ESTRUTURAS DE CONCRETO - SOLICITAÇÕES NORMAIS - FUSCO

ESTRUTURAS

DE CONCRETO

Solicitações Normais

Estados Limites Últimos

Teoria e Aplicações

PÉRICLES BRASILIENSE FUSCO

Professor Adjunto da Escola Politécnica

da Universidade de São Paulo

CUANABARA

DOIS

Direitos exclusivos para a língua portuguesa

Copynght " by

EDITORA GUANABARA DOIS S.A.

Rio de Janeiro - RJ

Reservados todos os direitos. É proibida a duplicação

ou reprodução deste volume, ou de partes do mesmo,

sob quaisquer formas ou por quaisquer meios

(eletrônico, mecânico, gravação, fotocópia, ou outros),

sem permissão expressa da Editora.

Fotocomposição da Editora Guanabara Koogan S.A.

-

O presente volume cuida do dimensionamento das peças de concreto armado

submetidas a solicitações normais, tendo-se em vista a segurança contra os possíveis

estados limites últimos.

Entendem-se por solicitações normais os esforços solicitantes que produzem

tensões normais no plano das seções transversais das peças da estrutura. As solicitações

normais englobam, portanto, os momentos fletores e as forças normais.

As peças de concreto protendido submetidas a solicitações normais serão estudadas

em volume a parte.

O desenvolvimento dos temas aqui considerados foi orientado pela experiência

didática acumulada nas disciplinas de graduação e de pós-graduação do Departamento

de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da Universidade de

São Paulo, e pela experiência profissional associada a elaboração e a aplicação da

NB- 1/78.

O volume foi dividido em três partes.

Na primeira parte é considerado o estado limite último de ruptura ou de alongamento

plástico excessivo, na flexão simples ou composta, normal ou oblíqua. A

experiência já acumulada neste campo mostrou que sempre devem ser empregados

ábacos e tabelas organizados exclusivamente em função dos valores de cálculo,

evitando-se qualquer tipo de dimensionamento feito diretamente em função dos

valores característicos.

A segunda parte trata do estado limite último de instabilidade naflexão composta,

normal ou obl(qua.

Na terceira parte é considerado o dimensionamento dos pilares, das paredes e das

estruturas de contraventamento, procurando-se esclarecer e comentar as prescrições

da NB-1/78 pertinentes a estes temas.

Nestes comentários são feitas algumas sugestões para eventuais modificações a

serem introduzidas em futuras versões da NB-I, tendo-se em vista a necessidade de

calibragem do novo modelo de segurança incluído na NB-1/78. Esta calibragem é

parte essencial dos trabalhos de implantação de um novo modelo de segurança.

Em anexo é apresentado um conjunto de tabelas e de gráficos de dimensionamento.

Tendo em vista a atual legislação metrológica brasileira, nos exemplos e tabelas

foi empregado o Sistema Internacional de Unidades, tomando-se o cuidado de facilitar,

em cada caso particular, a imediata transformação dos valores para unidades

técnicas ainda transitoriamente em uso.

PARTE I ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU DE ALONGAMENTO

PLÁSTICO EXCESSIVO

1 FLEXAO SIhlPLES E FLEX.iO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

1.1 DEFINIÇOES

1 .I .1 Solicitações normais, 2

1.1.2 Estados últimos, 2

1.1.3 Estado limite último, 3

7 HIP~TESES BÁSICAS

1.2.1 Manutençáo da seçáo plana, 4

1.2.2 Solidariedade dos materiais, 5

1.2.3 Encurtamentos últimos do concreto, 5

1.2.4 Alongamentos últimos das armaduras, 5

1.2.5 Diagrama de tensões parábola-retângulo, 5

1.2.6 Diagrama retangular de tensões, 6

1.3 CASOS DE SOLICITAÇAO

1.3.1 Domínios de deformação, 6

1.3.2 Domínio 1, 7

1.3.3 Domínio 2, 8

1.3.4 Domínio 3, 9

1.3.5 Domínio 4, 10

1.3.6 Domínio 4a, 10

1.3.7 Dominio 5, 10

1.4 DIAGRAMAS DE CALCULO DOS AÇOS

1.4.1 Propriedades gerais, 10

1.4.2 Aços Classe A, 11

1.4.3 Aços Classe B, 11

1.5 VALORES DE CÁLCULO

1.5.1 Aços Classe A, 13

1.5.2 Aços Classe B, 14

1.5.3 Valores limites, 15

1.6 EXERCÍCIOS

2 SEÇÕES RETANGULARES

2.1 TRAÇAO SIMPLES E TRAÇAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DO.

M~NIO i)

2.1.1 Condições de equilíbrio, 17

2.1.2 Cálculo de verificação. Exemplo, 19

2.1.3 Cálculo de dimensionamento. Exemplo, 20

2.2 FLEXÃO SIMPLES. CÁLCULO PRÁTICO

2.2.1 Variáveis adimensionais. Armadura simples, 22

2.2.2 Tabelas adimensionais, 24

2.2.3 Variáveis adimensionais. Armadura dupla, 24

2.2.4 Exemplos, 26

2.2.5 Variáveis dimensionais. Tabelas tipo k, 28

2.2.6 Organização das tabelas dimensionais. Formulário, 31

2.2.7 Exemplos de dimensionamento, 36

2.2.8 Exemplos de verificação, 39

2.2.9 Seção submetida a momentos de sentidos contrários. Exemplo, 42

2.3 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICI-

DADE (DOMNIOS 2-3-4-4a)


2.3.2 Propriedades básicas das seções retangulares, 46

2.3.3 Equações adimensionais de equilíbrio, 49

2.3.4 Equações adimensionais de compatibilidade, 51

2.3.5 Resolução dos problemas de flexão simples e de flexão composta, 53

2.4 FLEXAO COMPOSTA COM GRANDE EXCENTRICIDADE. CÁLCULO

~ ~ Á n c o

2.4.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 55

2.4.2 Exemplos, 57

2.4.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 60

2.4.4 Exemplos, 62


2.5 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE (DoM~NIO 5)


2.5.2 Condições de compatibilidade de deformações, 65

,

2.5.3 Propriedades básicas das seções retangulares, 66

2.5.4 Equações adimensionais de equilíbrio, 67

2.5.5 Resolução geral dos problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade,

68

2.6 FLEXO-COMPRESSAO COM PEQUENA EXCENTRICIDADE. CÁLCULO

~ ~ Á n c o

2.6.1 Momento limite de separação entre os dois casos básicos, 69

2.6.2 Armadura unilateral, 70

2.6.3 Armadura unilateral. Exemplos, 72

2.6.4 Compressão uniforme, 75

2.6.5 Compressão uniforme. Exemplos, 77


2.7 EXERC~CIOS

3 SEÇÓES T

3.1 FLEXÃO SIMPLES E FLEXÁO COMPOSTA

3.1.1 As vigas de seção T das estnituras de concreto, 82

3.1.2 A largura da mesa de compressão de acordo com a NB-1,85

3.1.3 O processo de dimensionamento das seções T, 86

3.2 CALCULO PRÁTICO DAS SEÇÓES T

3.2.1 Variáveis adimensionais. Emprego de tabelas universais, 89

3.2.2 Exemplos, 90

3.2.3 Variáveis dimensionais. Emprego de tabelas tipo k, 95

3.2.4 Exemplos, 96

3.3 EXERCICIOS, 100

4 FLEXÁO OBLÍQUA

4.1 MÉTODOS GERAIS DE CÁLCUW

4.1.1 Cálculo exato, 101

4.1.2 Superfícies de interação e diagramas de interação, 104

4.1.3 Exemplo, 108

4.1.4 Cálculo por tentativas, 110

4.1.5 Excentricidades acidentais, 11 1

4.2 MÉTODOS SIMPLIFICADOSDE CÁLCULO

4.2.1 Linearização dos diagramas de interação, 112

4.2.2 Exemplo, 114

4.2.3 Um processo empirico tradicional, 116

4.3 MÉTODO DA TRANSFORMAÇAO AFIM DAS SEÇÓES

4.3.1 Transformação afim das seções retangulares, 117

4.3.2 Fundamentos do método de cálculo, 121

4.3.3 Roteiro de cálculo, 126

4.3.4 Flexão diagonal da seção quadrada. Grande excentricidade, 129

4.3.5 Exemplo, 131

4.3.6 Flexão diagonal da seção quadrada. Pequena excentricidade, 136

4.3.7 Exemplo e advertência, 140

4.3.8 Outras formas de seção transversal, 146

4.3.9 Exemplo, 146

4.4 EXERCÍCIOS, 152

PARTE 11 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE INSTABILIDADE

5 INSTABILIDADE

5.1 FUNDAME&TOS

5.1.1 Instabilidade na compressão axial. Flambagem, 154

5.1.2 Estabilidade da configuração fletida de equilíbrio, 158

5.1.3 Flexáo c9mposta de barras esbeltas no regime elástico, 161

5.1.4 Instabilidade na flexão composta, 163

5.2 DEFORMAÇÕES NA FLEXO-COMPRESSÁO

5.2.1 Diagrama momento fletor - curvatura (M, 1/r), 167

5.2.2 Cálculo de flechas com não-linearidade física, 168

5.2.3 Diagrama momento fletor-força normal- curvatura (M, N, l/r), 170

5.2.4 Cargas de longa duração, 172

5.3 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO GERAL

5.3.1 Fundamentos do método geral, 177

5.3.2 Processo do carregamento progressivo proporcional, 178

5.3.3 Processo das excentricidades progressivas, 179

5.3.4 Pilar padrão, 181

5.3.5 Processo do pilar padrão (com o método geral), 182

5.3.6 Exemplos, 188

5.4 CÁLCULO DA CARGA CRÍTICA PELO &TODO DO EQUILIBRIO

5.4.1 O método do equilíbrio, 189

5.4.2 Método do equilíbrio. Processo do deslocamento de referéncia, 190

5.4.3 Método do equilíbrio. Processo do pilar padrão, 192

5.4.4 Processo simplificado do equilíbrio, 195

5.4.5 Processo simplificado da NB-1, 197

5.4.6 Exemplo, 198

5.5 EXERCICIOS

6 INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA

6.1 DEFORMAÇOES NA FLEXÃO COMPOSTA OBLIQUA

6.1.1 Deformações do eixo da barra, 200

6.1.2 Curvaturas, 202

6.1.3 Cálculo das curvaturas, 204

6.2 CÁLCULO DA CARGA CR~TICA PELO MÉTODO GERAL

6.2.1 Processos exatos de cálculo, 207

6.2.2 Pilar padrão, 210

6.3 CALCULO DA CARGA CR~TICA POR PROCESSOS SIMPLIFICADOS

6.3.1 Linearização dos diagramas de interação, 215

6.3.2 Processo simplificado do equilíbrio. Diagrama linearizado, 216

6.3.3 Redução da flexão oblíqua a duas flexões normais, 218

6.4 EXERCÍCIOS

PARTE nI PILARES, PAREDES E ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

7 PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF~cIOS

7.1 VERIFICAÇAO DA SEGURANÇA DAS PEÇAS ESTRUTURAIS

7.1.1 Condiçoes gerais, 222

7.1.2 Tração simples. Tirantes, 222

7.1.3 Flexão simples. Vigas, 223

7.1.4 Peças comprimidas, 223

7.1.5 Flexão composta, 224

7.2 COMPRESSAO SIMPLES DE PILARES

7.2.1 Pilares não-cintados, 225

7.2.2 índice de esbeltez, 228

7.2.3 Pilares cintados, 230

7.3 PILARES DE EDIF~CIOS

7.3.1 Ação do vento, 233

7.3.2 Contraventamento das estruturas, 235

7.3.3 Situações básicas de projeto, 236

7.3.4 Solicitações iniciais dos pilares intermediários, 238

7.3.5 Solicitações iniciais dos pilares de extremidade, 239

7.3.6 Solicitações iniciais dos pilares de canto, 240

7.4 PILARES CURTOS

~7.4.1 Situações de projeto e situações de cálculo, 241

7.4.2 Caso particular de simplificação das situações de cálculo, 242

7.4.3 Exemplos, 244

7.4.4 Processos simplificados de cálculo de flexão composta oblíqua, 245

7.4.5 Caso particular de simplificação, 248

7.4.6 Exemplo, 250

7.5 PILARES ESBELTOS

7.5.1 Consideração dos efeitos de 2.= ordem, 251

7.5.2 Consideração da fluência, 252

7.5.3 Situações de projeto e situações de cálculo, 253

7.5.4 Superposição dos momentos fletores de I.= e de 2.a ordem, 256

7.6 PROCESSOS SIMPLIFICADOS DE CALCULO

7.6.1 Critério básico de simplificação, 258

7.6.2 Pilares curtos sob carga centrada, 259

7.6.3 Exemplos, 260

7.6.4 Pilares medianamente esbeltos sob carga centrada, 261

7.6.5 Processo aproximado de pré-dimensionamento e de dimensionamento

expedito, 262

7.7 PAREDES ESTRUTURAIS

7.7.1 Conceitos básicos, 263

7.7.2 Excentricidade do carregamento, 264

7.7.3 Momentos fletores de 2.a ordem, 265

7.8 DISPOSIÇ~ES CONSTRUTIVAS

7.8.1 Resistência ao fogo, 266

7.8.2 Dimensões externas mínimas, 267

7.8.3 Cobrimentos mínimos, 268

7.8.4 Armaduras longitudinais, 268

7.8.5 Espaçamento das barras longitudinais, 269

7.8.6 Armaduras transversais, 269

7.9 EXERC~CIOS, 271

8 PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

8.1 DADOS BÁSICOS DE PROJETO

8.1.1 Cargas de projeto, 272

8.1.2 Arranjo geral e carregamento das lajes, 273

8.1.3 Cálculo das vigas, 275

8.1.4 Carregamento dos pilares, 278

8.2 PILARES INTERNOS

8.2.1 Pilar curto, 279

8.2.2 Pilar medianamente esbelto, 281

8.2.3 Pilar esbelto sem consideração da fluência, 283

8.2.4 Pilar esbelto. Solução alternativa por meio de diagramas de interação,

286

8.2.5 Pilaresbelto. Solução alternativapor meiodediagramas(M, N, 110,288

8.2.6 Pilar esbelto. Consideração da fluência, 290

8.2.7 Pilar cintado, 292

8.3 PILARES DE EXTREMIDADE

8.3.1 Pilar curto, 297

8.3.2 Pilar medianamente esbelto. 1.O Exemplo, 304

8.3.3 Pilar medianamente esbelto. 2." Exemplo, 311

8.3.4 O estudo dos pilares esbeltos, 313

8.4 PILARES DE CANTO

8.4.1 Pilar curto. Dimensionamento rigoroso, 313

8.4.2 Pilar curto. Dimensionamento simplificado, 319

8.4.3 Pilar medianamente esbelto, 321

8.4.4 O estudo dos pilares esbeltos, 327

9 PROBLEMAS ESPECIAiS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRÍTICA

9.1 CARGAS DE LONGA DURAÇÃO

9.1.1 Consideração da fluência, 328

9.1.2 Carga parcialmente de longa duração, 329

9.1.3 Método de função equivalente de fluência, 330

9.1.4 Método da excentricidade equivalente, 331

9.1.5 Justificativa do método da excentricidade equivalente, 332

9.2 PILAR PADRÃO MELHORADO

9.2.1 Modos de emprego do pilar padrão. 336

9.2.2 Fundamentos do processo do pilar padrão melhorado, 338

9.2.3 Processo do pilar padrão melhorado, 339

9.2.4 Coeficientes de correção. Casos particulares, 343

9.2.5 Exemplo, 344

9.3 ESTUDO GERAL DOS PILARES ESBELTOS

9.3.1 Pilares esbeltos de seção constante, 347

9.3.2 Pilares muito esbeltos de seção constante, 348

9.3.3 Pilares com seção transversal variável ou força normal variável, 348

9.3.4 Exemplo preliminar, 349

9.3.5 A rigidez do concreto a ser considerada, 352

9.3.6 Exemplo definitivo, 353

9.4 ESTRUTURAS DE CONTRAVENTAMENTO

9.4.1 A estabilidade global das estruturas, 354

9.4.2 Rigidez mínima das estruturas de contraventamento, 356

9.4.3 Exemplo. Paredes isoladas de contraventamento, 358

9.4.4 Solicitaçóes devidas ao efeito de contraventamento, 360

9.4.5 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo rigoroso, 362

9.4.6 Paredes e pilares de contraventamento. Cálculo simplificado, 363

9.4.7 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 364

9.5 ESTRUTURAS ESBELTAS NAO-CONTRAVENTADAS

9.5.1 A esbeltez das estruturas deslocáveis, 365

9.5.2 Exemplo. Esbeltez de um pórtico deslocável, 367

9.5.3 Pórticos hiperestáticos. Cálculo rigoroso, 369

9.5.4 Pórticos hiperestáticos. Cálculo simplificado, 371

9.5.5 Influência da deformabilidade da fundação, 372

9.5.6 Exemplo. Parede isolada de contraventamento, 374

Apêndice 1 Tabelas e diagramas de dimensionamento, 377

Apêndice 2 Diagramas, 417

Referências bibliográficas, 462

índice alfabético, 463

PARTE i

ESTADO LIMITE ÚLTIMO

DE RUPTURA OU DE

ALONGAMENTO

PLÁSTICO EXCESSIVO

Flexão Simples e Flexão Composta.

Fundamentos

1.1.1 SOLICITAÇOES Designam-se por solicitaçóes normais os esforços solicitantes que produzem

NORMAIS tensões normais nas seções transversais das peças estmturais. As solicitaçóes no

mais englobam o momento fletor e a força normal.

De acordo com os princípios da Resistência dos Materiais, os esforços solicita

tes são entes mecânicos referidos ao centro de gravidade da seção transversal. Nas

peças de concreto estrutural, armado ou protendido, os esforços solicitantes atuantes

são calculados tomando-se, como pólo de redução dos esforços, o centro de gravidade

da seçiío geométrica da peça, sem consideração da armadura.'

1.1.2 ESTADOS ÚLTIMOS De modo tradicional, a ruptura das peças de concreto estmtural é caracterizada

pela ruptura do concreto, quer tenha havido ou não o escoamento prévio de suas

armaduras. Com a ruptura do concreto, atinge-se um estado último de ruptura.

Até alguns anos atrás, no cálculo das seções transversais em regime de ruptura,

tomava-se a defiiiição de ruptura acima indicada, não se cogitando de qualquer

limitação do alongamento das armaduras. Isso era feito, por exemplo, pela NB-1/60

para o cálculo no estádio III.%

Constatou-se posteriormente que havia a necessidade de limitação do alongamento

da armadura tracionada das peças submetidas a solicitações normais. O alongamento

excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissuração exagerada,

atingindo-se um estado último, sem que necessariamente tenha ocorrido a mpturado

concreto do banzo comprimido da peça.

Por essa razão, presentemente, a verificação da segurança é feita admitindo-se

que o esgotamento da capacidade resistente tanto possa ocorrer pela ruptura do

concreto comprimido, quanto pela deformação excessiva da armadura tracionada.

Consideram-se, portanto, estados últimos de ruptura do concreto do banzo cornprimido

ou de alongamento plástico excessivo da armadura tracionada das peças submetidas

a solicitações normais.

No entanto, como o início do fenômeno físico de ruptura do concreto é de difícil

identificação experimental, convencionou-se aceitar que o concreto atinge a mptura

quando o seu encurtamento alcança determinados valores experimentalmente justificados.

Deste modo, os estados últimos de mpturado concreto passam a ser substituídos

por estados de encurtamento último do concreto.

FLEXÃO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 3

1.1.3 ESTADO LIMITE Tendo em vista as dificuldades de caracterização do esgotamento da capacidade

ÚLTIMO resistente das peças submetidas a solicitações normais, considera-se um estado limite

último convencional, designado por estado limite último de ruptura ou de deformação

plástica excessiva.

Este estado limite último é alcançado 'quando na fibra mais comprimida de

concreto o encurtamento é igual a um valor último convencional E~~.,OU quando na

armadura tracionada a barra de aço mais deformada tem o alongamento igual ao valor

último convencional E. = ]O%,,.

Observe-se que para ser alcançado o estado limite último, necessariamente

deverá estar satisfeita pelo menos uma das duas condições últimas

E.,

mos. - Esu = 10%'

Deste modo, todos os diagramas de deformação das Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3

correspondem ao estado limite último considerado. Observe-se que nesses diagramas

já está incluída a hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o

estado limite último.

Na Fig. 1.1.3-1, a ruína ocorre por ruptura do concreto comprimido. Este caso

corresponde a existência na peça de um banzo tracionado e outro comprirnido,

ocorrendo a ruptura convencional do concreto com uma deformação última cons-

L = c..

= VARIAVEI

Fig. 1.1.3-2 Ruptura do concreta.

Fig. 1.1.3-1 Ruptura do concreto

E, = E,' loO/,

L

I

Fig. 1.1.3-3 Alongamento excessivo da armadura. Fig. 1.1.3-4 Náo há ruina

tante e igual a 3,5%0, qualquer que seja o alongamento E, da armadura, admitindo-se

E,, , s E, = 1Wo.

Na Fig. 1.1.3-2, a mína também ocorre por mptura do concreto comprimido.

Entretanto, neste outro caso, em que se admite a peça totalmente comprimida, o

encurtamento convencional último do concreto é variável. Admite-se que seja

estando agora a situação últimacaracterizada pela passagem do diagrama de deformações

pelo ponto C, de abscissa 2%, e ordenada 3 h/7, Fig. 1.1.3-2.

O caso de mina caracterizada pelo alongamento plástico excessivo da armadura

está indicado na Fig. 1.1.3-3. Qualquer que seja a deformação da fibra extrema da

borda comprimida da seção transversal, mesmo que seja E,,, , S E,,, = 3,5%0, o

estado limite último é caracterizado pela ocorrência de deformaçáo E, = 10%0.

O valor E,

= Iao

foi arbitrado com a consideração de que, desprezando-se o

alongamento do concreto tracionado, essa deformaçáo corresponde a uma fissuração

de 10%0, ou seja, corresponde a uma físsura de 1 mm de abertura para cada 10 cm de

comprimento da peça. Com essa fissuração, é dada por esgotada a capacidade resistente

da peça.

Conforme está mostrado na Fig. 1.1.3-4. não ocorrerá a mína, ou seja, não será

atingido o estado limite último de ruptura ou de alongamento plástico excessivo

quando forem simultaneamente E, < E,, e E ,, ,,, < E ,. Deste modo, para que um

diagrama de deformações corresponda a uma situação última, ele deverá necessariamentepassarporumdostrêspontos,A,B

ouC,indicadosnas Figs. 1.1.3-1 a 1.1.3-3.

Com isso, as possíveis configurações últimas do diagrama de deformações especificas

ao longo da seção transversal da peçadefinem os seisdomínios apresentados na

Fig. 1.1.3-5. Os domínios 1 e 2 são fixados pelo ponto A, os domínios 3,4 e 4a pelo

ponto B e o domínio 5 pelo ponto C. Os diagramas de deformaçóes referentes aos

diferentes domínios variam desde a reta a, correspondente a tração uniforme, até a

reta 6, correspondente a compressão uniforme.

Fig. 1.1.3-5 Domínios de deformação.

1.2 HIPÓTESES No estado limite último, o estudo da capacidade resistente das peças submetidas

BÁSICAS a solicitaçóes normais é feito com as seguintes hipóteses básicas:

1.2.1 MANUTENÇÃO DA Nas peças de concreto estrutural submetidas a solicitações normais, é admitida a

SEÇÃO PLANA validade da hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o estado

FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

limite último, desde que se tenha uma relação

sendo to a distância entre as seções de momento fletor nulo, e d a altura útil da seção

transversal.

Com esta hipótese, as deformações normais específicas são, em cada ponto,

proporcionais a sua distância a linha neutra da seção, inclusive quando a peça alcança

o estado limite último.

1.2.2 SOLIDARIEDADE

DOS MATERIAIS

1.2.3 ENCURTAMENTOS

ÚLTIMOS DO CONCRETO

Admite-se a solidariedade perfeita entre as barras da armadura e o concreto que

as envolve.

Com esta hipótese, a deformação específica de uma barra da armadura é igual a

deformação específica do concreto que lhe é adjacente.

Qualquer que seja a sua resistência, no estado limite último o encurtamento

específico de ruptura do concreto vale:

3,5 x 10-3 na flexão pura

2,O x 10-3 na compressão axial

variando na compressão excêntrica conforme indicado na Fig. 1.1.3-2

1.2.4 ALONGAMENTOS

ÚLTIMOS DAS

ARMADURAS

1.2.5 DIAGRAMA DE

TENSOES

PARÁBOLA-RETÂNGULO

Nas peças de concreto armado, o alongamento específico último da armadura

tracionada é tomado com o valor convencional de 10%0.

Nas peças de concreto protendido, o alongamento específico máximo é limitado

ao valor de Imo, contados a partir do estado de neutralização da seção transversal. O

estado de neutralização é obtido anulando-se, em todaa seção transversal, as tensões

no concreto decorrentes da aplicação isolada dos esforços de protensão.

Admite-se que, no estado limite último, as tensões de compressão na seção

transversal das peças submetidas a solicitações normais tenham uma distribuição de

acordo com o diagrama parábola-retângulo indicado na figura seguinte:

' GRAU

Fig. 1.2.5-1 Diagrama parábola-reténgulo.

O diagrama parábola-retângulo é composto por uma parábola do 2." grau, com

vértice na fibra correspondente a deformação de compressão de 2%0, prolongada por

um segmento reto limitado na fibra correspondente a deformação de compressão de

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

3,5%0. A ordenada máxima do diagrama corresponde a uma tensão igual a

1.2.6 DIAGRAMA De modo geral é possível admitir-se para as tensões de compressão a distribuição

RETANGULAR DE retangular simplificada indicada na Fig. 1.2.6-1. É importante saber-se que os resuita-

TENS~ES dos obtidos com este diagrama simplificado são praticamente iguais aos resultados

obtidos com o diagrama parábola-retãngulo, As possíveis divergências de resultados

ocorrem apenas no domínio 5.

I

DEFORMA ÓES

1 LARGURA DECRESCENTE

OU CRESCENTE PARA PARA A BORDA CDMPRIMIDA

A BORDA COMPRIMIDA

Fig. 1.2.6-1 Diagrama retangular.

1.3 CASOS DE

SOLICITAÇÃO

No trecho de altura 0,2x, a partir da linha neutra, são desprezadas as tensões de

compressão. No trecho restante de altura 0.8~. admite-se distribuição uniforme de

tensões.

Nas zonas comprimidas de largura constante, ou crescente no sentido das fibras

mais comprimidas, admite-se uma tensão constante e igual a 0,85 f,,.

Nas zonas comprimidas de largura decrescente no sentido das fibras mais comprimidas,

admite-se uma tensão constante igual a 0.80 f,,. Este caso ocorre, por

exemplo, nas.seções circulares, nas seções triangulares ou trapezoidais com vértice

do lado mais comprimido e nas seçóes retangulares submetidas a flexão oblíqua.

1.3.1 DOM~NIOS O estado limite último de ruptura ou deformação plástica excessiva é caracteri-

DE DEFORMAÇAO zado convencionalmente na situação de cálculo pelas deformações específicas de

cálculo e E~,, respectivamente, do concreto e da armadura tracionada.

Para a determinação da resistência de cálculo de uma dada seção transversal, é

necessário considerar em qual dos domínios definidos pela Fig. I. 1.3-5 está situado o

diagrama de deformações específicas de cálculo da seção analisada.

Na Fig. 1.3.1-1 estão novamente representados os domínios de deformação,

explicitando-se aposição da linha neutra paracada um dos domínios considerados. A

posição da linha neutra é definida pela sua distância x a fibra extrema mais comprimida.

A posição da linha neutra também pode ser fixada, de forma adimensional, pelo

coeficiente

Na Fig. 1.3.1-2 estão mostrados os casos de solicitação possíveis para cada um

dos domínios de deformação. variando-se a posição da linha neutra de -ma +m, ou

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 7

seja, variando-se as solicitações desde a tração uniforme até a compressão uniforme.

A análise das Figs. 1.3.1-1 e 1.3.1-2 permite as seguintes observações:

1.3.2 DOM~NIO 1 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,, = 10%0. A linha neutra

é externa a seção transversal, a qual está inteiramente tracionada.

Neste domínio estão incluídos os casos de traçãoaxial e de tração excêntricacom

pequena excentricidade.

A seção resistente é composta pelas duas armaduras de aço, não havendo participação

resistente do concreto, o qual é admitido como inteiramente fissurado.


1 =-"

Fig. 1.3.1-2 Casos de solicitação - Domínios de deformação. Diagramas de deformacão correspondentes

aos extremos dos domínios.

1.3.3 DOM~NIO 2 O estado limite último é caracterizadopeladeformaçáoe,, = IO%o. A linha neutra

corta a seção transversal, havendo na peça um banzo tracionado e um banzo comprimido.

Neste domínio estão incluídos os casos de tração excêntrica com grande excen-

FLEXAO SIMPLES E FLEXÃO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 9

tricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentricidade.

Na peça existe um banzo tracionado. mas o concreto da zona comprimida não

atinge a ruptura, pois esta somente poderá ocorrer na posição limite do fim do domínio

2, quando então E~,, = 3,5%0.

