra o efeito do carregamento e do descarregamento de uma
esrrurura submetida a uma carga F, de longa duração.
centricidade inicial e,, do carregamento F, de longa duração é assimilada à
ixima w, de uma barra com curvatura inicial, a qual é admitida com eixo
senoiaai.
No ins tante ini cial h, a aplicação de F, amplia aflecha máxima para o valor w2 (to),
~ .
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS
1 HISTÓRIA REAL DE CARREGAMENTO TOTAL
CARREGAMENTO
F
9 I I ,t
I
to
IF
fr
,CARREGAMENTO TOTAL
HIST~RIA EQUIVALENTE DE
CARREGAMENTO
Fig. 9.1.5-3 Históna de carregamento.
dado por
Por efeito da fluência, no tempo final t,, a flecha máxima toma o valor
wdt,) = w2(to) . exp 4 (t-, to) F,
FE - F g
_*."
+(L> to) F,
w3ítoa) = elg F~ . exp
FE - Fo FE - Fo
........... "
--.-.~" , . ;:. -_
Observe-se, Fig. 9.1.5-4, que, se a carga F, fosse aplicada no tempo t, e não no
tempo to para que se obtivesse a mesma flecha w3(t,) dadapor (9.1.5-3), aflechainicial
da barra deveria ser
ou seja, por efeito da fluência, aflecha inicial w, = e,, sofreu um acréscimo e, dado por
e, = w,. .,luale., - w,
!
Desse modo, a flecha
......
suplementar e,correspondente aos efeitos da fluênciavale
.. .
...... ,.-.:*I'-
%~.=..-., . . _ _ .-
.....
Observe-se então, Fig. 9.1.5-3, que essa flecha suplementar se traduz numa
excentricidade suplementare, para todas as cargas, tanto ,quanto F,, que seaplicam
~imnlfaneamente no tempo final t,, de acordo com a históna equivalente de carrega-
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CaTICA 335
Fig. 9.1.5-4 Determinação da excentricidade suplementar e, devida à fluência.
9.2. PILAR PADRÃO
MELHORADO
9.2.1 MODOS DE EMPREGO De acordo com o que foi visto no item 5.3.4, o conceito de pilar padrão surgiu como
DO PILAR PADRAO sendo o de um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 9.2.1-1.
Com essa hipótese, sendo o eixo do pilar dado por
onde o comprimento de flambagem e, vale
e, = 2e
obtém-se
- -, . I..111. ?do r2 10, resulta
3- (L)
10 r base
O momento fletor M, de 2.a ordem na seção da base, dado por
Mz = F,a
36 ESTRUT~RAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS
9.2.1-1 Pilar
pode então ser determinado pela expressão
*c-
que é uma função linear da curvatura -
lhas
Surge, desse modo, o processo do pilar padrão.
Na Fig. 9.2.1-2 é ilustrada a sua aplicação dentro do método geral de calculo.
Deve-se notar que é dessa maneira que são usualmente determinados os diagramas de
interação (M,, N),,,, como aqueles ilustrados pelas Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5.
A Fig. 9.2.1-3 mostra a aplicação do processo do pilar padrão dentro do método
do equilíbrio: arbitra-se o valor critico de (llr),., e, com este valor arbitrado, é
calculado o valor de M,,. Para dimensionamento impõe-se a condição de que, para
N, = N,, seja M, não menor que M,, + M,,.
Na prática, essa aplicação do método do equilíbrio torna-se difícil, pois elarequer
que seja arbitrado, de forma adequada, o valor de (llr),,,.
No caso de pilares não muito esbeltos, a dificuldade de escolha do valor (llr),,
pode ser contornada, adotando-se curvaturas críticas próximas a curvatura última
correspondente a peças de esbeltez nula, Fig. 9.2.1-4.
Conforme se mostra na Fig. 9.2.1-4, essa possibilidade decorre do própi io andamento
dos diagramas (M- N - l/r). De fato, para barras não muito esbeltas, o ponto
de tangência para a determinação de M,,, é razoavelmente próximo do pontc 3 u"'.uapondente
a ruptura material da seção da base.
Desse modo, a expressão (5.4.4-8), que dá as curvaturas convencionais a dotadas
pela NB-1/78, fornece os valores
'
com
V, + 0,5 1
os quais, na realidade, correspondem a pontos de um intervalo qut: piuvaveiiiiciiir
contém o valor exato da curvatura ( l/r), relat iva à mpti ura materi,
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 337
M
M
DIAGRAM (M-N- ih)
DA SEÇAO DA BASE
PARA UMDADO VALOR M N*
. ,"
-----------
/
/
ÚNICO
1.---
WNTO CALCULADO
/
'
I I I
(T )base. cri, (~)boie,u (7)wbitrodo
te2
arctg (- F, )
I0
Fig. 9.2.1-2 Processo do pilar padrão aplicado ao método geral.
I
base
Fig. 9.2:l-3 Processo do pilar padrão aplicado ao método do equilibrio.
Nessas condiçóes, o emprego de curvaturas críticas convencionais acarreta erros
na determinação de M,,c,, , pois o valor de (I/r),,i,,, arwtado pode diferir do valor de
(l/r). correspondente à mptura material. Por essa razão, o método simplificado do
equilíbrio é restrito a barras medianamente esbeltas (h 80). Para barras de maior
esbeltez, exige-se o emprego de processos mais rigorosos, como, por exemplo, o
processo do pilar padrão com o método geral.
Nu =Nd
RUFTURA
O
MATERIAI
Fig. 9.2.1-4 Processo do pilar padrão aplicado ao método simplificado do equilibno.
9.2.2 FUNDAMENTOS DO Conformejáfoi discutido, para os pilares esbeltos (h > 80) não pode ser empregado o
PROCESSO DO PILAR processo simplificado do equilíbrio.
PADRÁO MELHORADO A solução rigorosa do problema exigiria o emprego do método geral, por exemplo,
com o processo do carregamento progressivo proporcional. Todavia, cálculos
dessa natureza somente podem ser elaborados em casos excepcionais. Como altemativa,
pode ser empregado o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de
referência, cujos resultados estão sempre a favor da segurança.
No caso usual de pilares de seçáo constante, uma soluçáo suficientemente precisa
pode ser obtida através do método geral com o processo do pilarpadráo. Todavia, em
certos casos, toma-se necessário melhorar a precisão dos resultados obtidos, uma vez
que, paraos pilares de maior esbeltez, nem sempre pode seradmitidaumalinhaelástica
senoidal.
De fato, tendo em vista que a real conf~gumção do eixo deformado do pilar
depende da verdadeira distribuição de momentos fletores totais M, + M,, em pnncipio
não se pode admitir como verdadeira a expressão (9.2.1-l), sendo portanto
Para a melhoria dos resultados surge a idéia do pilarpadrão melhorado. Nele é
considerada a verdadeira distribuição de momentos de ordem, admitindo-se que
apenas os momentos de 2.a ordem produzam deslocamentos transversais com dis&
buição senoidal. A Fig. 9.2.2-1 mostra como o fato de a linha elástica total não ser
senoidal afeta a determinação da carga crítica.
RUPTURA MATERIAL
m ~ L
Fig. 9.2.21 iniiuência da forma da linha elástica na determinação da carga crítica.
Nessa figura, os momentos de 1 .a e de 2.a ordem correspondentes ao pilar padrão
(linha elástica senoidal) estão indicados, respectivamente, por M, e M,. No caso do
pilar padrão melhorado, de linha elástica não-senoidal, esses mesmos valores são
indicados por M,, e M,,, respectivamente. Observe-se que, em princípio, pode ser
M,, 5 M,.
7
De acordo com o que se mostra na Fig. 9.2.2-1, o momento crítico de ordem
poderia ser em princípio obtido através da determinação do maior valor de M,, que
pode ser resistido pela seção dabase. A curvatura íl/r)b,,, correspondente a esse valor
M,,, , seria a curvatura crítica.
Esse caminho teórico pode, no entanto, ser simplificado, conforme se verá
adiante.
9.2.3 PROCESSO DO PILAR No processo do pilar padrão melhorado admite-se que apenas a componente de 2.a
PADRÁO MELHORADO ordem da linha elástica tenha distribuição senoidal. A componente de ordem
depende da lei de distribuição dos momentos de ordem, Fig. 9.2.3-1. Admite-se
também que, tanto no pilar padrão quanto no pilar padrão melhorado, sejam iguais as
curvaturas ctíticas da base e o momento total crítico.
1 Com as hipóteses adotadas, quando se passa do pilar padrão para o pilar ---'-'-
melhorado, uma parte de M,, , transforma-se em M , ., , ou vice-versa, co
seja o andamento do diagrama de momentos M, ao longo do pilar.
Pai ra a deten ninação da correção a ser introduzida no valor c lisponível do mo-
COMPONENTE SENOIWL
COMPONEKTE NAo-SENOIDAL
OS MESMOS MUX1ES
DE
JLrbase
ait
PILAR PADRÃO
Fig. 9.2.3-1 Decomposiçáo dos deslocamentos.
PILAR PADRAO MEL HORADQ
mento de 1." ordem, admite-se a decomposição da curvatura total da base do pilar
padrão melhorado em duas parcelas, Fig. 9.2.3-2, fazendo
= (l/r)crit = (l/ri)m + (1Irz)m (9.2.3-1)
onde
(1 ., ,, ~urvatura da seção da base devida a M,,, C,
(li,,,, - da curvatura da seção da base devida a M,,, .,
Para que es
(M - N - llr) é
posição seja exequível em termos práticos, o diagrama
io, Fig. 9.2.3-2, daí resultando:
sendo E1 o produto de rigidez secante da seção da base.
Para a determinação das parcelas (llr,), e (Ilr,), da decomposição da curvatura
da seção da base, admite-se que a flecha da extremidade livre do pilar padrão melhorado
também seja decomposta em duas parcelas, conforme já foi mostrado na Fig.
9.2.3-1, resultane-
onde
alm = flech, ite dos momentos fletores de I .a ordem, a ser determinada
diretamen~t: ciii função da lei de distribuição destes momentos, que é um
dado inicial do problema-
DAWMA (M-N-f I DA SEÇ~O DA BASE
PARA UM 0400 VALOR DE N
Fig. 9.2.3-2 Processa do pilar padrão melhorado.
e: a,, = - (l/r,),, correspondente à componente senoidal da linha elástica
10
Observe-se que a,, é umvalor conhecido e que h, éumaincógnitadoproblema.
De acordo com as hipóteses adotadas, tem-se
- MI, cnt + M2, cnt = Mim, cn.t + Mzm, cnt Mmt
que passará a ser escrita
suprimindo-se o índice crit por simplicidade.
Desse modo, sendo
logo
tem-se
M,, = M - M,,
M1m = (M1+ Mz) - Mzm
M,, = M, + M, 1
< -+I
Por outro lado, sendo
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA
obtém-se
logo
e:
M, = a,,, = P. [alm + -(I)
10 r,
e: alm + - (1lrJm
Mz" = a,,, = 10
M, a 5 (!)
10 r
M,, = M, + M,
1
Nessas condições, considerando a linearização expressa pelas equações
(9.2.3-2), tem-se
[
eZ
a,, E; L M2,
M,, = M, + M, I
10
-
- wric
10 1
De acordo com a analogia de Mohr, a flecha a,, é obtida como o momento
estático do diagrama&emrelação ao topo do pilarpadrão. Desse modo, fazendo-se
E1
Z = a,, E1 (9.2.3-3)
onde Z é o momento estático do diagrama de momentos M,, resulta
ou seja
(
M,, = M, + M, 1 -
z
10 - + M,
wri1 )
Introduzindo nessa expressão a relação
obtém-se
Mcv,t - Mm = M~rn
L
M,, - 10 -
e:
Como a correção procurada é sempre moderada, no 2.O termo da expressão
~
,\
342 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
anterior admitem-se, por simplicidade, que sejam
onde M, corresponde ao momento último relativo ao estado limite último de ruptura
ou de alongamento plástico excessivo.
Nessas condições, resulta finalmente
que para maior clareza será escrita
Uma vezcalculado o valor de Z em função do diagrama de momentos fletores de
I .a ordem, a expressão (9.2.3-5) fornece o valor melhorado domomento critico de I.=
ordem.
9.2.4 COEFICIENTES DE Deacordo com o processo do pilarpadráomelhorado, o momentode I.aordemcritico
CORREÇÃO. CASOS melhorado M,,, , é dado pela expressão
PARTICULARES -1 *..--/ J%---."--- ---
; Mm. c,, = I + Mz, crit 10
MI, cvit
,e-
Mu - z ""7 MI, ,,.i,
Definindo-se os coeficientes '-'.y.-.'-' .._, '-\-, '
k=- Mz, ctit
M"
resulta
MI,, ,tit = M,, ,dt (1 + k a,)
ou sob a forma adimensi.onal,_,
d --e--"- .~
i. ~ i m ,
-.._ .-
ctit = /*i, crit (1 + kpm) ~
A % ~ . ~ ~ d e c o m ~ odo s diagrama i ~ ã o de momentos fletores de I."
ordem para o cálculo do coeficiente a,. Note-se que, na expressão (9.2.4-7) n
momento M,, .,, é o valor que atua na base do pilar padrão.
Considerando as diferentes componentes da diagrama de M,, têm-se:
a. Componente retangular
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA 343
10 z
Fig. 9.2.41 Determinação de a, = 1 -- -
6, MI, base
b. Componente triangular
c. Componente parabólica
e2
Z, = a1 Mt, base - - = M,, base ai
2e , e
3 2
Na Fig. 9.2.4-2 estão apresentados alguns resultados particulares
1 MI Ml
Tabela básica de valores de a,
Fig. 9.2.42 Coeficientes de cowefão.
344 ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
Sendo e = P,/2, resulta
ou seja ,
logo
" .,~"Z,X.
h --
I)
9.2.5 EXEMPLO Considere-se a determinação da máxima força horizontal F, que pode ser aplicada ao
pilar da Fig. 9.2.5-1.