Observe-se que da Fig. 1.3.1-1 resulta a relação

ou seja

3,5%0 - 1 Wo

X,, iim d - X2, iim

donde

Na Fig. 1.3.1-1, o domínio 2 está subdividido em dois outros, indicados, respectivamente,

por 2a e por 2b. A separação entre estes dois subdominios é dada pela

condição E,,, = 2%0, à qual corresponde a condição

obtendo-se para a posição limite da linha neutra o valor

A subdivisão do domínio 2 é aqui considerada tão-somente com afinalidade de ser

determinado um valor limite da profundidade da linha neutra, a partir da qual as

armaduras de compressáo podem ser realmente eficientes. Deste modo, somente no

subdomínio 2b deverão ser levadas em conta as eventuais armaduras de compressão.

No subdominio 2a, tais armaduras, mesmo quando existentes, deverão ser ignoradas,

pois a deformação última das mesmas é muito pequena e incerta.

1.3.4 DOMINIO 3 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha

neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.

Na situação última, a deformação da armadura tracionada é pelo menos igual a

deformação de inicio de escoamento. Assim, a ruptura do concreto ocorre simultaneamente

com o escoamento da armadura. Esta é a situação desejável para projeto,

pois os dois materiais são aproveitados inteiramente e, além disso, não há risco de

ruínanão-avisada. As peças quechegamaoestado último nodomínio 3 sãoditas peças

srtbarmadas (na verdade deveriam ser chamadas de peças normalmente armadas).

Neste domínio também estão incluídos os casos de tração excêntncacom grande

excentricidade, de flexão pura e de compressão excêntrica com grande excentncidade.

O domínio 3 é limitado pela condição

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

resultando na posição limite da linha neutra

que é variável com o tipo de aço empregado

1.3.5 DOMÍNIO 4 O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha

neutra corta a seção transversal, havendo um banzo comprimido e outro tracionado.

No estado último, adeformação da armadura é inferior a deformação de início de

escoamento. A ruptura da peça ocorre, portanto, de formafrágil, não-avisada, pois o

concreto se rompe sem que a armadura tracionada possa provocar umafissuração que

sirva de advertência. As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são ditas

superarmadas, devendo ser evitadas tanto quanto possível.

No domínio 4 estão incluídos apenas os casos de compressão excêntrica com

grande excentricidade. Existe predominância do efeito de compressão, embora a

excentricidade não possa ser chamada de pequena, pois a peça ainda apresenta um

banzo tracionado.

O domínio 4 é limitado pela condição

sendo nula a deformação da chamada armadurade tração, a qual na situação limite não

é solicitada.

1.3.6 DOMíNIO 4a O estado limite último é caracterizado pela deformação E,,, = 3,5%0. A linha

neutra ainda corta a seçáo transversal, mas na região de cobrimento da armadura

menos comprimida.

No domínio 4a, ambas as armaduras estão comprimidas, embora sejam usualmente

desprezíveis as tensões na armadura menos comprimida.

O domínio 4.2 é um simples domínio de transição conceitual, estando limitado por

uma posiçáo da linha neutra tangente a fibra extrema da seção, sendo'pois

1.3.7 DOM~NIO 5 No domínio 5 estão incluídos os casos deflexo-compressão com pequena excentricidade

e o caso limite da compressão centrada. A linha neutra não corta a seção

transversal, a qual está inteiramente comprimida.

Admite-se que neste domínio seja variável a deformação última do concreto,

sendo igual a 2%0 na compressão uniforme e 3,5%0 na flexo-compressão com a linha

neutra tangente à seção.

Os diagramas de deformação dos dois casos limites citados cruzam-se no ponto

C, afastado de 3 h/7 da borda mais comprimida da seção, como decorrência da

hipótese de que o estado limite último seja caracterizado peladeformação ced = 2%0 na

fibra que passa ppr esse ponto C, estando E,, compreendido entre os limites de 2%0 e

3,5%0.

1.4 DIAGRAMAS DE

CÁLCULO DOS AÇOS

1.4.1 PROPRIEDADES O diagrama tensáo-deformação de cálculo dos aços é obtido do diagrama caracte-

GERAIS rístico, dividindo-se por y, as ordenadas oblíquas, paralelas a reta de Hooke.

Para os aços das armaduras passivas, tanto da ClasseA quanto da Classe E, a

NB-1 adota o modulo de deformação

i

FLEXÁO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS 11

E, = 210 000 MPa (1 MPa = 10 kgf/cmz)

Para esses aços, mesmo para os da ClasseB, nos quais o efeito Bauschinger pode não

ser desprezível, admite-se um comportamento na compressão simétrico ao cornportamento

na traçáo. Além disso, em virtude de o concreto solidário as armaduras sofrer

ruptura com encurtamentos não superiores a3,5%a, do lado das tensóes de compressão

o diagrama tensão-deformaçáo dos aços já é truncado em função desse encurtamento

de ruptura do concreto.

Para estes mesmos aços, o CEB3 adota o valor E, = 200 GPa.

1.4.2 AÇOS CLASSE A Para os aços da Classe A, caracterizados pelalinearidade do diagrama até o limite

de escoamento e pela presença do patamar de escoamento, adota-se o diagrama

indicado na Fig. 1.4.2-1.

Fig. f.4.2-1 A~os classe A. Diagrama tensão-deformafio.

1.4.3 AÇOS CLASSE B Para os aços Classe B, obtidos por encruamento a frio, adota-se o diagrama

apresentado na Fig. 1.4.3-1 quando se dispõe de dados experimentais que permitam o

traçado do diagrama característico tensão-deformação.

Quando não existe informação experimental suficiente, permite a NB-1 a adoção

do diagrama simplificado apresentado na Fig. 1.4.3-2.

I N =0,1kgf I MPa = I MN/m' = I0 kgflcm'

IkN =lWkgf=O.ltf 1 kNlm = IW kgflrn = O,I tflm

I kN.m = IW k8f.m = 0.1 Ifm I kNim* = 1W kgflmz = 0.1 fim2

I kNcm = !W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlma= 100 kgflm3 = 0.1 fim3

I MPa = 0.1 kNicm' = 100 N/crn2


Fig. 1.4.3-1 Aços classe B. Diagrama tensáo-defomaçáo

('0,

- o,7 )2

ycd

Fig. 1.4.3-2 Aços classe B. Diagrama simplificado tensão-deformação.

~

Na figura da Tabela 10 estão desenhados em escala os trechos curvos dos

diagramas correspondentes aos aços CA-40B, CA-SOB e CA-6OB.

É oportuno salientar que o trecho curvo do diagrama simplificado adotado pela

NB-I é uma parábola do 2.O grau, enquanto que, para essa simplificaçáo, o CEB ,

admite uma parábola do 5.O grau.

Na Fig. 1.4.3-3 estão apresentados resultados experimentais obtidos com aços

produzidos pela indústna brasileira.*

'Resultados obtidos em diversos laboratonos

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMEhTOS

< : .

, . ...

. .

, .... ..

.

.....

.

. .I . .

o

.:.. . . ..

.

, .

' .

,

.: ' :

0.001 0002 0003

Fig. 1.4.3-3 Aços classe B - Resultados experinicntais.

,

-

5 bs

€obs- -

E s

Note-se que a parábola do 5.O grau adotada pelo CEB adapta-se com maior

segurança aos resultados da fase de encruamento que aos valores anteriores ao

escoamento. A parábola adotada pela NB-I, além de ser numericamente mais simples,

pode garantir com maior segurança a região anterior ao escoamento, pois a NB-1

não considera a fase de encruamento.

1.5 VALORES DE (y, = 1,15, E, = 210.000 MPa)

CÁLCULO

1.5.1 AÇOS CLASSE A

f"* = k

Ys

IN =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgflcm'

IkN =IWkgf=O,ltf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 ttm I kN/m2= 100kgilmz=O,I rf/m'

1 kN.cm= 100 kgi.cm = 0.1 tfcm I kN/mS= IWkgf/rna =O,I tf/m3

I MPa = 0.1 kN/cmz = 1W Nlcm'

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Fig. 1.5.1-1 Diagrama de cálculo.

1.5.2 AÇOS CLASSE B

fud = 3%

Y.

cyd = 2%0 + Azyd

Ng. 1.5.2-1 Diagrama de cálculo

CA-40B 400 348 1,66 3,66

CA-SOB 500 435 287 4.07

CA-60B 600 522 2.48 4,48

IN -0,lkgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/cmZ

IkN =IWkgf=0,ld I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm

I kN.m = 100 kgfm s 0.1 tf.m 1 kNim2= 1W kgfim2 s 0.1 tfIm2

I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mg= 103 kgflm" 0.1 U/m'

I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm2

FLEXAO SIMPLES E FLEXAO COMPOSTA. FUNDAMENTOS

1.5.3 VALORES LIMITES

Para os aços Classe B cabe ainda considerar o limite de proporcionalidade fad e a

correspondente deformação específica E,,, dados por

fod = 0,7 f,d

CA-40B 400 348 243 1,16

C A-SOB 500 435 304 1,45

CA-6OB 600 522 365 1,74

Como é fisicamente definido o esgotamento da capacidade resistente das seções de

concreto armado submetidas a solicitaçóes normais? Quais os estados últimos correspondentes?

Como é definido o estado limite último da ruptura ou de deformação plástica excessiva?

O que significa a circunstância desse estado ser considerado como um estado limite?

Qual a diferençaentre o estado limite último de ruptura ou deformação plásticaexcessiva

e o conceito de estádio III?

Por que o estado limite de ruptura é caracterizado por um encurtamento último do

concreto? Quanto vale esse encurtamento?

Se o encurlamentomáximo~~, doconcreto éinferiorao valor Último, pode aindaassim ter

sido atingido o estado limite último?

Que interpretação física deve ser dada ao limite adotado para a deformação última da

armadura?

Quais as hipóteses básicas da teoria de flexão no estado limite último?

Como são definidos os diagramas parábola-retângulo e retangular de tensões de compressão

nas seçóes transversais?

Desenhar os diagramas de deformações da seção transversal no estado limite último de

ruptura ou deformação plástica excessiva de peças submetidas à flexo-tração. à flexão

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm' = 10 k$/crnz

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = IW kdim = 0.1 tfim

I kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 1f.m I kNlm' = IW kgf!m2 = 0.1 tfirn'

I kN.crn = 100 kgf.cm = 0.1 rfcm I kNim,; = IW kgfim3 = 0.1 tfirn"

I MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 N/crn2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÓES NORMAIS

simples e à flexo-compressão com pequena excentricidade. Justificar.

Nas mesmas três situaçóes da questão anterior, desenhar diagramas de deformações

correspondentes a estados que ainda não sejam estados últimos. Justificar.

Que estado Último caracteriza os domínios 1 e 2 de deformaçóes?

Que estado último caracteriza os demais domínios de defonnaçóes?

Na determinação da ruptura do concreto, que diferenças existem entre os domínios 3.4,

4a e S?

Que relaçóes obrigatórias existem entre a posição da linha neutra e o tipo de solicitação

normal que age na seção considerada?

Em que domínios de deformação podem estar situados os casos de flexão simples?

O que se entende por peças subarmadas e por peças superarmadas? Em que domínios

elas ocorrem?

Calcular a posição relativa da linha neutra no fim dos domínios 2 e 3. Por que um destes

valores é constante e o outro variável?

Em que parte do domínio 2 não se pode usar armadura de compressão? Justificar.

Por que no domínio 5 o ponto fixo dos diagramas de deformação está a distância de 3 h17

da borda mais comprimida?

Caracterizar os diagramas tensão-deformação dos aços ClasseA e dos aços ClasseB.

Definir o limite de escoamento para ambas as classes de aço.

Como se determina o diagrama de cálculo tensãodeformação, a partir do diagrama

característico dos aços?

Que forma simplificada do diagrama tensão-deformação dos aços Classe B é permitida

pela NB-I?

Quanto vale o módulo de deformação E, dos aços Classe A e dos aços Classe B?

Calcular a deformação de início de escoamento dos aços CA-SOA e CA-SOB.

2

Seções Retangulares

2.1 TRAÇÁO SIMPLES

E TRAÇAO COM

PEQUENA

EXCENTRICIDADE.

2.1.1 CONDICOES DE As peças de concreto armado submetidas à tração simples ou à tração com pequena

EQUILÍBRIO excentricidade devem ser admitidas com suas seções transversais inteiramente fissuradas.

No domínio 1, a seção resistente é formada apenas pelas duas seções metálicas

A,eks, Fig.2.1.1-1.

Neste caso, o estado limite último é caracterizado pelo fato de a deformação

específica da armadura mais tracionada, de área A,, ter atingido o valor E* = 10%0.

Embora se saiba que a outra armadura, de área A',, também está tracionada, não

w

Kg. 2.1.1-1 Flexo-tração no domínio I


se conhece a priori a tensão rid que age na mesma, pois não se conhece a posição da

linha neutra, podendo ser E,, < E;,.

Em princípio, as forças R: e R, que agem nas armaduras podem ser estudadas em

função da ação última F, e da geometria do sistema, impondo-se as condições de

equilíbrio de esforços e de compatibilidade de deformações.

No entanto, torna-se mais simples proceder a uma duplaverificação, como é feito

a seguir, Fig. 2.1.1-2.

Fig. 2.l.l-2 tquilibi-io de forças.

a. Condições de equilíbrio

Das condições de equilíbrio, têm-se:

sendo

RSd = A:

b. Cálculo de verificaçáo (incógnita: F,)

O valor de cálculo Fd da ação é dado pelo menor dos dois valores

d d'

F,, =S A', - fvd (2.1.1-5)

e,

com

SEÇÕES RETANGULARES 19

Observe-se que será F,, = F., quando a distância 1 x 1 da linha neutra for

suficientemente grande paraque E; 2 eyd, logo quando aLd = fUd.

c. Cálculo de dimensionamento (incógnitas: A,, A;)

Impõe-se nas equações (2.1.1-1) a (2.1.1-4) a condição

obtendo-se então as áreas A, e A;

2.1.2 CÁLCULO DE

VERIFICAÇAO.

EXEMPLO*

Fig. 2.1.21 Exemplo

Para a seção da Fig. 2.1.2-1, determinar o valor de serviço da força de tração que

pode ser aplicada com uma excentricidade e = 10 cm. São dados:

h = 50 cm d' = 4 cm A, = 4 4 25 (20 cm2) A: = 2 4 25 (10 cm2)

Aço CA-SOA (f,, = 435 MPa)

e = MIN = 10 cm

Admitindo

têm-se

Md = M* = e = 10 Cm

Nd Nk

Das condições de equilíbrio, resultam


ou seja

F. = 3,82 Ri,

F. = 1,35 R,,

Considerando a condição limite o;, = uad = fvd, para a qual

sendo Rid 5 Riu e R,, s R,, obtêm-se

resultando finalmente

Fd = 1 175 kN

Em condições de serviço, adotando y, = 1,4, tem-se

2.1.3 CÁLCULO DE

DIMENSIONAMENTO.

EXEMPLO

Fig. 2.1.3-1 Condições de serviço.

Determinar as áreas A, e A8 das seções das armaduras do tirante indicado na Fig.

2.1.3-1.

Sendo dados M, e N,, a peça pode ser tratada como se estivesse submetida a uma

--

IN =0,1w I MPa = I MNlmS= IOkgíIcm'

IkN =IWkgf=O,Ití 1 kNlm = IW kd/m = 0.1 tflm

I kN.m = IWkgfm = O,] ttm I kNlmZ= IWkgílm~=O,l d/mS

1 kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm" lCü kgflm' = 0.1 tílm"

1 MPa = 0.1 kNIcm' = ICü N/cm'

SEÇOES RETANGULARES

força de tração excêntrica Fk = N,, com excentricidade

Para o dimensionamento das armaduras será considerada então, Fig. 2.1.3-2, a

solicitação dada por

Fig. 2.1.3-2 Condi~óes de $álculo.

Da geometria do sistema, têm-se

e das condições de equilíbrio, obtêm-se

Admitindo-se o emprego de Aço CA-50A, com f,, = 435 MPa, resultam para as

armaduras os valores:

I N =O,lkgf I MPa = I MNlrn2 = IOkgitcrn*

I kN = 103 kgf = 0,1 tf I kN/m = 103 kgflm = 0.1 tflm

I kNm = IW W.m = 0.1 1f.m I kN/mL lWkgflrna = 0,l tfirn*

1 kN.cm = IW kgf.crn = 0.1 tf.crn I kNlms = 1W kgflrn' = 0,I tfirn'

2.2 FLEXAO SIMPLES. As expressões aqui deduzidas têm por finalidade apresentar o estudo do caso básico

CÁLCULO PRÁTICO que permite as primeiras aplicações da teoria de flexão.

No estudo com variáveis adimensionais é empregado o diagrama parábolaretângulo,

enquanto que, no estudo com variáveis dimensionais, é usado o diagrama

retangular de tensóes.

2.2.1 VARIÁVEIS

ADIMENSIONAIS.

ARMADURA SIMPLES

& b A

Fig. 2.2.1-1 Caso básico - FlexXo simples - Armadura simples.

Considerando-se o caso básico da flexão simples de seções retangulares com

armadura simples, as equaçóes de equilíbrio podem ser deduzidas diretamente a partir

da Fig. (2.2.1-1). De fato, sendo

,.\

R, = a bx.0,85 fcd

e

R, = A, c,

definindo-se os valores

(taxa mecânica de armadura)

(momento fletor reduzido)

as equações de equilíbrio

R, = R,

R, z = M,

podem ser escritas

donde

Nestas expressões, o coeficiente a mede a relação entre a tensão média de

compressão e o valor extremo 0,85 f,,; o coeficiente 5' fixa a posição da resultante das

tensões de compressão no concreto e, portanto, define o braço de alavanca dos

esforços internos.

Conforme será visto em 5 2.3.4, as condiçóes de compatibilidade de deformações

fornecem as seguintes funções da variável f:

a = a(f) (permite a determinação da tensão média de compressão em função da

posição da linha neutra)

f' = C(5) (permite a determinação do braço de alavancados esforços internos em

função da posição da linha neutra)

uSd = usd(f) (tensão na armadura de tração em função da posição da linha neutra)

Desse modo, a expressão (2.2.1-2) pode ser posta sob a forma de uma equação a

uma incógnita:

I p, = função (01

a qual, uma vez resolvida, fornece a função inversa

Uma vez conhecida a posição da linha neutra em função do momento fletor, a

equação (2.2.1-1) permite a determinação da taxa mecânica da armadura de tração,

obtendo-se

w = 035 a - (2.2.14)

Nos casos de dimensionamento, usualmente faz-se o., = fy,, resultando então

Em lugar da expressão anterior, a armadura também pode ser determinada pela

expressão

onde

z=d-5'x=d(l-5>6)


Nos casos usuais de dimensionamento, adora-se uSd = f,,, resultando

2.2.2 TABELAS Tendo em vista as aplicações práticas, foram tabelados os valores das variáveis que

ADIMENSIONAIS intervêm no estudo das seções retangulares, estando os resultados apresentados na

Tabela 1 do Anexo desta publicação.

Observe-se que as tabelas são apresentadas sempre em função dos valores de

cálculo. Desse modo, para o seu emprego deverá sempre ser utilizado o valor do

momento fletor majorado

2.2.3 VARIÁVEIS

ADIMENSIONAIS.

ARMADURA DUPLA'

Como será visto posteriormente, a tabela correspondente ao caso básico de

flexão simples de seções com armadura unilateral poderá ser empregada para todos

os casos de flexão, simples ou composta, de seçóes com armadura simples ou

armadura dupla. Como essas tabelas são válidas para qualquer tipo de aço e para

qualquer resistência do concreto, elas são chamadas de tabelas universais.

-1 )Md

= v,-

+ I--

(d-d')

,

As . As I As2

L---- 1

I

Fig. 2.2.51 Redugão ao caso básico

A armadura de compressão será usada quando a armadura simples conduzir a

5 > fnm, isto é, quando a armadura unilateral corresponder ao domínio 4. Com esta

precaução são evitadas as peças frágeis. Todavia, com os aços ClasseB, para os quais

a deformação E, é convencional, admite-se que hajaumazona utilizável do domínio4,

co&espondente a deformações E,, maiores do que a deformação de início de escoa-

SEÇOES RETANGULARES 25

mento do aço da mesma categoria, mas da Classe A.

Para a consideração da armadura dupla, o momento fletor é decomposto em duas

partes

das quais M,, . é a parcela resistida pela seção com armadura simples e AM, é a

parcela resistida por uma seção metálica.

Dessa maneira, conforme é ilustrado pela Fig. 2.2.3-1, têm-se:

armadura de tração

armadura de compressão

/;7

De modo geral, faz-se

correspondente a 8 = [li,.

Nesse caso, obtêm-se

armadura de tração

1 M, ,I7"+=)

A, = - (.

Ud Z d-d'

armadura de compressão

\

É importante salientar-se que a decomposição considerada é válida porque foi

admitido o mesmo diagrama de deformações tanto para a seção simplesmente armada,

com armadura de área A,,, quanto para a seção metálica formada pelas armaduras de

áreas A: e A,, Fig. 2.2.3-1.

Note-se que os valores

correspondem a 5 = 5irrn Em

também com os aços Classe B

adotado pela NB-I.

os valores

vezes é tolerada a solução com armadura simples paravalores def algo maiores do que

511rn, desde que não se chegue a peças de ruptura francamente frágil.

Admite-se, em geral, como ainda utilizável a parte do domínio 4 onde

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

2.2.4 EXEMPLOS a. Armadura simples

Fig. 2.2.41 Exemplo.

Calcular a armadura da viga indicada na Fig. 2.3.4-1. Solicitação:

q, = 20 kN/m

Me = Yr Mx, mus. = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm

f,, = 18 MPa = 1,X kN,!cm2

h = 50 cm

b = 25 cm

d' = 4 cm (valor estimado)

d=h-d'=50-4=46cm

Pela Tabela 1 (para @, = pgd = 0,186)

5 = 0,31 < c,im (domínio 3, pode ser usada armadura simples)

5 = 0,867 logo z = b = 0,867 x 46 = 39,9 cm

E, = 7,49%0 (a,d = f,,)

Sendo Aço CA-SOA, têm-se

f,, = 500 MPa = 50 kN/cmZ

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/m2 = 10 kgf/cmS

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNIm = 1W kgflm = 0.1 dlm

I kN.m = 1W M m = 0.1 tfm I kNlm2 = 1M kgflrn2 = 0.1 dlmz

I kN.crn = 1M kgi.cm = 0.1 1f.m I kNlmL 100 kgf/ma = 0.1 tf/d


logo

-

ou seja

A, = 7,26 cmZ 4 6 16

sendo A, > A,, ,i, . pois para o Aço CA-50

p,,,,

= A,, ,,,/bd 3 0,15%, logo

A, ,. = 0,15 x 25 x 461100 = 1,73 cm2

b. Armadura dupla

cm.

Determinar a armadura da viga do caso anterior, reduzindo-se a largura para 12

Neste caso, obtém-se

Adotando pd = pd, lim = 0,319, têm-se

5 = (rim = 0.6283

5 = 0,739 logo z = < d = 0,739 x 46 = 34,O cm

Ecl = 3,5%0

d'

donde, sendo 8' = - = 4 0,09,

d 46

5 - '' - - = 3,00%0 >

tem-se E'* = eCl - - 3,5

5 0,628

ou seja

a', = f',, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ

Desse modo, sendo

Md, ii,

= pd, fim.bdZ fcd = 0,319 X

12 x 462 x 1,28 = 10 368 kN.cm

1 N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP= 10l;gficmz

I k = 100 kgf = 0.1 ff I kNlm = 100 Wim = 0.1 tflm

1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlm2 = 100 kgfim" = 0.1 (fim'

I kN.cm= IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kN/mS= la)kgf/m3=0.1 tflms

I MPa =O,! kNlcmz = 100 Nicm'


resultam, com d - d' = 46 - 4 = 42 cm,

logo

2.2.5 VARIÁVEIS Tradicionalmente entre nós o cálculo rotineiro das peças de concreto armado

DIMENSIONAIS. TABELAS submetidas à flexão normal era feito com o auxílio de tabelas que genericamente

TIPO k podem ser chamadas de tabelas tipo k.

Essas tabelas tiveram o seu formato estabelecido originariamente por Loeser4

para o cálculo no estádio 11.

Quando se introduziu entre nós o cálculo no estádio 111, como conseqüência dos

trabalhos de Langendonck2, já eram utilizadas tanto tabelas com variáveis adimensionais

quanto tabelas com variáveis dimensionais.

A apresentação de tabelas tipo k para o cálculo no estádio 111, com o formato e a

notação originalmente empregados para o cálculo no estádio 11, foi feita por Burkes e.

posteriormente, por Burke e Gertsenchtein.Tomo essas tabelas* foram empregadas

durante muitos anos, tanto na formação dos nossos engenheiros quanto no trabalho

profissional em nosso meio técnico, tabelas do tipo k são novamente aqui apresentadas,

mantendo-se de modo aproximado o formato tradicional, empregando-se porém

os valores de calculo dos momentos fletores.**

Tendo em vista a notação internacional estabelecida pelo CEB e adotada pela

NB-1, as tabelas tipo k aqui apresentadas tiveram a sua notação adaptada, definindose

os seguintes coeficientes:*

*As tabelas citadarr eram empregadas com os momentos caracte"sticos M,.

'.Obseivpse que todos os momentos fletores sáo tomados sempre com seus valores de cálculo

1N =O.!@ i MPa = 1 MNlm' = I0 kgf/cmz

IkN =IWkgf=O,ltf i kNlm = 100 kgfim = 0,I tilm

I kN.m = 100Wm = 0.1 tf.m I kNlmS= 100kgflm2=0,1 tiimz

I kN.cm = 100 kgfem = 0.1 tf.crn I kN/mZ= i00 kgflm" 0.1 tflm3


Com armadura simples:

Com armadura dupla, sendo A, = A,, + A,,,

AMd

A', = k:- d - d'

onde

O momento Md. e é a parcela resistida pela seção com armadura simples de área

A,,, e o momento AMd é a parcela resistida pelas seções metálicas de áreas A,,

tracionada e A: comprimida.

Usualmente é adotado o valor

Md, C = Md, lim (2.2.5-8)

correspondente a 5 = eiim.

Em todas as expressóes, Mdi Md, Md, lim e AMd são valores de cálculo.

Das expressóes anteriores pode ser mostrada a equivalência entre os coeficientes

k e os coeficientes empregados no cálculo com variáveis adimensionais.

Assim, por suas próprias definições, têm-se

O coeficiente k, faz o papel do momento fletor reduzido P,, pois

logo

1

k, = -

pd fed

Considerando seçóes com armadura simples, tem-se

onde

De modo análogo, para as seções com armadura dupla, sendo

I AM,

A,$ = --

vid d -d'

podem ser escritas as expressões

resultando

e

-- AMd = knu8d

d - d' d -

A Md

d'

-- 1 AMd =kgl- AM,

uid d-d' d-d'

logo

I

k, = - (2.2.5-1 1)

08,

As tabelas apresentadas no Anexo desta publicação, para os aços CA-25, CA-32,

CA-40A, CA-40B, CA-SOA, CA-SOB e CA-6OB e para concretos de resistência fck

iguais a 9; 13,5; 15; 18; 21; 25 e 30 MPa, fornecem os valoresdos coefícientesk,, k,, k,,

e k: em função da posição da linha neutra dada por .$ = x/d.

Além disso, para o cálculo de verificação, que é ilustrado pelos Exemplos 4 e 5 do

§ 2.2.7, as tabelas fornecem os valores dos coeficientes

100 A,,

100p, = -

bd

(2.2.5-13)

estando os valores de k, dados em função de a, e os valores de ki em função de 6.

As tabelas foram constmídas com os coeficientes básicos de ponderação adotados

pela NB-1, isto é,

Quando forem adotados coeficientes y, f 1,4, as mesmas tabelas poderão ser

empregadas, entrando-se com o valor corrigido h, em lugar do valor real h, sendo

2.2.6 ORGANIZAÇAO DAS

TABELAS DIMENSIONAIS.

FORMULÁRIO

FLEXÃO SIMPLES - ARMADURA SIMPLES

Fig. 2.2.6-1 Caso básico - Diagrama retangular de tensóes.

i. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇÃO DO MOMENTO ATUANTE

Sendo

pode ser calculado o momento

Md = 0,85 fcd.0,8 x.b (d - 0,4 x)

logo

Md = 0,68 fcd.bdz 5 (1 - 0,4 4)

obtendo-se então a relação

Sendo por definição


resulta

k, = - 1 .

f,d

1 Depende da resistência do concreto e da posição

0,68 5- (1 - 0,4 f) da linha neutra, mas não depende do tipo de aço.

Para um dado concreto, a cada valor de 5 corresponde um único valor de k,.

Reciprocamente, a cada k, corresponde um único 5. Quando 6 s f,,,, a seçáo de

concreto é satisfatóna, não havendo necessidade de armadura de compressão.

2. VERIFICAÇAO DO CONCRETO EM FUNÇAO DA ARMADURA EXISTENTE

Considerando-se apenas o caso deflexáo simples, tem-se

Nd = O (flexão simples)

Admitindo-se que haja armadura simples, tem-se

A', = O

A, = A,, (armadura simples)

logo

Do equilíbrio de forças, resulta

A, u,d = 035 f,d . b 0,8 x

logo

- A,

fCd

- 0,68 f -

bd

usd

donde

Para 8 &im. tem-se u.d = fud. Para f > &, no domínio 4, tem-se

logo, em qualquer caso, a cada valor de f corresponde um único valor de p,. Reciprocamente,

dado p, tem-se f e, em função deste, obtém-se k,; ou seja, tem-se o máximo

valor de Md compatível com a armadura A,,.