AS=2x8825= 80cm2
Aço CA-50A
fck = 21 MPa
Fig. 9.2.5-1 Exemplo.
De acordo com os dados do problema, têm-se
~ .
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA cRÍTICA
fck - 21
f,d = - - - = 15 MPa = 1,50 kN/cm2
YC 134
A, = 2 X 8 qí 25 = 80 cm2
fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2
As f& = 80 43,5 = 0,36
o=-
A, fcd 6400 x 1,s
345 I
L~
,.&%C ~. .
.-,. ,
*.
.' a. Processo do pilar padrüo .:
"De acordo como áBeiaco diFig. 5.3.5-5, para !,/h = 30, o = 0,36 e v, = 0,26,
tem-se pI, er(l = 0,11, donde
=
.
Desse modo, obtêm-se
e,, 0,42 x 80 = 33,6 cm
e,, , = 5 cm
logo
Fud (elc- e,,) - 2520 x 28,6 = 60,O kN
Fhd =
h 1200
donde
Esta seria portanto a máxima força horizontal que em serviço poderia ser aplicada
ao topo do pilar se a componente dalinha elástica, devidaaos momentos de 1 .a ordem,
fosse senoidal.
e-
4 ' b. Processo do pilar padrüo melhorado
Admitindo-se o resultado obtido anteriormente, o diagrama de momentos de
ordem permite o cálculo do fator de correçáo, conforme indicado na Fig. 9.2.5-2,
resultando
De acordo com o ábaco da Fig. 2.3.5-1, para v, = 0,26 e o = 0,36 tem-se o valor
último pd = 0,23.
Desse modo, sendo
346 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Fig. 9.2.5-2 Aplicação do pilar padrão melhorado
obtém-se
= /"d - /"I. erir = 023 - O,11 = 0,52
/"d 0,23
Conhecidos os dois coeficientes k e a,, resulta finalmente o valor melhorado,
dado por
ou seja
plm,ertt
=0,11(1 + 0,52 X0,lM) =O,11 x 1,054=0,116
donde os valores melhorados
'%
9.3 ESTUDO GERAL
DOS PILARES
ESBELTOS
, .
O 116
F,, = L x 42,9 = 45,2 kN
0,11
Em face da ordem de grandeza da correção obtida, não cabe a reformulação do
diagrama de M, empregado no cálculo dos coeficientes de correção.
\
' '. . ."xi."
9.3.1 PILARES ESBELTOS De acordo com o que foi mostrado na Fig. 7.5.1-2, no caso de pilares esbeltos, com
DE SEÇAO CONSTANTE 80 <h e 140, a NB-1 não mais permite o emprego do processo simplificado do
\,
(h s 140) equilíbrio, no qual são adotadas curvaturas últimas padronizadas.
.,.J-, . ,,@.- .* No caso de pilares esbeltos com h s 140, a NB-1 ainda permite o emprego de
processos simplificados de cálculo desde que justificados, exigindo porém que, na
'
presença de cargas de longa duração, seja levada em conta a influência da flu'
1N =U,lksf 1 MPa = 1 MNlm2 = lu kgf/cmP
I kN = 100 kd = U,l tf 1 kNim = 1W kgfim = 0,l dlm
I I<N.~ = IW kgf.,,, = U,I tf.,,, I kNim2 = 100 ksflm' = 0.1 Wm'
1 ~ N . C 100 ~ = ligtcm = 0,1 tf.cm 1 kNlms= 100ksflm8 = 0,l tflm"
No caso de pilares de seção constante submetidos a força normal constante,
quando 80 < A s 140, o processo de cálculo mais aconselhável é o correspondente ao
emprego do método geral com o pilar padrão.
O cálculo fica bastante simplificado quando existem diagramas de interação em
função da esbeltez, como os que são mostrados nas Figs. 1.3.5-4 e 5.3.5-5.,Caso
contrário, é preciso lançar-se mão dos diagramas (momento fletor-força normalcurvatura),
procedendo como foi mostrado no exemplo do item 8.2.4.
Em qualquer dos dois casos, cabe formular a correção permitida pelo conceito de
pilar padrão melhorado.
Na presença de cargas de longa duração convém empregar o método da excentricidade
equivalente, conforme exemplificado em (8.2.6).
Nos casos de flexão composta oblíqua, os critérios de linearização do diagrama
de interação podem ser empregados sem maiores dificuldades.
Quando o pilar estiver submetido a força normal com significativa variação ao
longo do seu comprimento, toma-se necessário recorrer a processos mais rigorosos
como, por exemplo, o do deslocamento de referência.
9.3.2 PILARES MUITO
ESBELTOS DE SEÇAO
CONSTANTE (h > 140)
1 9.3.3 PILARES COM SEÇAO
TRANSVERSAL
VARIÁVEL OU FORCA
NORMAL VARIÁVEL
I
A NB-1 permite o emprego de pilares desta natureza, desde que sejam tomadas
precauções adequadas.
Dentre essas precauções estão a limitação de ser h < 200, a obrigatoriedade de
consideração de eventuais fenômenos de vibração e a majoraçáo do coeficiente de
ponderação da força normal para o valor
y, = 1,4 + 0,Ol (h - 140)
Além disso, no caso de pilares com A > 140, a NB-I exige que a segurança seja
demonstrada por processo exato. Torna-se portanto obrigatório o emprego do método
geral com o processo do carregamento progressivo proporcional ou então, afavor da
segurança, do método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência,
discutido no item 5.4.2.
Analogamente ao que foi dito para os pilares esbeltos, a influência da fluência
pode ser considerada pelo método da excentricidade equivalente, e aflexão composta
oblíqua pode ser tratada a partir da idéia da linearização do diagrama de interação.
Conforme foi mostrado no item 5.4.2, o método do equilíbrio com o processo do
deslocamento de referência permite a verificação da estabilidade de pilares com seção
transversal variável submetidos a qualquer tipo de carregamento.
Observe-se, no entanto, que adeterminação exatada carga crítica somente pode
ser feita pelo método geral.
Q que* método do equilíbrio permite fazer é a simples verificação de se o
equilíbrio é ou não estável sob a ação do carregamento de cálculo.
Apresenta-se a seguir uma sistematização do método do equilíbrio aplicado a
pilares com seção transversal variável. Note-se que a mesma sistematização é válida
se apenas a força normal varia ao longo do pilar.
Para isso, considere-se o pilar genérico mostrado na-Fig. 9.3.3-1.
=&li- carregamento, admitindo todas as açôes com seus valores de cálculo
F, = Y, FIK
Subdivide-se o pilar em segmentos que possam ser admitidos com seção constante
e com força normal constante.
Consideram-se na l.= etapa apenas os momentos fletores de ordem,
incluindo-se neles aeventual infiuênciadaexcentricidade equivalente correspondente
a fluência.
Através dos diagramas (M, N, l/r) determinam-se as curvaturas desta etapa e,
por meio da analogia de Mohr, calculam-se as flechas dos pontos nodais adotados na
subdivisão do pilar em segmentos.
Essas flechas são adotadas como ponto de partida da 2.a etapa, na qual são
rl
TODAS AS
AÇ~ES COM
SEUS VALORES
DE CALCULO
Fi = rf Fi
Mi= &,I + M2,i
Fig. 9.3.3-1 Pilares de seçáo variável.
considerados os momentos de I.= ordem e os momentos de 2.a ordem determinados
com as flechas da etapa anterior.
Com esses esforços são recalculadas as flechas, prosseguindo-se o processo por
aproximações sucessivas.
A segurança do pilar estará demonstrada se as flechas dos diferentes pontos
nodais tenderem para valores limites finitos, pois então terá sido atingidauma posição
de equilíbrio estável.
9.3.4 EXEMPLO Verificar a segurança contra o estado limite último do pilar indicado na Fig. 9.3.4-1,
PRELIMINAR sendo dados:
F,,d = yf FIiK = 200 kN
fck = 14 MPa
fcd = 10 MPa
Aço CAJOA
o = constante = 0,60
Este exemplo tem caráter preliminar e serve tão-somente para que sejamostrado
o tipo de algoritmo de cálculo empregado. As flechas calculadas neste exemplo são
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C~~TICA 349
IkN =lWkBf=O,ltf
I kN.m = IW kgtm = 0.1 1f.m
4 C d' = O,O5 h Fig. 9.3.4-1 Exemplo.
exageradas porque se admitiu, para todo o pilar, o diagrama v, - E, determinadocom
os valores de cálculo. Nos itens seguintes, o problema do diagrama tensãodeformação
a ser empregado será reconsiderado.
Solução Empregam-se os diagramas (pd, vd. ]/r) do Apêndice 2.
De acordo com os resultados adiante indicados, verifica-se que já na 3.a etapa fica
evidenciada a convergência do processo, estando portanto já garantida em termos
práticos a segurança do pilar considerado, conforme está mostrado na Fig. 9.3.4-1.
I.= ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
h A, Nd
Seção v6 = -
Na M L ~ ei 5
h
e
PI~ = ~d '
(m) (m3 (kN) A, f<d (kN.m) (m) h
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
CÁLCULO DAS FLECHAS y,., ,
Seção o v, pid
d d = 0,95 h i 103 ?i?
103 -
r (m) r (cm)
(m-'1
2.a ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
Seção
h YI: e, e, e, e
-- - e
Vd
Wd=Ud-
( 4 (cm) (cm) h h h h
CÁLCULO DAS FLECHAS y,,.,,,,
Seção o vd
d d = 0,95 h 1 103
,A* 1O3 - Yzo
r ím) r ( 4
(m-'1
3.a ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
Seçáo
h YZP e2 e, e, e
e
Ud --- pd = Vd -
(cm) (cm) (cm) h h h h
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA
CÁLCULO DAS FLECHAS ys=
d d = 0,95 h I
Y8
Seção w vd p,, lo3 -
r Iml r Icml
1
9.3.5 A RIGIDEZ DO
CONCRETO A SER
CONSIDERADA
/
No exemplo preiiminar do item anterior, admitiu-se que o diagrama tensãodeformação
do concreto, empregado no cálculo dos deslocamentos transversais do
eixo do pilar, fosse o mesmo diagrama parábola-retângulo adotado no cálculo do
estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. Empregou-se,
portanto, no exemplo preliminar anterior, o diagrama A da Fig. 9.3.5-1, que é o
diagrama apresentado no item 8.2.4 da NB-1/78.
Este também era o diagrama recomendado pelo CEB no seu Manual de Flambagem1"
(Boletim 123, 1978). Esse diagrama leva a uma estimativa exagerada da
defoi'mabilidade da estrutura.
0185 fck
0,85 fcd
Fig. 9.3.5-1 Possíveis diagramas (c, E) para o cálculo dos deslocamentos da barra
De acordo com o Código Modelo do CEB, no estudo da instabilidade é conveniente
relacionar a rigidez do concreto à sua resistência média, adotando-se para isso
um coeficiente de comportamento y. = 0,8, daíresultando para aavaliação de f,d o valor
y, = 1,2.
Além disso, o Código Modelo passou a adotar uma expressão analítica mais
realista para o diagrama uc - E,, correspondente ao diagrama B da Fig. 9.3.5-1.
i
Todavia, esse diagrama B, embora menos impreciso que o diagrama parábolaretângulo,
também é convencional, podendo ser ainda comgido em função da densidade
do concreto. Além disso, como esse diagrama é variável com a resistência do
concreto e com aforma da seção transversal, o seu emprego exige o cálculo automático
direto do problema específico em consideração.
Parao emprego de diagramas (pd- vd - l/r) comoos apresentados no Apêndice%
sugere-se a adoçáo usual do diagrama C, particularmente para os pilares esbeltos (h >
80) e para os não contraventados, permitindo-se o diagrama D para os pilares simultaneamente
contraventados e medianamente esbeltos (h < 80).
O diagrama B poderá então ser exigido apenas no caso de pilares muito esbeltos,
(h > 140).
É importante observar-se que nos diagramas C e D foi explicitado o coeficiente
035 quejáestáembutido no cálculodosdiagramas (pd- vd - l/r) do Apêndice2. Parao
emprego desses diagramas, no caso C será feito con~encionalmentef,~ = f,,e, no caso
D, será tomado o valor fcd = femi, sendo f, a resistência média ao j dias de idade. Por
motivos análogos, em ambos os casos será adotado fUk em lugar de fVd.
Note-se, finalmente, que o diagrama D decorre da interpretação de que
-
fciestruh<ra - fe,eomos de prwal~c~
ou seja
fcm,eatmaTa E fcm/132 E 035 fcm E fek
ou seja, admite-se parao concretodaestmturaarigidez correspondenteao quantil de 5%
das resistências dos corpos de prova de controle.
9.3.6 EXEMPLO Considere-se novamente a verificação da
-
estabilidade do pilar tratado no exemplo do
DEFINITIVO item 9.3.4.
Nas mesmas condições do exemplo citado, adotando o diagrama tensáodeformação
correspondente a 0.85 fCk fck/1,2, tem-se:
ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS PARA O CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
h A, Nd* Nd Mld e, e, e, ***
Seção v, = - pia = vd -
(cm) (m2) (kN) A,€,,** (kN.m) (m) h h
'Na = y, Nr= 1.4 N1.
"7. = 1.0 r,, = f,.
*** y,= 1.4 y.= 1,O.
CÁLCULO DAS FLECHAS y,. .,.
-bOL
4'
Yi"
Seção o* v* Wld 109 - d** d = 0,95 h 1 105
(m) r (cm)
ím-'t
2
4, = 1,O r, = 1.0 f, = f, = I4 MPa f, = f, = SOO MW.
*'Fmmeea-s o Diagrama 31 do Anexo.