3. CÁLCULO DA ARMADURA SIMPLES

Para um dado

tem-se

z=d-0,4 x=[d

logo

A seção transversal da armadura é dada então por

ou seja

Nos domínios 2 e 3:

logo

Fazendo

k, =

1

(1 - 0,4f)fVd

Depende do tipo de aço e da posiçáo da linha neutra, mas

não depende da resistência do concreto.

pode-se escrever

No domínio 4

logo

k, =

1

(I - 0 4)ud

Depende do tipo de aço e da posição da linha neutra, mas

náo depende da resistência do concreto.

As peças que chegam ao estado último no domínio 4 são, em princípio, peças

superarmadas e portanto devem, no caso de flexão simples, ser evitadas por conduzirem

a rupturas frágeis. Por essa razão, para osaços Classe A, os valores de k, são

fornecidos até o valor de c,,,.

Para os aços Classe B, cujas deformações e,, são muito maiores que para os

correspondentes aços Classe A da mesma categoria, admite-se que ainda seja utilizável

a faixa de deformações

conforme é mostrado na Fig. 2.2.6-2


L

Fig. 2.2.6-2 Diagramas tensão-deformação dos aços.

md-x

Em função de c, foram tabelados os valores de k,. Para os aços ClasseA, o último

valor apresentado corresponde a 5,,,. Para os aços Classe E , o último valor apresentado

corresponde ao Ça, do aço da mesma categoria, mas da Classe A. Para os aços

Classe B, os valores de k., correspondentes a zona utilizável do domínio 4, estão

abaixo do traço indicado na tabela.

Para o cálculo da tensão crsd dos aços Classe B, no domínio 4, tem-se

Ec,, =35°/w

3,5%0 - Esd

x

logo

eed = 0,0075 - 1 -t

5

obtendo-se a tensão usd a partir da expressão adotada pela NB-1

E d

esd = (Tad + (5- 0,7)2

d

Fig. 2.2.6-3 Armadura simples - E, 45 fvd

Deformações

I B . ARMADURA DUPLA

I. SEÇÃO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE TRAÇAO

Fig. 2.2.64 Flexão simples - Armadura dupla.

SEÇOES RETANGZTLARES

Dado o momento

tem-se

Sendo

resulta

1 AM,

A,, = - -

a,, d - d'

I

k, = -

a,

Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do

concreto.

Quando se admite 5 C f,,, (domínios 2 e 3), resulta uad = fyd, logo

1

k, = - = k,, I,,

f vd

Válido para f C [I,,, não dependendo da posição da linha

neutra. Para cada tipo de aço, este é o único valor apresentado

nas tabelas resumidas.

Quando se considera 5 > frrm (domínio 41, tem-se

podendo ser feito

ud a=fud

Medida da eficiência da armadura de tração. Depende do tipo de aço

e da posição da linha neutra.

2. SEÇAO COM ARMADURA DUPLA. ARMADURA DE COMPRESSAO

sendo

A:=, I

AM,

U*d d - d'


resulta

1

k, = -

r,,

De modo geral, tem-se

Depende do tipo de aço, mas não depende da resistência do

concreto. .~

'eid

= ~id = &ad

x x-d' d-x

Ecld

Domínio 3 ( E ~ = , 3,5%0) ~

d'= ~ ' dsuT&id z = 0,0035 - 5-8' f

Domínio 2 (ead = 10%0)

u

Para f = tem-se

Fig. 2.2.6-5 Armadura dupla - Deformações.

&id = 0,0035 fllm - "

tiim

resultando

logo

c',, = função (8')

ki, li, =

(r'sd) f =&im

I -

1

Válido para 5 = c,,,. Para cada tipo de aço são estes os

valores apresentados nas tabelas resumidas em função de 6'.

No caso geral, pode-se escrever

1 - 1 f"d = f;d

k i = - - -

UM fld crid p

o:,

= f:,

Medida da eficiência da armadura de compressao. Depende do tipo

de aço, da posição da linha neutra e da profundidade relativa da

armadura de compressão.

2.2.7 EXEMPLOS DE a. Exemplo I. Armadura simples

DIMENSIONAMENTO

Recalcular o exemplo do 8 2.2.4-a, empregando as tabelas tipo k.

SEÇÕES RETANGULARES

Dados conhecidos:

Md = yfMr = 1,4 X 90 = 126 kN.m = 12 600 kN.cm

h = 50 cm

b = 25 cm

Aço CA-50A

fCk = 18 MPa

d'= 4cm

d = 46 cm

Calcula-se

De acordo com a Tabela6 do Anexo, para o Aço CA-SOA, k, = 4,2 > k,, ,,,, logo

o diagrama de deformações está no domínio 3, donde a peça poderá ter armadura

simples, sendo

A, = k,% = 0,026 . 12'* - 7,12cm2(4016)

d 46

b. Exemplo 2

Recalcular o exemplo do § 2.2.4-b, empregando as tabelas tipo k.

Dados conhecidos:

Md = 12 600 kN.cm

d = 46 cm

Aço 50-CA

b = 12cm f,, = 18 MPa

Calculando

k,=--

bd2 - 12 x 462

M, 12600

= 2,0 < k,, li,

(Tabela 6)

conclui-se que, com armadura simples, a peça seria superarmada, pois o diagrama de

deformações estaria no domínio 4.

Desse modo, sendo

tem-se

IN -0.1kgf I MPa = I MN/m2 = I0 kgflcm'

I kN - IM) kgf = 0,l tf I kNlm = IW k8«m = 0,I tflm

I kN.m = IW kgf.m 5 0.1 1f.m I kN/rn2 = IW kgf/rnP = O,! tf/rn2

I kN.crn= 1Wkgf.cm = 0.1 tfcm I kN/m'= IWkgf/mim'=O,I n/mz


resultando, com d - d' = 42 cm,

10 580 2 020

A. = 0,031- + 0,023- = 7,13 + 1,11 = 8,24cmZ (3020)

46 42

c. Exemplo 3

Recalcular o exemplo anterior, item b, empregando o Aço CA-SOB.

De acordo com os dados do problema, têm-se

Md = 12 600 kN.cm

d = 46 cm

fcx = 18 MPa

Aço CA-50B

b= 12cm

(Tabela 7)

Sendo

k,=-- bd2 - l2 46z = 28 < kc. ,o, "til,,, ,e1

Md 12600

é necessário empregar armadura dupla.

Adotando-se

k, = k ,,,,

= 3,O correspondente a 6 = c,,, = 0,4623

resultam, sendo

a = 1,00 logo k, = - - 0,023

a

donde

- -

1N =0,1kgf I MPa = i MN/m2 = IOkBflcm2

IkN =IWkgf=O,ltf i kNIm = 1W k8fim = 0.1 tflm

I kN.m = IW kgf.m = 0,l 1f.m I kN/mZ= tWkgf/m'= O,! tf/m'

I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma= IW kgflm' = 0.1 tflmx


Sendo

isto é

obtêm-se

2.2.8 EXEMPLOS DE a. Exemplo 4. Problema de venfícaçáo*

VERIFICAÇAO

Determinar o máximo momento Md que pode ser aplicado à seçáo dimensionada

no Exemplo 2 (caso b dos exemplos de dimensionamento).

Dados:

d = 46 cm

Aço CA-50A

b = 12 cm f,, = 18 MPa (Tabela 6)

Tentativa. Admite-se o escoamento das duas armaduras.

Sendo

a hipótese de que as duas armaduras estejam em escoamento corresponde a

k; = k,,

logo

AP2 = Ai = 1,60 cmZ

-0 cáicula de veririca$áo é feito aqui por tentativas, evitandrrre o emprego de diagamas de inteniqão

I N =O,lkgf I MPa = I MN/m3 = 10 kgf/cmz

IkN =IWk~=O,Ilf i kNlm = 100 kgf/m = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kd.m = 0.1 1f.m I kNlm' = 100 kgi/m2 = 0.1 tf/mZ

I kN.cm = I00 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kN/mL I00 kgí/ma = 0,I tflm*

I MPa = 0.1 kNIcm" - IW N/cm9

donde

A,, = A, - A,, = 9,45 - 1,60 = 7,85 cm2

Desse modo, pode ser calculada a porcentagem de armadura

resultando

2.a Tentativa. Como no entorno de 100 p, = 1,26 o valor procurado de k, é pouco

sensível a variações e a = 1,00, adota-se k, = 2,4 resultando

tem-se para Md o valor máximo admissível de

resultando o valor

b. Exemplo S.

Determinar o momento máximo M, que pode ser aplicado a seção do Exemplo3

(caso c dos exemplos de dimensionamento), usando-se Aço CA-SOB.

Dados:

d = 46 cm

b = 12 cm

A, = 3 4 20 = 9.45 cm2

Aço CA-SOB

f,, = 18 MPa

(Tabela 7).

A: = 2 c$ 12,5 = 2,50 cm2

1.O Tentativa.

-

Analisando a tabela referente ao Aço CA-SOB, verifica-se que nas

proximidades de .&,

-

têm-se

a 1,O logo kS2 0,023

- e, para

-

S '

-

= df/d = 4/46 = 0,09 0,10,

p 0,W logo k; -- 0,026

03

Desse modo, sendo

da condição

As*

ks2

AMd = -(d - d') = -c (d - d')

ks

obtém-se

logo

-

A 82 = k,, A; = !!8?2,50 = 2,21 cmZ

k', 0,026

resultando

As, = As - A,, = 9,45 - 2,21 = 7,24 cm2

O valor 100 p, = 1,31% corresponde a

0,56 < f< 0,60

para o qual a 0.90, concluindo-se

-

que há a necessidade de uma segunda tentativa,

pois nesta primeira tentativa foi adotado o valor a I 1 ,O.

2.O Tentativa. Admitindo-se a ,B = 0,9, tem-se

A,, = A6 = 2,50 cm2

donde

A,, = A, - AQ = 9,45 - 2,50 = 6,90 cm2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOÍ?S

NORMAIS

correspondente a

k, = 2,6

a = 0,90

Nessas condições, têm-se

logo

Observação Seria espontâneo que a condição A,, = A, tivesse sido adotada logo na

I .a Tentativa. Essa hipótese foi intencionalmente evitada apenas-para se

mostrar que o problema é sempre resolvido no máximo com duas tentativas.

2.2.9 SECAOSUBMETIDA A Dadaa seçãoda Fig. 2.2.9-1, calcular os momentos limites que podem ser aplicados,

MOMENTOS DE SENTIDOS considerando-se sucessivamente cada uma das armaduras como sendo a de tração.

CONTRÁRIOS. EXEMPLO

Fíg. 2.2.9-1 Exemplo.

Caso A. Armadura A, tracionada

Sendo

A: = 9,45 cmZ

A, = 18,90 cmZ

1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm9= IOkgfIcm'

1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,l tflm

l kNm = 100 kgtm = 0.1 tf.m I kN/mn = 100 kgflm' = 0.1 tflm'

I kN.cm = IW kgf.em = 0.1 tf.cm I kN/mS = 100 kBf/mS =0.1 Um'

procede-se da seguinte forma:

Tentativa. Admitindo o escoamento de ambas as armaduras, têm-se

A, = A,, + AgZ = 18,90 cmZ

resultando

Calculando o valor de

pela Tabela 6 (CA-SOA), para f,, = 13,5 MPa e 8' = 0,10, obtêm-se

ficando confirmada a validade da hipótese de que ambas as armaduras estejam em

escoamento.

Desse modo, resulta

ou seja

bd2 r (d - d')

Md = Md. c + AMd = - + As

k, k,'

Caso B. Armadura A,, tracionada

Neste caso, têm-se

I N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2= I0 kgflcm'

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNlm = 100 Wlm = 0.1 d/m

I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/rn9= 1WWlm' = 0,I d/m'

I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kNIm3 = IW kgflm" 0.1 ffim"

i MPa = 0.1 kNlcm2 = IW N/crn2

Sendo A: > A,, é evidente que deverá ser P < 1 ,O, pois este coeficiente mede a

relação ~ :~/f,~.

Neste exemplo particular, sendo A: = 2A,, necessariamente deverá ser P < 0,5.

Consultando a Tabela 6, verifica-se que, para 6' = 0,10, o valor de P cai rapidamente,

para valores de 5 no entorno de 5 = 0,16.

Tentativa. Admite-se o valor P = 0,34 correspondente a

resultando então

As, = A, - A,, = 9,45 - 3,24 = 6,21

A solução será verdadeira se for satisfeita a condição

Com os valores admitidos. têm-se

estando portanto satisfeita a condição de validade do valor P escolhido.

Desse modo, de

Md = Md, c + AMe = - + A:

obtém-se, com k', = 0,23/0,34,

bd2 (d - d')

kc k:

logo

'ri

M, = 5 841 + 11 315 = 11 156 kN.cm

IN =0,1kgf I MPa = 1 MNlm" 10 kgflcm'

IkN =IWkgf=O,Itf 1 kN/m = 1W kgflm = 0,1 tflm

1 kN.m = IW kptm = 0.1 tfm I kNlm3= IWl<gflm*=0,l tflm2

I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlrn' = 1W kgflm" 0,1 tflrn'

I MPa = 0.1 kN/cmz c 100 Nlcm"

SEÇÓES RETANGULARES 45

2.3 FLEXÃO SIMPLES Flexáo simples é a flexão não acompanhada de força normal.

3 FLEXÃO COMPOSTA Flexáo composta com grande excentricidade é a flexão acompanhada de força nor-

COM GRANDE mal, havendo na peça um banzo comprimido e outro tracionado.

EXCENTRICIDADE

(DOMINIOS 2-3-4-4a)

2.3.1 CONDIÇÕES DE Redução a um caso básico único. (M e N em valores absolutos.)

EQUILIBRIO

ll

F, = R, - R, - R;

R'

dl 1%

F, e, = R,(d - cx) + R:(d - d')

FLEXO-TRAÇAO

--

e6

Fu (tração)

rrTl

FLEXO-COMPRESSÁO

FLEXAO SIMPLES

F, = R, - R, - R; = O

N, e, = M, = R,(d - cx) + R:(d - d')

=,

d F. = R, + R; - R,

M

A$

F, e, = R,(d - Cx) + R;(d - d')

FLEXO-WMPRESSAO

R*

Fig. 2.3.1-1 Condiçóes de equilibrio

46 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

Comparando-se as equações de equilíbrio daflexo-tração, da flexão simples e da

flexo-compressão, verifica-se que elas podem tomar-se idênticas desde que na flexotração

seja feita F c: O.

Desse modo, os três problemas ficam reduzidos a um único, tomando-se o caso

da flexo-compressão como caso básico.

As equações de equilíbrio, tanto na flexo-compressão quanto na flexão simples e

na flexo-tração, podem pois ser escritas sob a forma

F, e, = R,(d - ['x) + R: (d - d') (2.3.1-2)

com F, > O de compressão e F, < O de tração, sendo

Nu = F, (2.3.1-3)

No caso de flexão simples, tem-se Nu = 0, sendo

Observe-se que a equação de equilíbrio de momentos será sempre referida ao

centro de gravidade da "armadura de traçáo" (armadura mais tracionada ou menos

comprimida).

2.3.2 PROPRIEDADES Consideram-se a seguir as propriedades básicas das seções retangulares, tendo em

BÁSICAS DAS SEÇOES vista a forma do diagrama de tensões de compressão e a posição da linha neutra, nos

RETANGULARES domínios 2, 3,4 e 4a.

Os elementos básicos de notação estão indicados na Fig. 2.3.2-1.

a. Domínio 2

Ag. 2.3.2-1 Seçóes relangulares -

Notação usual

Conforme já foi visto anteriormente, o domínio 2 pode ser dividido em dois

subdomínios, indicados respectivamente por 2a e 2b. A diferença essencial entre esses

subdomínios reside no fato de que, embora em ambos não se possa falar em ruptura do

concreto, no subdominio 2b já háuma franca pseudoplastificação por microfissuração

do concreto comprimido, enquanto em 2a esse fenômeno praticamente ainda não se

iniciou.

Conforme é mostrado na Fig. 2.3.2-2, no domínio 2a existe um encurtamento

máximo do concreto eCld < 2%0, chegando-se, portanto, ao estado limite último

-

com

c,,, i a,, = 035 fedi OU seja, chega-se ao estado limite último com a hipótese de que o

concreto ainda não se tenha rompido. Observe-se que no domínio 2a não existe

possibilidade de emprego eficiente de armaduras de compressão, pois E: 0.

No domínio 2b, o encurtamento máximo E,,, do concreto já supera o valor de 2%0,

que é o limite para o qual se admite o início dapseuGoplastificação do concreto. Desse

modo, no trecho em que 2%0< eCld s 3,5%0, a tensão no concreto é constante e igual a

Conforme foi visto em 5 1.3, têm-se

I


Fig. 2.3.2-2 Segão retangular - Domínio 2.

De modo geral, a resultante das tensões de compressão no concreto pode ser

escrita

ou então

R, = 0,85 a bx fcd

onde o coeficiente de bloco a dá o valor da tensão média de compressão r:,, definida

- por

ou seja

o:, = 0,85 a fcd (2.3.2-4)

conforme está mostrado na Fig. 2.3.2-3 para o domíni- 2 e na Fig. 2.3.2-4 para os

domínios 3, 4 e 4a. -2

A Fig. 2.3.2-3 mostra os valores dos coeficientes a e 5' em função da posição da

linha neutra dada por 5, sendo

b. Domínios 3-44a

Nos domínios 3,4 e 4a, embora a profundidade x da linha neutra possa ser uma

fraçáo variável da altura útil d, as proporções do diagrama de tensões de compressão

são sempre as mesmas, conforme se vê na Fig. 2.3.2-4.

CEB - Boletim 82

I 4 rCm variável

Fig. 2.3.2-3 Domínio 2 - Resultante de compressão.

SECOES RETANGULARES

1 @c- i DOM~NIOS

3-4-40

Fig. 2.3.2-4 Domínios 3-4-4a - Resultante de compressão

De fato, embora x possa ter qualquer valor para o qual

C a 52, um = 0,2593

a resultante das tensões de compressão pode ser escrita

logo

3 2 4

R, = 0,85 fcd . b - x + - . 0,85 fcd . b- x

7 3 7

3 2 4

R, = 0,85 f ( + - . -) bx

Cd7 3 7

Desse modo, para os domínios 3, 4 e 4a, obtém-se o valor constante

PARABOLA

DO ~"RAU

De maneira análoga, conhecendo-se a posição do centro de gravidade de um

segmento de parábola do 2.O grau, Fig. 2.3.2-5, tem-se

Fig. 2.3.2-5 Posi~ão do centro de gra.

vidade.

donde resulta, com R, = 0,8095.0,85 fCdbx, o valor constante

2.3.3 EQUAÇÕES

ADIMENSIONAIS DE

EQUII IBRIO

De acordo com o que foi visto 8 2.3.1, todos os casos de flexão com grande excentncidade

podem ser tratados globalmente, tomando-se as expressóes (2.3.1-1) e (2.3.1-2)

como equações gerais de equilíbrio, as quais, segundo a Fig. 2.3.1-1, podem ser

escritas

F, e, = RJd - cx) + R:(d - d') (2.3.3-2)

I

50 ESTRUTWAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

com F. > O na compressão e F, C O na tração, sendo

N, = F"

No caso de flexão simples, tem-se N. = 0, sendo

F, e, = M, (2.3.3-3)

FLEXO- COMPRESSÃO

Fig. 2.3.3-1 Flexo-compressão.

Para o estabelecimento das equações adimensionais de equilíbrio definem-se os

símbolos

x

(2.3.3-4)

FLEXÁO

SIMPLES

Fig. 2.3.3-2 Flexão simples.

- A', f:d

bd fCd

t

o -- - (2.3.3-7)

N,

vu = -

bd fCd

psu=---- Msu - Nu e,

(2.3.3-9)

bd2 f,d bd2 f,d

Considerando sempre o momento M, em relação ao centro de gravidade da

armadura de tração e lembrando que

R, = 0,85 a bx fCd (2.3.3-10)

FLEXO-TRAÇ~O F~ O as equações de equilíbrio podem ser escritas sob a forma adimensional

Fig. 2.3.3-3 Flexo-tração.

,Ld=--

Nd e, - 035 a bx fcd(d - c'x) + A', aid(d - d')

bd2 f,d bd2 fCd bd2 f,d

logo

onde todos os termos são tomados em valor absoluto, exceto o valor de v < O quando

Nd é de tração.

SECOES RETANGULARES 51

2.3.4 EQUAÇÕES Considerando os domínios 2, 3 e 4, nos quais há uma armadura comprimida e outra

ADIMENSIONAIS DE tracionada, Fig. 2.3.4-1, têm-se as seguintes condições de compatibilidade de defor-

COMPATIBILIDADE mações, já escritas na sua forma adimensional:

-

Fig. 2.3.4-1 Domínios 2-3-4.

No dominio 4a, sendo x > d, ambas as armaduras estão comprimidas (Fig.

2.3.4-2), e as condições de compatibilidade podem ser escritas

Fig. 2.3.4-2 Domínio 4a.

Como a deformação na armadura menos comprimida é de sentido oposto ao que

ocorre nos domínios 2, 3 e 4, fazendo-se

E $ = - ,E*, <O

para indicar esse fato e lembrando que

resultam para o domínio 4a as mesmas condições de compatibilidade que nos domínios


2, 3 e 4, ou seja, para todos os domínios 2, 3, 4 e 4a têm-se

com eg < O quando A, for comprimida.

Verifica-se então que, uma vez fixado o valor de 5, ficará conhecido o domínio

correspondente e já estarão determinados os valores das outras variáveis que comparecem

nas condições de compatibilidade expressas por (2.3.4-3), bem como as tensões

que agem no concreto e nas armaduras. Esses resultados estão apresentados deforma

sintética na tabela seguinte.

Domínio

Variáveis

impostas pelo

domínio

Variáveis calculadas a partir

do valor de (

Variáveis

determinadas a partir

das anteriores

2

(f S 0,2593)

Eõ = 10%0

asd 2 fva

f

E8 = 0 ,0101

1-5 1 - I

Ecl = -

w, .$' Tabela da Fig. 2.3.2-3

I - 8' 6'

Es = 0 ,010L

1 -f 1 - C

E: = -

ocid

-

46

ECI = 3,5%0

w = 0,8095

-

vcld = 0.85 fcd

.$' = 0,416

-

3

(0,2593 G f S e,)

' -

E, = 0,0035 --

I I

Ea = -- 1-I

msd 2 f".,

I - %

E: = -- 5 - 8'

5 f

E=, = 0,0035 --

E<, = 3 30

a = 0,8095

-

UCI~ = 0,85 fcd

.$' = 0,416

-

4

(6<, I S I ,O)

1-5 1-6

E -- eC, = 0,0035 -

S -

I 5

V9d < fVd

E; = -" srl = 0,0035 -

f 8'

5 e

d d

= 334"

a = 0,8095

-

4á

h

(Ix0 2)

aCls = 0,85 fcd

C = 0,416

ss = - E", = 0.00351

< O

f

f

f 8'

6 S'

E: = - E", = 0.0035 -

I

f

-

vOd < 0 (compressão)

4

J

~

2.3.5 RESOLUÇAO DOS Conforme já foi visto, para a resolução dos problemas de flexão simples e de flexão

PROBLEMAS DE FLEXÃO composta nos domínios 2, 3, 4 e 4a, dispõe-se das duas equações de equilíbrio

SIMPLES E DE FLEXAO (2.3.3-11) e (2.3.3-12)

COMPOSTA

v, = 0,85 (1 6 + o' <TSd - w (iSd

fhd

fYd

nas 10 variáveis

das quaisa, E>, us, e u:, são funções unívocas de 5, sendo o valor de 6' estabelecido em

função do arranjo das armaduras.

Nos problemas de dimensionamento, nos quais são conhecidos os valores dep,, e

v,, consideram-se as duas equações de equilíbrio em função apenas das cinco variáveis

independentes

Desse modo, para os problemas de dimensionamento, conhecidos os valores de

psd e v,, arbitra-se o valor de 5 e calculam-se w e w'.

Observe-se que a solução dos problemas de dimensionamento por meio das duas

equações de equilíbrio, quando são conhecidas apenas duas das cinco variáveis

independentes, exige que seja arbitrado o valor de uma terceira variável para que

restem apenas duas incógnitas. Assim, na flexão composta, conhecidos u, e p,,,

arbitra-se o valor de 5 e calculam-se o e o'.

É importante observar que a variável 6, que fixa a posição da linha neutra, pode

efetivamente ser arbitrada. De fato, quando se adota o valor de 5, o que se está

fazendo é fixar o tipo de estado limite último a ser atingido em primeiro lugar e, nesse

estado limite último, determinar o valor da deformação extrema do material que não

condicionou o estado limite.

Assim, por exemplo, quando se faz 5 = 0,27, escolheu-se odominio 3, pois 0,2593

= f2, < 5 < C3, I(m, sendo atingido em primeiro lugar o estado limite último de

ruptura do concreto. Nesse domínio sempre vale ced = 3,5%0, logo a escolha de 5 =

0,27 corresponde à fixação de um certo valor para E,,, que no caso é de E,, = 9,45%0.

Nos problemas de verificação, -.S.- o melhor caminho ;ser seguido é o do emprego de

/,_ ~ ....

diagrãmãs de interação, Fig. 2.3.5-p--

- . . . ---- .-

~ ~ à f e c 3 i ~ a ~ diagramas e ~ s são e apresentados s

com diferentes particularidade~,'.~

as quais deverão ser devidamente consideradas para a sua correta aplicação.

Nos problemas de verificação, nos quais são conhecidos os valores de w e o', não

se pode arbitrar o valor de 6, pois existem infinitos pares de valores psd e v, que

satisfazem as equações de equilíbrio, correspondendo um par para cada valor diferente

de 5.

Para o emprego dos diagramas de interação procede-se como é indicado na Fig.

2.3.5-2.

Conhecidas as solicitações de serviço M, e N, e escolhida a direção da verificação

da segurança, determina-se o ponto correspondente a situação de cálculo M, e N,,

a qual deve estar situada na região de segurança delimitada pelo diagrama de interação

das condições últimas M, e N,.

*Nos problemasde vetifica~ãode segóesretangulares submetidasàflexão simples, a processode tentativasilustradopeloi

exemplos dos itens 2.2.8 e 2.2.9 é recomendável.

~- ~

1 , diagrama de interoção

'>u, +ração simples Ju,compressáo simples

Fig. 2.3.5.2 Ventícação da segurança

COMPOSTA COM

GRANDE

EXCENTRICIDADE.

CÁLCULO PRÁTICO

2.4.1 VARIÁVEIS -A-c.~sideracão. nos problemas de flexão composta, do momento M, referi&=

ADIMENSIONAIS. centro de gravidade da armadura de tração em lugar do momento M, referido ao

EMPREGO DE TABELAS centro de gravidade da seção transversal da peça tem avantagem principal de permitir

UNIVERSAIS a resoluçáo_d~~e~gblqpas como"-se fossem vrobLemas de fl_ã_mplzs,

empregando-se as mesmaa&las iá anteriormente analisada^.

A Fig. 2.4.1-1 ilustra a redução dos problemas de flexão composta a problemas

tratados como se fossem de ilexão simples.

A demonstração formal da validade dos raciocínios ilustrados pela Fig. 2.4.1-1

pode ser feita a partir das equaçóes de equilíbrio (2.3.1-1) e (2.3.1-2) do § 2.3.1 ou a

partir das equaçóes adimensionais de equilíbrio (2.3.3-1 1) e (2.3.3-12) do § 2.3.3.

Qualquer que seja o caminho escolhido, quando se admite armadura simples, a

equação de equilíbrio de momentos, a qual determina a posição da linha neutra, é

exatamente a mesma, quer se trate de flexáo simples quer de flexão composta. Esse

fato decorre de se admitir o momento Mgd e não O momento M,.

1

Ainda considerando armadura unilateral, a armadura de tração A, é determinada 1

pela equação de equilíbrio de forças, a qual exige que a resultante-R. das tens.Õg-na

srnvadui'a de tr:iyGo equilibre ir resultante K,. da, irn\Oes de comprrss,;iu . . - na . -;on<rt.io,

. . . . .. . .

devendo R, scr .icre*ciJ:~ Jd forl;,i normal N. qiinndo ile ir~ilio, ou siihB«_da.dafùrça

. . . .

normal N, quando de compressao.

Desse modo, da equaçáo de momentos resulta aposição dalinha neutra e, quando 1

5,s pode ser empregada a armadura simples, sendo

5iim.


ARMADURA

SIMPLES

Flex6o simples Nd =O R, = R,

Flexo - compressáo Nd> O R< = R ~ -

Flexo- tracáo

I

nd 1 = R s , ~

I

I

I

- Nd 1

I

ARMADURA

WPLA

A', = o

Fig. 2.4.1-1 Flexáo composta com grande excentncidade

onde, tanto para a tração quanto para a compressãa, é feito N > 0.

Por outro lado, quando a armadura simples levar a peças superarmadas, o

problema é novamente resolvido pela adoção de armadura dupla.

Fazendo-se novamente, como no caso da flexão simples,

Msd = Msd, e + AMsd (2.4.1-3)

onde M,, .é a parcela resistida por uma seção com armadura simples e AM,aparcela

resistida por uma seção metálica, tem-se ,

SEÇÓES RETANGULARES 57

onde o sinal (+) vale para N de tração e o sinal (-) para N de compressão, e

Nos casos usuais, a decomposição do momento é feita tomando 6 = tlim e

determinando-se o valor

resultando então

tomando-se o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e

Observe-se que tanto o valor de M,

correspondem a condição imposta de 6 = &,.