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C-ICA
2.a ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
h y,,~ e, e, e, e e
(cm) ícm) ícm) h h h pa = - h
Seção "a - - -
CÁLCULO DAS FLECHAS yt: ,
Seção o vd pd
103 j d = 0,95h 2 x 103 Yza
r ím) r (cmj
3.a ETAPA
CÁLCULO DOS ESFORÇOS
h yz" e, e, e, e e*
Seção vd --- pd = Vd -
( 4 (cm) (cmj h h h h
*A comparagáo com os vaiores da etapa anterior já garante a converg6ncia do processa,
provando-se assim a estabilidade do pilar.
CÁLCULO DAS FLECHAS y,.. .,.
Em virtude da igualdade dos esforços obtidos, pode-se escrever diretamente
I
I
9.4 ESTRUTURAS DE
CONTRAVENTAMENTO
9.4.1 A ESTABILIDADE A análise da estabilidade global das estruturas deve ser feita levando-se em conta o
GLOBAL DAS caráter tridimensional das constmções.
ESTRUTURAS Usualmente, esta análise é feita considerando-se a estabilidade de pilares isola-
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
dos ou de elementos estruturais planos verticais situados segundo duas direções
ortogonais.
De modo geraL3 admite-se que haja risco de ruína por instabilidade desde que o
índice de esbeltez do elemento supere o valor limite h = 25.
No caso de pilares isolados, de acordo com o que já foi visto no estudo da
instabilidade na flexáo composta oblíqua, a análise usualmente recai no estudo da
estabilidade segundo os planos principais de flexáo da peça.
No caso de elementos estruturais planos aporticados, faz-se a distinção entre
estruturas indeslocáveis e estruturas deslocáveis. Em qualquer caso, deve ser assegurada
a estabilidade em dois planos, tanto no plano do elemento quanto no plano a ele
perpendicular. Para isso, cada peça estrutural é considerada ou como pertencente a
dois elementos estruturais planos que se cruzam, ou então em uma das direções como
pilar isolado.
Quando se consideram estruturas indeslocáveis, as barras comprimidas são
frequentemente tratadas, no plano da estrutura, como pilares isolados.
A Fig. 9.4.1-1 mostra os critérios adotados pelo CEB3 para a determinação do
comprimento de flambagem desses pilares no caso de estruturas planas aporticadas.
b
+
valor USU~I : te =to
valor mínimo- te a 0,85 to
Fig. 9.4.1-1 Comprimentos de flambagem de estruturas indeslocáveis (cnténos CEB). 1
Observe-se que o critério considerado é mais elaborado que o critério simplista
adotado pela NB-1/78, pelo qual se admite que o comprimento de flambagem seja
sempre igual à distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa,
desprezando-se portanto totalmente a rigidez à flexáo das vigas.
Nas exigências da NB-1/78, esta simplificaçáo é compensada pela elevação para
A = 40 do limite, a partir do qual é obrigatória a consideração de efeitos de 2.a ordem.
Desse modo, quando se estuda convenientemente a estrutura de contraventamento,
os pilares contraventados podem ser admitidos como pertencentes a uma
1
estrutura de nós indeslocáveis, podendo empregar-se os critérios da NB-1/78 ou
adotar-se o comprimento de flambagem igual ao comprimento livre entre vigas,
e, = e, (9.4.1-1)
ou até um valor menor, determinado em função da rigidez dessas vigas. Nesses casos
será tomado sempre um valor
e, 3 o,ss e,
e os efeitos de 2.a ordem deverão ser considerados a partir do limite A = í
Nos edifícios de poucos andares frequentemente não há um arranjo estrutural de
peças de concreto armado que garanta a indeslocabilidade do sistema. Nestes casos,
,
frequentemente a indeslocabilidade dos nós é obtida pela colaboração das alvenarias
I]
imentn
s
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA
Fig. 9.4.1-2 Influência da "gidez das vigas de contraventamento
No caso de estruturas deslocáveis, a estabilidade depende em grande parte da
rigidez das vigas. A Fig. 9.4.1-2 mostra como as vigas influenciam o valor dos
momentos de 2.a ordem.
9.4.2 RIGIDEZ M~NIMA De acordo como que foi apresentadono Cap. 7, item 7.2.2, no projetodeedifícios, em
DE geral não é conveniente que todos os pilares participem do sistema estrutural admitido
CONTRAVENTAMENTO como responsável pcia estabilidade global da construção. Essa participação, se fosse
considerada, levaria a uma complexidade exagerada de cálculo. Por esse motivo, os
pilares das construções são usualmente divididos em duas categorias: pilares contraventados
e pilares pertencentes à estrutura de contraventamento.
Os pilares contraventados são tratados como se pertencessem a uma estrutura
indeslocável. A estrutura de contraventamento deve assegurar a validade dessa
hipótese. Para isso, ela deve ter rigidez adequada.
Frequentemente, a estrutura de contraventamento é composta por paredes estruturais
em balanço, engastadas na fundação, ou por pórticos múltiplos eventualmente
entreliçados. Em qualquer desses casos, os nós da estrutura de contraventamento são
de fato deslocáveis.
No entanto, desde que a estrutura de contraventamento seja suficientemente
rígida para que seus deslocamentos não afetem a segurança dos pilares contraventados,
estes podem continuar sendo tratados como se pertencessem a uma estrutura
indeslocável. Quando isso acontece, isto é, quando a estrutura de contraventamento é
quase-indeslocável, ela pode efetivamente garantir a estabilidade global da construção.
Caso contrário, não se pode admitir a estrutura como contraventada, e todos os
pilares devem ser tratados como pertencentes a elementos estruturais de nós deslocáveis.
De acordo com o CEB,3 no caso de edifícios de vários andares, uma estrutura de
contraventamento pode ser admitida como quase-indeslocável, desde que obedeça as
seguintes restrições:
DAS E S ~ ~ ~ ~ ~ ~
parans 3
(9.4.2-1)
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
onde
n = número de andares
L = altura total da construção
R, = soma de todas as cargas verticais da constmção, em condições de serviço,
dada por
E, I, = soma da rigidez aflexão de todos os elementos verticais que compõem a
estrutura de contraventamento, no estado não-fissurado, na direção considerada.
Quando houver variação da rigidez ao longo do comprimento
de um elemento, deverá ser empregadauma rigidez equivalente adequadamente
estimada
E, = módulo secante de deformação do concreto que, de acordo com a NB-1,
pode ser tomado o valor*
E, = 6000 d f em MPa
/
Observe-se que a maneira como e calculado o valor de E,I, equivale a consideração
da estrutura de contraventamento como um conjunto de pilares em balanço,
engastados na fundação, desprezando-se totalmente a rigidez das vigas que ligam
esses pilares, Fig. 9.4.2-1.
RIGIDEZES EQUIVALENTES
Fig. 9.4.2-1 Rigidez das estruturas de contraventamenta.
No caso de estruturas entreliçadas, a rigidez equivalente pode ser determinada,
por exemplo, igualando-se aflecha na extremidade livre daestmturareal sob aaçáo de
uma carga horizontal unitária a flecha do pilar em balanço equivalente.
Os critérios indicados anteriormente podem ser interpretados como decc
de uma limitação do peso total da constmção a uma fração de carga de flambs
*Em unidades t6enicas ainda empregadas transitoriamente E, = 19u00 -em
kgflcm
estrutura de contraventamento.
No caso de pilares submetidos a uma carga axial de compressão uniformemente
L, a carga crítica de Euler valelg
çóes de serviço, é exigida a relação
com pelo menos quatro andares, em condi-
admitindo-se que R, seja uniformemente distribuída ao longo da altura da constmçào,
resulta
ou seja
R", 0~05 ~u E 5%
No caso de construções com até três andares, a condição imposta por (9.4.4-1)
corresponde a
R,, 0,03 R, .ti*, E (9.4.2-5)
9.4.3 EXEMPLO. PAREDES Como exemplo de estrutura contraventada por paredes isoladas, considere-se um
ISOLADAS DE edificio alto com as seguintes características, Fig. 9.4.5-1.
CONTRAVENTAMENTO
a. Número de pisos elevados: 13
b. Altura total L
L = 4,O m + 12 x 2,90 m = 3830 m = 3880 cm
c. Concreto f,, = 15 MPa
E,, = 6000 v'-=
6000 0 15 + 3,5 = 25800 MPa = 2600 kN
cmZ
d. Peso total do prédio R, = G + Qk
admitindo-se o peso total unitário pk = g + q, = 10 kN/m2
R, = n.e, e, pk = 13 x 25 m x 8 m x 10 kN/m2 = 26000 kN
e. Rigidez mínima da estrutura de contraventamento
obtendo-se
-
1N -0,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 k@/cms
1 kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNlm = 1W kgf/m = 0.1 tfim
1 kN.m = 1W kgfm = 0.1 tf.m 1 kNlmz= 1Wkgflm2=0,1 tfimz
I kN.cm= 100kgf.cm = O,? ttcm 1 kN/mS= 100kgfims=O,l tWmg
1 MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm'
I
~I
358 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS
logo
ou seja
Admitindo que a estrutura de contraventamento seja formada por duas paredes
isoladas, tem-se
logo, adotando-se
b = 20cm
PAREDES ISOLADAS DE CONTRAVENTAMENTO
L
TL
4,OOn
19
As lajes funcionam como diafragmas horizontais rígido:
3 I
i
i
Fig. 9.4.3-1 Exemplo.
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA
resulta
s
r
Conforme semostra, em escala, na Fig. 9.4.3-1, a estruturade contraventamento,
na direção paralela ao lado menor da planta do edifício, pode ser constituída por duas
paredes de 20 cm x 500 cm.
Observe-se que o emprego do critério
L . &< 0,6
E" I"
permite admitir-se que as duas paredes isoladas de 20 cm x 500 cm sejam um
contraventamento adequado para o prédio em questão, na direção de sua menor
rigidez. Com essa hipótese, os demais pilares poderão ser considerados, nessa direção,
como pertencentes a uma estrutura indeslocável.
Todavia, nessa mesma direção, o índice de esbeltez da própria estrutura de
contraventamento vale
Desse modo, como h > Ali, = 25, no dimensionamento dessas paredes, inclusive
de suas fundações, deverá ser considerado o efeito dos momentos de 2.a ordem.
94.4 SOLICITAÇÕES Para adeterminação dos esforços de 2." ordem das estruturas decontraventamento, é
DEVIDAS AO EFEITO DE preciso considerar o funcionamento básico das mesmas, ilustrado pela Fig. 9.4.4-1.
CONTRAVENTAMENTO
Fl + F2
I p2
/
I
p1
B
B
PILAR DE
PILAR
EFEIJO GLOBAL PARA
CON' TRAVENTAI 1MTO CONTRAVENTUDJ O CALCULO DE Yt
Fig. 9.4.4-1 Funcioni mento básic o das estmt uras de contraventamento.
Neste exemj plo, o eql iilíbrio do pilar P2, que é contraventado pelo pilar PI,
fornece a condiçi
ir.
H = Fz a/L
O momento i. ,,,em na base do pilar de contraventamento P1 vale então
Ms + HL= a
Df :sse modo , o cálculo do momer ito de 2.a ordem necessário ao dimensionamento
......- >- -
----a,. -,
da estruruid ut: LuiiriavciirdiiicllLu pode ser feito como se todas as cargas verticais
fossem aplicadas à própria estrutura de coptraventamento.
Observe-se que essa hipótese só é válida para o cálculo dos momentos de 2.a
ordem. Para o cálculo dos efeitos de l .a ordem, as forças devemser aplicadas em suas
posiçõe iras.
3-50 ESTRUTVRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
Note-se também que as flechas a são consideradas na determinação dos esforços
solicitantes da estrutura de contraventamento, embora essas mesmas flechas sejam
admitidas como desprezíveis para a determinação dos esforços dos pilares contraventados.
Em edifícios altos, o esquema básico de funcionamento das estruturas de contraventamento
é repetido em todos os andares da constmçáo, Fig. 9.4.4-2.
PILAR DE PILAR EFEITO GLOBAL PARA
CWTRAVENTAYENTO CONTRAVENTADO O C ~CULO DE Yt
Fig. 9.4.4-2 Contraventamento em edificios altos
Nesse exemplo, os pilares e as paredes de contraventamento são tratados como
peças isoladas submetidas a forças normais variáveis ao longo do seu comprimento.
Nas estmiuras deslocáveis, em lugar da excentricidade acidental das cargas,
pode-se considerar uma inclinação acidental dos pilares.
De acordo com o CEB,3 deve-se considerar uma inclinação a em relação à
vertical com os seguintes valores:
- constmções de um único andar e estmturas carregadas principalmente no topo:
1
tga = -
150 1
- outras constmções: tga = -
200
9.4.5 PAREDES E PILARES Em geral, as estruturas de contraventamento têm esbeltez bastante reduzida, embora
DE nem sempre possam ser desprezados os seus efeitos de 2.a ordem.
CONTRAVENTAMENTO. A verificação rigorosa da estabilidade pode ser feita pelo método do equilíbrio
CALCULO RIGOROSO com O processo do deslocamento de referência, tal qual foi empregado no item 9.3.3
para o cálculo de pilares com seção variável ou com força normal variável
Na Fig. 9.4.5-1 está esquematizada a marcha de cálculo.
Na 1 .a etapa, em função dos momentos de I .a ordem M,, e das forças non nais N,,
que efetivamente atum na peça de contraventamento, são determinadas as (:umatu-
ras llr, e, a partir delas, calculam-se os deslocamentos y, ,. Todos os esfor .ços são
considerados com seus valores majorados de cálculo.
Na 2.a etapa já se considera a peça de contraventamento com uma CL imatura
inicial.
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 361 i
Nld
l* ETAPA
A H, -
Mld
-1
-
-
Y41
i Fl,n
MOMENTOS DE IPORDEY
DESLOCAMEMOS Yi,>
20 ETAPA
AC~ES DE CkwI.0 APENM PARA
DESLOCAMENTOS Yi,t
A
Os momeqtos de ordem são, nesta etapa, os mesmos que na etapa anterior.