2.4.2 Exemplos

, quanto os valores de z, os, e o:d

Considere-se o dimensionamento da peça indicada na Fig. 2.4.2-1, sendo admitidos

os seguintes dados:

e = 80 cm

yr = 1,4

Yc = 1,4

f,, = 25 MPa

a. Exemplo I

Fig. 2.4.2-1 Exemplo

Aço CA-SOA

b =25cm

h =70cm

IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrnz = 10 kgflcrn'

IkN =IMkgf=O,Itf I kNlm = IW kgfim = 0.1 tflm

I kN.m = 1W kgfm = 0.1 ttm I kNlmP = 100 kgflrnP = 0.1 tflrn'

I kN.crn = IW kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/mS = IW kgflmJ = 0.1 tfimJ

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 1W Nlcm'

ESTRUTURAS DE COFWETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Sendo

Fd = yf Fk = 1,4 x 500 = 700 kN (compressão)

e, = 110 cm

obtém-se

M, = Fd e, = 700 x 110 = 77 x 103 kN.cm

fcd = fck = 2 = 17,8 MPa = 1,78 kN/cm2

YC 14

Empregando o Aço CA-SOA, tem-se

p., = 0,410 > psd, lim = 0,315

havendo, portanto, necessidade de armadura dupla, a fim de ser evitada a peça

superarmada.

Adotando-se então

têm-se

Psd = Psd, hm = 0,315

5 = tilm " 0,615 fVd)

x = 5d = 0,615 x 65 = 40,0 cm

= 0,744

z = cd = 0,744 x 65 = 48,4 cm

= 3,5%0

E$ = 2,8%0

uSd = fvd = - - 435 MPa = 433 kN/cmZ

1,15

IN =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgficmz

IkN =lWkgf=O,ltf i kN/m = IW kgfim = 0.1 fim

i kN.m = IW kgf.m = 0,I tf.m I kN/m8 = 100 kgf/m2 = 0.1 fim'

I kN.cm= IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNlm3= IWkgfim3= 0.1 d/m8

I MPa = 0.1 kNicmP = IW N/cmz


resultando

A;=- 1 AMSd= - I -- l7 'O - 632 cm2 (4 0 16)

ukd d - d' 43,5 65 - 5

b. Exemplo 2

Resolver o mesmo problema anterior, empregando o Aço CA-50B.

De acordo com os resultados obtidos no exercício 1, tem-se

obtêm-se

Para o Aço CA-SOB, psd, = 0,255, logo para psd = pSd, = 0,255

5 = 5,,,,, = 0,457

x = <d = 0,457 x 65 = 29,7 cm

6 = 0,809

z = cd = 0,809 x 65 = 52,6 cm

EC1 = 3,5%o

eg = 4,14%0

a,,, = f,,,, = - - 435 MPa = 433 kN/cm2

1,15

x-d'

e; = eel - = 0,0035 29'7 - = 0,00291 < e,, = 4,07%0

x 29,7

I N =O.lkgi I MPa = I MNlm' = 10 k8ficm'

IkN =IWkgf=O,lff I kNim = 100 kgilm = 0,l Ulm

I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf m I kN/mP = 1W kgilm' = 0,l tflrn'

I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 U.cm I kN/rn8 = 1W kgflrns = 0.1 Ulm'

1 MPa = 0.1 kNlcrn2 = 100 Nlcrn'


Msd, um = PS~, um bd2 fcd = 0,255 X 25 X 65' X 1,78 = 47 940 kN.cm

AM,, = 77 000 - 47 940 = 29 060 kN.cm

resultando

2.4.3 VARIÁVEIS De acordo com o que já foi visto anteriormente, qualquer problema de flexão com-

DIMENSIONAIS. posta pode ser tratado como se fosse um problema de flexão simples, Fig. 2.4.3-1.

EMPREGO DE TABELPS

TIPO k

As

( As = AS? AS;

ARMADURA

DUPLA

ARMADURA

SIMPLES

Fig. 2.4.51 Reduçáo ao caso básico de flexáo simples

Lembrando as definições dos coeficientes k, dadas em § 2.2.5, a posição da linha

neutra é definida pelo coeficiente k,, sendo

tem-se

Nos casos de armadura simples, válidos para k, 2 k,,ll,, sendo

k,, =-

1

U8d

MSd

A, = k, -- + k,, Na (2.4.3-1)

d

com o sinal (+) para N de tração e o sinal (-) para N de compressão.

No caso de armadura dupla, adota-se k, = k,, ,,,, determinando-se o valor de

bd2

Mad, lim = --

kc, li",

sendo

têm-se

com o sinal (+) para tração e (-) para compressão, e

M,d

A', = k', .-

d - d'

Desse modo, as tabelas tipo k apresentadas no Anexo desta publicação podem ~

ser usadas para o cálculo das seções retangulares submetidas a flexão composta.

Essas tabelas empregam as unidades kN e cm e foram calculadas para y, = 1,4 e

y, = 1,15. Para valores de y, # 1,4, deve-se empregar a largura fictícia

I

I N = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10 kgflcmP

IkN =100kgf=O,Ilf I kNlm = 1W kgflm = 0,l Ulm

I kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kNlm2= 1WW/m2 =O,I U/ml

I kN.cm = IW kgf cm = 0.1 U.cm I kNlma = 1W kgflm3 = 0.1 Ulm3


2.4.4 EXEMPLOS Resolver os problemas apresentados em 5 2.4.2, empregando as tabelas tipo k, sendo

YC = 1 9 y, = 1,15

f, = 25 MPa

a. Exemplo 1. Aço CA-SOA (Tabela 6)

têm-se

Sendo d = h - d' = 70 - 5 = 65 cm

d-d' 65 - 5

% = e + - 2 = 8 0 + = 2 llocm

resultando

Sendo k, i k,, , = 13, é adotado k, = k,, ,,,,

obtendo-se

logo

Msd, iim =

bd2 =

25 = 58 680 kN.cm

kc, ,i, 13

Nessas condições, têm-se

onde o sinal (-) diante de Nd decorre do fato de N, ser de compressão, logo

58 680 18 320

A, = 0,031 - + 0,023 (- - 700) = 28,O - 9.1 = 18,9 cm2(4025)

65 65 - 5

1N =O,lkgf I MPa = I MN/mZ = I0 kgflcm'

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW Wlm = 0,l tflm

i kN.m = 1W kgf.m = 0,l tfm 1 kNlm2= 1Wkgf/mZ= 0,l tflm'

I kN.cm = 100 k&cm = 0.1 tfsm 1 kN/ms= 100 kgfim' = 0.1 ü/m3

SEÇÓES RETANGULARES

-

e com

dr/d = 5/65 = 0,08 0,l

b. Exemplo 2. Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, sendo k,, ,i,

= 2,2, têm-se

AMsd = Msd - MJd,

= 77 000 - 48 000 = 29 000 kN.cm

donde

2.4.5 DIAGRAMA

RETANGULAR DE

TENSOES

I .?,.I.,. .

Fig. 2.4.5-1 Diagrama retangular de tensões.

I

I

Conforme já foi visto, as equações adimensionais do equilíbrio para os casos de

flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade são

1N =O,Ikd I MPa = I MNlm2 = I0 kdlcm'

1kN =LWkgí=O,Itf I kN/m = IW kgfim = 0.1 lfim

I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tfm I kNlm' = 1W kdlm' = 0.1 tf/m2

I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tfcm I kN/mS = IM kgfim' = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kNlcmX = IW N/cm2

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORNIAIS

Quando se emprega o diagrama retangular de tensões, Fig. 2.4.5-1, têm-se

resultando as expressões simplificadas

2.5 FLEXO-

COMPRESSAO COM

PEQUENA

EXCENTRICIDADE

(DOMINIO 5)

A experiência mostra que nos domínios 2, 3, 4 e 4a são obtidos resultados

praticamente iguais, quer se use o diagrama parábola retângulo, quer se use o diagrama

retangular de tensões. Por isso, as tabelas tipo k do Anexo foram calculadas

com o diagrama retangular de tensões.

2.5.1 CONDIÇOES DE No domínio 5, a seção transversal está inteiramente comprimida, sendo então mais

EQUIL~BRIO conveniente considerar-se como p610 de redução dos momentos o centro de gravidade

da armadura mais comprimida.

it-

Fig. 2.5.1-1 Pequena excentricidade

Considerando a notação indicada na Fig. 2.5.1-1 e tratando todos os elementos

em valor absoluto, obtêm-se


hgo as equações de equilíbrio podem ser escritas

e

Nd = R, + R; + Rs

Nd e; = R, (a - d') + R, (d - d')

2.5.2 CONDIÇOES DE A Fig. 2.5.2-1 indica as condições de deformação no domínio 5, para o qual são

COMPATIBILIDADE DE definidos os seguintes coeficientes:

DEFORMAÇOES

X

51= -

(2.5.2-1)

h

Fig. 2.5.2-1 Deformações no domínio 5

Da condição de manutenção da forma plana da seçáo transversal, têm-se

Ecl = EQ - E:

- --

x x-h x-d x-d'

(2.5.2-4)

e, da definição de domínio 5: resulta

obtendo-se as seguintes equações adimensionais de compatibilidade:

2.5.3 PROPRIEDADES Como foi mostrado na Fig. 2.5.2-1, no domínio 5, para qualquer posição da linha

BÁSICAS DAS SEÇÓES neutra, a deformação do concreto ao longo da espessura 3 h17 a partir da borda mais

RETANGULARES comprimida supera o valor 2%0. Portanto, nessa parte da seção, a tensão é igual a

No restante da seção transversal, as tensões ficam univocamente determinadas

desde que se estabeleça o valor de 5,.

Desse modo, definindo-se os coeficientes a, e 5; através das expressões

onde R, é a resultante das tensões de compressão no concreto e a é a distância dessa

resultante à borda mais comprimida da seção, Fig. 2.5.3-1, como R, e a são funções

unívocas de C, também são univocamente determinadas as funções

I

conforme está mostrado na tabela seguinte (CEB - Boletim 82)

I

Fig. 2.5.3.1 Resultante de compressáo - Domínio 5.


Domínio 5 - CEB (Boletim 82)

Observe-se que, no domínio 5, tanto o coeficiente de bloco do diagrama de

tensões

quanto o coeficiente 6; que determina a posição da resultante R, são definidos em

função da altura h da seção e não mais, como no caso de flexão com grande excentricidade,

em função da profundidade da linha neutra. Fara assinalar esse fato, todos os

coeficientes adimensionais definidos em função da altura total h são assinalados com o

índice 1.

2.5.4 EQUAÇÕES Conforme foi visto em 5 2.5.1, tomando-se como pólo de redução dos momentos o

ADIMENSIONAIS DE centro degravidade daarmaduramais comprimida, asequações (2.5.1-3) e (2.5.1-4) de

EQUIL~BRIO equilíbrio podem ser escritas

Nd = R, + R; + R,

N, e:. = R, (a - d') + R, (d - d')

onde todos os termos são tomados em valor absoluto.

Por outro lado, sendo


têm-se

Nd = 0,85 ai bh fCd + & rid + As uSd

Nd e; = 0,85 a, bhz fcd (5; - 8;) + A, uXd (d - dr)

Definindo-se os esforços solicitantes relativos adimensionais

e as taxas mecânicas de armadura

obtêm-se as equações adimensionais de equilíbrio

2.5.5 RESOLUÇAO GERAL Os problemas deflexo-compressão com pequena excentricidade devem ser resolvidos

DOS PROBLEMAS DE por meio de duas equações adimensionais de equilíbrio, nas quais comparecem as 11

FLEXO-COMPRESSÃO variáveis:

COM PEQUENA

EXCENTRICIDADE Vdr tii w', W, a,, C:, aJd, usdr 81, 8;

Analogamente ao que acontece com os problemas de flexão composta com

grande excentricidade, correspondentes aos domínios 2,3 e4, também nos problemas

de flexo-compressão com pequena excentricidade, correspondentes ao domínio 5, o

cálculo de verificação tem como solução ideal o emprego dos diagramas de interaçáo.

De maneira análoga, também nos casos de flexo-compressão o cálculo prático de

dimensionamento é feito através da fixação da posição da linha neutra.

De fato, estabelecendo-se o arranjo geral da armadura dentro da seção transversal

da peça, ficam fixados os valores de 8, e S', e, arbitrando-se o valor de (,, ficam

determinados os valores de a,, ti, vid e ea, restando portanto no problema apenas

as cinco variáveis independentes:

Desse modo, arbitrando-se o valor de C,, as incógnitas w e w' podem ser calculadas

em função dos esforços vd e &.

Nos casos de flexão composta com grande excentricidade, todos os problemas

eram reduzidos ao problema básico da flexão simples de uma seção com armadura

simples, isto é, com armadura unilateral. De forma análoga, nos casos de flexocompressão

com pequena excentficidade, todos os problemas serão reduzidos a um

dos problemas básicos seguintes: armadura unilateral (A, = 0) ou compressão uniforme

((, = m).

2.6 FLEXO-

COMPRESSÃO COM

PEQUENA

2.6.1 MOMENTO LIMITE Para os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade, as duas equa-

DE SEPARAÇAO ENTRE OS çóes gerais de equilíbrio são as seguintes:

DOIS CASOS BÁSICOS

U.d

vd = 0,85 a, + o' * + w - (2.6.1-1)

fid

fVd

Conforme se observa pela segunda dessas equações, a presença da armadura

menos comprimida, de taxa mecânica w, contribui de fato para o equilíbrio do momento

&.

Desse modo, a condição o = 0, correspondente a armadura unilateral, somente

poderá ser aceita enquanto pid não ultrapassar o máximo valor possível de ser atingido

+-r

pela parcela 035 a,((; - 8;).

De acordo com a Fig. 2.6.1:1, o máximo valor de 0,85 a, (5;- 8;) ocorre na

compressão uniforme, pois, nesse caso particular, a, e 5; tomam simultaneamente

seus valores máximos:

i=k

a:, = 10

a,, moi. - 035 fcd

5;. a .

1

mas. --- - -

h 2

As

Eig. 2.6.1-1 Compressão unlfome


Observe-se que o valor de pd cresce a medida que aforça Fd se aproxima do eixo

da peça, pois MQd cresce com a excentricidade e;. Quando o valor de& supera o valor

pid, limr a diferença pkd - pLd, somente poderá ser equilibrada se existir a força R,,

uma vez que R, já deu a máxima contribuição possível. No caso da compressão

uniforme existem duas armaduras, de taxas o e o', diferentes entre si, com as quais

podem ser equilibrados os momentos fletores Md atuantes na seção transversal.

Verifica-se portanto que a armadura unilateral, para a qual o = 0, somente pode

ser empregada para valores de pkd inferiores a

Esse valor limite também pode ser escrito

ou seja, sendo

logo

donde

h-2d1=d-d'

tem-se

Dessa maneira, todos os problemas de flexo-compressão com pequena excentricidade

podem ser reduzidos a um dos seguintes casos básicos:

2.6.2 ARMADURA

UNILATERAL (/L;, G /I:,, I,,)

a. Armadura unilateral - quando pkò pQd, lini

b. Compressão uniforme - quando pCgd > p'gd,~,m.

Fig. 2.6.2-1 Armadura unilateral


Neste caso básico, A, = 0, logo as equações de equilíbrio podem ser escritas, Fig.

2.6.2-1,

e sendo

Nd = Rc+ R:

Nd e,; = MBd = R, (a - d')

logo

R: = As crid = Al, fid

fld

Nd =0,85 a, + ASfha uJd

fCd bh fid bb fbd

têm-se

As expressões (2.6.2-1) e (2.6.2-2), que foram deduzidas diretamente, também

poderiam ser obtidas a partir das equações gerais (2.5.4-5) e (2.5.4-6), fazendo-se

simplesmente w = 0.

( DOMI'NIO 5 I

C' = 0,002

sd

$1 - 7

\ I

Fig. 2.6.2-2 Deforma~Ão da armadura mais comprimida


Parao cálculo deo', pelaexpressão (2.6.2-I), é preciso que se conheça0 valor de

a&. Para isso, emprega-se a equação de equilíbrio de momentos, de onde resultou a

expressão (2.6.2-2). pela qual fica da linha neutra, pois a, e 5;

dependem apenas de e,. Uma

linha neutra, fica determi-

A partir dessa defor-

tabelados os

Desse modo, dados os valores de v, e p;,, em função de p;, é determinado o valor

de C, logo podem ser calculados os valores de a, e cri* Com isso, sendo

têm-se

2.6.3 ARMADURA

UNILATERAL. EXEMPLOS

Fig. 2.6.3-1 Exemplo.

I

Exemplo I 1

Dirnensionar a peça apresentada na Fig. 2.6.3-1, sendo dados:

Fk = 2 000 kN yf = 1,4

I N = 0.1 l<gf I MPa = 1 MNim' = I0 kgf/cm2

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O, I tfim

I kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kN/m2= IW kgf/m2 = 0.1 tflm'

I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3= IW kgfims = 0.1 tflm3

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmZ


Sendo

Aço CA-SOA y, = 1,15 fvd = --- - 435 MPa = 43,s kN/cm2

1,15

fcK = 25 MPa y, = 1,4 fed = -- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ

1,4

N, = yf Nk = 1,4 X 2 000 = 2 800 kN

têm-se


ou seja

comprova-se então a possibilidade de armar a seção com armadura unilateral, pois

Nessas condições, sendo

-

de acordo com a Tabela 9 do Anexo, tem-se a seção no domínio 5, com

e 035 a, 0,74

5, - 1,12

I N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = IOk~/cm2

I kN = 100 kgi = 0.1 tf I kNlm = IW kgilm = 0.1 Sim

I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/mP = 100 $gf/m' = 0.1 tf/m'

I kNcm = 100 kgfcm = 0.1 d.cm I kNlmL I00 kgflm* = 0.1 tf/rng

I MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmS

logo

e sendo

E;< = 3,04%01 E :~(Aço CA-50A) = 2,07%c

resulta

u;, = fia = 435 MPa

donde

o=0

Desse modo, sendo

I

têm-se

,, = A: f;,

bh fCd

Exemplo 2

Dimensionar a seção do exemplo anterior, adotando-se o aço CA-SOB.

~

Como a qualidade do açs empregado somente afeta a tensão r;,,, tem-se, neste

caso,

I

De acordo com a NB-I, sendo 1

SECOES RETANGULARES 75

obtém-se (com E, = 210 000 MPa)

6

logo

= 402 MPa

Esse valor também pode ser determinado pela Tabela 10 do Anexo, resultando

ou seja

Com o Aço CA-SOB, resultam

A, = O

2.6.4 COMPRESSÃO Quando a força de compressão está aplicada em posição próxima do centro de

UNIFORME gravidade da seção transversal da peça, torna-se conveniente o dimensionamento com

a hipótese de compressão uniforme.

De acordo com o que já foi visto, a condição de compressão uniforme pode ser

imposta desde, que seja

donde

Nesse caso, admite-se toda a seção com a mesma deformação de 2%0, ou seja,

&cld = EC2d = = Bsd = 2%0

v

I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmt = I0 kgficm'

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgflm = 0.1 tfim

I kN.m = I00 kgf.m = 0.1 ttm 1 kNimS= 100kgf/m2=0,1 tf/rn2

1 kN.cm= IWkgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNirnS= 100kgf/m'=OO,I fim3

1 MPa = 0.1 kNicmZ = 100 N/cm2

i

Considerando-se as condições gerais de equilíbrio na flexo-compressão com

pequena excentricidade, expressas pelas equações (2.5.4-5) e (2.5.4-6),

têm-se no caso da compressão uniforme, admitindo f,, = fh,,

Por outro lado, conforme jáfoi visto na dedução do momento limite, dado pela

expressão (2.6.1-I), tem-se

e sendo

obtêm-se as equações

e em virtude das relações

resultam finalmente

onde uSd corresponde a deformação E, = 2%,.

Para os aços Classe A, as expressões dadas podem ser simplificadas, pois para

esses aços pode-se admitir E, E,, logo

porquanto até para o Aço CA-SOA, para o qual

condição

= 2,07%0, pode ser aceita a

Desse modo, resultam:

AÇO CLASSE A

AÇO CLASSE B

2.6.5 COMPRESSAO Dimensionar a seçáo apresentada na Fig. 2.6.5-1, sendo dados:

UNIFORME. EXEMPLOS

F1,=3000kN yf= 1,4

e= 10cm b = 25 cm h=70cm d'=5cm

f,, = 25 MPa y, = 1,4

Fig. 2.6.5-1 Compressão uniforme - Exemplo.

Exemplo I. Aço CA-SOA (fVd = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)

IN =0,1kgf I MPa = t MN/m2 = Iokgflcm'

I kN = 100 kgf = 0,l tf I kNim = 1W kgflm = 0.1 Iilm

I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 ttm I kN/m2= IWkgfIrn'=O,i d/ms

I kN.cm- 100 kgtcm - 0.1 tfcm I kN/ma = IW k@1m3 = 0,1 Sim3


fcd=fCL=-- 25 - 17,8 MPa = 1,78 kN/cmZ

r, 1,4

Sendo ,L;, > pbd, I,mr é impossível armar-se unilateralmente a seção, sendo conveniente

adotar a hipótese de compressão uniforme. Nesse caso, tratando-se de aço

Classe A, têm-se

Exemplo 2. Aço CA-SOB (f,, = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ)

logo

(cUd = 4,07%a)

Neste caso, tem-se

usd = r*, 2s1= 356 MPa = 35,6 kN/cm2

o = (v,

43 5

-- 0,425) f"d = 0,024 = 0,029

d - d' Usd 35,6

*(Vide comentátio no final do 5 2.6.4, referente ao valor de f,,)

1N =O,IkBf I MPa = I MNlm2= 10kBf!cmz

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!rn = IW kgf!rn = 0.1 tflm

1 kN.m = IW k&.m = 0.1 1f.m I kN!mP = IWkgfim*=O,I tf!m2

I kN.cm = IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlm" IW k8flms = 0.1 d!ma

I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NlcmP

2.6.6 DIAGRAMA

RETANGULAR DE

TENSOES

Fig. 2.6.6-1 Diagrama retangular de tensóes.

As equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena

excentricidade são, Fig. 2.6.6-1,

MJd = Fd e, = R, (a - d') + R, (d - d')

onde

Nd = Fd

Sob a forma adimensional, essas equações são escritas:

M:d

P J ~ = -- = 0.85 a, (5;- 8;) + w 2 (8, - O;)

bh2 fcd

fud

onde, conforme foi visto.

logo

tem-se

R, = 0,85 a, bh fcd (2.6.6-1)

Quando é adotado o diagrama retangular de tensões para a condição

x S 1,25 h (2.6.6-2)

0,8 x s h

havendo compressão apenas em uma parte da seção transversal

Nesse caso, sendo

onde

tem-se

com

logo

R, = 0,85 fCd .b.0,8 x

x = 5, h

R, = 035 X 0,8 5, bh fcd

a = 5; h = 0,4 x

Comparando as expressões (2.6.6-1) e (2.6.6-3), conclui-se que neste caso

Desse modo, as equações de equilíbrio podem ser postas sob a forma seguinte:

Os resultados numéricos mostram que não há diferenças significativas quando

são empregados os diagramas parábola-retângulo ou retangular de tensões, desde que

a linha neutra não se afaste muito da borda menos comprimida da seção transversal.

Todavia, quando x > 1,25 h, as diferenças podem ser significativas.

De fato, empregando-se o diagrama retangular de tensões, quando x > 1,25,

haverá compressão uniforme da seção transversal, com


valores sensivelmente diferentes dos obtidos com o diagrama parábola-retângulo,

conforme se pode ver por comparação com os dados da Tabela incluída em 5 2.5.3.

2.7 EXERCICIOS 2.1 Por que os casos deflexo-tração com pequenaexcentricidadecorrespondem ao domipio 1

de deformações?

2.2 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular submetida 2 flexo-tração com

pequena excentricidade.

2.3 O que caracteriza uma flexão composta com grande excentricidade? Quais os casos de

solicitação correspondentes?

2.4 Escrever as equaçóes de equilíbrio de uma seção retangular para todos os casos deflexão

com grande excentricidade.

2.5 Sendo R, = 0.85 a bx f,, e 5' = alx, determinar as expressões de a e de 5' em função de (

para os domínios 2, 3, 4 e 4a, quando é adotado o diagrama retangiilar de tensões.

2.6 Para uma seção retangular com armadura simples, escrever a expressão de p,, em função

de 5. quando é adotado o diagrama retangular de tensões.

2.7 Escrever as condiçóes de compatibilidade de deformações de uma seção transversal

retangular. Quais as variáveis conhecidas e quais as variáveis incógnitas, respectivamente,

nos domínios 2, 3, 4 e 4a?

2.8 Escrever as equações adimensionaisde equilíbrio de seções transversais retangulares para

os casos de flexão composta com grande excentricidade.

2.9 Considerando a questão anterior, explicitar o número de variáveis do problema. Em

principio, como são resolvidos os problemas de dimensionamento e os de verificação?

2.10 Quando deve ser empregada armadura dupla numa seção retangular submetida à flexão

simples? Como é ela calculada?

2.11 Justificar a validade da decomposição do momentofletor em duas partes paraocálculo das

seções duplamente armadas.

simples.

2.13 Como são calculadas as seçóes transversais duplamente armadas submetidas à flexão

composta com grande excentricidade? Justificar o processo adotado.

2.14 Definir os coeficientes empregados nas tabelas tipo k.

2.15 Qual a relação entre k, e p,,?

2.16 Qual o significado de k, e de k:? Definir os coeficientesa e p apresentados nas Tabelas 5 a

8.

2.17 Como devem ser empregadas as tabelas tipo k para coeficientes y, e y,diferentes de 1,4?

2.18 No domínio 4, o que se entende por zona utilizável dos aços ClasseB? Nas Tabelas 7 e 8,

quais os valores de k, correspondentes a essas zonas?

2.19 Como se emprega o coeficiente 100 p, apresentado nas Tabelas 5 a 8?

2.20 Do ponto de vista prático, como sejustificao cálculo de verificação de seçóes duplamente

armadas por meio de tentativas? Como são feitas essas tentativas?

2.21 Escrever as equações de equilíbrio para os casos de flexo-compressão com pequena

excentricidade de seçóes retangulares.

2.22 Estabelecer as condições de compatibilidade de deformações no domínio 5.

2.23 Que condição deve ser satisfeita para que uma seção retangular submetida à flexocompressão

com pequena excentricidade possa ter armadura unilateral? Justificar.

2.24 Nas mesmas condiçóes anteriores, quando é recomendável considerar a seçáo uniformemente

comprimida? Justificar.

2.25 Determinar o valor p:,, , que separa os casos básicos daflexo-compressáo com pequena

excentricidade de seções retangulares.

3.1 FLEXAO SIMPLES Nas estruturas de concreto, as vigas de seção T são de uso corrente, pois, de

E FLEXÁO COMPOSTA modo geral, as nervuras dasvigas estãoligadasaslajes, asquaisfornecem a necessária

mesa de compressão, Fig. 3.1.1-1. De acordo com os princípios de notação, as

3.1.1 AS "IGAS DE SECÃo dimensõesda mesasáo indicada~porb~e hf(flange), e alarguradaalmaporb,(web).

T DAS ESTRUTURAS DE A Fig. 3.1.1-2 mostra seções transversais com diferentes arranjos, cujo cálculo

CONCRETO recai na consideração de uma seçáo T.

Fig. 3.1.1-1 Notação usual.

É preciso salientar-se que uma viga de concreto composta por uma nervura e por abas

salientes apenas será considerada como de seçáo T quando a mesa estiver comprimida.

Caso contrário, quando as abas estiverem tracionadas, a viga será considerada

como de seção retangular.

A Fig. 3.1.1-3 mostra o caso usual das vigas contínuas de edifícios.

LAJES

NERVURADAS

VIGAS DE SEÇÃO CELULAR

Fig. 3.1.1-2 Diferentes seções transversais.

4

te 60 reta ulor seçóo retangulo

loja comprimido

laje tracionodo

sação T

seçáo retanqulor

Fig. 3.1.1-3 Vigas continuas de edifícios

Nos trechos de momentos negativos junto aos apoios tem-se uma viga de seçáo

retangular, pois as abas estão tracionadas. Observe-se que no balanço da direita, junto

ao apoio C, a viga também deve ser considerada de seção retangular, em virtude da

descontinuidade aí existente na posição da laje.

Fig. 3.1.1-4 Largura colaborante.

--------

Fig. 3.1.1-5 Efeitos das cargas concentradas.

Fig. 3.1.1-6 .Carga na extremidade.

-

Nas vigas em que a mesa de compressão temlargura real sensivelmente maior que

a largura b, da alma, as tensões de compressão não têm distribuição uniforme, Fig.

3.1.1-4. Por esse motivo, em lugar da largura real, admite-se que a mesa tenha uma

certa largura b,, usualmente menor que a largura verdadeira. Pretende-se que dessa

forma fiquem corrigidos os efeitos da variação das tensões na mesa de compressão.

A determinação dalargura bf apresenta dificuldades de ordem prática. Assim, em

princípio, o valor bf será diferente conforme se considere a estrutura em regime

elástico ou em um estado último. De maneira análoga, bf terá valores diferentes

conforme se considere o problema de resistência ou o problema de rigidez da peça.

Além disso, a largura bf varia com as condições de apoio da viga e com o tipo de

carregamento.

Na Fig. 3.1.1-5 está ilustrado ofatode que, em regime elástico, a largura bftende a

diminuir na região de aplicação de cargas concentradas. A Fig. 3.1.1-6 mostra o

crescimento de bf a partir das extremidades onde se aplicam cargas concentradas.

Em virtude das múltiplas dificuldades existentes na determinação de b, adotamse

soluções simplistas a favor da segurança, como a que se indica no item seguinte.

3.1.2 A LARGURA DA Para as ações diretas, a largura bf é determinada de acordo com a NB-I da

MESA DE COMPRESSÃO seguinte maneira, Fig. 3.1.2-1:

DE ACORDO COM A NB-1

VIGA DE EXTREMIDADE VIGA INTERNA VIGA ISOLADA

Fig. 3.1.2-1 Largura colabarante conforme a NB-I.

sendo

b, = largura real da nervura

b. = largura da nervura fictícia

(b, = b, + soma dos menores catetos dos triângulos

das mísulas correspondentes)

b, = distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas

tanto para o cálculo de resistência quanto para o cálculo de deformações, adotam-se

os valores

b,.

0,10 a

(8 hf

0,10 a

0,s b2 6 h,

onde:

viga simplesmente apoiada

a=(

tramo com momento em uma só extremidade

3

a=-e

4

I

tramo com momentos na. duas extremidades

a=-e

3

5

viga em balanço a=2!

3.1.3 O PROCESSO DE O dimensionamento das seções T é feito de acordo com os mesmos critérios

DIMENSIONAMENTO DAS gerais adotados paraas seções retangulares, considerando-se aqui apenas os casos de

SEÇÕES T

flexão simples e de flexão composta com grande excentricidade.

FLEXO -

COMPRESSÃO

FLEXÁO

SIMPLES

FLEXO -

Fig. 3.1.3-1 Casos de dimensionamento

Fd

Embora os problemas de flexo-compressão com pequenaexcentricidade também

pudessem ser tratados pelos mesmos critérios, isso não será feito, pois nessas peças

usualmente existem armaduras distribuídas ao longo de todaa seção, e não apenas um

par de armaduras concentradas junto as bordas da mesma.

Dada a seção transversal, Fig. 3.1.3-1, no caso da flexão composta determinamse

os esforços solicitantes

e no caso de flexão simples calcula-se

O processo usual de dirnensionamento considera a transformação da seção T

numa seção retangular equivalente, conforme é indicado a seguir.

1. A linha neutra corta a mesa de compressão (x < h,)

i

Conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-2, quando a linha neutra corta a mesa de

Fig. 3.1.3-2 Linha neutra cortando a mesa.

compressão, não importa a formado restante da seção transversal, podendo a seção T

ser tratada como uma seção retangular de dimensões bf.d.

2. A linha neutra corta a alma da seção (x > h,)

Considerando-se o diagrama parábola-retãngulo de tensóes, a determinação da

resultante das tensões de compressão na mesa da seção apresenta dificuldades numéricas.

Nesse caso, o dimensionamento da seção exige a construção de tabelas ou de

ábacos especiais, como o que é apresentado pelo CEB (Boletim 82, Tabela 26 -

página 90).

O problema pode, porém, ser resolvido de maneira bastante fácil, quando se

admite o diagrama retangular de tensões. Neste caso, consideram-se as seguintes

situações básicas:

a. A zona comprimida estd contida na mesa (x < 1,25 h,)

Admitindo-se o diagrama retangular de tensóes, Fig. 3.1.3-3, enquanto

x < 1,25 h,, aprofundidade da zonacomprimida efetiva, de 0,8 x, aindaestará restrita

a mesa da seção. Desse modo, a seção T ainda poderá ser tratada como uma seção

retangular de dimensões bf.d.

Fig. 3.1.3-3 Linha neutra cortando a nervura próximo à mesa.


b. A zona comprimida atinge a alma da seção (x 3 1,25 h,)

Admite-se a decomposição da seção, conforme é ilustrado pela Fig. 3.1.3-4parao

caso de armadura simples e pela Fig. 3.1.3-5 para o de armadura dupla.

A seção formada pelas abas salientes, de largura b, - b,, e pela armadura &,tem

braço de alavanca interno igual a d - hJ2. Essa seção resiste à parcela de momento

indicada por M,,, ,.

A seção formada pelo concreto comprimido da nervura e pela armadura A,,

absorve a parcela de momento M, ,. Se esta seção puder resistir ao momento Msd, >L.

com C S &,, a peça poderá ter armadura simples.

Quando a armadura simples levar a um valor E > desdobra-se o momento

M,,, ,em duas outras parcelas, como no caso da seção retangular. A parcela M, .é

o valor resistido pela seção retangular com armadura simples A,,, e a diferença AM,,,

é resistida por uma seção metálica composta pelas armaduras de áreas A,, e A',.

Usualmente, M,,,, . será feito igual a M,,,, ,i, correspondente ac = cii,. No caso dos

aços Classe B, admite-se que a zona utilizável de deformações seja aceitável para a

decomposição do momento Msdw.

É oportuno observar-se que, em geral, não é recomendável o emprego de seções

T com armadura dupla. A necessidade de ser empregada uma armadura de compressão

frequentemente indica uma deficiência de altura da viga, a qual pode acarretar

problemas de flechas excessivas.

ARMADURA

SIMPLES

Fig. 3.1.3-4 Linha neutra cortando a nervura

ARMADURA

DUPLA

Fig. 3.1.3-5 Linha neutra cortando a nervura

3.2 CÁLCULO Verifica-se inicialmente se a seção pode ser tratada como retangular de dimen-

IIÁTICO DAS SEÇOES sões bl.d. Calcula-se

rp

I

ADIMENSIONAIS.

EMPREGO DE TABELAS com o qual é determinado o valor de 5 por meio das tabelas universais.

UNIVERSAIS Usando-se tabelas constmídas com o diagrama parábola-retângulo, quando se

tiver

I

o problema será resolvido como o de uma seção retangular.

Quando resultar

a manutenção da hipótese do diagrama parábola-retângulo exigirá tabelas especiais.

Nesse caso, é preferível admitir-se o diagrama retangular de tensões.

Desse modo, para 5 3 1,25 Sf, fa2ase

onde o momento MPd, I resistido pelas abas é dado por

h

Msd, = (ht- b,) h,.0,85 fCd (d - 2)

2

(3.2.1-3)

Observe-se que o momento Msd, também poderia ser calculado pela expressão

seguinte

Para o emprego dessa expressão seria necessário dispor-se de uma tabela universal

constmída com o diagrama retangular de tensões.

Esse caminho não será aqui\ seguido, preferindo-se o emprego da expressão

(3.2.1-3); a fim de evitar a duplicidade de tabelas universais. Um caminho dessa

naturezaé seguido no cálculo com variáveis dimensionais, pois as tabelas tipo k foram

construídas com o diagrama retangular de tensões.

O momento resistido pela nervura M,, é então calculado por

Considerando agora a seção retangular de dimensões b;d,

calcula-se o valor de

e a partir dele, por meio das tabelas universais, são determinados os valores de 5, a, e

de v',caso seja empregada a armadura dupla.

Note-se que, por coerência teórica, aqui também deveria ser empregada uma

tabela constmída com o diagrama retangular de tensões. No entanto, como as diferenças

de resultados são desprezíveis, emprega-se a Tabela 1 constmida com o diagrama

parábola-retângulo.

I


Desse modo, são determinadas as armaduras nos seguintes casos:

a. Armadura simples (A, = A# + A,,)

com sinal (+) para tração e (-) para compressão.

b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,; A',)

-

1 [ Ma,. f + &

A,=- - + -- AMSdiu t N,

rsd d - hf

z d-d' I

com sinal (+) para tração e (-) para compressão

sendo

A:=- 1 .-

AMsau

r, d-d'

onde usualmente é feito

3.2.2 EXEMPLOS a. Exemplo I. Dimensionar a armadura de uma viga simplesmente apoiada de edifício,

indicada na Fig. 3.2.2-1. São dados:

fck = 15 MPa YC = 1,4

Aço CA-50B

b, = 12 cm

hf=7cm

h = 45 cm

M, = 60 kN.m Yf = 1,4

h 4


i T

De acordo com as expressóes (3.1.3-11, a largura disponível de mesa vale

bf = b, + 2 b,

IN =O.lkgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm*

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm

I kNm = 100 kgfm = 0.1 ttm

I kN/mP = 100 kgi/m8 = 0.1 tfimS

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm 1 kN/m3 = 100 kgf/m3 = 0.1 tfim3

onde

0,10 a = 0,10 x 500 = 50 cm

b,h[8hl =Sx7=56cm

0,5 h, = (admite-se que não seja condicionante)

logo

15

fCd = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

1,4

fUd = - 500 - 435 MPa = 43,5 kN/cm2

1,15

Verificação inicial: seção retangular b,.d

-

Da Tabela 1, para wSd = 0,044, têm-se

5 0.11 x = 0,11 x 40 = 4,4 cm < h, = 7 cm

Esd = 10%0, logo (Tsd = f#d

resultando, para o Aço CA-50B,

h. Exemplo 2. Dimensionar a armadura de uma viga continua de ponte, indicada na

Fig. 3.2.2-2. São dados:

f,, = 18 MPa YC = 1,4

Aço CA-50A y, = 1,15

e = 20 m (tramo de extremidade)

1N =O,lkgf I MPa = I MNlm' = 10 kgf/cm2

I kN = IW kgf = 0.1 d I kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm

I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 !í.m

I kNlmX = 100 kgf/mP = 0.1 If/mP

I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlmJ = I00 kgf/mJ = 0.1 tfim'

I MPa = 0.1 kNlcmZ = 100 Nlcm'


De acordo com a NB-1 (vide Fig. 3.1.2-1)

bf = b, + h, + b, = h, + 2 x 20 + b, + h, (viga de borda)

I

0,10a=0,10x-Ç=l5Ocm

3 (a=-e)

3

4 4

h, C 8 h, = 8 x 12 = 96 cm

0,5 h, = (admite-se que náo seja condicionante)

Verificação inicial: seção retangular h,. d

18

fcd = - = 12,8 MPa = 1,28 kN/cmZ

1,4

De acordo com a Tabela 1, constmída com o diagrama parábola-retângulo, para

pSd = 0,093, têm-se

5 =0,17 logo x = 0,17 x 155 = 26,4 cm > h,

O problema deve então ser tratado como seção T e não como seção retangular,

pois a zona comprimida atinge a alma da seção.

Fazendo-se

onde

M~, = (b, - b,) hf . 035 fcd . id - -I*

2

'Vide comentário em $3.21

IN =O,lkgf MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cmP

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm =O,] tfim

I kN.m = I00 kgfm = 0.1 tfm

I kN/m8 = I00 kgf/mZ = 0.1 tf/mz

I k ~ c m = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/mS= IW kgfimJ = 0.1 tf/ma

I MPa = 0.1 kN/cmZ = IW N/cmX

SEÇOES T

tem-se

logo

M , , = (238 - 30) 12 x 0,85 x 1,28 (155 - 6) = 404 600 kN.cm

M, , = Md - Md, , = 680 000 - 404 600 = 275 400 kN.cm

Considerando agora a seçáo retangular b;d,

têm-se

z- 0,76d- 118cm

sendo possível empregar armadura simples, resultando:

ou seja

c. Exemplo 3. Armar a mesma vigado Exemplo 2, empregando-se o Aço CA-50B.

Neste caso, os resultados seguintes são os mesmos para qualquer dos dois aços

considerados:

No entanto, para o Aço CA-SOB, de acordo com a Tabela 1,

Fazendo-se

com

Md,,

c = Mdw, t~rn

resultam

Mdw, lim = pd, ,<, b, d2 fcd = 0,257 x 30 x 155% x 1,28 P 237 000 kN.cm

I N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcmz

I kN = 100 kgf = 0.1 lf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 k ~.m = 100 kgf.m = 0.1 I k ~im* = IW kgf(mz = 0.1 tfimP

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/mJ = 100 kgflm" 0.1 !fim3

1 MPa = 0.1 kN/cms = 100 N/cmZ

e


= Mdw - Mdw, lim = 275 400 - 237 000 = 38 400 kN.cm

com

logo, de acordo com a Tabela 2,

dSd= 405,2 MPa = 40,52 kN/cm2

obtêm-se:

logo

e

A, = 62,4 + 43,6 + 6,O = 112 cm" (23 0 25)

IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlm' = 10 kgflcms

I kN = IW kgf= 0.1 tf 1 kNlm = IW kpfim = 0,I tflm

I kNm = 100 kgfm = 0,I tf.m

I kNlm' = 100 kgflm2 = 0,I tflm'

I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 tf.cm I kNlms= 100 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

3.2.3 VARIÁVEIS De acordo com o que jáfoivistoanteriormente, em primeiro lugar deve ser feita a

DIMENSIONAIS. tentativa de consideração de uma seçáo retangular de dimensóes bfd.

EMPREGO DE TABELAS Dados os esforços

TIPO k

Nd = FK.Y~ (3.2.3-1)

calcula-se o valor de

e a partir dele, pelas Tabelas 3 a 8, fica conhecido o valor de

sendo válida a hipótese desde que

resultando

com o sinal (+) para tração e (-) para a compressão.

Quando resultar c > 1,25 h, deve ser feita a decomposição

onde

(b, - b,)d2

Msd, I. =

kc, = 1,25 w

devendo o momento

Msd. w = Msd - Msa. I

ser resistido pela seçáo retangular de dimensóes b, x d

Calculando-se o valor

quando

ke, to kc, ~im (3.2.3-9)

pode ser empregada a armadura simples, e, no caso contrário, quando

kc, w > kc, iim (3.2.3-10)


é preciso fazer-se a decomposição

MadW = Msdw, c + AMsd

sendo aparcela M, ,resistida pela nervuracom aarmadura simples A,, e adiferença

AM,,, resistida pela seçáo metálica composta pelas armaduras A, e A',.

Observando-se que a real posição da linha neutra é condicionada pelo momento

M,,,, do qual decorrem os coeficientes k,,, k,, k,, e k',,resultam as armaduras

seguintes:

a. Armadura simples (A, = A* + A,,)

I

com k, e k, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e (-)

para Nd de compressão.

b. Armadura dupla (A, = A, + A,, + A,,; A(,)

com k,, k', e k,, determinados em função de k,, , sendo o sinal (+) para N, de tração e

(-) para N, de compressão.

3.2.4 EXEMPLOS a. Exemplo 4. Resolver o Exemplo 1 (53.2.2), empregando as tabelas tipo k.

Dados:

f,, = 15 MPa YC = 1,4

Aço CA-SOB

Calculando-se

I N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgficm'

I kN = IW kgf = 0.1 if I kNim = 100 kgfim = 0.1 [fim

I kN.m = IW kgf.m = O,? tfm

I kN/m2 = 100 kgfimZ = 0.1 ff/m2

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ff.cm I kNlmJ = I00 kgfim3 = 0,1 fVm3

SEÇOES T

-

da Tabela 7 resultam, a favor da segurança,

6 0,07, logo x = 0,07 x 40 = 2,8 cm < h,

e

8 400

k, = 0,024, logo A, = 0,024 - = 5,M cm2

40

(4 0 1 23

b. Exemplo 5. Resolver o Exemplo 2 (5 3.2.2), empregando as tabelas tipo k.

Dados:

M, = 6 800 kN.m = 680 000 kN.cm ?r= 1,4

f,, = 18 MPa YC = 1,4

Aço CA-SOA (Tabela 6)

b, = 30 cm

d = 155 cm

h, = 12 cm

b, = 238 cm

Verificação inicial

Calculando-se

da Tabela 6 resulta 6 - 0,15,

logo

não sendo possível tratar a seçáo como retangular.

Determinando-se o momento

sendo

logo

5 = 1,25 6, = 1,25 x 0,077 = 0,097

IN =O,lkgf I MPa = I MNlm2 = 10 kgficm2

I kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = O. I !fim

i kN.m = 100 kgtm = 0.1 rfm I kNim' = 1W kgflm' = 0.1 rfima

I kNcm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kN1d = 100 kgfim" 0.1 tf/m3


resulta da Tabela 6

donde

k,, ,- 11,9

Md,

= Md - Md, = 680 000 - 419 930 = 260 070 kN.cm


têm-se

5 = 0,52 logo x = 0,52 x 155 = 80,6 cm

resultando de

o valor

Mdf

d - 2

h

2

MdW

d

A, = k,, - + k, -

C. Exemplo 6. Resolver o problema anterior usando Aço CA-50B (Tabela 7)

Neste caso, valem os seguintes resultados:

M, = 419 930 kN.cm

M,,

= 260 070 kN.cm

com

k,, = 2,s i k,, , = 3,0, embora o valor de k, = 2,8

ainda esteja dentro da chamada zona utilizável. Todavia, a fim de comparar os

IN =0,1kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgf/cmS

I'kN =lWkgf=O,Id I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 1W kgfm = 0.1 d.m

I kN1m2 = IW kgflm* = 0.1 dlm2

I kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 ü.cm 1 kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tf/m3

I MPa = 0,I kN/cm2 = 100 Nicm'

resultados deste problema com os resultados do problema 3, será adotada armadura

dupla.