Calculam-'se a seguir os~momeritd~'~~2.~ ordem, devidos as flechas iniciais
calculadas na etapaantenor, procedendo-se como se em cadaandar as forças verticais
tivessem os valores RUdi correspondentes a soma de todas as forças verticais desse
andar. Com isso são calculados os valores de M,.
De posse do novo diagrama de momentos M,, obtido pela soma Mld + M,,, e
considerando novamente as forças normais efetivas N,,, determinam-se as novas
curvaturas. A partir dessas curvaturas calculam-se as novas flechas y,,~.
I
~ -
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
O processo é repetido tantas vezes quantas forem necessárias para se provar que
todas as diferenças de flechas Ay, obtidas entre duas etapas sucessivas tendem a zero.
Se isso for provado, a estrutura será estivel.
O processo numérico é desenvolvido nos moldes do exemplo apresentado no item
9.3.4.
9.4.6 PAREDES E PILARES Sempre que a esbeltez da estrutura de contraventamento for moderada, poderá ser
DE aplicado o processo simplificado do equilíbrio, com a adaptação que agora se apre-
CONTRAVENTAMENTO. Senta para a consideração das cargas axiais distribuídas ao longo do comprimento do
CÁLCULO SIMPLIFICADO pilar, Fig. 9.4.6-1.
Observe-se que as mesmas considerações podem ser feitas para se levar em onta
,.*,- o peso próprio de um pilar isolado.
.v,T- ..
endõmi~bo~e a -da base do pilar, no caso do pilar padrão,
carregado na extremidade e de linha elástica senoidal, é obtida a flecha
L- i
a
eZ
= F (1)
10 r base
I1
que também pode ser escrita ,!
--
í
I
L /
sendo o carresento aistnbuido ao longo do comprimento do
x = 5 L pilar, admite-se que a linha elástica sejaparabólica, com a mesma flechaa que o pilar
padrão e com a mesma curvatura da seção da base, resultando então a equação
(9.4.6-1)
1, Com essa hipótese, obtém-se o seguinte valor para o momento de 2.a ordem na
-__' seção da base:
I
L
Mi. bnar = qdY dx
Fig. 9.4.6-1 Cargas axiais uniformemente
distribuídas.
a JT GC>-E~
'U 1
- e
2.
- T
Z
O
M~ L
L3
Orne = 04 (!) (+Ibeee
r qd xz base dx = 0,4 qd
o
.2 '." qd = - Rvd
Chamando-se de R,, a carga total que produz efeitos de 2.a ordem, tem-se
r.
MP, base = Rud -
(9.4.6-2)
a expressão anterior pode ser escrita
Observe-se que 0rnomentode2.~ ordem M,, b,,,vale 113 do que valeria sc . ~
estivesse aplicado na extremidade do pilar.
do pilar, na seção genérica de abscissa x, Fig. 9.4.6-1 ,o momenl
i vale
I
,.
- t2 + 2 t3)
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRITICA
!
onde 1
Para as aplicações, desde que A s 80, pode-se admitir o valor convencional
(l/r),,,, especificado pela NB-1/78.
9.4.7 EXEMPLO. PAREDE'
ISOLADA DE
CONTRAVENTAMENTO
Calcular o momento de 2.a ordem na base das paredes
exemplo do item 9.4.3.
De acordo com os dados do problema, têm-se
L
= 38,80 m
\ ./
y I- i-.. V-
r)
w
R,, = 26000 kN fck = 15 MPa
/ II i d
A, = 20 X 500 = 10000 cm2 Aço CA-5$ I !
I
-
,-
I
carga unitária de serviço: p, = 10 kN/m2
A i
força normal efetiva na base: N, (8 m x,h,5 x 10 kN/m2) 4 13 = 2600 kN
V
força normal de cálculo: N, = y, N, = 1,4 x 2600 = 3640 kN
peso total correspondente a: - - 22600 kN = 13000 k~
uma parede 2 2
peso total de cálculo: R,, = y,.R,,,
= 1.4 x 13000 = 18200 kN
,, i
Sendo f,., = I5 MPa, logo fCd = 10,7 MPa = 1,07 KN/cm2, tem-se
,\
1N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmP
I kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,I tflrn
1 kNm = IWIrgtm = 0.1 tem I kNlm'=1WkBflrn~=O,ltflm'
1 kN.cm = 100 kgf.crn = 0,l ttcm 1 kNlrnS= 100 kgflma = 0.1 tflm3
1 MPa = 0,1 kNlcm2 = 100 Nlc
I
364 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
9.5 ESTRUTURAS
ESBELTAS NAO-
CONTRAVENTADAS
logo
M,, , = 4237 kN.m
c
9.5.1 A ESBELTEZ DAS No caso de estruturas deslocáveis, Fig. 9.5.1-1, o comprimento de flambagem dos
ESTRUTURAS pilares é maior que a distância entre os eixos das vigas adjacentes.
DESLOCAVEIS
Fig. 9.5.1-1 Comprimento de flambagem
dos pilares de estruturas deslocáveis.
Em princípio não é aconselhável o emprego de estruturas aporticadas deslocáveis
muito esbeltas. Sempre que possível, a construção deve ser contraventada por meio
de paredes quase-rígidas, maciças ou entreliçadas, que tornem indeslocáveis os nós
dos elementos estruturais aporticados.
Para a determinação do índice de esbeltez das estruturas deslocáveis pode ser
empregado o critério do CEB3 mostrado na Fig. 9.5.1-2, pelo qual se obtém o valor
onde
K = deslocamento horizontal de um andar em relação àquele que está abaixo,
sob a ação de uma carga H aplicada no topo da estrutura, suposta de
comportamento elástico linear, com módulo de deformação E.
A = soma das áreas das seções de todos os pilares situados entre os dois andares
considerados.
O CEB formula seu critério com H = 1 e E = 1, embora isso não seja
necessário e nem sempre conveniente, como está mostrado em 9.5.5.
1 N =O,] kgf 1 MPa = I MNlmz = I0 kgf/gflema
1kN =100kgf=O,lõ 1 kNIm = 100 kgflm = 0,l dlm
1 kN.m = 100 kgtm = 0,I lf.m I kN/m' = 100 kgi/rnZ = 0.1 d/ml
I kN.cm= 1W kgf.cm = 0.1 d.cm I kKlma = 1W kgf/m3 = 0.1 dlm'
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CRfTICA 365
Fig. 9.5.1-2 Estruturas deslocáveis. Determinação do comp"menro ae Iiamoagem.
A justificativ .essão (9.5.1-1) decorre da generalização do resultado
correspondente a6 o,gastado em uma extremidade e com apoio de simples
escorregamento na outra,z3 Fig. 9.5.1-2.
Neste caso particular, tem-se
9 - K -
2 3 E1
logo
K=- H h3
12 E1
~~~ ~~
Fazendo
I = AiZ
obtém-se
K= - H h3
12 E Ai'
e sendo
resulta
ou seja
Verifica-se abbiiii qur: a cqua~ão (9.5.1-1) decorre da expressão citada, admitindo
que a influência da flexibilidade das vigas fique considerada pela determinação do
deslocamento K, na estrutura tal qual ela é.
9.5.2 EXEMPLO. ESBELTEZ Determinar o índice de esbeltez da estrutura da Fig. 9.5.2-1
DE UM PÓRTICO
7
I
e, = 800
.
Pl(6Ox60)
I
3
P2(60x6O)
(MEDIDAS EM CENT~METROSI
1
2
I
tnJ,
I
Fig. 9.5.2-1 Exemplo
Para o cálculo do deslocamento do andar superior em relação ao nível inferior
aplicou-se o processo de Cross, já se considerando as condições de antimetna dos
resultados, Fig. 9.5.2-2.
Neste caso, têm-se:
1. Pilar P1
I , 6 ' = 63 - 108 dm4 = 0,0108 m4
12
2. Viga
3. Coeficientes de distribuição
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETER~AÇAO DA CARGA CRITICA 367 ~
A
D
\
MOMENTOS FLETORES
Fig. 9.5.2-2 Cálculo do deslocamento horizontal relativo
. 4. Recalque aplicado (Me,, = 100 kN.m)
- 100 kN.m
Sendo M,,,, = --- -
Y2
1 100 X 8' - 98765,4
obtém-se K = - . -
E 6 x 0,0108 E
5. Força aplicada
Sendo
resulta
6. Índice de esbeltez efetivo
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
7. Comparação
Desprezando-se o efeito de pórtico, os pilares isolados teriam o índicede esbeltez
aparente
9.5.3 PÓRTICOS A verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos
HIPERESTÁTICOS. somente pode ser feita através do método geral, com uma análise não-linear. Em cada
CÁLCULO RIGOROSO etapa do processo de resolução, deve ser resolvido o problema hiperestático.
As dificuldades materiais desse cálculo exato são excessivas para a sua aplicação
prática.
No caso de pórticos múltiplos com barras perpendiculares entre si, pode-se
desenvolver um processo de cálculo suficientemente rigoroso que pode ser programado
para emprego prático, Fig. 9.5.3-1.
O processo se desenvolve por aproximações sucessivas. Na etapaé feita uma
análise linear de ordem, calculando-se os deslocamentos horizontais a, dosdiferentes
andares.
Na 2.a etapa vão ser considerados os efeitos dos deslocamentos horizontais
calculados na etapa anterior.
Todavia, em lugar de as barras serem consideradas com deformações iniciais,
como foi feito em outros casos já analisados, admite-se novamente a confliguração
inicial do pórtico, substituindo-se o efeito de 2.a ordem por um efeito de ordem
equivalente.
Para isso, na 2.a etapa serão consideradas forças horizontais suplementares, Fig.
9.5.3-1, calculadas por critério análogo ao empregado na determinação do efeito de
contraventamento, Fig. 9.4.4-1. Desse modo, admitindo-se para essa finalidade que
todos os nós sejam articulados, a força horizontal de sustentação é dada, em cadanó,
pela expressão
conforme se mostra nsFig. 9.5.3-1.
Calculam-se novamente os deslocamentos horizontais dos diferentes andares,
repetindo-se o processo quantas vezes for necessário. Em cada etapa deve ser avaliada
convenientemente a rigidez de cada barra da estrutura, em funçãodos esforços
calculados na etapa anterior," como se indica na Fig. 9.5.3-2.
A estrutura seráconsiderada estável quando os deslocamentos ai dos andares e as
forças fictícias H, convergirem para valores finitos.
De acordo com o CEB,* o processo de determinação dos momentos fletores
finais pode ser acelerado. Assim. sendo M,, M,, . .. os momentos fletores calculados
numa dada seçáo de referência da estrutura, Fig. 9.5.3-2, prova-se que o valor final
pode ser obtido pela expressão
'Manual de Flambegem, Boletim 123
O Fh i- a i-i I
ihiih
I! ETAPA fll
WSIÇ~O DEFORMADA DO I
ANDAR (1-1)
75m7 xm I
O O @ I
I
I
F2 1
@
P,i-l
- O Fh 'i i
t
b
nm- rn
P P i
Z N
1:i 1,i j:i m:i
=Z 5 Fj,,
CÁLCULO RIGOROSO DE P~RTICOS HIPEREÇTÁTICOS
Fig. 9.5.3-1 Cálculo rigoroso de pórticos hiperestáticos.
DEFORMADA DO I
ANDAR L
2OETAPA
F1 1
ai I DEFORMADA DO
4
O
H1
I I ANDAR ( i + 1
Fh
-
i 1
I7.i-1 5, i-1 pai p ~ 0 ~ P 1
Hi=- Z N
__C
O
-
Hi- 1 hi 1'1 j,i hi-1 j:i Ni,i-i
Fh,i-i
O - -"L
Fh,i
F F F Zai-1 - ai
1,i 2,i P ,i
P
Pai = ai -
P P i-1
m m 7~ Fl '' Nili-~ = )--I mil
F,
O O @
370 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
I Rigidez equivalente I M
- -
' 1 2 ;
Fig. 9.5.3-2 Evolução dos resultados de cálculo.
et pos de
c8iculo
i 9.5.4 PÓRTICOS Tendo em vista a grande complexidade do cálculo rigoroso dos pórticos hiperestáti-
HIPERESTÁTICOS. cos, tal como foi descrito no item anterior, cabe o processo simplificado considerado
CÁLCULO SIMPLIFICADO adiante. A aplicação normal deste processo é exequível quando os pórticos são
relativamente simples, como o do exemplo a seguir apresentado.
Conforme se mostra na Fig. 9.5.4-1, na etapa do processo é feita a análise
linear de l.= ordem do pórtico, aplicando-se todas as ações verticais F, e horizontais
F,, já com seus valores de cálculo FOd = y, FUk e Fhd = yf Fh*
Todos os esforços são sempre considerados com seus
valores de cdkulo ( Fvd,FhdiMd ,Vd ,Nd)
Fig. 9.5 .4-1 Cálcula 8 simplificado de pórticos hiperestáticos
PILARFS I SOLADl
ETAPAS POSTERIC
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 371
Nas etapas seguintes, verifica-se a estabilidade de cada pilar considerado isoladamente,
submetido as ações que a ele são diretamente aplicadas e aos esforços M,,,
V,,, Nld calculados na 1 .a etapa, e que atuam nas seções de corte feitas para separar o
pilar do restante do pórtico.
Este processo aproximado de cálculo dos pórticos hiperestáticos é baseado na
consideração de que, no processo rigoroso de cálculo, como mostra a Fig. 9.5.3-2, os
momentos fletores crescem amedida que se considerametapas posteriores de cálculo.
Desse modo, afavor da segurança, os momentos fletores introduzidos nas seções de
corte são mantidos com seus valores calculados na I .a etapa, através de uma análise
linear do sistema. As variações de V,, e N,, são, por maior razão, consideradas como
desprezíveis, pois elas decorrem apenas das variações dos momentos fletores, uma
vez que todo o carregamento é aplicado desde o início do processo.
A partir da2.= etapa, procede-se de acordo com o que foi visto no item9.3.3 parao
cálculo de pilares com seção transversal variável ou forçanomal variável. O exemplo
apresentado no item 9.3.4 ilustra a marcha de cálculo a ser empregada.
9.5.5 INFLUÊNCIA DA De acordo comoque é mostrado na Fig. 9.5.5-1, adeformabilidadedafundaçãodeum
DEFORMABILIDADE DA pilar agrava o risco de mína por instabilidade.
FUNDAÇAO A esbeltez do pilar aumenta, crescendo também os efeitos de 2.a ordem, pois,
além das flechas decorrentes da própria deformação do pilar, ainda existem o9esiacamentos
horizontais devidos a rotação ds base. .
Para o cálculo do índice de esbeltez do pilar pode-se empregar, por exemplo, o
critério dado pela expressão (9.5.1-1). De acordo com esse critério, ilustrado no item
9.5.1 pela Fig. 9.5.1-2, tem-se
7
onde h é a distância entre os dois andares consecutivos. No exemplo da Fig. 9.5.5-1,
toma-se para h o valor do comprimento efetivo do pilar e, em compensação, toma-se
para K o valor de sua flecha horizontal medida entre a seção da base e a sua
extremidade livre.
,//,$//~
,%, , +
I
\
'\.--'
Fig. 9.5.5-1 Influência da defonnabilidade da fundação.
372 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
A consideração da deformabilidade da fundação na determinação dos efeitos de
2.= ordem é feita agora dentro dos diferentes métodos de cálculo já discutidos.
No caso de serem empregados processos nos quais é feita a integração da linha
elástica, somam-se as flechas devidas a rotação da base com as flechas devidas à
deformação do pilar, resultando
y=b'x+w (9.5.5-2)
Os momentos fletores de 2.a ordem valem entáo
M2 = F" (K - Y)
e sendo
K'= 8e + a
onde a é a parcela da flecha da extremidade livre devida à deformação do pilar e
tem-se
logo
Mbae = k 8.8 (9.5.5-3)
e=-
%me
ke
B
que na seção de engastamento vale
M,, = F~(+ h + a)
Por outro lado, sendo
Mòme = MI. bme + Mz, base
1
obtem-se
MI ame
M, *b.,, =F,h- +F,h -
Mz, boae+ F" a
I kn ke
resultando
M,, aose
F,a+ F,hk.9
F h1 Mz. 0, =
1
h
- Fnke
Rv=ql/
h2
R" -(I)
r base
f / / Quando se empregaopilarpadráo, aparcela F; adomomento de 2.aordem vale
+= --
7,5
F;a = F, .- h2 (2)
(9.5.5-5)
2,5 r
onde h = 8.
De forma análoga, quando se considera uma carga axial R, uniformemente
distribuída ao longo do comprimento do pilar, em lugar da parcela F,.a deve ser
empregado o valor
e as parcelas F, h e Fo h M1, devem ser reduzidas à me--, , . ..rtude do
~ig. 9.5.5-2 Caso gemi. I, ke
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA
tipo de distribuição de R,, resultando, neste caso,
hZ 1 Ml, tm*e
R " ) +-Rh-
7,s r e 2
Mz,
ke
base=
(9.5.5-7)
1
1
h
- - R,-
2 ke
Finalmente, quando se considera o caso geral mostrado na Fig. 9.5.5-2, tem-se
M2, o,=
M~+(P.~ ++)h.*
1- Fnl+-- R" h
( 2)ke
k@ (9.5.5-8)
onde M,, é a parcela de Mz devida apenas à deformação do pilar.
9.5.6 EXEMPLO. PAREDE Considere-se a determinação do momento fletor na base da parede de contratrenta-
ISOLADA DE mento estudada nos itens 9.4.3 e 9.4.7, levando em conta a açáo do ventok,a
CONTRAVENTAMENTO deformabilidade da fundação.
De acordo com os dados do projeto Fig. 9.5.6-1, tem-se:
L = 38,80 m
R,,, = 18200 kN (metade do peso total da constmção)
h = 5,O m (altura da seção da parede)
%
1
- -
r
1,16 x lOP cm-' (curvatura da seção da base)
N,, , = 2600 kN (de cada uma das duas paredes)
8.0 rn I
P
1
argila
Fig. 9.5.6-1 Iniiuência da deformabilidade da fundação
1
rija
a) Vento
logo
Para a consideração do vento (23), são admitidos os seguintes valores:
V, = 40 mls (NB-599)
4, = V2,/1,6= 402/1,6 = 1000 N/mZ = 1 kN/m2
donde, para uma largura de influência de 12,5 m, obtém-se
pk = 12,5 m x 1 kN/m2 = 12,5 kN/m2
resultando, na base da parede, o momento
b) Momentos de 1 .a ordem
Neste exemplo meramente ilustrativo, das combinações de solicitações prescritas
pela NB-1, será examinada apenas aquela em que o vento é a ação variável de
natureza diferente que se admite produzir efeitos de menor intensidade. Num projeto
real, a situação inversa também deverá ser considerada.
Desse modo, neste exemplo, tem-se
M,, .,.,, = O,X y, M,, = 0,8 x 1.4 x 9409 = 10538 kN.m
correspondente a uma excentricidade inicial
Além disso, considerando-se a excentricidade acidental
resultam os valores
e, =e, + e, =2,90 + 0,17 =3,07m
e
M,, = N, e, = 1,4 x 2600 kN x 3,07 m = 11175 kN.m
C) Fundação direta sobre argila dura
De acordo com a NB-51 (24), em condições de serviço, admite-se paraas argilas
duras o valor básico da tensão admissível.
uadm = 0,4 MPa
Admitindo-se que a base sejauma placa rígida de largura B = 3 m e comprimento
H = 8 m, Fig. 9.5.6-1, as suas propriedades são as seguintes:
área da base
A=3x8=24mZ
módulo de resistência
W = 3 x X2/6 = 32 m3
momento de inércia
I = 3 x X3/12 = 128 m4
Admitindo que opeso próprio da sapata de fundaçãojuntamente coma: 3 cargas do
andar térreo dupliquem a força normal na base da fundação, sob os efei itos de I .a
*'i
1N =0,1kgf 1 MPa = L MN/m2 = 10 kgfiçm*
1kN =1W@=O,lff 1 kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm
I kN.m = 100 kgtm = 0.1 ttm I kNlrnz= 100 kgfim2= 0,I tflmz
1 kN.cm= IW kgf.cm = 0,l ftcm 1 kN/mJ= 1Wk8flm8 = 0.1 Iilma
2600
PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 375
ordem, em serviço, resultariam as tensões extremas nas bordas da sapata
-2 N, M,, = 2 x 2600 + x 3,07
moor* -- + -
A W 24 32
~
ou sejam
kN
r,,, = 217 + 249 = 466 -
-
s 0.47 MPa (com~ressão) 1
kN
mmi, = 217 + 249 = -32- 0,03 MPa (tração)
m2
Embora a tensão na borda tracionada seja muito baixa, ela sugere um reexame da
solução estmtural adotada, tanto da fundação, quanto do próprio sistema de contraveutamento
empregado.
-
Todavia, apenas para ilustrar a influência da deformabilidade da base nos efe&--
de 2.= ordem do pilar, admite-se que a solução sejaaceitável, pois a tensão máxima de
compressão na borda não supera 1,2 ma,, 0,5 MPa.
d) Deformabilidade da fundação
De modo geral quando são calculados os recalques de uma estrutura, a Mecânica
dos Solos (25) (26) fornece os elementos para isso necessários.
Quando o problema se refere a ações permanentes, os parâmetros do terreno são
os habitualmente considerados na Engenharia de Fundações (27).
No caso presente em que se quer calcular a rotação da base, com exceção dos
momentos devidos às excentricidades acidentais, todos os outros, devidos ao vento e
aos efeitos de 2.a ordem dele decorrentes, são de curta duração.
Por esta razão, em casos dessa natureza, em lugar dos valores tradicionalmente
adotados no cálculo de recalques de fundação, serão empregados os parâmetros
adequados a condições de solicitação dinâmica (28).
Desse modo, no caso presente de uma argila dura com tensão admissivel para
solicitações estáticas da ordem de 0,5 MPa, para a compressão uniforme é possível
adotar-se (28), a favor da segurança, o coeficiente de recalque vertical
k, = 0,5 MPalcm
admitindo-se placas rígidas de aproximadamente 10 m2.
No caso presente, a favor da segurança recomenda-se (28) adotar
k,, = k, fl = 0,5 x 0,65 = 0,32 MPalcm
24
No cálculo de rotações, para uma relação de lados
a=-- 8 - 2,7
-
3 m
o coeficiente de recalque correspondente à compressão não uniforme vale (28)
k, 2,8 k,
donde
k, = 2,8 x 0,32 = 0,90 MPalcm
isto é
k, = 0.09 kN/cm3
De acordo com a notação empregada neste trabalho, resulta então
k, = k, hndog.0
ou seja
kN
k, = 0,09 - x 128 x 108 cm4 = 11,s x 108 kN.cm
cm3
ou aproximadamente
e) Momentos de 2." ordem [equação (9.5.5-8)]
MI base
M,, + ^
Roa
. L,. .,
Sendo de acordo com o exemplo do item 9.4.7
tem-se
(i)
M,, = R"d - = 4237 kN.m
7,5 r
base
resultando
.a
Conclui-se que, neste caso particular, devido à deformabilidade da fundaçáo
resultou
havendo portanto um aumento de 12% do momento de 2.a ordem na base das paredes
de contraventamento.
No caso de ações de longa duração, este aumento pode ser consideravelmente
ampliado pela diminuição da rigidez do terreno de fundação.
Apêndice 1
TABELAS E DIAGRAMAS DE
DIMENSIONAMENTO
Tabela 1 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Seções retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS
Tabela 1 (Continuação)
CA-SOA
CA-4OA
Nd = E,, (Nd > O tração; N, < O compressão)
FLEXAO SIMPLES M~~ = M* N* = O
ARMADURA SIMPLES
ARMADURA DUPLA (Vide Tabela :
Tabela 2 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Seçóes retangulares. Tabela auxiliar para o cálculo da armadura de compressáo
Fazendo
M,,, . = M,,, , para 5 = 5 , têm-se:
Uld = fWd
u com os valores abaixo
--I------
x - X
I
lirn
;::: :
217,O 278,O
Valores de v;, MPa para 5 = fil,
I, I
Acos
217,O 278,O
MPa
217,O 278,O
1 N = 0,1 k!# i MPa = 1 MN!ml = 10 k!#!cmx
IkN =IWkgf=O.llf 1 kNlm = 104 k8fim = 0,1 lflm
1 kN.m = 1W k@.m = 0,l lf.m 1 kN!mz = 1W k!#lmim' = 0.1 tf/mP
i 1 kN.cm = 1W k!#.cm = 0,l t.cm 1 kN!m3 = 100 kgflmJ = 0,l Sims
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 3 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Seções retangulares. Diagrama retangular de tensões. Tabela resumida para
dimensionamento (C A-25, C A-SOA, C A-50B, C A-6OB)
(y. = 1,15 y, = 1.4)
Para 4 = b,,
O' = d'ld
k',
Aço
kB
6' = 0,05
O' = 0.10
O' = 0.15
8' = 0.20
CA-25
CA-SOA
CA-50B
CA-60B
0,046
0,023
0,023
0,019
0,046
0,023
0,025
0,021
0,046
0,023
0,026
0,022
0,046
0,023
0,026
0,024
0,046
0,023
0,028
0,026
Unidades: kN. cm
ld '
'L:. . L.
Flexão composta:
N, = F, (N, > O tração; Nd < 0 compressão)
M,, = Fd e,
Flexão simples
M,d = M,
Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 Nd
d
Md
Armadura simples: A, = k, -
d
Armadura dupla I
(k', calculado para 5 = cam)
Armadura dupla
M,,, , = momento resistido pela seção com armadura
simples
= Msd. C + AMa
M, = momento resistido pela seção com armadura
simples
Ma = Md, c + AMd
k; calculado para 5 = (Mld. C = MSd, OU (Md, c = Ma, lirn)
1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm' = I0 kgflcmP
I kN = 1W kgf = 0,1 tf I kNlm = 1M) kgflm = 0,I lflm
1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kNlmZ= 1W kgflm' = 0,l ülm'
1 kN.cm = IW W.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma = IW kgf/ms = 0.1 tflm'
1 MPa =
Tabela 3 (Continuação)
k,
1
= bd21MSd ks
Para fck MPa Para os aços
I
Para y, + 1.4 entrar com o valor o b
YE
Tabela 4 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Seçóes retangulares. Tabela resumida para dimensionamento
(CA-32, CA-40A, CA-40B)
(y, = 1,15 y, = 1,4)
I
1 Unidades: kN, cm
I
Flexão composta
N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão)
M, = F, e,
Flexáo simples
MBd = Md
Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 Nd
Armadura dupla
I
d
Armadura simples: A, = k, - Md
d
r
AMd
d - d'
A, = k, M,. + k,, -
d
Armadura dupla A; = k', - AMSd (k; calculado para = htm)
AMd
I A:=kgd
- d'
d - d'
M,,,, = momento resistido pela seçáo com armadura
simples
MPd = MDd, C + AM.d
Md, C = momento resistido pela seçáo com armadura
simples
Md = Md, C + AMd
\
I MPa = O,
n
.cm
I MPa = 1 MNlms = 10 kgflcrn'
i kNlm = 10 kgfim = 0,l tflm
1 kNlmZ= IW kgf/rnP = 0,l tf/m2
I kN/ma = 100 kgf/mS = 0.1 tflmz
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO
Tabela 4 (Continuação)
I r =
Para f,, MPa
I
Para os aços
Para 71 i 1.4 entrar com o valor 3 b
YI
~
(Usualmente
384 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 5 Flexão simples e flexão cnmposta com grande excentricidade.