Fazendo

com k,, li,

= 3,0, tem-se

logo

AMdw = Mdw - Mdw,

= 260 070 - 240 250 = 19 820 kN.cm

As armaduras são determinadas pelas expressões

onde, para 5 = tiim = 0,4623 e 8' = 71155 = 0,05, têm-se

k, = 0,029

a = 1 ,O0 logo k, = 0,023

0 023

p = 0,93 logo k: = L = 0,025

0,93

resultando

isto é

e

A, = 64,U + 3,l + 44,9 = 112,U cmZ (23 0 25)

~~~~,

, ~ ~~-.

1kN =IWkgf=O,Itf I kNim = 100 kdm = 0.1 ifim

1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tfm I kNimS = 100 kgfim' = 0.1 tfim'

I kNcm = IM) kgf.cm = 0.1 tfcm I kN/m3 = IW kgfim3 = 0.1 tf/mJ

3.1 Nas vigas de edifício, quais as que devem ser consideradas de seçáo retangulare quais as

de segáo T? Exemplificar, considerando lajes naface superior da viga e lajes rebaixadasde

um e dos dois lados da nervura.

3.2 Que variáveis devem ser considei-adas nadeterminaçáo da largura bf da mesa de compressâo?

3.3 Quando a seção T pode ser tratada como uma seção retangular?

3.4 Admitindo-se o diagrama retangular de tensões, qual aposição limite dalinha neutra para

que a seçáo T seja tratada como retangular? Justificar.

3.5 Justificar a decomposição do momento M, nas parcelas M,[, e M,: ,.. para as seções T

com armadura simples.

3.6 Por que a parcela Md, , náo depende da real posição da linha neutra? Discutir.

3.7 Por que a posição da linha neutra só depende da parcela M,, ,?

3.8 Qual a relação existente entre os momentos M,, e M,, i>

3.9 Por que o cálculo de M,, ,com o diagrama parábola-retângulo apresenta maiores diticuldades

do que com o diagrama retangular de tensões? Justificar.

3.10 Comparar os exercícios I e 4. Comentar os resultados.

3.1 1 Comparar os exercícios 2 e 5. Comentar os resultados.

3.12 Comparar os exercícios 3 e 6. Comentar os resultados.

4

F1exã.o Oblíqua

4.1 MÉTODOS GERAIS

DE CÁLCULO

4.1.1 CÁLCULO EXATO Considerando o caso geral daflexáo oblíquacomposta, Fig. 4.1.1-1, têm-se os seguintes

elementos para a solução exata do problema.

Fig. 4.1.1-1 Flexão composta oblíqua.

i


a. Condições de equilíbrio

M~, = F, e, = J J ued

A..

x . d ~ + d ~ A, c~dd X,

i = l

M = F e = ucd Y.~X~Y + i A, uw Y*

A,,

i = l

h. Condições de compatibilidade

As condições de compatibilidade são decorrentes da manutenção da forma plana

da seção transversal.

Dada a posição da linha neutra e imposta a deformação específica de um ponto

particular da seção transversal, ficam determinadas as deformações específicas de

todos os outros pontos da seção e, conseqüentemente, as respectivas tensões.

Assim, por exemplo, Fig. 4.1.1-1, uma vez fvtada a posição da linha neutra e

imposta a deformação eeld = 3,S%o no ponto mais comprimido, ficam determinados o

diagrama de tensões no concreto bem como as tensões que agem em cada uma das

barras da armadura.

c. Solução do problema

Para umadada seçáo transversal, escolhidas inclinação <r dalinha neutrae fixada

a profundidade x da zona comprimida., impondo-se o valor de E,, = 10% no domínio 2,

o valor de E,,, = 3,5%0 nos domínios 3, 4 e 4a e o valor de E, = 2%0 no domínio 5,

podem ser calculadas todas as tensões.

As equações de equilíbrio (4.1.1-1) fornecem então os valores dos esforços

solicitantes correspondentes Ndr Msd e M,,.

d. Apsentação dos resultados

-\ Variando a profundidade x da zona comprimida e, para cada x, variando a

inclinação a dalinha neutra, obtêm-se todos os possíveis ternos de valores Nd, Mrde

M,, que conduzem uma dada seção ao estado limite último de ruptura ou de alòngamento

plástico excessivo.

Confoiine se mostra em § 4.1.3, esses ternos de valores podem ser representados

por meio de superfícies ou de diagramas de interação.

I

Cabe, no entanto, salientar que o traçado sistemático dos diagramas de interação

somente pode ser feito, do ponto de vista prático, da maneira indicada a seguir.

e. Traçado dos diagramas de interação

Para o traçado sistemático dos diagramas de interação, ao invés do sistema de

coordenadas indicado na Fig. 4.1.1-1, adota-se o sistema indicado na Fig. 4.1.1-2.

Com o sistema de coordenadas mostrado nessa figura, as equações de equilíbrio

podem ser escritas da seguinte forma, onde as integrais seguem um sentido de

circuitação preestabelecido:

O traçado sistemático dos diagramas de interação é feito para valores constantes

de N,.

Nessas condições, adotado um valor de N,, ou seja, admitido um valor de

fixa-se uma inclinação a para a linha neutra e calculam-se os valores de Nd para

valores crescentes da profundidade x,, da zona comprimida.

Quando se obtém o valor preestabelecido para N,, nessa posição são calculados

os momentos M, e MWd e, a partir deles, os momentos Mzd e M,,, obtendo-se então

valores de

com os quais fica determinado um ponto do diagrama de interação, Fig. 4.1.1-3.

Observe-se que, na Fig. 4.1.1-2, M, é o momento que age no plano que contém o eixo

M, atua no plano que contém Gy.

dotam-se a seguir novas inclinações a para a linha neutra e repete-se para cada

elas o processo descrito anteriormente, obtendo-se desse modo, por pontos, o

aiagrama de interação (/L=, pyd, vd = const.)

104

ESTRU-rURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇóES NOHXAIS

Pyd

(Jd = valor prefixado )

J'(yd, cai

I

-----

r

I

i%

N xd, calculado

Fig. 4.1.1-3 Traçado ,do diagrama de intelacão

4.1.2 SUPERFICIES DE Conforme jáfoi visto, dando-se a forma da seçáo transversal, definindo a armadura e

INTERAÇAO E especificando as resistências de cálculo dos materiais, podem ser determinados os

DIAGRAMAS DE ternos de valores N,, M,, e M,,que levam a seção transversal ao estado limite último

INTERAÇAO de ruptura ou alongamento plástico excessivo.

A Fig. 4.1.2-1 mostra de forma genérica a superfície de interaçáo dos valores

últimos Nu, M,, e M,,.

1

u , compressão

"" ,"

(ELEMENTO FUNDAMENTAL p/

AS APLICAÇ~ES )

__C M~ u

o 5'0

OP'O

OE'O

02'0

01'0

00'0

O

01'0 -I

3

C3

Z

02'0 <a

+

hrl

lx

0£'0 1

-x

-I

O

o*"' 3

CC

'$

Oi'O

u

5

a

OC'O E

w a

Oi,O,

. .

O

""t

a

O

01'0 Z

O

00 'o

01'0,

*

02'0 '1

0

-

O

O£'O ;

OC'O,

4

OS'O

OS'O

OE'O

O

o

2i

: 219

I. a

O

2i

I rp

I

a

OE'O -I

m

.a

o*, ,u

OS'O

a

a

C

W

02'0 5

Z

01'0 O

OE'O ..

OE'O

a

m

Ob'O

OE'O

-

OE'O a-


A propriedade mais importante dessas superfícies de interação (Nu, MA, M,,)éa

sua convexidade, conforme está mostrado nos cortes correspondentes a N, = 0,

M,, = O, M,,, = O e Nu = constante # 0, respectivamente, Fig. 4.1.2-1.

Essa propriedade de convexidade permite, como será visto posteriormente. o I

estabelecimento de processos aproximados de cálculo, a favor da segurança. Na I

verdade, a convexidade dos diagramas de interação (M,,,, M,,) para N, = constante

# Oparece não ser rigorosamente perfeita. Todavia, Eomo é aparente nos diagramas

aqui apresentados, para todos os efeitos práticos pode ser admitida a convexidade

perfeita da superfície de interaçáo.

A apresentação das superfícies de interação é feita por meio de ábacos. por vezes

chamados de ábacos em roseta, correspondentes a cortes da superfície de interação,

definidos por diferentes valores de v,.

Para as seçóes com dupla simetria. os diagramas de interação são frequentemente

apresentados em octantes.', Vara o emprego rotineiro, esse tipo de representrição

não é o mais cômodo.

Nas figuras seguintes," Figs. 4.1.2-2 a4.1.2-4, estão apresentados ábacos calcu- ,

lados de acordo com as especificações da NB-1/78.

Em qualquer caso, para as aplicaçóes é importante observar quais as coordenadas

adotadas para os diagramas de interaçáo, pois alguns são apresentados em função das

excentricidades relativas e,lh, e e,/h, e outros em função dos momentos relativos

w, = ve,/h, e w~ = vedh".

De forma análoga. deve-se prestar atenção nas definições adotadas para as

grandezas adimensionais. pois pode haver pequenas diferenças de uma apresentação

para outra.

4.1.3 EXEMPLO Para exemplitlcar a utilizaçao dos diagramas de interação, considere-se a seção

transversal mostrada na Fig. 4.1.3-1.

Sao dados os seguintes valores:

I

'Marcos Antonio Marino, Sesó- ~ran~~er~ai~ de c<I~c~P~<> armado sujeitos a solicitacoes normais. Dissertaçáo de

Mestrado elaborada sob a otientaqáo do Autor. Escola Politécnica USP, Sáo Paulo, 1978.

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrnZ = 10kgficm2

I kN = 100 kgf = 0.1 ti I kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm

I kN.m = 1W kgf.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/m2

i kNcm = 100 kgf.cm = 0.1 Ifcm I kN/mS = 100 kgf/ma = 0.1 tf/rn3

fck = 15 MPa = 1,s kN/cm2 ?c = 1,4 f,., = - - 1.07 k ~/cm~

1,4

Aço CA-SOB y, = 1,15 fyd = 43.5 kN/cinY

Ábucos du Fiz. 4.1.2-2

Para a utilização destes ábacos, calculam-se os valores:

De acordo com a Fig. 4.1 .?-2, tem-se

e para

Interpelando linearmente, para u = 0.62, obtém-se

resultando

ou seja, pode ser adotada a soluçáo

8 1 =u,lkgf I MPa =I MNlm2= 10ksficmZ

I kN = 100 kgf = 0.1 tf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 rtm 1 kN/m2 = 100 k8fim2 = 0.1 tflm* '

I kN.cm = 100 kbicm = 0.1 S.cm I kN/rnS = 100 kgf/ms = 0.1 tf/m3

110 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS I

4.1.4 CÁLCULO POR Quando não existem os diagramas de interação paraa seção transversal consideradae

TENTATIVAS nem são aplicáveis outros processos de cálculo, o dimensionamento da seçãopode ser

feito por tentativas, conforme é indicado na Fig. 4.1.4-1.

P

Dada a seção transversal e a posição da força Fd, escolhe-se o arranjo da

armadura de traçáo de forma tão concentrada quanto possível, a fim de facilitar a

solução do problema.

A posição da linha neutra deverá ser determinada por tentativas, sabendo-se que

a força Fd aplicada, a resultante R, das tensões na armadura de tração e a resultante

R,, das tensões de compressão no concreto deverão estar contidas num mesmo plano.

FLEXAO OBL~QUA 111

Desse modo, conhecendo-se as posições de Fd e de R,,, Fig. 4.1.4-1, e sabendose

que

sendo

Nd = Fd (4.1.4-2)

determina-se, por tentativas, a posição da linha neutra que satisfaz as condições

(4.1.4-1) a (4.1.4-3).

Uma vez determinada a posição da linha neutra, calcula-se a armadura de tração

pela condição

com o sinal (+) para N, de traçáo e o sinal (-)para compressão, controlando-se as

deformações para verificar se realmente é satisfeita a condição

4.1.5 EXCENTRICIDADES De modo tradicional, na presença de força normal de compressão, os casos de

ACIDENTAIS solicitações normais são classificados em: compressüo centradu,flexüo normal composta

eflexüo oblíqua composta. Todavia, de acordo com os novos princípios de

verificação da segurança, no caso de força normal de compressão, passou-se a

considerar explicitamente a incerteza na localização do ponto de aplicação da resultante

dos esforços normais. Foi assim criado o conceito de excentricidade adicional,

que na nova NB-1 é designada por excentricidade acidental.

A excentricidade acidental foi fixada convencionalmente com o maior dos dois

valores seguintes:

onde h é a maior dimensão da seção na direção considerada.

Desse modo, em princípio, todos os problemas de compressão passaram a ser

problemas de flexão oblíqua composta.

Evidentemente, por razões de ordem prática, nem todos os problemas serão

tratados com o mesmo grau de rigor. Assim, na Fig. 7.3.1-1 do B 7.3.1 estão indicadas

as excentricidades a serem admitidas no cálculo, em função das situações teóricas de

projeto, deacordo com a NB-I. Quando a situação suposta no projeto for de compressão

centrada ou de flexo-compressão normal, a obliquidade decorrente das excentricidades

adicionais será tratada de forma simplista. Pelo contrário, quando a situação

teórica de projeto já for de flexão oblíqua composta, o problema será tratado com

maior rigor, conforme será discutido posteriormente no Cap. 7.

Observe-se que no caso de peças esbeltas, além das excentricidadesjá consideradas,

ainda deverão ser levados em conta os efeitos de segunda ordem, decorrentes da

deformação das peças.

4.2 MÉTODOS

SIMPLIFICADOS DE

CÁLCULO

4.2.1 LINEARIZAÇÃO DOS Este critério conduz a soluçóes necessariamente a favor da segurança, em virtude da

DIAGRAMAS DE convexidade da superfície de interação, Fig. 4.2.1-1.

INTERACAO Emprega-se um diagrama linearizado de interação para o dimensiona-

DIAGRAMA

REAL

DIAGRAMA

LINEARIZADO

I

Resultados

sistematicamente

0 fovor do segurança

xd, cal

Fig. 4.2.1-1 Mérodos simplificados de cálculo.

mento de seçóes submetidas à flexáo oblíqua composta, obtendo-se a expressão

I

--

Muo, u Ma, u

Mvd + Mzd = 1

válida para Nu, , = Nd.

A critica a ser feita a esse processo simplificado é a de conduzir, por vezes, a

soluções sensivelmente antieconômicas. A sua defesa é a de conduzir sempre a

soluções a favor da segurança e de permitir o dimensionamento da armadura por

tentativas, e não a simples verificação da carga que pode ser aplicada numa dada

posição de uma seçáo conhecida.

Observe-se que a linearidade dos diagramas de interaçáo pode ser interpretada

tanto nas coordenadas M,, e M,, quanto em e,, e e,,, bem como em e,,/h,e e,,/h,.

conforme mostra a Fig. 4.2.1-2 e de acordo com o que já havia sido mostrado nas

figuras do § 4.1.2.

Para o emprego do método, dado o pontoA (psd, pyd, vd), escolhe-se uma reta

que passe por esse ponto, cortando os eixos coordenados nos pontos B GyO, d, vd) e

C (w~,,~, vd). Fig. 4.2.1-1.

Dimensiona-se a seção sob a ação de uma das flexões normais definidas pelos

pontos A e B e verifica-se, a seguir, para a outra flexáo normal.

Caso esta última verificação dê resultado satisfatório, a seçáo terá segurança

superabundante para a flexão oblíqua original.

Fig. 4.2.1-2 Linea"zaç80 dos diagramas de interacão

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACÕES NORMAIS

No caso de seções retangulares com armaduras iguais nas quatro faces, os

diagramas de interação linearizados terão uma inclinação de 45O com os eixos coordenados,

bastando então um único cálculo de dimensionamento numa das direções

principais.

4.2.2 EXEMPLO

Considere-se o dimensionamento aproximado doexemplo resolvido de modo rigoroso

em § 4.1.3.

São dados os seguintes valores:

N, = 1000 kN y, = 1,4 Nd = 1,4 x 1000 = 1400 kN

f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2

Aço CA-SOB y, = 1,15 f,d = 43,5 kN/cm2

h, = b = 30 cm e, = 6 cm - -- - 0,20

b 30

Y

IJ

Plano de My

ey : 28

Plano de M,

e~

r 3, -

h Y


1N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10kgf/cm*

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = IW kgfim = 0,I tflm

1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 1f.m 1 kN/m2 = IW kgfim2 = 0.1 tflrn2

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/rn3 = 100kgf/~= = 0.1

I MPa = 0.1 kN/crnn = 100

Admitindo-se diagramas de interação linearizados e mantendo-se o mesmo arranjo

da armadura, isto é, colocando-se armadura igual nos quatro cantos, o dimensionamento

mais econômico deflexáonormal compostacorresponde ao que se mostra

na Fig. 4.2.2-1.

Quando se empregam diagramas de interaçáo nas coordenadas e,/h, e e,/h,,

como é o caso apresentado na Fig. 4.2.1-1, o dimensionamento mais econômico

corresponde a

Quando se empregam diagramas de interação nas coordenadas pZd e pVdi como

aqueles apresentados nas Figs. 4.1.2-2 a 4.1.2-4, a condição econômica é obtida com

Ambas as condições decorrem do fato de a armadura estar igualmente concentrada

nos quatro cantos, pois, nesse caso, o diagrama linearizado mais econômico

corresponde a uma reta igualmente inclinada em relação aos eixos coordenados. De

fato, com esse arranjo de armadura, para um mesmo valor de v,, deve ser obtida a

mesma taxa de armadura quer se considere uma flexáo normal composta segundo o

eixo Gx, quer segundo o eixo Gy.

Nessas condições, empregando, por exemplo, os ábacos de flexão normalcomposta

de Montoya,* para

obtêm-se:

d'

para 6' = - = 0,10 o = 0,86

h

d'

para 6' = - = 0,05 o = 0,76

h

Interpolando-se para 8' = 0,07, tem-se

resultando

logo

A,, ,,C, L= 4 x 10,3 cm2

Sabendo que este resultado é sempre a favor da segurança, seria aceitável a

mesma solução obtida anteriormente

A,, ,,,,L = 4 X 3 c$ 20 = 4 x 9,45 cmZ

Note-se que a aproximação do cálculo simplificado foi muito boa neste caso

particular em que os diagramas reais de interação são praticamente lineares, Figs.

4.1.2-2 a 4.1.2-4.

Observe-se novamente que, pelo fato de a armadura estar igualmente concentrada

nos cantos, bastou o cálculo de flexão normal composta em uma só direção.

4.2.3 UM PROCESSO Em face das dificuldades existentes no cálculo das seções submetidas a flexáo com-

EMPIRICO TRADICIONAL posta oblíqua, muitos processos empíricos foram sugeridos pelaliteratura técnica. Na

Fig. 4.2.3-1 está ilustrado o chamado processo da Norma Russa, que teve larga

aceitação durante muito tempo.

I

Fig. 4.2.3-1 Um método antiga de cálculo.

Por esse processo, sendo

N,,, = força normal última na compressão centrada

N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,

N,, = força normal última na flexão normal composta com o momento último M,,

admite-se que, na flexão oblíqua composta, a força normal última Nu, acompanhada

dos momentos M, e M,,, seja dada por

1 -

1 I I

-+---

Nu N, N, No,

Alguns autores tentaram justificar teoricamente essa expressão, mas conforme se

ilustra na Fig. 4.2.3-1, ela deve ser entendida como uma expressâo empirica.

De acordo com estudos realizados por Moran," a chamada fórmula da Norma

Russa pode conduzir a erros contra a segurança de importância bastante significativa,

não existindo estimativa do máximo erro possível. Os resultados indicados na Fig.

4.2.3-1 são válidos apenas para a seção particular aí indicada. Por esse motivo, a

chamada fórmula da Norma Russa deve ser definitivamente abandonada.

4.3 MÉTODO DA

TRANSFORMAÇAO

AFIM DAS SEÇOES*

4.3.1 TRANSFORMAÇAO O método da transformação das seções é baseado na possibilidade de realizar uma

AFIM DAS SEÇOES transformação da seção, mantendo constantes os valores dos parimetros adimensio-

RETANGULARES nais que intervêm no dimensionamento da mesma sob a ação de solicitações normais,Iu

Fig. 4.3.1-1.

Fig. 4.3.1-1 Sesões ntins

'Telèmaco van Langendonck, Fierio comportu ubiíouo no con<iciu ormodo. A.B.C.P.. São Paulo. 1977

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAB

Considerem-se duas seções retangulares de lados paralelos aos eixos coordenados

Ox e Oy, armadas em cada uma dessas duas direções com duas camadas de barras

de aço. Admita-se que as duas seções estejam submetidas àflexão composta oblíqua.

Os parâmetros de cada uma das seções estão indicados, respectivamente, pelos

índices 1 e 2.

Para a manutençáo dos parâmetros adimensionais são possíveis dois caminhos

diferentes: num deles altera-se a intensidade da forçalongitudinal F na mesmaproporção

que a razão A de afinidade e mantêm-se as resistências dos materiais; no outro,

alteram-se as resistências dos materiais na proporção li1 e mantém-se a intensidade

da força F.

Considerando então as duas seçóes, a original e a transformada, a cada uma delas

correspondem as seguintes grandezas:

a. Dimensóes: h,,, h,,, A,,, A,,, A ,$ , A,,,

b. Materiais: fcdlr fydl = fidl

c. Taxas mecânicas de armadura:

os, =

As,, fvdl

hz1 hu, fCdl

wu, = as#^ fudl

h,, h,, fCd,

= A'8Zl f~dl o;l = K8U1 fUdl

h91 fcdl

hzl hyl fcdl

d. Esforços: Ndl = Fd

e. Esforços relativos:

MZdi = Fd.e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)

M,,,, = F,.e,, (atuante no plano que contém o eixo Oy)

Fd . e,,

Pzdl = h,, hZ,, fCd1

b. Materiais: f ,,,, fvd2 = fid2

c. Taxas mecânicas de armaduras:

r - AS,, f'vdz

h52 hy2 fcd2

W,z2 -

d. Esforços:

,y, - ASa flud2

fcd2

Ndz = Fd (por hipótese)

M,, = Fd . e,, (atuante no plano que contém o eixo Ox)

MVd2 = Fd . eVz (atuante no plano que contém o eixo Oy)

e. Esforços relativos:

Admita-se que aSeção 2 sejaobtidaapartir daSeção 1 por meio de umaafinidade

paralela ao eixo Oy, de razão h igual a

Como a afinidade é paralela ao eixo Oy. são alteradas apenas as dimensões

paralelas a essa direção, mantendo-se as dimensões paralelas ao eixo Ox.

Desse modo, resultam as relações seguintes:

h,* = h h,,

e,,

= h e,,

h,* = h,,

er2 = e,,

1 ." Alternutiva

Admita-se ainda que existam as seguintes relações entre as resistências dos

materiais das duas seções consideradas:

f',dl

f, = -

A

Com todas as hipóteses formuladas anteriormente, obtêm-se então

Vp =

Fd - Fd = V,

h,, h,, fcd, h,, Ah,, f,,,

Conforme já foi assinalado, há uma outra forma alternativa de transformar a

seção, mantendo-se também os valores dos parâmetros adimensionais.

De fato, basta manter os valores das tensoes e alterar a intensidade da força

longitudinal, fazendo-se

Neste caso, têm-se

Py~d =

FP~ ey2 = AF,d . Ae,, - Puid

h,, h;z fCd h,, A2 h:, fCd

o52 =

A,,, fvd = AA,,, . fvd - os,

h,, h,, f,, h,, . h,, fCd

012 = A, fuL = h A3,1 . fv, = o:,

hzz h,, fcd h,, . A hyl fcd

4.3.2 FUNDAMENTOS DO

MÉTODO DE CÁLCULO

Considere-se uma seção transversal retangular de lados h, = b e h, submetida à

flexão composta oblíqua em virtude daaplicação da forçalongitudinal Fdr que age com

as excentricidades e, e e,, Fig. 4.3.2-1.

1

Fig. 4.3.2-1 Transforrna~io afim

Admitindo-se a transformação da seção por uma afinidade paralela ao lado maior

h,, com razão


obtém-se uma seção quadrada de lados

hxQ = h,, = b (4.3.2-2)

Com essa afinidade tamhém ficam alteradas as áreas das seções transversais das

armaduras, sendo

(4.3.2-3)

A,u = A As,

Aszu = h

De forma análoga, admite-se que a afinidade também afete as excentricidades da

força F,, resultando

e

ezy = e, (4.3.2-4)

Admitindo ainda a hipótese suplementar de que também seja alterada a intensidade

da força axial, sendo

sabe-se, de acordo com o que foi visto no item anterior, que permanecem invariantes

os valores das seguintes grandezas adimensionais:

Observe-se que, em virtude dà alteração da força axial, conforme (4.3.2-6), n6o

1

haverá alteração das resistências dos materiais empregados.

b. Condições de dimensionamento

De acordo com o que foi visto em § 4.1.1, as condições gerais de equilíbrio da5

seções retangulares, Fig. 4.3.2-2, podem ser escritas:

N.=,=//

%dXdY+i Astu..

A,, 1

Fig. 4.3.2-2 Flexão composta oblíqua.

I

Introduzindo as condições de compatibilidade de deformações nas expressões de

equilíbrio, elas podem ser reduzidas as suas formas adimensionais, resultando num

sistema de equações nas variáveis seguintes:


11. Armaduras:

111. Cobrimentos:

d!,

ss = - ., 8'

hz

d',,

3, = -

hu

IV. Posição da linha neutra:

X

5=- ; a, (Fig. 4.3.2-2)

h,é,ccia

V. Resultante das tensões no concreto:

a = R" ; tt, ; E ' ~

A," 'J"ld

([L

VI. Tensões nas armaduras:

e 5: coordenadas adimensionais da posição de R,,)

VII. Deformaçáo de referência:

(no ponto mais comprimido da seçáo)

(juntamente com 5 e a, definem o

domínio de deformações da seçáo)

Tendo em vista que a transformação afim de razão h juntamente com a trarisformação

da força longitudinal para FQd = A F, não alteram as variáveis V,, pzd, pyd, ws.

I

a',, w,, o:, s:, s:, e que as demais variáveis a, C,, t:, usa/f,,~, 'Jss/fvd? 'Jsc/fUd3

uSD/fi,, são funções unívocas de 5, o, e E,.,~, conclui-se que o dimensionamento pode

ser feito com a seçáo transformada em lugar de ser realizado com a seção original.

De fato, impondo-se os mesmos valores de 5, a, e E,,, para as duas seções, a

original e a transformada, são iguais os correspondentes valores de todas as demais

variáveis adimensionais que regem o equilíbrio e a compatibilidade do sistema.

Desse modo, dimensionando-se a seção transformada, é obtido o dimensionamento

da seção original.

Para a realização desse dimensionamento, um dos caminhos possíveis é o do

traçado dos diagramas de interaçáo V,. psd. pyd.

Com essa finalidade, dada a seção transversal e admitidos os valores de w,, w',,

w, e o',, para cada terno de valores E ~ , 5 ~ e , a,, resultam nos valores dos esforços vd,

psd e pUdr que podem ser aplicados.

Pelo exposto conclui-se que, se existissem os diagramas de interação da seção

transformada, o dimensionamento poderia ser efetivamente realizado, de forma rigorosa,

com a própria seção transformada.

O dimensionamento aproximado, considerado a seguir, tem por finalidade eliminar

a necessidade do emprego dos diagramas de interação da seção transformada.

c. Dimensionamento aproximado

O dimensionamento aproximado das seções submetidas a flexão composta obliqua

pode ser feito, em princípio, pela decomposição dos esforços solicitantes.

Várias soluções dessa natureza são encontradas na literatura referente ao assunto.

Em todas elas, em lugar de uma flexão composta oblíqua, são consideradas duas

flexões normais. Algumas soluçóes consideram duas flexões normais compostas,

enquanto outras consideram uma flexão normal composta e uma flexáo normal simples.

Para seçóes retangulares, a decomposição tem sido tradicionalmente feita

considerando-se duas flexóes atuantes em planos paralelos aos lados da seção, Fig.

4.3.2-3.

Em cada uma dessas flexões esgota-se uma parceladaresistênciaf,, do concreto.

As armaduras calculadas em cada caso são somadas para a obtenção da solu~ão

completa. Todavia, a distribuição das armaduras calculadas não é a que melhor se

adapta a resistência aos esforços decorrentes de uma flexão oblíqua.

Fig. 4.3.2-3 Decomposição tradicional de esforços

O dimensionamento aproximado a seguir considerado,* que requer a transformação

preliminar da seção retangular em uma seção quadrada, decompõe os esforços

aplicados em duas flexões normais compostas, agindo uma delas num plano paralelo a

um dos ladosdaseção e a outra segundouma das diagonais do quadrado, Fig. 4.3.2-4.

Fig. 4.3.2-4 Decornposiçào dos esforços na seção transformada

Também neste caso, a resistência do concreto é esgotada parcialmente em cada

uma das solicitações.

Na solicitação que age segundo o plano que contém o eixo Oy, admite-se uma

'Telêmaco van Langendonck. Flexriu composro oblíqua no concreto ormudu. A.B.C.P.. Sáo Paulo, 1977

resistência 0,85 feda e, na solicitação segundo o plano que contém a diagonal Z,

considera-se a resistência 0,85 f, sendo

As armaduras calculadas para cada uma das flexões consideradas são somadas

para a obtenção da solução final.

Note-se que, com a decomposição agora adotada, é obtida uma distribuição de

armaduras mais adequadapara aresistênciaaflexão oblíqua. Essa melhor distribuição

pode ser obtida em virtude de se considerar uma das flexóes no plano diagonal. Para

isso é necessário transformar a seção retangular original numa seção quadrada, pois só

então o plano diagonal passa a ser um plano principal da seção.

4.3.3 ROTEIRO DE Dada uma seção retangular submetida a flexão composta oblíqua, transforma-se a

CÁLCULO seção num quadrado, por meio de uma afinidade paralela ao lado naior, alterando-se

também na mesma proporção A a força aplicada, sendo A a razão de afinidade, Fig.

4.3.3-1. A seguir, desdobra-se a flexão composta oblíqua em duas flexões compostas

normais, conforme está mostrado na Fig. 4.3.3-2.

Fig. 4.3.3-1 Transformacão da seçáo.

A força longitudinal FQ é decomposta em duas outras, F,, e F,,, que lhe são

estaticamente equivalentes. A força F,, age no pontoA sobre o eixo Oy paralelo ao

lado, e a força F,, atua no ponto B sobre a diagonal Oz, sendo

Como as duas forças F,, e F,, estão sobre a mesma paralela ao eixo Ox, não se

altera o momento fletor M,,, pois

M,Q = FQ eu, = (FUQ + FN) eu, (4.3.3-2)

Para que não se altere o momento M,,,

Fig. 4.3.3-2, deve ser

~ig. 4.3.3-2 Seção transformada.

I

e, como a seção é quadrada, tem-se

KB = ÓA = e,,

I

I

I

logo

ou ainda

pois

FXg = FQ. tg a

-- e= - tg a

~ V Q

com (tg a s 1 ,O), resultando também

FVQ = F, (1 - tg a)

Uma vez decomposta a força longitudinal

Fg = A Fd

nas componentes

F,y = FQ (I - tg a) = h Fd (I - tg a)

de excentricidade

de excentricidade

e.~ = fl ~ V Q

é feito o dimensionamento das armaduras para cada uma das solicitações separadamente,

Fig. 4.3.3-3. Admite-se que a re~istênciaf,~ sejadecomposta nas duas parcelas

seguintes:

flexão paralela ao lado

fcdY = fcd (1 - tg a)

flexáo diagonal

sendo, portanto, respeitada a condição

fcdv + fcdx = fcd

Y

FyQ=XFd(i-t9 o<)

e = Xe

YQ Y

-f cdy = fcd (1- t9 a)

d5YQ

.:'w

b

FLEXÁO PARALELA FLEXÃO DIACONAL

AO LADO

Fig. 4.3.3-3 Esforços atuantes

Uma vez calculadas as armaduras da seçáo quadrada, obtêm-se as armaduras da

seçáo original pelas expressões

~EXAOBL~QUA

1

AS, = - A',,,

A

Com as armaduras assim calculadas, os parâmetros adimensionais da seção

original e da seçâo quadrada obtida pela transformação afim de razão A são iguais.

4.3.4 FLEXAO DIAGONAL Analogamenteao que se fez na seçáo retangular, tambémno estudo daflexâodiagonal

DA SEÇÃO QUADRADA. da seção quadrada, o momento fletor será sempre tomado em relação ao centro de

GRANDE gravidade da armadura de traçáo, Fig. 4.3.4-1.

EXCENTRICIDADE

AR

A SIMpLE

Fig. 4.3.4-1 Flexiio diagonal da seção quadrada

Pelas mesmas razões já discutidas no estudo da seção retangular, como situação

básica de estudo será considerada a seçâo com armadura simples.

Neste caso, têm-se:

Flexáo simples Nxd = O RE = R, R, = R,, M

Flexo-compressão NZd > O R* = R< - Nzd Rs = RI. M - Nzd

Flexo-tração Nzd > O R, = R, + N.d R, = R,, M + Nid

Desse modo, a seção pode sempre ser dimensionada com o emprego de tabelas

universais preparadas para o caso básico daflexão simples, obtendo-se a armadura de

tração pelas expressões


Como no caso da seção retangular, a armadura simples poderá ser empregada

desde que o momento MS2, aplicado seja compatível com uma posição da linha neutra

tal que 5 < tlim, isto é, sempre que isso não resultar numa seção superarmada.

Quando a tentativa de empregar armadura simples conduzir a 5 > deverá ser

empregada armadura dupla.

Para o cálculo da seção com armadura dupla, a seção resistente é desdobrada em

duas partes, Fig. 4.3.4-2.

ARMADURA DUPLA

1

I

I I

Fig. 4.3.4-2 Flexão diagonal da se+

quadrada.

A seção com a armadura simples, de área A,,,,, resiste ã força normal NZd e a

parcela M,,,, , do momento fletor. Para esta parcela admite-se a situação 5 = &,.

A parcela restante AM,, = M,,,, - M,,,, . do momento fletor é resistida por uma

seção metálica.

Desse modo, têm-se

Analogamente ao que foi visto para a seção retangular e de acordo com o que se

mostra na Fig. 4.3.4-3, o problema de dimensionamento fica inteiramente resolvido

quando se impóe a posição da linha neutra. Na Fig. 4.3.4-3 está mostrada a notação

empregada para a organizaçáo das tabelas de cálculo.

De fato, seiido

onde

Fig. 4.3.4-3 Flexjo diagonal com grande excentricidade

e

z,=d-a=d-('x

dado o valor de

ficam univocamente determinados os valores de

Na Tabela 1 I do Anexo estão apresentados os elementos necessários ao dimensionamento.

Essa tabelafoi organizada empregando-se odiagrama parábola-retângulo

de tensões no concreto, nos termos da NB-1178.

A I .a Parte da Tabela 11 corresponde a valores de 5 -S 0,50, para os quais não há

influência do valor de 6' = d'ld. Na?.a Parte, correspondente a( > 0,50, a influência

de 6' é explicitada.

4.3.5 EXEMPLO Considere-se o dimensionamento da seção retangular já estudada em § 4.1.3.

As diferentes fases do cálculoestão ilustradas pelos desenhos das Figs. 4.3.5-1 a

4.3.5-4.

a. SEÇÃO ORIGINAL (Fig. 4.3.5-1)

1N =0,lkgf I MPa = I MNim' = I0 kgficmz

I kN = 1W kgf = 0.1 ti I kNlm = 100 kgfim = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgfm = 0.1 1i.m I kN/m2 = 100 kgflrn* = 0.1 àimP

I kNcm = 100 kgfcrn = 0.1 rtcm I kN/rn3 = 1W kgfim3 = 0.1 tilrn3


f,, = 15 MPa = 1,s kN/cm2 y, = 1,4

15

f,, = 1 = 1 ,07 kN/cmZ

1,4

Aço CA-50B y, = 1,15 fyd = 435 MPa = 43,s kN/cmZ

I

I

b. SEÇAO TRANSFORMADA (Fig. 4.3.5-2) I

e,, = e, = 6 cm

e,,

3

= Ae, = - x 28 = 12 cm

7

e,, = fle,, = flx 12 = 16,97 cm

tga =e, =- 6

= 0,s

~ V Q 12

F,, = F, (1- tg a) = 600 (I - 05) = 300 kN

F,, = F, tg a= 600 x 0,5 = 300 kN

fcdu =fcd (1 -tg a) = 1,07 (1 - 0,5) = 0,535 kN/cm2

f,,, = f,,.tg a = 1,07 x 0,5 = 0,535 kN/cmZ

c. FLEXAO PARALELA AO LADO (Fig. 4.3.5-3)

F,, = 300 kN

e, = 12 cm

fcdu = 0,535 kN/cm2

hyp = 30 cm

Fig. 4.3.5-1 Seção original.

Fig. 4.3.5-2 Seção transformada.

F = F (I-tgu)= 300kN

YQ Q

fcdy = fcd

( I - tq a1 = 0,535 kN/cm

2

rig. 4.3.5-3 Flexáa paralela ao lado.

Fig.

I

r

d,, = h,, - d' = 30 - 2 = 28 cm i


Psud =

Fue . esu = 300 25

b,, dZ,u fcdu 30 x 28% x 0,535

= 0,596

Admitindo-se o emprego do Aço CA-50B, de acordo com a Tabela I correspondente

a flexão com grande excentricidade, têm-se

logo

I

Para a seção real, obtêm-se os valores

A,, = 0

7

A:, = - A ,T,,o = - x 3,8 = 8,9 cm2 + 3+20 = 9,45 cm2

A 3

I

d. FLEXAO DIAGONAL DO QUADRADO (Fig. 4.3.5-4)

FZa = 300 kN

e,, = 16,97 cm

f,.di = 0,535 kN/cm2

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlm* = IOkgf/cm2

I kN = IW kgf = 0.1 rf I kNim = 1W kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgtm = 0.1 tfm I kN/mZ= 100 kgfimn = 0.1 tflmx

I kNcm = 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgfim" 0,l tflmx

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmS

donde

h

e,, = e ,~ + (1- dtZ) = I6,97 + (21,21 - 4) = 34,18 cm

2

M,,, = F,,.e, = 300 x 34,18 = 10254 kN.cm

Empregando-se Aço CA-SOB, de acordo com a I .a Parte da Tabela 1 I, têm-se

paz,, = 0,090

5 = 0,738

z, = 0,738 x 38,43 = 28,36 cm

M,,,,, =pai,, limd3i fcdr = 0,090 X 38,433 x 0,535

Msrd, c = 2732 kN.cm

AM,,, = M,,, - M,,,, c = 10254 - 2732 = 7522 kN.cm

1 2732 7522

A,,, = -- -- + -- - 300 =

43,s [ 28.93 34.43 1

Para a seção real, obtêm-se os valores

A,, = O

A;, =

1 7

- A',,, = - x 5,02 = 11,72 cm2+ 4$ 20

h 3

A Fig. 4.3.5-5 mostra a solução final do problema

(12,60 cm2)

Fig. 4.3.5-5 Arranja da armadura.

w

IN =O.lkgf I M = I MNim" = 10k&cm2

I k~ = 1W kgf = 0.1 rf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 iflm

I kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m I kN/m2 = IiKl kgfim' = 0.1 [fimz

I kNcm = 100 kgfcm = 0.1 tfcm I kN/m3 = I00 kgf/m3 = 0.1 tfimJ

4.3.6 FLEXAO DIAGONAL O dimensionamento da seção quadrada sob flexo-compressão com pequena excentri-

DA SEÇAO QUADRADA. cidade será feito de modo semelhante ao que foi considerado no estudo geral da seção

PEQUENA retangular.

EXCENTRICIDADE Em virtude de a excentricidade ser pequena, a seção estará inteiramente comprimida.

O diagrama de deformações está no domínio 5, caracterizado pela deformação

= 2%0 na fibra situada ã distância 3 h17 da borda mais comprimida. O diagrama de

tensões no concreto terá a forma da parábola-retângulo admitida na teoria geral.

Também para este tipo de seção, serão considerados dois casos básicos: seção

com armadura unilateral e compressão uniforme.

a. Armadura unilateral

Neste caso, a seção possui armadura apenas do lado mais comprimido, Fig.

4.3.6-1. Os momentosfletores M',,, são sempre considerados em relação ao centro de

gravidade da seção desta armadura de compressão, de área A',,,.

Fig. 4.3.6-1 Fiexáo diagonal com pequena excentriiidade.

Estando a seção totalmente comprimida, a resultante das tensões de compressão

vale

onde a, é função exclusiva de

O momento em relação ao centro de gravidade da armadura de compressão vale

MVSpd = Fid. e;, (4.3.6-3)

sendo igual a

onde (; também é função exclusiva de x.

Na Tabela 12, em função da posição dalinha neutra, dada por(, = xlh > 1 ,O, para

diferentes cobrimentos relativos

são apresentados os valores de 0,85 a,, que permitem a determinação de R,, e os

valores do momento fletor relativo

determinado pela expressão

ou seja, por meio da equação

Desse modo, dado o valor de w',,,, obtêm-se de forma unívoca os valores de c,,

5'1 e a,.

A solução do problema de flexo-compressão por meio do emprego de armadura

unilateral somente será possível enquanto for válida a equação (4.3.6-4) de equilíbrio

de momentos.

O máximo valor que pode ser tomado pelo segundo membro de(4.3.6-4) corresponde

a um diagrama uniforme de tensóes de compressão, obtendo-se assim

logo

Quando se tiver a situação

IL:.~ > Krd, [im

em princípio será obrigatório o emprego de armadura do lado menos comprimido, pois

somente assim poderá ser satisfeita a condição (4.3.6-4) de equilíbrio. Nesse caso,

será preferível o emprego da solução seguinte, de compressão centrada.

No caso presente, a armadura de compressão é obtida a partir da condição de

equilíbrio de forças.

Sendo

com


tem-se

logo

onde

I

Fzd = 035 ai A, fcdl + Asa, uQd

1

A,,, = -- (Fzd - 0,85 01 . Ac fcdJ (4.3.6-9)

d d

A expressão de equilíbrio de forças também pode ser escrita

--

Fad

Ac fcdz

- 0,85 a, + ASI~ 'dd

Ac fcdz

e fazendo

resulta

- &.a fld = KgZe fid

6JLQ -

A, fCd, 1

- hZ fC&

2

donde

Na Tabela 12, em função de 5: = xih e de 8: = d'ih, estão indicados os valores de

gd. Para os aços definidos pela EB-3, a Tabela 10 permite a determinação do

correspondente valor de uld, de acordo com os diagramas tensão-deformação admitidos

pela NB-I.

i

b. Compressão uniforme

Quando o momento pLZd ultrapassar o valor limite

~:,d,.~i~

= (i - 8;)

2

o equilíbrio somente poderá ser mantido com o emprego de duas armaduras, Fig.

4.3.6-2.

Para que acondição de compressão uniforme possa ser mantida, é necessário que \

as armaduras KS, e A,, sejam diferentes, a fim de que os momentos possam ser

Fig. 4.3.6-2 Compressáo uniforme

equilibrados.

Neste caso, sendo as deformações de todas as fibras da seção iguais, tem-se

Sendo u:, a tensão nas duas armaduras e 0,85 f,, a tensão no concreto ao longo de

toda a seção, têm-se

F,, = R, + R', + R, (4.3.6-14)

onde

RQ = A',

ujd

R, = Ama c&

Da condição de equilíbrio de forças, obtém-se

resultando

onde

A condição de equilíbrio de forças também pode ser escrita

resultando

ou ainda

Da condição de equilíbrio de momentos (4.3.6-15) em relação ao centro de

gravidade da armadura indicada por A:,, Fig. 4.3.6-2 tem-se

resultando

onde

A condição de equilíbrio de momentos também pode ser escrita

ou seja

donde

uzd '- = 0,425 (1 - 26') + w,, (1 - 2Srl) (4.3.6-19)

h

fvd

4.3.7 EXEMPLO E

ADVERTÊNCIA

A. Exemplo

Como exemplo de aplicação considere-se a seção indicadana Fig. 4.3.7-1, sendo

fed = = ??- = 1,42 MPa = 1,42 kN/cmZ

Yc 124

fUd = - 500 = 435 MPa = 433 kN/cm2 (Aço CA-SOA)

1,15

B. Seção Transformada (Fig. 4.3.7-2)

h, - 40 2

h=---=h,

60 3

e,, = e, = 3 cm

C. Flexúo Paralela ao lado (Fig. 4.3.7-3)

FyQ = FQ (I - tg a) = 2667 (1 - 0,75) = 667 kN

fCdY = fcd (1 - tg a) = 1,42 (1 - 0,75) = 0,36 kN/cm2

40

e',, = -- - d~ - evQ = -- 4 - 4 = 12 cm

2 2

De acordo com a Tabela 9, pam 6; = 0,10, resulta

não sendo possível o emprego de armadura unilateral.

Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

1N =O,Ikgf I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm'

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgfim = 0,I tfim

1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 fim'

I kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 dcm 1 kNimg = IW kgfim5 = 0.1 tflm3

I MPa = O,1 kNicm' = IW Nicrn"

FQ =

Fd = 2.667 kN

exQ = ex = 3 cm

eyO= Xey = 4 cm

tg a = ex, /e = 0,75

YQ

Fig. 4.3.7-1 Seção original.

Fig. 4.3.7-3 Flexão paralela ao lado.

Fig. 4.3.7-4 Flexão diagonal

Com vid = 42 kN/cm2 correspondente a = 2%0 obtêm-se 1

D. Flexão Diagonal (Fig. 4.3.7-4)

F,, = F,.tg a = 2667 x 0,75 = 2000 kN

f,,,

= fcd.tg a = 1,40 x 0,75 = 1,06 kN/cm2

e',,=?-d> h -e,,=--6-5,7=16,6cm

56,6

2 2

De acordo com a Tabela 12

interpolaçáo,

Parte), para 6' = 6 0,11, resulta, por

56,6

não sendo possível o emprego de armadura unilateral.

Admitindo-se a situação de compressão uniforme, têm-se

donde, sendo uQld = 42 kN/cm2 (Aço CA-50A), resultam

e

A',,,

1

= -(2 000 - 0,85 x 1 600 x 1,06) - 0,56 = 12,74 cm2

42

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlmz = 10 kgflcm'

1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = 0,) Ulm

I kN.m = IW kgfm = 0.1 tfm

I kN/m2= IW kgflm' = 0.1 tf/m2

I kN.cm = 10 kgtcm = 0.1 tfcm 1 kNlms = 100 kgf/ma = 0.1 U/m3

I MPa = 0,I kN/cmP = IW N/cms


E. Solução Final (Fig. 4.3.7-5)

Admitindo-se o arranjo mostrado na Fig. 4.3.7-5, de acordo com os resultados

anteriores, a armadura da seçáo transformada é composta por

resultando para a seçáo verdadeira, Fig. 4.3.7-5,

1 3

A, = - A,, = - x 0,69 = 1,04 cm2

h 2

= O,! I cmz = 0,45 %

A =%I9 cm2 =89,04 % A

3

A to1

A = 1,58 cm' ' 6,3 4 %

4 A to1

Alo+=

2492cm'

Fig. 4.3.7-5 Arranjo da amadura.

F. Advertência

O emprego de seções transversais com armaduras muito assimétricas pode conduzir

a superfícies de interaçáo h, pyd, ud) do tipo indicado na Fig. 4.3.7-6.

Fig. 4.3.7-6 Caso particular da superfície de interaçáo.

Note-se que, para forças normais relativas v, muito altas, o diagramade interação

(pzd, pua) é uma curva fechada que não envolve a origem do sistema, Fig. 4.3.7-7.

Essa circunstância decorre da grande assimetria das armaduras e do fato de ter

sido admitidaa hipótese de compressão uniforme. Com isso, o eixo mecânico da peça

é excêntrico em relação ao seu eixo geométrico, e a seção transversal não tem

AÇO CA- SOA

3, = 1,20

A3

A4

=80%. A,,,

= 10%. A,,,

Fig. 4.3.7-7 Advenència

146 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

condições de resistir a força longitudinal Fd dada, quando esta se aplica na posição do

eixo geométrico.

Em situações dessa natureza é necessário cautela para que se considerem adequadamente

as excentricidades acidentais de projeto, levando-se em conta as reais

posições mais desfavoráveis da força longitudinal.

4.3.8 OUTRAS FORMAS DE Em principio, o método da transformação das seções pode ser aplicado a seçóes com

SEÇAO TRANSVERSAL outras formas que não a retangular.

Para que a aplicação seja possível, é preciso que a seção transformada seja

simétrica em relação à diagonal do quadrado circunscrito, além de o ser também em

I

relação aos eixos paralelos aos lados do mesmo. Fig. 4.3.8-1.

(a, =b,)

(a, =b,)

Fig. 4.3.8-1 Transformasão de outras seçóes transversais.

Observe-se que nos casos de seçóes cruciformes e de seções retangulares vazadas,

mostradas na Fig. 4.32-1, as dimensões a, e b, devem estar na mesma proporção

que os lados h,, e h,,. Desse modo, ao transformar-se a seção por uma afinidade

paralela ao lado maior, obtém-se uma figura simétrica em relação a diagonal do

quadrado circunscrito.

Para o cálculo destas seçóes transversais emprega-se o diagrama retangular de

tensões, com tensão máxima igual a 0,80 f,,, atuando na profundidade 0,s x.

4.3.9 EXEMPLO

a. Dados

Considere-se o dimensionamento da seção retangul; xr vazada mostrada na Fig

FLEXAO OBLÍQUA 147

4.3.9-1, sendo

Fd = yf Fk = 3300 kN

15

fcd = & = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

YC 1,4

- 030 fcd = 0,80 X 1,07 0,86

kN/cmZ

500

fyd = - = 435 MPa = 433 kN/cmZ

1,15

b. Seçáo transformada

têm-se

Sendo

h,, - 80 - 2

A=-----

h,, 120 3

2

F, = AFd = - X 3 300 = 2 200 kN

3

e,, = e, = 30 cm

2

e,, = Ae, = - X 75 = 50 cm

3

'(Aço CA-SOA)

C. Flexão paralela ao lado

F,, = (1 - tg a) FQ = (1 - 0,6) x 2200 = 880 kN

e,, = 50 cm

eSv. = e.. + (d. - %) = 50 + (72 - 40) = 82 cm

M,,, = F,,.e,,, = 880 x 82 = 72160 kN.cm

0,80 f,,, = 030 (1 - tg a) fcd = 0,80 x 0,4 x 1,07 =0,34 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-2, têm-se

Aço CA-50A

&.,I

= 2,07%0 (uud = fud = 433 kN/cmZ)

IN =0,1kgf I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmZ

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kNim = 100 kgi/rn = 0,1 tfirn

I kNm = 100 kgfm = 0.1 1f.m I kN/mZ= 1Wkgf!m2 = 0.1 tf/m2

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 tf.cm I kNim3 = 100 kgfimb 0.1 fim'

14s



;,,=(I-

tg a)FQ

Fig. 4.3.9-2 Flexão paralela ao lado.

A resultante das tensões no concreto comprimido vale

R, = R,, + ReZ = (2 x 16 x 36,2+ 48 x 16)cmZ x 0,34 kN/cmZ = 393,9+ 261,1=

655,O kN

logo, a seçáo com armadura simples pode resistir até o momento

havendo portanto necessidade de armadura dupla.

Sendo

ASUQ

1 ( Mld, c + "M*- - .-)

= - -

f f ~ d

d, - d',

onde

resultam

= fld = 43,5 kN/cm2

d-d'=72-8=64cm

IN =O,ikgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgficm2

I kN = IW kgf = 0.1 ti I kNlm = 1W kgfim = 0.1 tflm

I kN.m = IM) kgtm = O,l tf.m 1 kN/m2= IW kgfim2 = 0.1 tflm'

1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNima = IW kgfima = 0.1 tfim'

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlClTAÇÓES NORMAIS

Voltando a seção retangular original, obtêm-se

A,,=-AsuQ=-

1 3

h 2

x 7,l = 10,7cmZ

A',,

1 3

= - A',,, = - x 12,3 = 18,s cmZ

h 2

d. Flexão diagonal

F,, = tg a.FQ = 0,6 x 2200 = 1320 kN

e,, = g e,, = fl x 50 = 70,7 cm

r,,, = e, + (d, -

2)

h

= 70,7 + (101,~

2,

M,,, = F,,.e,,,

= 1320 x 116 = 153120 kN.cm

0,80 fcd, = 030 tg a.fcd = 0,80 X 0,6 X 1,07 = 0,51 kN/cm2

De acordo com a Fig. 4.3.9-3. tem-se

I N = 0.1 kgf I MPa = I MNlrn2 = 10kgficm*

IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = 100 kgfim = 0.1 fflm

1 kNm = 1W kgtm = 0.1 ttm I k~im2 = IW kgfim* = O,I tfimn

I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 ttcm I k~/m= IW kgflrn3 = 0.1

A resultante das tensões no concreto comprimido vale

102,4 X 51,2

R.=( - 57,2 2836) cm2 x 0,51 k ~/crn~ =

2

= 1337 - 417 = 920 kN

O momento limite resistido pela seção com armadura simples é

+ L

51

3

2

)

28 6

- 417 (50,6 + L)= 3

No caso, sendo c,, = <r& = f,, = 43,s kN/cm2, as armaduras são dadas pelas

expressões

valendo, respectivamente,

Voltando a seção retangular original, resultam

A',, =

1

AQZQ

3

= - x 22,3 = 33,s cm2

A 2

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = I MNlmZ = 10 kdlcm'

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgflm = O,! tflm

I kN.m = IW kgfm = 0.1 1f.m I kN/mP = 1W kgflm' = 0.1 tf/mZ

I kNcm = 1W kgf.cm = 0.1 1f.cm I kN/m8= 100 kgflmg = 0.1 lf/rn3

I MPa = 0.1 kNlcm* = IW N/cm2


A título de controle dos valores calculados, determina-se a seguir a resultante das

forças internas na seção retangular original:

ZR, = [(As, + &d - (A,, + Asz)l fu, =

= [(18,5 + 33,s) - (10,7 + 19,7)] X 43,5 = 940 kN

1 3

ZR,= - (R,, + R,,) = - (655 + 920) = 2363 kN

A 2

Desse modo, resulta

4.4 EXERCICIOS 4.1 Como são usualmente apresentados os diagramas de interação para o.cálculo da flexão

oblíqua composta?

4.2 Qual a diferença que existe na representação correspondente às seções com simetria

simples e com simetria dupla?

4.3 O que se entende por superfície de interação naflexão oblíqua composta? Qual aprincipal

propriedade dessas superfícies?

4.4 Como se faz o cálculo por tentativas? Justificar.

4.5 O que são excentricidades acidentais? Quanto valem?

4.6 O que se entende por linearizaçáo dos diagramas de interação? Justificar o seu emprego.

4.7 Como são determinados os esforços para a transformação da flexão oblíqua em duas

flexóes normais?

4.8 Que simplificação de cálculo das seções retangulares acarreta o emprego de armaduras

iguais nas quatro faces? Justificar.

4.9 Quais os fundamentos do método de transformação afim das seções transversais?

4.10 Qual a vantagem em transformar a seção retangular numa seção quadrada, conforme o

método da transformaçáo afim das seçóes?

IN =O,Ikgf I MPa = I MNlma = 10 kdlcm*

l kN = 100 kgf = 0.1 lf i kN/m = 1W kgfim =O,] tf/m

1 kN.m = 100 kgtm = 0,l 1f.m 1 kNlm' = IW kgflm' = 0.1 lf/m2

1 kN.cm= 1M)kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kNima= lWl<gfIm*=O,l tflms

I MPa = 0.1 kNIcmk I00 N/cmz

PARTE 2

ESTADO LIMITE ÚLTIMO

DE INSTABILIDADE

5

Instabilidade

5.1. FUNDAMENTOS

5.1.1 INSTABILIDADE NA Considerando as barras retas axialmente comprimidas, verifica-se experimental-

COMPRESSAO AXIAL. mente que sob aaçáo de carregamentos crescentes pode ser atingido um estado limite,

FLAMBAGEM a partir do qual a forma reta de equilíbrio é instável. A carga correspondente a esse

estado limite é dita carga crítica Feri,, ou carga de flambagem. No regime elástico,*

para cargas F > F,,,, a forma estável de equilíbrio passa a ser a configuração fletida,

Fig. 5.1.1-1.

Nesse caso, diz-se que a mudança da forma de equilíbrio corresponde a um

comportamento simétrico estável. O comportamento é simétrico porque não importa

para que lado ocorrem os deslocamentos da barra, e é dito estável porque a configuração

secundária de equilíbrio é estável.

'FORMA

RETA INST~VEI

'PONTO DE, BIFURCASÁO

DO EQUILIBRIO

Fig. 5.1.1-1 in\iiibilidadr na cornprçbsio aniai.

O fenômeno de instabilidade das barras retas axialmente comprimidas pode ser

caracterizado pela presença do ponto de bifurcação do equilíbrio, no diagrama que

relaciona a carga F aplicada com o máximo deslocamento transversal a da barra.

IDefine~se o regime el6rliro como sendo aquele em que existe o <umporramrnto elasrico lineor dos mater

INSTABILIDADE 155

Mantendo-se o regime elástico, no entorno desse ponto são possíveis duas diferentes

configuraçóes estáveis de equilíbrio. Fig. 5.1.1-1.

Para os materiais estruturais, como o concreto e o aço, o estado limite de

flambagem é um estado limite último. De fato, conforme se mostra na Fig. 5.1.1-1,

para cargas pouco superiores à carga crítica, a flecha máxima já é igual a uma fração

apreciável do comprimento da barra, a qual se rompe entáo por flexao composta.

Em certos materiais, principalmente nas chamadas mutériasplásricas, como, por

exemplo, o celulóide e o acrílico, a barra pode resistir a cargas sensivelmente superiores

a carga de flambagem, pelo que o estado limite de flambagem deixa de ser um

estado limite último.

Em princípio, a determinação das flechas da barra para cargas superiores à carga

crítica exige que se empregue a expressão exata da equação diferencial da linha

elástica, ou seja,

1

onde - é a curvatura da barra, E1 o produto de inércia correspondente ao plano de

r

flexão e

o momento fletor.

Se, em lugar da equação exata (5.1.1-I), for empregada a equaçáo aproximada

ainda assim podem ser determinados os valores da carga critica, embora fiquem

indeterminadas as flechas da configuraçáo fletida, Fig. 5.1.1-2.

Fig. 5.1.1-2 Emprego da equafáo aproximada da curvatura

Desse modo, para a simples determinação da carga critica, basta empregar a

equação aproximada (5.1.1-2), obtendo-se, de acordo com a Fig. 5.1.1-3:

y = C, sen k x + C, cos k x

com

y = O para x = O, logo C, = O

e

I

X

dy - O para x = e, logo

dx

C, k k e = o

Fig. 5.1.1-3 Integraçáo da equação

aproximada da curvatura. resultando para a configuração fletida, com C, # O, o valor cos k = 0, logo

Para diferentes condições de contorno, obtém-se a expressão geral da fórmula de

Euler

onde o comprimento de flambagem e,* é dado pela Fig. 5.1.1-4 para os casos mais

usuais.

Fig. 5.1.1-4 Comprimentos de flambagem

As expressões anteriormente consideradas admitem implicitamente a existência

de um comportamento elástico linear do material da barra. Isso será verdade enquanto

a tensão critica de compressão uc,, for inferior ao limite de proporcionalidade f, do

material, ou seja, enquanto for

*Esta é a atual not~ão

adotada pelo CEB. A NB-i reteve a notagáo anterior e,

onde

i =

INSTABILIDADE 1

15' I

= raio de giraçiio

te

A = - = índice de esbeltez

1

Quando ucfir = f, tem-se

A = A,,,

= gE

Conforme se mostra na Fig. 5.1.1-5, afórmula de Euler é válida para h 3 h,,,, pois

nesse caso a flambagem se dá dentro do regime elástico.

Quando h < h,,,, a barra é menos esbelta, e ucnl > fo. hova-se que nesse caso a

expressão (5.1.1-4) ainda pode ser empregada desde que se substitua o módulo de

elasticidade E pelo módulo tangente

i- GCdl

~ 6 0 TANGENTE ~ ~ 0

f fc c .

TANGENTE

)i :-

I

Fig. 5.1.1-5 Curva de flambagem

Xl,m

O que se quer salientar é que o fenômeno de instabilidade das barras retas

comprimidas axialmente pode ocorrer tanto com tensões menores quanto com tensões

maiores do que o limite de proporcionalidade, sem que se altere a natureza do

fenômeno, que é o da mudança da forma de equilíbrio.

Todavia, quando não mais existe a elasticidade linear do material, é possível

provar-se que a mudança da forma de equilíbrio pode corresponder a um comportamento

simétrico instável,l3 Fig. 5.1.1-6.

P

o= flecha de referênclo

1

Fig. 5.1.1- 6 Flambage m além do limite F, dé proporcionalidade.

I

~

donde


Neste caso, para F > F,,, a forma reta de equilíbrio é instável e a forma fletidaé

impossível.

Quando se pretende aplicar uma carga F > F,,,,, por menor que seja o acréscimo

em relação a F,,,, será efetivamente atingido um estado limite último, pois a barra

passará à forma curva de equilíbrio impossível.

5.1.2 ESTABILIDADE DA A fim de ser ilustrada a possibilidade de a existência de uma configuração de equilí-

CONFIGURAÇAO brio, fletida e estável, para as barras originalmente retas e que foram comprimidas

FLETIDA DE EQUIL~BRIO axialmente, admita-se que após a flambagem exista uma linha elástica senoidal, Fig.

5.1.2-1.

Ix

/F

Com a hipótese adotada, têm-se:

a. linha elástica

71

y =asen -x (5.1.2-1)

e

b. curvatura aproximada

P

y =a.sen C x 1 = d2y = rr

t a ($1 sen-x (5.1.2-2)

r dx2 A

logo

1 E d2y = -

r dx2 (5)1 (5.1.2-3)

Observe-se que o emprego da equação aproximada da curvatura permite estabelecer,

para cada seção, a relação

Y 1

y = k -

r

(5.1.2-4)

I

Fig. 5.1.2-1 Linha elástica senoidal.

C. curvatura exata

3 -a (+I2 sen 71 x

- 1 dx2 - - (5.1.2-5)

r [1+(:)1"' [1+az(+)'cos2-x e

i

Considere-se agora o carregamento progressivo da barra, após a ocorrência do

fenômeno de flambagem.

A um aumento da força F corresponde um aumento das deformações da barra,

aumentando conseqüentemente os momentos fletores atuantes, dados por

,----+.

INSTABILIDADE

cujo valor máximo vale

Os momentos fletores atuantes F.y são consideradosmomentos externos, porque

são determinados pelas ações externas F e pelos correspondentes braços de alavanca,

que no caso presente são definidos pelos deslocamentos y da barra.

A cada configuração da linha elástica corresponde uma certa distribuição de

momentos fletores da barra. Em cada seção atua o momento

Neste caso o valor máximo age na seção a meio comprimento, sendo dado, com a

hipótese de elasticidade linspela expressão

.

-

-,---".

I

Estes momentos - . E1 são considerados momento., internos, porque são de-

!'

1

terminados pela rigidez E1 da barra e pela curvatura - da seção considerada.

r

Em princípio, o equilíbrio da barra será estável se a um aumento do momento

externo corresponder um aumento do momento interno, de tal forma que fique

satisfeita a condição de equilíbrio

~ --\- ~

I

L-.__d

Nas figuras seguintes está ilustrada a possibilidade de existência da configuraçáo

fletida estável.

Para que o equilíbrio possa realmente ocorrer, as funções M,,, e Me,, devem

necessariamente se cruzar, sem que com isso sobrevenha a ruptura do material.

a. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO SIMPLI-

FICADA

A necessidade de cruzamentodas funções M,,,e M,,,mostraaimpossibilidadede

se justificar a estabilidade da forma fletida de equilíbrio quando se usa a equação

diferencial sim~lificada da linha elástica, Fir. - 5.1.2-2.

Pela equação (5.1.2-3), tem-se

/-,

'\

r

M,,, = F.y

da condição de equilíbrio

Me,, = M,,,

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLlCITAÇOES NORMAIS

obtendo-se assim o valor da carga crítica

embora fiquem indeterminadas as flechas para cargas maiores que a carga de flambagem,

conforme se mostra na Fig. 5.1.2-2.

b. COMPRESSÃO CENTRADA -REGIME ELÁSTICO - EQUAÇAO EXATA

Quando se usa a expressão exata da curvatura, têm-se as expressões:

a) COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ELÁSTI C0 -

E quaçáo simplificada

Fig. 5.1.2-2 Estabilidade das formas de equilibrio

/

RUPTURA DO MATERIAL

Fig. 5.1.2-3 Estabilidade das formas de equilíbrio

INSTABILIDADE 161

C) COMPRESSÃO CENTRADA - ( GCrl+>fo) - EOUAÇÃO COMPLETA

L;;-

I ( rm,z f.

EsTivIL Mext = t,tint

FUNTK~O-L;NÉAR

PARA

f o= limite de proporcimali

A"*

Fig. 5.1.2-4 Estabilidade das formas de equilibrio.

I

'.-"-.!

i

1

onde y pode, em princípio, ser calculado a partir da curvatura - dada pela expresr

são (5.1.2-6).

Conforme se mostra na Fig. 5.1.2-3, enquanto subsiste o regime elástico as

funções Me,, e Min, cruzam-se obrigatoriamente num ponto, o qual corresponde a

configufação estável de equilíbrio. A estabilidade do equilíbrio é garantida pelo

andamento retilíneo da função Mi,,, a qual sempre interceptará a curva de M,,, para

<

valores de F > FCtit

Note-se porém que o equilíbrio somente poderá existir de fato se não ocorrer a

ruptura física do material.

c. COMPRESSAO CENTRADA - REGIME ANELÁSTICO I

I

No regime anelástico a função M., deixa de ter um andamento retilíneo, Fig.

i

5.1.2-4.

Desse modo, se a curva de M,,, tiver um andamento convergente com a curva de

Me,, correspondente a um certo valor F > F,,,, então será possível o equilíbrio estável

da configuração fletida de equilíbrio, desde que antes não ocorra a niptura material.

Neste caso a mudança de equilíbrio corresponde a um comportamento simétrico

estável.

Pelo contrário, se as curvas de M,,, e Me,, tiverem um andamento divergente, elas

não se cruzarão, não existindo equilíbrio estável para F > F,,,. Neste caso, tem-se um

comportamento simétrico instável.

5.1.3 FLEXAO COMPOSTA Considerando-se a flexo-compressão de barras esbeltas em regime elástico, Fig

DE BARRAS ESBELTAS NO 5.1.3-1, as suas flechas podem ser determinadas pela equação diferencial

REGIME ELÁSTICO ." . .


e,: O

FC,,I, EULER

1.0

Fig. 5.1.3-1 Flexáo composta de barras esbeltas no regime elástico.

onde

que pode ser escrita

sendo

A equação diferencial (5.1.3-3), por ter segundo membro, permite o cálculo das

flechas mesmo com o emprego da expressão aproximada da curvatura. No entanto,

conforme mostra a Fig. 5. 1.3-1, a equação simplificada da curvatura leva à falsa idéia

de que a carga crítica de Euler, correspondente a compressão axial, tenha algum

significado físico na flexáo composta.

- F F,,,

O resultado obtido com a curvatura aproximada -! = dZy

r dx2'

lim

a = m

não tem significado físico real, como se comprova pelo emprego da expressão

curvatura3gJ J,3=l,

/ C!nclui-se, desse modá que enquanto o m>al permanecerno reg^ elástica

I

nao existe problema de instabilidade na flexáo composta. Chegaremos novamente a

essa mesma conclusão no item seguinte ao analisar a estabilidade da configuração /

fletida das barras submetidas a flexão composta. /

--

INSTABILIDADE 163

5.1.4 INSTABILIDADE NA Considere-se agora o problema da estabilidade da configuração deformada das barras

FLEXÃO COMPOSTA submetidas ã flexo-compressão.

Para isso, admita-se inicialmente que a barra tenha uma linha elástica senoidal,

Fig. 5.1.4-1.

Fig. 5.1.4-1 Barra de eixo senoidal,

A hipótese de que a linha elástica seja senoidal é admitida, de inicio, como mera

simplifícação.

Esta simplificação, mais o emprego da expressão aproximada da curvatura levam

a uma expressão linear do momento externo Me,, em função da curvatura llr.

Com a hipótese adotada, têm-se:

,

,-

y = a sen-

x

i

b. curvatura aproximada

Para a justificação do aparecimento do fenômeno de instabilidade na flexão

composta, pode-se admitir a expressão aproximada da curvatura. Na continuação

deste item esta restrição será eliminada, juntamente com a hipótese de ser senoidal a

linha elástica.

Admitindo-se então a expressão aproximada

resulta

ou seja, em valor absoluto,

Enquanto perdurar a validade da equação diferencial aproximada (as rotações

dy/dx deverão ser desprezíveis em face da unidade), o momento externo Me,, será

uma função linear da curvatura da seção.

De fato, sendo e, a excentricidade inicial de I.a ordem, tem-se

(3 :

1

= F (e, + y) = F.e, + F - -

obtém-se para Me,, a função acima, que é linear da curvatura- , conforme se mostra

na Fig. 5.1.4-2.

r

RUPTURA DO MATERIAL

r EouaCÃo aPROxiMAOA oa

CURVATURA 1

~ a u ~ ~ í s ESTÁVEL ~ i o

ELASTICA

NAO-SENOIOAL

FLEXO- WMPRESSÁO NO REGINIE ELÁSTQ

NXO HÁ PROBLEMA DE ESTABILIDAPT

RUPTURA DO M4TERIAL

EQUIL~BRIO INST~VEL

EO~~L~BRIO ESTÁVEL

FLE xo -CDMPRESS;O

com rmox.7fe

INSTABILIWDE NA FLEXO- WMPRES~Q

Fig. 5.1.4-2 Instabilidade na flexo-compressão,

Para ser verificada a estabilidade das formas de equilíbrio, considere-se a possibilidade

de ser mantido o equilíbrio, dado pela condição

quando é dado um acréscimo a M,,.

Enquanto a barra permanecer no regime elástico, sempre haverá uma configuração

de equilíbrio estável, pois M,,, também será uma função linear das curvaturas.

Nesse caso, uma situação de mína somente poderá ser alcançada por ruptura do

material, Fig. 5.1.4-2. Pelo coneário, se for ultrapassado o regime de proporcionali-I \

dade, o diagrama de M,,, passará a ser curvo, surgindo então um novo fenômeno de \

instabilidade.

Na Fig. 5.1.4-2, esse fenômeno de instabilidade na flexão composta é caracterizado

pela existência de uma carga F,,, para a qual a reta Me,, é tangente a curva M,,,.

Para F < F,,,épossível o equilíbrio estável, e para F > F,,,, o equilíbrio é impossível.

~ -

Observe-se agora que o emprego da expressão exata dacurvatura ou a consideração

de uma lei não-senoidal para a linha elástica não altera os resultados anteriores.

De fato, abandonando-se as hipóteses simplificadoras a expressáp Me, deixa de ser

1

linear em funcão de - . Esse fato não altera a circunstância de sempre existir o

r 1

equilíbrio estável enquanto M,,, for uma função linear de -.

Somente a não-linearidade da função M,, permitirá o aparecimento do ponto de

tangência entre as funções Me, e M,,,, seja Me,, uma funçáo linear ou não, como se

pode observar na Fig. 5.1.4-2.

Na Fig. 5.1.4-3 estão reunidas todas as conclusóes tiradas sobre os diferentes

fenômenos que podem ocorrer com as barras comprimidas.

a COMPRESSÁO CENTRADA - REGIME EL/~STICO - EOUAJO SIMPLIFICADA

@ COMPRESS~O CENTRADA - REGIME ELASTICO - EOUAGLO COMPLETA

FLEXO- COMPRESSÁO - REGIME ELÁSTICO - EQUAÇ~O SIMPLIFICADA

FLEXO-~MPRESS~D - REGIME ELASTICO - EQUACÁO COMPLETA

COMPRESSAO CENTRAOA - REGIME ANELÁSTICO

@ FLEXO-COMPRESSÁO - REGIME ANELÁSTICO

Fig. 5.1.4.3 Estabilidade das formas de equillbno

Observe-se, Fig. 5.1.4-3, que no caso de flexo-compressão o equilíbrio é impossível

para F > F,. O ponto B não corresponde a uma mudança da configuração de

equilíbrio estável, mas sim a uma reversão do andamento das deformações. Antes de c

se atingir o ponto B, isto é, para F < F,,,, a um aumento de F corresponde um

aumento da flecha a. Pelo contrário, após ser atingido o ponto B, não somente é

impossível aumentar a carga, como a própria manutenção do equilíbrio somente será

possível com um sistema de deformaçáo controlada, pois o aumento das flechas

corresponde a uma diminuição das cargas.

Conforme se mostra na Fig. 5.1.4-2, o fenômeno de instabilidade na flexáo

composta é caracterizado pelo fato de que, para uma dada excentricidade inicial de l.a

ordem e,, existe um valor máximo daforçaaxial além doqual o equilíbrio é impossível.

Conseqüentemente, para uma dada força axial F = F, = constante, existe uma

excentricidade máxima de l.a ordem, além da qual o equilíbrio é impossível. Essa é a

excentricidade e,, .dt indicada na Fig. 5.1.4-4: com F = F,, para e, > e,, ., não há

equilíbrio, e para e, < e,, , o equilíbrio é estável.

-1ext

Equllibrlo

eat8ve1

I

y = k r

Fig. 5.1.4-4 Valor crítico da excentricidade de I.a ordem.

Na Fig. 5.1.4-5 está ilustrado o aparecimento do fenômeno de instabilidade em

função do momento fletor de I .a ordem M, = F e,.

M, 'MOMENTO FLETOR DE

I Ig ORDEM

M, =MOMENTO

I

FLETOR DE

I! ORDEM

RU~NA POR INSTABILIDADE

/

'

+

RU~NA POR

RUPTURA

DESLOCAMENTOS

ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE

RUPTURA

ESTADO

LIMITE ULTIMO DE

INSTABILIDADE.

Rig. 5.1.45 Estados Ilmltes últlmos na flexo-compressão

INSTABILIDADE 167

A presença do ponto de máximo relativo no diagrama da Fig. 5.1.4-5 indica que o

equilíbrio é impossível para o momento de l .a ordem M, > M,, ., e que o aumento das

flechas além do valor correspondente a M,, , somente seria possível em condições de

deformações controladas, para as quais haveria redução automática do valor de M,.

Para uma dada força normal F = F,, a segurança contra o estado limite último de

instabilidade na flexão composta é garantida impondo-se a condição de que, na

situação de cálculo,

a

M,, d Mi, .,t

De forma prática, conforme serávisto adiante, isso é feito levando-se em conta os

momentos de 2.a ordem no dimensionamento das seções transversais das peças

submetidas a flexo-compressão.

5.2 DEFORMAÇ ÕES Nota: A presente seção apresentaapenas os conceitos essenciais referentes ao cálculo

NA das deformações das peças fletidas que são necessários ao entendimento dos métodos

FLEXO-COMPRESSÁO

de cálculo da carga crítica relativa a instabilidade na flexão composta.

O estudo geral da deformabilidade das peças de concreto estmtural será feito

posteriormente, ao se estudar a segurança contra os estados limites de utilização.

5.2.1 DIAGRAMA Considere-se a deformação de uma barra submetidaàflexão simples. Da Fig. 5.2.1-1,

MOMENTO FLETOR- com as convenções de sinais nela indicadas, têm-se:

Por outro lado, considerando o alongamento da fibra TD, tem-se:

resultando então

logo

Aplicando a expressão acima as fibras extremas, têm-se:

pois c, < O e y, < 0, bem como E, > O e y, > O. Desse modo, resulta

a

No caso de uma viga de concreto armado, com deformações extremas E, no

concreto comprimido e E, na armadura de tração, resulta

(5.2.1-3)

onde

e E, sáo considerados em valor absoluto.

7

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES ~ORMAIS

6 O ALONGAMENTO

FLEXÁO SIMPLES

Fig. 5.2.1-1 Curvatura na flexão simples

Admitindo a linearidade física do material, têm-se

I

que é a equação diferencial da linha elástica das barras fletidas.

Dentro do regime de elasticidade linear o cálculo das flechas pode ser feito, seja

por integração direta da linha elástica, seja pela aplicação da analogia de Mohr.

5.2.2 CÁLCULO DE A Fig. 5.2.2-1 mostra o diagrama tensáo-deformação de um material que apresenta

FLECHAS COM escoamento bem definido e o diagrama momento fletor-curvatura correspondente a

NÁO-LINEARIDADE um dada seçáo transversal retangular. Para tensóes acima do limite de proporcionali-

FíSICA dade, o diagrama é determinado por pontos, impondo-se o diagrama de

deformações na seçáo transversal e calculando-se o correspondente valor do momento

fletor.

O momento fletor Mo correspondente ao inicio do escoamento vale

e a respectiva curvatura é dada por

I

O momento fletor último vale

ou seja

sendo

I

1 O

RUPTURA

E

I

I

I

I

I

I I I

I

I L: 2- I

r. r" r.

-

I

r

Fig. 5.2.2-1 Diagrama momento-curvatura.

L/

Para o cálculo das flechas de uma dada viga, Fig. 5.2.2-2, a partir do diagrama

r de momentos M, conhecendo-se o diagrama correspondente a seção consi-

I

.. p

derada, determina-se o diagrama de curvaturas

r

obtém-se a flecha por meio da analogia de Mohr.

/'

/"

Fig. 5.2.2-2 Determinação do eixo deformado no regime anelástico.

5.2.3 DIAGRAMA Conforme se mostrana Fig. 5.2.3-1, naflexo-compressãoacurvaturadabarranãovai

MOMENTO FLETOR - depender da deformação total E de suas fibras, mas tão somente da diferença E - 80

FORCA NORMAL - entre a deformação total e a deformação da fibra situada no nível do centro de

,

CURVATURA

ou seja, tem-se

Fig. 5.2.3-1 Curvatura na flexo-campressáo.

Desse modo, resultam as seguintes condições de compatibilidade de deformações

em função da curvatura:

no concreto

i

I

i

1-8 - E

- - eu logo

r YC

na armadura

1 - &ai - E0

r

--- logo

Ysi

~~ -

INSTABILIDADE 171

e uma vez conhecidos os diagramas tensão-deformação, tanto do concreto quanto do

aço, ficam determinadas as tensões

Por outro lado, das condições de equilíbrio na flexo-compressão, têm-se:

N = 1 o, d A, + 2 o, A,,

Desse modo, os esforços solicitantes M e N podem ser escritos