Seçóes retangulares armadas com aço CA-25
(Y, = ],I5 YC = 1-41
Armadura simples = A,
Armadura dupla {A% = A'1 +
A*
I
Flexão composta
Nd = Fd (Nd > O tração; Nd
Mid = Fd e,
0,46
k* = - k; =-
0,46
a
O compressão)
Unidades: kN, cm
B
Flexão simples
M,d = Md
Msd
d
Armadura simples: A, = k, - + k, Nd
Armadura simples: A, = k, -
Md
d
I
Armadura dupla
=
M*d, c
Armadura dupla
A, = k,-
Md, c
d
+ kB- AMd
d - d'
.A\
AMa
= k:-
d - d'
Md, , = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
Msd = M*d. e + AMSd
Mid, c = Md, correspondente a g = g., )
M,, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
M, = M , , + AMd
-
N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcm"
kN = 100 kgf = 0.1 tf' 1 kNlm = 1W kgilm = 0,l õlm
kN.m = 100 W m = 0,I ttm 1 kNlmB = IW kdlm' = 0.1 tflm'
kN.cm = 1W kptcm = 0,l Cem 1 kNlm8 = 100 kgild = 0.1 @/ma
1 MPa =O,
Aço CA-25
Tabela 5 (Continuação)
*b = &cm Pani y. i 1.4 entrar com o valor 2 b
Yr
I
+
Tabela 6 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Sgões retangulares armadas com aço CAdOA
(y, = 1.15 YC = 1,4)
'O-
.e
I Armadura simples = A,
Armadura dupla (2:=
100 p, = 100 A91
bd
a = - rsd fVd
P=- r:d fVd
I
M,d = Md
Flexão composta
N, = F, (N, > O tração; N, < O compressão)
Msd = Fd e.
Unidades: kN, cm
Flexão simples
Msd = Md
i
Armadura simples: As = k, M'd + kSt Nd
d
/ Armadura dupla
i
I
A'' = k; - AM8d
d - d'
M,,, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
M, = M,, c + AM,d
Md
Armadura simples: A, = k, -
d
Armadura dupla
I
A Md
= k: -
d-d'
M,, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A..
Md = Md, C + AMb
I
(Usualmente M, . = M,, , correspondente a 6 = 6 ,.)
I MPa = I MNlm' = I0 kg«cmX
1 kN = 1W kgf = 0.1 lf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 1W kd.m = 0.1 tf.m 1 kNlm2 = 1W kgtlms = 0,l fimx
I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm 1 kNlm3= 1W kgflm3 = 0.1 tflma
.
1 MPa = O,1 kNlcmS = 100
Aco CAJOA
Tabela 6 (Continuação)
Para y, f 1,4 entrar com o valor 3 b
Yc
388 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 7 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade.
Seções retangulares armadas com aço CA-SOB
(Y. = ],I5 YC = 14)
bd2
k, = -
MSd
Armadura simples = A,
A - A,, + As2
Armadura dupla -
A,,
lOOp, = 100- bd
a=-
V*d
fWd
P=-
fWd
0,23
k, = - k' --
O,23
a 6 - P
Plexão composta
Nd = Fd (Nb > O traçáo; Nd 1 0 compressão)
Msd = Fd es
Unidades: kN, cm
Flexão simples
M,, = Md
Armadura simples: A, = k, 5 + kB Na Armadura simples: A, = k, - Md
Armadura dupla
I
I
d
A, = k, -
d
Msd + kB (%L + N ~)
d-d'
I
Armadura dupla I
d
Md. c
d
AMd
d - d'
A, = k, - + k,, -
M,, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
MSd = Msd, e + AMsd
(Usualmente M,, . = M,,, , correspondente a 5 = fti,.)
M,, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
M, = M , . = AM,
- -
IN =U,LXS 1 MPa = I MNlmP = I0 kgf/cmz
1 kN = IOO kgf = 0.1 tf i kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm
1 kN rn = 100 kgf rn = 0.1 tf rn I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/rnS
I kN crn = 100 kgf cm = 0,I tf crn I kNlrn3 = 1W kgflrn' = 0.1 tf/rns
I
I
1 MPa = 0,I kNbmS = I(U
Tabela 7 (Continua@o) k,, = ' 0 023 k, - 0,023
8 -
Aço CA-SOB f,, (MPa) OL B
X
f=;
f,r = 9 fCx = 13,s
f,, = 15
fCk = 18
fCk = 21
f,, = 25
f,, = 30
P
k, 1100~~ k, (1MIp, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100~~ k, u 6' = 0,0516' = 0,1016' = 0,15 16' = 0,20
Para y, # 1,4 entrar com o valor 1'4 b
Yc
390 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 8 Fiexáo simples e tiexáo composta com grande excentricidade.
Seçóes retangulares armadas com aço CA-óOB
(Y, = 1,15 YC = 1,4)
bd2
k,=-
Mad
Armadura simples = A,
A - A*, + A,
Armadura dupla {K; -
A,,
100p, = 100- bd
P=-
mad
01 =- d d
1 Flexão composta Unidades: kN, cm
N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão)
M,, = Fd e,
f"d
f"d
k,, 023 r -- 0,23
= i
a a - P
Flexão simples 1
M, = Md
I
i'
Msd
Armadura simples: A, = k, - + k,, N,
d
Armadura dupla
A, = k, -
d
A\ = k.-
d - d'
c + k, (!?L + N,)
d - d'
Ma, , = momento resistido pela seção com armadura
simples A.,
= Ma, c + AM,,
Md
Armadura simples: A, = k, -
d
Armadura dupla
(Usualmente M,, , = M,, , correspondente a f = (,,,,,.)
I
Md, c
d
A Md
A, = k, - + k,, -
d - d'
M, . = momento resistido pela seção com armadura
simples A,,
Mh = Md, c + AMd 1
I
1 N =v,, 1(BI
I kN = 1W kgf = 0.1 ?i
1 kNm = IWkdm=0,1 tfm
IkN.cm= 1Wkgfcm=O,1tic m
-
-
I Mia
1 kNlm
I kN/m2
I kNlma
i MPa = 0.1 k ~ / c = ~ IW *
*P = tum Para y, + I,4 entrar com o valor 1'4 b
YE
Tabela 9 Flexo-compressáo com pequena excentricidade. Armadura unilateral.
Seçóes retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo
f;d
o' = (ud - 035 a,) -
Uid
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO
Tabela 9 (Continuação)
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
E,d
Tabela 10 Diagramas
tensão-deformação dos aços Classe B
Aços classe B - Relação (u8dr zsd)
1 ,O
1,l
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
250,3
261,l
269,O
275,6
281,3
286,4
1,s 291,l
1 3 295,4
usd (Mpa)
CA-40B I CA-SOB
I !
Vale a lei de Hooke ;
U3d = Ead E* i
,
CA-óOB
313,2
325,3
334,6
342,s 376,l
2,4 313,s 376,4 4303
2,6 320,2 385,2 443,O
2,8 326,O 393,3 453,9
(1 MPa = 10 kgficrn')
Tabela 10 (Continuação)
396 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 11 Flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. Flexão
diagonal da seçáo quadrada. Diagrama parábola-retângulo
1. Flexão composta
N, = ESQ (N,, > O tração; N,, < O compressão)
2. Flexão simples M,,, = M a N., = O
a. Armadura Simples A,, = L (% + N,,)
'Jad
h. Armadura Dupla Assa = L (* +
US~ d, - d:
Parte
1 AMszd
A;zQ = - -
vid d2 - d:
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO
Tabela 11 (l.a parte - Continuação)
398 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 11 (2.a Parte)
E<,,, = -3<50%0
/
CA-50A
CA-40A
CA-32
CA-25
X
f=d
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,6283
____-___-
0,64
0,66
0,6788
_ - - - - -
0,68
0,70
0,72
0,7254
____
0,74
0,76
0,7717
.
0,78
0,80
0,82
0,84
036
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1 ,O0
1,05
1,10
1,15
1.20
Pard
0,109
0,116
0,122
0,129
0,136
9,143
0,145
0,149
0,155
0,161
6'
- - - - - -
0,161
0,167
0,173
0,174
-___--
0,178
0,183
0,186
0,188
0,192
0,197
0,200
0,204
0,207
0.21 1
0,213
0,216
0,218
0,221
0,223
0,227
0,230
0,232
Tabela 11
= 0,15
0,705
0,694
0,682
0,671
0,660
0,649
0,644
0,638
0,627
0,618
zc
- - - - - - -
0,617
0,607
0,598
0,595
0,589
0,580
0,575
0,571
0,563
0,555
0,548
0,540
0,533
0,526
0,520
0,514
0,507
0,502
0,496
0,483
0,472
0,463
Parte - Continuação)
Plad
0,109
0,116
0,122
0,129
0,136
0,143
0,145
0,149
0,156
0,162
6'
._ - - - - -
0,162
0,168
0,174
0, 176
0,180
0,185
0,188
0,190
0,195
0,199
0,204
0,207
0,211
0,214
0,218
0,220
0,223
0,225
0,228
0,232
0,236
0,238
0,240
= 0,20
zc
5 =d
0,705
0,694
0,682
0,671
0,660
0,649
0,644
_
0,637
0,626
0,616
.- - - _ - - -
0,616
0,605
0,595
0,593
0,586
0,576
0,571
0,567
0,559
0,550
0,542
0,534
0,527
0,519
0,512
0,506
0,499
0,493
0,487
0,472
0,460
0,449
0,440
Eclb = -3,5Wa
Esd
(%o)
3,23
2.98
2,75
2,53
2.33
2,15
2,07
_____ _-__
1,97
1,80
_ - _ - - _
1,36
1.33
_______-_
1,23
1,11
1 ,O4
0,99
0,85
0,77
0,67
0,57
0,48
0,39
0,30
022
0,lS
0,07
0,W
- 0,17
- 0,32
- 0,46
- 0,58
CA-SOA
-1-
ICA-40A
_ CA-32
e
0 c
~g
a
6
O
E
'È
e
CA-25
Tabela 12 Flexo-compressão com pequena excentricidade. Flexáo diagonal
da seção quadrada. Diagrama parábola-retângulo
l.a Parte
x
'I= h
1 ,O0
I ,O2
1
1 ,O6
1 ,O8
1.10
1.15
1,20
I ,25
1.30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
I ,75
1,80
1,90
2,OO
2,25
2,50
2,75
3,OO
3,50
4,OO
5,00
a
6; = o,os
0,316
0,320
0,324
0,328
0,33 1
0,334
0,341
0,346
0,350
0,354
0,357
0,359
0,362
0,364
0,365
0,367
0,368
0,369
0,370
0,371
0,372
0,374
0,376
0,377
0,378
0,379
0,380
0,381
0,381
0,382
Valores
s: = 0.10
0,278
0,282
0,286
0,289
0,292
0,295
0,301
0,306
0,310
0,313
0,316
0,319
0,321
0,322
0,324
0,325
0,326
0,327
0,328
0,329
0,33 1
0,332
0,334
0,335
0,336
0,337
0,338
0,338
0,339
0.340
de piZd
s: = 0.15
0,240
0,244
0,247
0,250
0,253
0,256
0,261
0,266
0,270
0,273
0,275
0,278
0,280
0,281
0,283
0,284
0,285
0,286
0,287
0,288
0,289
0,290
0,292
0,293
0,294
0,295
0,296
0,296
0,297
0.297
s; = 0.20
0,202
0.206
0,209
0,212
0,214
0,217
0,222
0,226
0,229
0,232
0,235
0,237
0,238
0,240
0,241
0,242
0,243
0,244
0,245
0.246
0,247
0,248
0,250
0,251
0,252
0,252
0,253
0,254
0,254
0,255
0.85.m,
0,758
0,7M
0,769
0,774
0,779
0,783
0,792
0,799
0,805
0,810
0,814
0.818
0,821
0,824
0,826
0.828
0.830
0.83 1
0,833
0,834
0.836
0,838
0,841
0,843
0,844
0,845
0.847
0,848
0,849
0,850
9
3.
2.
0
vi
P
4RM4DUR4
UNILATERAL
d: o
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO 401
Tabela 12 (La Parte -Continuação)
X
61 =L E:< (%O)
s; = O,OS s; = 0,lO
s; = O,lS
s; = O,2O
Tabela 12
Parte - Compressau unirui
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
mlh </,//lF5)l
Tabela 13 Cálculo simplificado de compressão centrada
Pilares curtos A S 40
Coeficiente a de majoração da força normal
/-'\
8' .~.,,-:., . < &', ... . -<:. . .. ,- '..'a...I';..!. ,.4.:.
0.. . ..d )
. . ,. . o:..
~
, . ,'4'., .:O; ....:,i.: . .: ., ..'..,
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.. . .... ..:. ..,,..
,, . . . .. ,
d...d'.., A
. .,,. ..il
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. '. ,.;;:,.,;.~d;;',,
. : , . ,.. : \ ,a . 4: .,~..~'::
. . . . . .. . ., . . . . .', ;a -;
, ,
\ ,
Valores de a
1N =O,Ikgi I MPa = 1 MNlmz = 10 kgf/crnP
I kN = 1W kgf = 0,l tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,l fflm
1 kN.m = 100 kgfrn = O,l 1f.m I kN/m* = 100 kgf/m= = 0.1 tflm*
I kN.cm = IW kgtcrn = 0,l C.cm I kNlrnS = 100 kgf/ms = 0,1 tflm8
I MPa = 0.1 kNlcm2 = 10
CA-25
-
SEÇÕES
Tabela 14 Cálculo simplificado de compressão centrada
Pilares de esbeltez média 40 < A s 80
Coeficiente a de majoração da força normal
com AS! 3 As$$fl
RETANGULARES
(A,
2 A , + 2As2
B
A, = b h - bl hi As,
L
b J
CX = a, +a2 N,,= O(N, e= e,+ e2
Valores de a,
al=l+3&
h
Valores de a,
%=-(q(
10 h
3 e 0,003s + 0,001~
v,, + 0,s 1
IN =0,1kgf 1 MPa = I MNlm2 = IOkgfIcm'
I kN = 1W kgf = 0,l tf I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tfirn
i kN.m = 100 kgtm = 0.1 1f.m 1 kNimz= 100 kgfim' = 0.1 tfimP
i kN.cm= 1Wkgfcm = 0,1 tfcm 1 kNimS= IWkgf/m'=O,lffims
-
Tabela 15 Cálculo simplificado de compressáo eentrada
Pilares de esbeltez média 40 < A = 80
Coeficiente a de majoração da força normal
SEÇÓES RETANWLARES
can A,, < 2
,As,
I
(X-
a,+ Me N,, = O: N, e= e,+ e2
n
vd = N /A f
*Esbeltez limite para sefóes circulares
1 N = 0,i k I MPa = I MNIrn2 = I0 kgflcm'
I kN = 1001
I kN.m = 100L *.... .,. ...-
I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm
' b"'m2= 100 kgflm2= 0.1 lilm'
i kN.cm = 100 kgf.crn = 0.1 t
ma = 100 kgflmX = 0.1 lflm3
I MPa = O
CA-50
Tabela 16 Cálculo simplificado de compressão centrada
Pilares de esbeltez média 40 < A s 80
coeficiente a de majoração da força normal
Valores de a, a, = l f 3 5
h
Valores de a,
1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm2 = 10kgf/cm'
I kN = IW kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kN/mx= lWkgf/mP= 0,1 fim'
I kN.cm= IW kgfcm = 0,l ttcm I kN/ms = 100 kgfim3 = 0,1 fflma
1 MPa = 0,l kN/cmz = 100 Nlcrns
SECÕES RETANGULARES
can A,, < +
Tabela 17 Cálculo simplifcado de compressão centrada
Pilares de esbeltez média 40 < A s 80
Coeficiente a de majoração da força normal
SEÇÓES CIRCULARES
(A,= 2A,,
+ 2A,,)
e
ll,5< h 5 23
Ac :b h-bi h1
4
10<$<20 A
nihc hi2)
0:- O(, + a,
Nld = O:Nd e=e,+e,
Valores de a,
Valores de or,
23
0,98 0,91 0,84 0,79 0,74 0,69 0,65 0,62 0,59 0,56 0,54
'Esbeltez limite para sqóes circulares
1N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10kgflcrnz
IkN =lWkgf=O,llf 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm
1 kNm = LW k6.m = 0.1 tf.m 1 kNlmz = IW kãlma = 0.1 tflmx
1 kN.cm = 100 kgtcm = 0,l tf.e
I MPa = O,I
C A-60
SEÇÕES
Tabela 18 Cálculo simplificado de compressão centrada
Pilares de esbeltez média 40 < A S 80
Coeficiente a de majoração da força normal
RETANGULARES
AS
com As, 1 , ~ As-Jj$jfl
B
(As = 2 A , + 2As2)
A?.,
A,= b h - bi hi
Valores de a,
C
b
4
-
cx = O(, +a2 yd = O(N, e = e, 7 e,
Valores de a,
1 MPa = 0,l kN/cm2 = 100 Nlcm'
CA-60
SEÇ~E! SE@ES RETANGULARES
OOm a," 41<+
1 - 3
(A, = 2Aw + 2Ae )
Q
11,5<+< 23
.
Tabela 19 Cálculo simplificado de compressão centrada
Pilares de esbeltez média 40 < A s 80
Coeficiente a de majoração da força normal
/"SI
SEÇÓES CIRCULARES
Ac=bh-bi hi
k'
10 <+<20 Ac= 1(h2- h;)
4
Valores de a,
e,/h 0,033 0-04 0,05 0.06 0,07 0,08 0.09 0.10
a1 1,13 1,16 1,20 1 1.24 1 1.28 1,32 1 1,36 1,40
Valores de a,
I I I I I I I I I
23 1,06 0,97 0,90 0,84 0,79 0,74 0,70 0,67 0,63 0,60 0,58
(*)Esbeltez limite para seçóes circulares
I MPa
i kN/m
8 1 kNim2
Tabela 20 Dimensionamento - Compressão simples
Y, = 1,4 y,= I,IS f,x (MPa)
Dimensionar com a força normal majorada N,, = aNd
'f.8 = resistência de cálculo do aço, respeitada a condição s 2 %~
Tabela 21 Dimensionamento - Compressão simples
CA-25 y, = 1,4 y, = 1,15
Valores de utd = 0.85 f,# + ps (fad - 0,85 fcd) em (MPa)
N = 0,l kgf
kN = 1W kgi = 0,l tf
kN.m = IW kd.m = 0,l U r.m
kN.cm = IW kgfcm = 0.1 d.cm
I MP;
1 kNi
1 kNI
I kNl
Tabela 22 Dimensionamento - Compressão simples
CA-SOA y, = 1,4 y. = 1,15
Valores de c,, = 0,85 fcd + p, (f,, - 0,85 fcd) em (MPa)
1N =0,1kgf 1 MPa = I MN/m2 = I0 k8flcmz
IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNIm = 100 kgfim = 0,l Iílm
1 kN.m = 1W kgtm = 0.1 1f.m I kN/ml = 100 k8f/rnz = 0.1 tflm2
1 kN.cm = 1W kgf.cm = O,L tf.cm I kN/m3 = 1W kgf/mS = 0.1 tflm'
1 MPa = 0.1 kNlcmS = 100 Nlcmz
Tabela 23 Dimensionamento - Compressão simples
CA-SOB y, = 1,4 y, = 1,15
Valores de <r, = 035 f,, + p, (f, - 035 f,,) em (MPa)
I N = 0.1 kgf L MPa = 1 MNlmz = 10 kgficmz
1kN =lWkgf=O,ltf 1 kNlm = IW kgfim = 0,I tfim
1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kNimx= 1Wkgf/m2 = 0.1 tfim'
1 kN.cm = IM ligtcm = 0.1 ã.cm I kNimZ = IW kgfim3 = 0,l tfim3
I
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO
Tabela 24 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem
Pilares de esbeltez média 40 < h s 80
e: 0,0035 + fud/E,
MZd= Nde2 = Nd-.
I0 (V, + 0,5) h
413
I I I I I I I I I I I I I I I
*Esbeltez limite para seiões circulares
1N =0,1kgf 1 MPa = I MN/m2 = 10 kgflcm'
1kN =IWkgf=O,llf I kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN1m2 = IW kgf/ma = 0,l tf/rnZ
I kNcm= 1W kgtcm = 0,1 ttcm 1 kN/m3 = IWkgf/m3 =0,1 ama
414 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Tabela 25 Cálculo de momentos iietores de 2.a ordem
Pilares de esbeltez média 40 < A < 80
*Esbeltez limite para seções circulares
1 Ii = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10kgf/cm2
IkN =IWkgi=O,ltf 1 kN/m = 1M kgilm = 0,1 tflm
1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 dm 1 kN/m2= 1W kgfima = 0.1 tf/m2
I kN.cm = 1W kgfem = 0.1 ttcm 1 kNimS = 1W kgfim3 = 0.1 tflma
I MPa = O,
APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO
Tabela 26 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem
Pilares de esbeltez média 40 < A S 80
Valores de -
0,0035 + 0,00248
h - & ($) v,, + 0.5
I I I I I I I I I I I I I
23 0,316 0,288 0,264 0,243 0,226 0,211 0,198 0,186 0,176 0,166 0,158 0,151
*Esbeltez limite para seções circulares
0,144
1N =0,1kgí I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cm2
IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = IW kgflm = O,I tflm
1 kN.m = IW kgí.m = 0,l tf.m 1 kNlm* = 1W kdm' = 0.1 lflm'
1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I @.cm 1 kN/m3 = 100 kgíimJ = 0,l lflm8
1 MPa = 0.1 kNicmz = 100 Nicm'
VIGA INTERNA VIGA ISOLADA
Apêndice 2
Diagramas Momento fletor -
Força normal - Curvatura
I
d'
fluência I$ =O
I
ACO CA-25
DIAGRAMA (p-4 - d/r
fluência
I$ = O
DIAGRAMA
í H - J - d/r l
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - C URVAW 419
A, = bh
$ =
Acfcd
Ac fcd
Md
r. Achfcd
= 4+
AÇO CA-25
. .&h = nn5
fluência
4 = O
DIAGRAMA ( p-3-d/r )
420 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
Ac: bh
9 = Nd
Acfcd
- Acfyd 1
Acfcd
= AChfcd
= 3 2
h
AÇO CA-25
dI/h=~05
fluência
$=o
.
I 3 4 5 6 7 9
id dir
APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA
A, = bh
.
Acfvd
Ac fcd
fluência
9 =
N d
Acfcd
Md
r= Achfcd
4I = O
r 3+
422 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS
AÇO CA-25
dl/h= 405
piq
w :* Md , $2
AC fcd
.IE AChfCd
I fluência (I = O I
h
DIAGRAMA i M - 3 - d/r 1
AÇO CA- 25
1
d'
I
fluência
$= O
I
AÇO CA-25
DIAGRAMAS ( H-3- d/r )
fluência
$I = O
AÇO CA-25
I
i
DIAGRAMAS ( p - 2 -d/r)
I
d'
fluência
p= - Md = "+
Ach fcd
4 = O
r
h
03
AÇO CA- 25
ACO CA- 25
o
I 2
DIAGRAM
fluência
4 = O
AÇO CA- 25 AÇO CA- 25
O J 1 ! " l ! ' l ' ! " ' ! o
I 2 3 I 2 3
103d/r
103d/r
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 427
ACO CA - 25
DIAGRAMAS (r-*- d/r)
r,-
!, F
.1
A,=
ACO
CA- 25
bh
f iuêncio @ = 0
,-sfra.
Ac fcd
$ =-
N d
fcd
Ac h fcd
428 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
ACO CA- 25
ACO CA-25
AÇO CA-25
e
As/2
As/2
d'
A, = bh
, As fyd
fcd
J =- Nd
Acfcd
M
'= 14, hdfcd
=
I 4 103d/r
fluência
O=O
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
E,
0.4
AÇO CA-25
DIAGRAMAS ( !--3-d/r)
0.1
o
I 2 3 lo3dh I 2 3 4
fluência r$ = O
J :N"
Ac fcd
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATCTRA 431
ACO CA-25
'1 +1e+b,9
1 A
* = bh
3;-
Nd
AC fcd
fluência $= 0 I
DIAGRAMAS í P-a- d a
1 U2
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
I
fluência
a, =wY4
p. Mb , 3 e
Ac fcd
h 'cd
0 = O
DIAGRAMA (
- 9 - d/f
APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA
Ac fcd
I
d'
1
fluência @ =O
r
0-5
o
3 4 5 6 7 8 9 10
DIAGRAMA ( r- 4 - d/r )
lo3 d/r
ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS
W;-
A
f d
fcd
r;A
h fcd
= J &
h
fluência
@ = O
AÇO CA-50-A
DIAGRAMA ( p- 9- d/r )
fluência
$ = O
AÇO CA-50-A
DIAGRAMA ( p- +d/r )
A d 2
As/ 2
Ac=bh
$=L
Acfcd
=$o
w =Y Asf d
Md
AC fcd A c h b h
fluência 6 = O I
ACO CA-50A
DIAGRAMA ( - 3 - d h )
ACO CA- 50-A
r= Achfcd h
w
Asf d
Md = 3P
Ac fcd
I
fluência 4 = O
I
,
fcd
I
d' fluência (I = O
fcd
DIAGRAMAS ( p - 9- d/r )
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 439
,k?Y& Md = J L
Acfcd r= Achfcd
h
fluência
4 = O
RAMAS (I"- 9- d/r)
1
- Asfyd
Ac fcd
d' fluência 4. O
r
fcd
43
42
o " : " ' : " ' : ' " :
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA
DIAGRAMAS ( p - J - d/r )
I 4 5 6 7 8 9 10' d/r
442 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS
'1 r
g A s / 2
Ac = bh
$=- Acfcd N d
As/2
p - = J A
- As fvd M d
Acfcd
fcd
bh
h
fluência
= O
ACO
CA-50-A
DIAGRAMA ( p - J - d/r )
APONDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 443
o
I 2 3 4 5 6 7 8
DIAGRAMAS ( v - 9 - d/r ) fluência I) = O
I 6
APÊNDICE 2 -DIAGRAMAS
MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA
P!
I DIAGRAMAS ( p - J - d/r )
AÇO CA-50-A
d'/h= 415
ACO CA-50-A
AÇO CA-5C-A
fluência I) =O
r
DIAGRAMAS ( fi - 3 - d/r )
r
43
4 2
o
I 2 3
o
103d/r I 2
3
A, = bh
J=- Nd
Ac fcd
Ac = bh
w =U
Acfcd
d =
N d
cd
Md z J-
fiz Ach fcd
e
h
fluência
d> = O
GRAMA (k -v - d/r )
448 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
e
A, = bh
,
J =-
N d
cd
, As fvd = I>- e
Acfcd
h
fluência
@ = o
ACO CA-50-B
O,]
o
I 2 3 4 5 6 7 8
DIAGRAMA (&-v - d/r)
AP~NDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA
,nçfvd - ~d = 9 e
Acfcd
Ach fcd
h
fluência (0 = 0
AÇO CA-50-B
450 ESTRUTU~AS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
A, = bh
4 =
N d
cd
- Asfvd M d e
Acfcd
I= Ach fcd
= Jh
fluência
$=O
DIAGRAMA ()I -3 -d/r '
Ac = bh
-J =
N d
cd
w - As fyd M d = 9- e
I= A, h fcd
h
Acfcd
fluência $ =O
AÇO CA-50-B
dl/h = 0,05
3 4 5 6
OIAGRAMA (+ -3 - d/r )
i 03d/r
A, = bh
, AS fvd
Acfcd
N d
J =
cd
= qe
M d
= Achfcd h
L
fluência
$ = O
r
0,5
AÇO CA-50-B
DIAGRAMA (P-T
3 4 5
lo3d,
DIAGRAMAS (p -V - d/r)
I fluência @ =O I
DIAGRAMAS (JA-v - d/r
d'
A, = bh
3 . -
N d
fcd
A,fyd
Md
U> =A, fcd = Ach fcd = 4;
fluência (I =O
rC
AÇO CA-50- B
d'/h = 0,05
piiT
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 455
1 ' ;
DIAGRAMAS [p -V - d/r
Acfcd
fluência
$=O
DIAGRAMAS (N-V -d/r)
r+ fluência
+ = 0
3.-
Nd
A,/2 Ac=bh AC fcd
APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATi
F
DIAGRAMA (k
.
A, = bh
4 =
N d
cd
w =U Md = 9- e
Acfcd
r= Ach fcd h
fluência
4 = O
DIAGRAMA (P-V- d/r)
e
As/2
A, = bh
4 =
N d
cd
As/2
w=V
Asf d M d
= J-
e
fiz A, h fcd
h
Acfcd
fluência @ =O
Ac = bh
3 =-
N d
Acf cd
",=% Md = 9 8
AC fcd P= A C fcd ~
h
fluência =O
DIAGRAMAS
460 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS
ACO CA-509
ACO CA-SOB
I d l i
DIAGRAMAS (P -V - d/r )
I fluência @=O I
LIA
AÇO CA-5OB
d?h=0.15
ACO CA-50-B
d'h = 0.15
ACO CA-50-A
d/h = 0.15
1
DIAGRAMAS (@-V - d/r)
O
ACO CA-50'B
fluência 4
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?h R4RKAh. D I>. I>)n*mi,ruíh.i~v~.~n.lfoiind~lii~nii~rrJu,;i.i~lori.~%u~. h4:Grnu-HiIIBuul t .,mDin) heu Iark
I*?.
Índice Alfabético
Os números emnogritoreferem-sea locaisonde oassuntoé abordado mais extensamente. Os númerosem
itálico referem-se a localizaç0es fora do tento (legendas. quadros. disticor, notas erc.):
A - problemas especiais de determi- 65 216.217
nação da, 328 - do eixo de barra, 200 Esbeltk de um pónicodr
Ábacos -de flambagem de Euler. 331 domínios de (v. Daminios 366
de flenáo normal composta de - de longa duração. 172, 175, 328 de defoimaçáo) Esforços
Montoya. 115 -de projeto, 272 - módulo de. li -atuantes. 12,
-em roseta, 108 parcialmente de longa duração. na flexáo composta oblíqua, 2W decomposiçi
i1 de. i25
Açofs) 329 - na fleno-compressáo, 167 Estabilidade
- CA-509, 134 permanente, 272 Derlocabilidade dasestruturas,233 - da configura ção flefida < ie equilí-
- classe A, I I Carregamento. história de, 334 Deslocamentos, decomposição brio, 158
classe B, I I Coeficiente de correçáo, 342,343 dos, 339, 340 dasformasde rquiiioriu, .," .,.
10". ,O,
- diagrama de cálculo dos. 10 Compatibilidade. equações adi- Diagrama(s). 417-62 Estado
Asóes mensionair de, 51 - carga-deslocamento. 178 - de deformqáoplisticaer ~cessiva.
-atuantes, 222 Compressáo -de cálculo dos agos, 10 3
- resistentes, 222 - armadura de, 25, 35 - de dimensionamento, 377416 -de encunamento último do con-
Analogiade Mohr. 169 - centrada, I1 1 -de interaçâo (v. Interaçáo, dia- creto, 2
Armaduras(s). 90 - - cálculo simplificado de, 402-8 gramas de) -de neutralizaçáo. 5
- alongamentos últimos simples, 409.12 de tensões parábola-retângulo, 5 -limite último
das.3, 5 - tensáo ideal de, 227 - linearizado, 216 - -de instabilidade. 153~99
de compressáo, 25, 35, - uniforme, 69. 75,401 - momento-curvatura, 169 --de ruptura ou de alongamento
d e tração, 10, 25. 34 exemplos. 77 - momento fletor-força normal- plástico excessivo, 1-152. 3
- - centro de gravidade da, 46 Concreto cuivatura, 173 - - na nexo-compressão, li
-dupla, 24, 27 - encunamentos últimos do, 5 - para o cálculo dos deslocamentos - último de ruptura. 2
- - se~ão com, 34, 35 - rigidez a ser considerada. 351 da barra, 351 Estribos. arranjos básicos i
-longitudinais, 268 - ruptura do, 2.3 - retangulardetensóes, 6,63,79,89 Estruturas
- minimas, 264 - verificação do tensáo-deformaçáo. 176 - deslocáveis. 365
-simples, 22, 26 - -em funçáo da armadura exis- - - dos aços Classe B, 394 --esbeltez das. 364
- - cálculo da, 32 tente. 32 Dimensionamento - esbeltas não-contra ventavas. ,o+
- -deformações, 34 - - em funçáo do momento atuante, -aproximado, 124 Euler
- taxa mecânica de, 22 3 1 - diagrama de, 377416 -carga de flambagem de. 331
-transversais, 269 -vigas de seção T das estruturas exemplos de, 36 -fórmula de. 156
- unilateral. 70 de, 82 -expedito, 262 Excentricidade(s)
--exemplos, 72 Contraventamento. 236 - tabelas de, 3774!6 -acidental, 11 1, 242
-das estruturas. 235 Domínios. 4 -adicional, 111
B - em edifícios altos, 360 - de deformação, 4, 6,7 -do carregamento. 2W. 26
estruturas de, 221 - iniciais de I.%ordem. 211
Barras longitudinais, espaçamento --estabilidade giobal das. 353 E -mínimas inevitáveis, 224
dai, 269 - - quase-indeslocável, 355 - progreraivas, processo d
- --rigidez mínima das, 355 Edificios
c - influCnciada rigidezdas vigas de, - cobrimenros mínimos, 268 F
355 - dimensões externas mínimas. 267
Cálculo - paredes de, 360, 362 - disposiçóes construtivas, 266 Flambagem, 154
-de deforma$ões, 85 - - isoladas de, 357, 363 - pilares (v. Pilares) -carga de, 154
- de flechas com não-lineatidadefi- - pilares de, 360, 362 Equações adimensionais - comprimet
sica, 168 - solicitações devidas ao efeito de, -de compatibilidade. 51 - cunia de,
-de resistência, 85 359 - de equilíbrio, 67 Flexão
Cargafs) Convexidade, propriedade de, 108 Equilibtio - Composta,
- -acidental, 273 Curvaturas, 202,203 condiçues de, 17 c o m grar.". .nu-
- crítica, ou carga de nambagem ' -álcula das, 204 - de forças, expressão de, I'" -cálculo prático, 55
154 -de momentos, 140 - -de barras esbeltas no regime
- - cálculo da, 207 - equaçóesadimensionaisde elástico, 161
- - - pelo método do - estabiiidade das formas di --instabilidade na. 168
- - -pelo método ge ;formaçáo(ões) 161 - - obliqua, 123
- - -por processos simolificados álculo de, 85 -método do, 189 - - - deformaç6es na, 200
215 - condições de compatibilidade de, - proces~o $i lidade na, 200
mplificado dc
'~
- -
ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORIV
---processos simplificados de
cálculo de, 245
- - resolução dos ~roblemas de, 53
- diagonal da seçáo quadrada
- - erande excentricidade. 129.130
, - -pequena excentricidade, 136
- normal composta, 111
-oblíqua, 101.52
- - -métodos geras de, 101
,or tentativas, 110
imposta. 111
dução aduas flexóes normair,
",Q
.,"
ples, 2.45, 82, 223
1~ulo prático, 22
solução dos problemas de. 53
Fcompressáo, 45
i pequena excentricidade, 64
il~ulo prático, 69
solução geral dos problemas
de. 68
- cur vatura na, 170
- def orrnaçóes na,
- esti %dos limites úI
- insl 'abilidade na, .
nsformacáo em comoressáo
centrãda, 2,
Flex o-tracáo. 45
Fárr nula
- da
A"
- . . ..
Norma Russa
Norma Venezuriaiia,
Incêndios, classiti, :ação das, 26f
Instabilidade
-estado limite últi~ mo de, 153-99
-fundamentos, 15' I
- na compressáo a xial, 154
- na nexão compor
--oblíqua. 200
- na nexo-compres
Interaçáo
diagramade,54, 1
- lineairaçáo dor ,, ..-, ,.,
- - para pilares esb eltos, 185-7
- laje~parede, 265
supenicies de. 104
- -caso panicular i ia. 145
Manutenção da seçáo plana, 4
Matérias plásticas, 155
Método(s)
- da excentricidade equivalente
2,"
- -justificativa do, 332
da transformação afim das seçóes,
117
- de funçáo equivalente de fluència,
330
- do equilíbrio, 189
Mohr. analoeia de. 169
Momento(s)'
- de inércia, 416
-externos, 159
--de 1.'ede2.aordem, superposiçio
dos, 256
--de Za ordem, 265
- - - cálculo de, 413-15
-internos, 159
N
NÓ(s)
- arranjo estrutural do, 229
- deslocáveis, 233
- indeslocáveir, 235
Pãreoe(s), /'i
de contraventamento. 360. i
estruturais, conceitos bis
263
excentricidade do carreran iento
das, 2M
isoladas de c
tnto,
357, 363
usuais dos edi
eças
comprimidas, ''3
subarmadas, 9
superairnadas, 10
ilar(es), 221
carregamento dos, 278
cintados, 230,231, 292
com armadura igual nas 4 faces,
249
compressáo simples de, 225
- com seção transversal variável ou
força nomal variável, 347,348
contraventados, 235
CU~OS. 241
-calculados por processos rigorosos,
253
- dimensionamento rigoroso, 313
dimensionamento simplificado,
,>r,
- - sob carga centrada, 259
-de canto, 223,240, 313
- - solicitações iniciais dos, 240
-de contraventamento. 360. 362
-de edificios, 233, 236,237
- - açáo do vento. 233
- - armnios estruturais dos. 238
A,'
-de extremidade, 236, 297
- - solicitações iniciais dos, 239
- de seçáo celular, 2M
- deslocáveis com vigas de grande
rigidez, 229
- dimensionamento, 236
- efeito da superposiçáo de. 239
- e~beltos. 272
- - calculados por processos rigororos,
253
--calculados por processos
simpli~ados, 2%
- - considerasão da fluência. 290
--de seção constante, 346
--estudo dos. 313
- - estudo geral dos. 346
- - sem consideração da flu&ncia,
283
- - solução alternativa por meio de
diagramas, 288
- - SOIUF~O alternativa por meio de
diagramas de interaçáo, 286
- influência da deformabilidade da
fundaçáo, 371,373
- intermediirios, 236
- - solicitaçóer iniciais dos, 238
-internos, 279
- medianamente esbelto, 304, 311,
321
- - sob carga centrada, 261
-muito esbeltos de seção constante,
347
- não-cintados, 225,226
--índice de esbeltez, 228
-padrão, 181, 210,211
- deformaçóes admitidas, 211
- -melhorado, 335, 338
- - - aplicação do, 345
- - - fundamentos, 337 Z
- - modos de emprego do, 335
-usuais dos edificios, 222
- verificação da segurança dos, 252
Pórticos hipereatáticos, 36s
cálculo rigoroso de, 369
- cálculo simplificado, 370
hocesso
- aproximado de pré-di
mensionamenra e df
dimensionamento en
pedito, 2 '62
-da Norma Russa, 116
- das excenti ricidadesprogl
179
- do carregakiiciiiu piugisa
- - etapas do, 180
- proporcional, 178, 208
-do deslocamento de ref
isn .,"
- do pilar padráo, 182, 192
-corrigido, 184
--melhorado, 338, 346
-simplificado do equihbrio, 195,
216,217
Regime
- anelástico, 161
- elástico, 154
- - flexãaçompostade barrasesbeltas
no, 161
Resistência
- ao fogo, 266
- cálculo de, 85
Ruína, 3
S
reto. 2, 3
iltimo de. 2. 3
le. 2
Seçãa(6es)
-afins. 117
com armadura dupla. 34, 35
-método de transformacão afim
das. 117
- quadrada, flexãodiagonalda. 129.
130. 136
- retangulares, 17-81
--propriedades básicas, 46. 66
- - transformações afim das, 117
-submetida a momentos de sentidos
contrários, 42
- T, 82-1W
--cálculo prático das. 89
- - notação usual, 82
--processo de dimensionamento
das, 86
-transversal, formas de. 146
Segurança, verificação da, 55
Solicitação(6es)
- casos de, 6
-normais, 2
Solidariedade dos materiais, 5
Tabelas
- adimensionais, 24
- de dimensionamento, 377416
- dimensionais, organização dar, 31
-tipo K, 28
- - emprego de, 60, 95
- universiils, 24
- - emprego de, 89
Tirantes, 222
Tração
-armadura de, 25, 34
- com pequena excentricidade. 17
-simples, 17, 222
aaçáes afim, 121
v
Valores
-de cálculo, 29
-de dimensionamento, 29
VanÁveis
- adimensionais, 22, 24
- dimensionais, 28
Verificação da segurança das peças
estruturais, 222
Viga($), 223
- cálculo das, 275
-de seção retangular, 82
- invenidas, 230
z
Zona utilizável, 98
~ ~ o o " ~ , ~ A ~ o M ' , , M c ~ r ~ ~ " ~ c , ~ o ~ . ~ , ~ ~ ~ , , ~ ~
IMPRESSA0 E ACABAMENTO:
@ AGGS INDOSTRIAS GRAFICAS SA.
R. LUIS CAMARA, 535 - TEL.: 270-6722 - RIO DE JANEIRO - RJ.