~~~ ~~~ ~ ~~~ \

~~~.

\..

_-------A-

_ /

,'

_ /

__--/

As expressóes acima permitem a determinação de M e de N em função de -,

P.2 i -~

- , - ~-

tomando-se E~ C mo parâmetro a ser determinado por condições limitès; .~.

O parâmetró E, é determinado a partir das condições

.

_ __ T~.-~-~-

- Yc1

i Ec, mar. = 80, mos. + - sEcd. tim = (3,5%0 S EC,~ S 2%0)

L J

-~./~-.: r . .. -~ ~~~

-. -~

OU

Ysi 2 <

li", = '7 10%o

&si, mas. = &O, mo*. + - - E*&

,

r

~. . .

. -

1'

onde y,, e y,,, , são as ordenadas extremas referentes, respectivamente, ao concreto

mais com~rimido e a armadura mais tracionada.

Com as expressóes acima podem ser determinados os diagramas

para uma seção transversal conhecida, pelo processo iterativo seguinte:

h

(1)

4

Adota-se um valor de,

i

(2) Adota-se um valor de E,,

i

1

(3) Calculam-se M e N (para o valor T- escolhido)

1

(4) Adota-se um novo c,>(até se chegar a e ,)

1

(E,, < E,>. ma.

(e,, =

e,,, ,,..I

r - - - - - - - - - - - - - - - - -

(5) I Adota-se um novo valor de f

- - - - - - - - - - - -

CEB Boletim 103 (vide a notacão no )

FIG 5.2.3-3

TAáLE 2:::-1 I;Ci:'.::T-:3tiil':i.,:i:SsE FGR 4 = O and 4 r 2, RECTANGULAR

SECTION,COXNER REINFORCEMENT c6 = 0.2 % d'/h = 0.1

)

O ...........

. . . e . e . . . .

. .....

-

,"&%C.N

.-- --r" ..

. ..... ..... .....

N

S . . . . . . a .

C-O*Cri

a. ..... ..... ..... e . . . . .

..... ..... e

..... . . . a .

- N - .

. . , .

"moo* "-.-4.- .-.-_IA,". .,l"-Ci -C?-.-. **".-r '.C.,ri"

C -~rieo --orne. R--*- *-.,=C -c<-* .L-,%-- a-:o<w.

?v -.--,N .--w.. --h?, N?.,

.....

.

O.,*IDn ir*<.,,-, .,r*<- o . c . . .>?.r.'- ir.-.,?.

.-*-OU0 m-Oov,o .,=r,un <-*Nu r.non- n a o r o unr.Ln m*,v,u..

- -7- m -

.

.

OCOan .,e.--o na&"- h.Od".* D.".>NC LI0C.T. c-.- . hCF.CII

N"-L<O -..-N"c3 -"C.-- Ern'L.*" o".-F." -C->)- NE--rC *-"--O

- --N -.--,v .-L-- CNNCI --h-- C-5v.m ..-.,,-.

. ..... ..... .....

. . . S . a , . . . e . . . . .

*"-"L.,

,.?.-,O *e..,-o e . -,.o., .-N?"- c*..-.-- "C,. . 4-.".n

- .--N --NN .-ZN,? C--.-._ -L-,.,- ---.C. C-...".

.--A, ---A, -.--,., -A,-." . ..

. . e . .....

e . . . .....

.,.,C"* UI\.CNN -C+.,- *"VNY 0m.r)r.U .-..C.*"

. . S . .....

","".-.,,

"

C

I . OL"Y."

..... a . * e . . -r-n.0 CIIUl.P C..-.--

a , . . .

/ "C-%" ,.O.,*- V"V.491 ,.-.--C ..-">r,.. ".*.-"r. " *,..--o

- -.-'h.. .--nr.- Cnl." C-."., L..*.* C...""

..... *-..r.- ..... . . . . a <.,r-- *---a ..... , . . . CLCOW

OOC..N

-I r-

NO"

-".-a-

.-Ye.A,_

h--*m

nono-

--.-NN .--*-.,

P.e.0-

nO*RO

'NNO*

e.--".*

..NQUIN

.-NN*"

,"ou.--

--o--

.-NO_.,

Dim-3e.N

iceou-

C*,,.,..

- - c-.-,"

r -,..,"a O"*.,. 4004. -"-NO

. CQmO- ,.-.,,,r "Oro- ---.,o

--*N" --.v.."

:

O -0a~a4 a o---n NO-*-

ncn-o mr-mo man-o

-

0'.

: ...............

.--.wm -*nn

.

. . e . .

. e . .i.*.

r( n e

Fig. 5.2.3-2 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

INSTABILIDADE 173

Fig. 5.2.3-3 Diagrama momento fletor-for$= normal-curvatura.

Fig. 5.2.3-4 Diagrama momento fletor-força normal-curvatura

Fig. 5.2.3-5 Diagrama momento fletor-força normal-curva!

INSTABILIDADE 175

IA1

Na Fig. 5.2.3-2 estão reproduzidos os dados correspondentes aos diagramas

.\

(M - N - - de seções retangulares com armaduras iguais concentradas nos qual)

r

tro cantos da secão.

Algumas das funções tabeladas na figura anterior sáo apresentadas na Fig.

5.2.3-3.

Observe-se que, de início, para valores baixos da força normal, para uma dada

curvatura, a um acréscimo de N corresponde um aumento de M. Todavia, para

valores de v > 0,5, esta tendência se inverte. A um aumento da força normal

corresponde um abaixamento do diagrama

última que pode ser atingida pela seçáo transversal.

As Figs. 5.2.3-4 e 5.2.3-5 mostram os diagramas

, diminuindo também a rotação

correspondentes

a seções retangulares com armadura simétrica, nos casos, respectivamente, de aços

CA-50A e CA-SOB, para uma taxa mecânica o = 0,2.*

5.2.4 CARGAS DE LONGA Na presença de cargas de longa duração o concreto sofre aumento de deformações ao

DURAÇAO longo do tempo. Com isso, são aumentados os momentos fletores de 2.a ordem e,

conseqüentemente, fica diminuído o valor critico dos momentos de I.a ordem, Fig.

5.2.4-1.

e, = EXCENTRICIDADE DE I ORDEM.

er = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM. IOEFORMAFXO INSTANT~NEA i

e = EXCENTRICIDADE DE 29 ORDEM (FLUÊNCIA)

\

e,+% *a+ et+ e*,,

CARGA OE LONGA

.

Fig. 5.2.41 Cargas de longa duração.

No caso da Fig. 5.2.4-1, a parcela F, da carga age em caráter permanente,

reduzindo a parcela F, da carga variável que posteriormente poderá ser aplicada. Para

a determinação da influência da deformaçáo lenta admite-se a teoria da deformaçáo

'Diagramas elaborados pelo Eng. Roberto Buchain nodesenvolvimentode sua Disserta~áode Mestrado na EPUSP. soba

0"e"tagào do Autor 'O

JBTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

lenta linear, onde

E,, = 'P E,

sendo <p o coeficiente de deformação lenta.

Para a determinação da carga critica pelo método geral, pode-se proceder da

- mesma maneira que no caso de deformações instantâneas, admitindo porém o diagrama

tensão-deformação do concreto, conforme se indica na Fig. 5.2.4-2. Esse

diagrama é obtido a partir do diagrama parábola-retângulo por meio de uma afininidade

paralela ao eixo das deformaçõesLNa_Fig. 5.2.3-2 já foi apresentada uma

tabela (M - N - .!) comespondente a p =

\

\

Fig. 5.1.4-1 Diagramas tensão-defurma$ão.

c ri r lp 3 SQ

a

Observe-se que, embora seja adotada a teoria linear da fluência, essa linearidade

é apenas referente a deformabilidade do material. Não existe a linearidade física do

sistema e, além disso, não é válido o princípio da superposição dos efeitos, pois não

existe a linearidade geométrica, a qual não pode existir quando são considerados

efeitos de 2.a ordem. Por esse motivo, sendo e, a excentricidade instantânea de 2.a

ordem, essa deformação ao longo do tempo não será obtida multiplicando-se o valor e2

por (1 + v), pois a fluência afeta apenas uma das parcelas das deformações que

definem a curvatura, sendo genericamente

Tendo em vista a simplificação do cálculo, o CEB* apresenta dois métodos

aproximados para a consideração da fluência. Num deles transforma-se o efeito da

fluência numa excentricidade suplementar equivalente. No outro admite-se a expres-

são acima, tomando-se porém em lugar de (1 + (P)E< O valor-(i + apV)&,; onde a é a

fração da força normal que produz fluência e

também produz fluência.**

é a fração do momento fletor que

5.3 CÁLCULO DA

CARGA CRÍTICA

PELO MÉTODO

GERAL

5 3.1 FUNDAMENTOS DO A determinação da carga crítica pelo método geral é feita através do cálculo de

METODO GERAL deformações da estrutura, considerando-se tanto a não-linearidade física do material

quanto a não-linearidade geométrica do sistema.

O método geral é aplicável a qualquer tipo de estrutura, podendo portanto ser

empregado para a determinação da carga crítica de barras de seção variável com

qualquer tipo de carregamento, Fig. 5.3.1-1.

Observe-se todavia que o trabalho material necessário a aplicação do método

geral é muito grande. Por esse motivo, no caso de pilares de seção variável, é

recomendavel o emprego do método doguilíbrio_pm o processo do deslocamento de

referência, conforme está m"oSfi"d~ no item 5.5.1.

Fig. 5.3.1-1 Casos de aplicação do método geral

I

-cro - c6digo Modelo.

**A aplicação sistemática desses métdor aproximados será feita na 3.a pane deste volume. ao se tratar do dimensionamento

de pilares não-contraventados e de estruturas de contraventarnento.

Em princípio deve ser determinado o diagrama carga-deslocamento, adotando-se

para isso um parâmetro a que represente o carregamento aplicado e escolhendo um

deslocamento y que sirva de referência para aaferição daestabilidade daconfiguração

de equilíbrio, Fig. 5.3.1-2. Este é o fundamento do processo de carregamento progressivo

adiante considerado.

Fig. 5.3.1-2 Processo de carregamento progressivo.

A presença de um ponto de máximo relativo nesse diagramacaracteriza ainstabilidade

do sistema, podendo assim ser determinada a carga crítica correspondente.

a determinaçáo da carga crítica pelo método geral, em alguns casos é conveniente

do carregamentoprogressivo proporcional, adiante descrito, Fig. 5.3.2-1.

exato e deve ser empregado em peças de grande esbeltez ou que

variável ao longo do seu comprimento. O processo é

.$

a. O carregamento da estrutura é aplicado por incrementos progressivos AF,, partindo

de zero e aumentando-se todas as açóes proporcionalmente ao mesmo

coeficiente a, tomando como carregamento de referência, por exemplo, as cargas

F de serviço. 4

b. Para cada etapa de carregamento aF, calcula-se o deslocamento y,,de uma seção

de referência. Para o cálculo da flecha y,, correspondente ao carregamento

a,.F = AF, + AF, + . . . .AF,, além dos efeitos de I.a ordem devidos a cargaa,.F

são considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes das deformaçóes devidas

ao carregamento a,-,.F da etapa anterior.

amento crítico é obtido através do valor a,,,.F para o qual tend

diagrama carga-deslocamento.

do método exato, basta ter-se a disposição meios para o cálculo

do deslocamento y de referência.

é suficiente o conhecimento da analogia

apenas da grandeza dos incrementos .i

de carga aplicados. Quanto menor o valor desses incrementos, maior será a precisão

conseguida.

Nas estruturas hiperestáticas, em cada etapa de carregamento deve sei resolvida

a estrutura, considerando-se simultaneamente a não-linearidade geométrica do sistema

e a náo-linearidade física do material.

INSTABILIDADE 179

I? ETAPA

Fl

F, .e,

no ETAPA

AF, +.. AFn

CARREGAMENTO

APLICADQ

~ig. 5.3.2.1 Processo das excentricidades progressivas

No processo de carregamento progressivo proporcional, as excentricidades das cargas

são mantidas constantes, com seus valores verdadeiros, variando-se apenas o

PROGRESSIVAS módulo das forças aplicadas.

Em princípio o carregamento critico também pode ser determinado mantendo as

cargas constantes, com seus valores de cálculo, variando-se progressivamente as

excentricidades de ordem, até serem atingidos os seus valores cnticos e,, ,

Esta outra formulação do método geral é aqui apresentada com a finalidade de se

ilustrar a determinação do carregamento critico quando se faz constante o valor da

força normal, variando-se apenas a excentricidade de ordem.

A Fig. 5.3.3-1 mostra um exemplo de aplicação.

Como no processo anterior, o cálculo é feito por etapas. Na primeira etapa

aplica-se a excentricidade e,, , = Ae, e calcula-se a flecha y,, de uma seção de

referência, desprezando os efeitos de 2.a ordem. Nas etapas seguintes, considera-se a

no ETAPA

CARREGAMENTO

APLICADO

DESLOCAMENTO

CALCULADO

LF

K--

F~"., Ee,,"

CARREGAMENTO

APLICADO

~ig.5.3.3-1 Etapas do processo do carregamento progressivo.

INSTABILIDADE 1%

deformação da estrutura provocada pela excentricidade da etapa anterior.

O valor crítico da excentricidade é obtido como o valor assintótico e,, , do

diagrama (e,, ., Y,).

É importante assinalar que, uma vez conhecido o diagrama (e,, y), também pode

ser construido o diagrama (M, y), Fig. 5.3.3-2, onde

pois

Mi = F.y

Rg. 5.3.3-2 Determinaçáo do valor cntlco do momento de 1 " ordem

Reciprocamente, se puder ser traçado o diagrama (M, y), pela subtração do

momento de 2.a ordem M, = F.y, pode ser obtido ovalor crítico M,, ,. Esse caminho

.,.., será seguido no processo do pilar padrão, examinado a seguir.

Fig. 5.3.4-1 Pilar pidráo.

Conforme foi visto anteriormente, a aplicação do método geral de cálculo com o

i

processo exato de carregamento progressivo proporcional exige, em cada etapa de

carregamento, o cálculo das deformações da barra por meio da integração do diagrama

de curvaturas. O trabalho material resultante é em geral excessivo para o cálculo

manual.

Tendo em vista uma simplificação do método geral, criou-se o conceito depilar

padrão, aplicável a barras de seção transversal constante, inclusive a armadura, ao

longo de todo o seu comprimento.

,*r a_~e&ítZ":

p . 2

P

,- '-"

2

Pilar padrão é um pilar em balanço com uma distribuição de curvaturas que

provoque na sua extremidade livre, Fig. 5.3.4-1, uma flecha a dada por

ez e: I.

. -a = 0.4 (T) = - (-) (5.3.4-1)

a .% ---~.~~ ,

base 10 r .se

Obseri ~ação:

h,,. -:I

ivu piar padrão admite-se que a flecha máximaa seja uma função linear da curvatura

da seç ão da base.

182 ESTRUTURAS DE CONÇRFTO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

b. Fundamento do conceito:

Frequentemente a linha elástica na flexão composta pode ser substituída de forma

satisfatória por uma função senoidal, Fig. 5.3.4-2.

Desse modo, sendo

têm-se:

I

?T '7r

e e

* (3

y' = -a - cos - x

y" = a - sen - x

e fazendo

obtém-se a curvatura da seção média

Nessas

\'xz-lcondições,

a flecha máxima a pode ser escrita sob a forma

1 -----..-_L

Considerando-se agora a viga em balanço, sendo

resulta ,+ ,-

/ . +fl-

.h-+'

a

eZ

= L ($1

.O\>.

10 nose

" i

~onAi-se, pÓrtanto, que o pilar padrão é um pilar em balanço, com uma linha

elástica senoidal. A flecha máxima, que depende apenas do seu comprimento e da

curvatura da seção de engastamento, é uma função linear dessa curvatura na seção da

base do pilar.

5.3.5 PROCESSO DO PILAR O processo do pilar padrão segue o caminho delineado anteriormente com o processo

PADRÃO (COM O MÉTODO das excentricidades progressivas. A possibilidade de ser seguido esse caminho de-

GERAL) corre da propriedade básica do pilar padrão, a saber:

- Yestremidade liure = (5.3.5-1)

/

.*'

- ,.~

*,-

./"

Desse modo, pode se; construido o diagrama da Fig. 5.3.5-1, diretamente a

partir do diagrama

da seção transversal da base do pilar padrão, sem

a necessidade de integração das curvaturas ao longo do comprimento do pil,

INSTABILIDADE 183

Fig. 5.3.5-1 Método geral com o processo do pilar padrio.

Para uma dada seção transversal, sendo conhecido o diagrama

mitindo-se um certo valor da força normal N, pode ser traçada a curva do momento

interno resistente

Mj,, = função -

O momento externo solicitante vale

Mmt = MI + MZ

onde

M, = momento de I .a ordem

M, = momento de 2.a ordem

Na seção da base, tem-se

i/ L,'

lembrando que se admite que a força normal N = F não fique alterada por efeitos de

2.a ordem.

Admitindo-que se tenha um pilar padrão, será

logo . ~. . C- ^

%-.

e:

.- ~:,

?+? M2, .a* = N - (+) :.

1 o

..

Desse modo, Fig. 5.3.5-1, na seção da base, do momento interno disponível Mjnt,

C_<%j.. .

"nsr . .

ESTRUTURAS DE CONCRETO. sOLICITAÇOES NORMAIS

restará para as solicitaçóes de 1 .a ordem a parcela

M1. bme = Mil - Mz, base

-

cujo valor máximo M,, C,, corresponde ao estado limite último de instabilidade. Com

esse cálculo foi obtido 1 ponto do diagrama de interação (N, M,),,,,, para um certo

valor de e,, Fig. 513.5-2.

Fig. 5.3.5-2 Diagramas de interaçao.

1i

Repetindo o cálculo para diferentes valores de N, tem-se o diagrama de interação

da seção considerada, parateconhecido, Fig. 5.3.5-2. Nocaso de seçóes transversais

que difiram apenas pela taxa de armadura o, podem ser traçados diagramas adimensionais

de interaçã-o (P,, vcrit)r +emp~ew:p?~~-~_dado0~~!~~,~~omp

... ~. de

flaeagem .%---- daj-eça, -~. Fig__3.5,2,-. .-

. Para a apresentação dos resultados, em lugar dos diagramas de interação sugeridos

pela Fig. 5.35 2, podem ser adotadas tabelas de interaçáo, como a que é mostrada

na Fig. 5.3.5-3, a qual foi realmente calculada com o processo do pilar padrão."j~17

As Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5 mostram diagramas de interaçáo calculados apartir dos

diagramas (momento fletor-força normal curvatura) calculados para os aços nacio-

nais, conforme indicado em B 5.2.3.18

3

Note-se, finalmente, que o processo do pilar padrão com o método geral conduzirá

ao resultado exato se a linha elástica for realmente senoidal. Isso acontecerá

quando a barra for de seçáo transversal constante e náo houver cargas transversais.

No caso de existirem cargas transversais, o processo pode ser melhorado, chegandose

ao chamado "processo do pilar padráo corrigidoM.*

'CEB - Manual de Flarnbagern.'" ''

fl:

O m ."

*-o

O .i 4

S . .

C. Q N

C W O

C. o-lV

- S . .

4:

0

n o--N ocnc r-**

....

10nm-

*">NO

O-.",

....

d

*I,

- l

H *?-DQO

. O-.i."r,

- . . . e .

O *

O

O

O o

" ."

O .-

o "

m - N .i

N '. O I,

"O O O

.. ..

1> 0 r I

',I ,V

-VI

0

.-

O 0

. ..

r-0.8"

O IZ

w m in n C

o o - o o

e . . ..

nom ONVI

VI a" a>

o

... .- ...

-

YICNN m c n

i" "> N NC O

00-N 00-

.... S

COJVI

22:: O U, C1 O

Orr.N o--.-

.... ....

oon?

?.,rn*

..... . . e .

aa~n-

O*OQN

ooii-N

..... , .....

-."o

-0-4

. .

-.,as-

NDm-m

I 1 - U N 00-r

~ . ~ N Y o .

.,-mil-

Od-Nn

..e... .. -L.~.

Fig. 5.3.5-5 Diagramas de interação (M,,, N,) para pilares esbeltos.


5.3.6 EXEMPLOS Apresentam-se a seguir exemplos de cálculo, nos quais são empregadas as tabelas da

Fig. 5.3.5-3, que foram preparadas empregando-se o processo do pilar padrão com o

método geral.

, -'

I /EXEMPLO NQI.

Fig. 5.3.6-1 Exemplos.

fck = I5 MPa = 1,5 kN/cm2 y, = 1,4 f,, = 1,07 kN/cm2

0,85 fcd = 0,91 kN/cm2

,

I ACO CA-SOA (fUd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2) 1

Considerando a excentricidade adicional e,, sendo 1

tem-se:

e, = e, + e, = 13 + 2 = 15 cm.

J

Calculando-se os valores reduzidos:

IN =0,1kd 1 MPa = I MNlm" IOkgflcm'

IkN =IWkgf=O,ltf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100kgf.m = 0.1 tf.m I kNlmZ= 100Wlm" =0.1 tflm2

I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNlmh 11M kgflm5 = 0.1 tflm'

I

I MPa = 0.1 kN1cm2 = 100 Nlcm'

INSTABILIDADE

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolaçáo entre os valores apresentados,

obtêm-se:

-

8,lh = 600160 = 10

v. = 035 (entre v, = 0,80 e v, = 0,901

/

o, 0,29

-

A,, ,O,,, = 2134 cm2 = 4 x 5,46 cmZ = 4 x 3 + 16 (4 x 6,0 cm2) v

-

/

b. Exemplo n." 2. e, = e,, = 5 cm

;Y g,66~

= -=

62

logo

A excentricidade de I .a ordem vale:

e,=ei+e,=5+2=7cm /

( - v, = 035 v'

Da tabela da Fig. 5.3.5-3, por interpolação entre os valores apresentados,

obtêm-se:

8,lh, = 600130 = 20

v. = 035

o, = 0.39 /

po = 0,198

5.4 CÁLCULO DA

CARGA CRITICA

PELO MÉTODO DO

EQUILIBRIO

A,, , , = 2 A, = 2 x 14.69 = 29,37 cmZ J

A,, ,O,,,

= 29.37 cm2 = 4 x 7,34 cm2 = 4 x 3 4 20 (4 x 9,45 cmz)

5.4.1 O MÉTODO DO Conforme foi visto no item anterior, adeterminaçáodacarga crítica pelo métodogeral

EQUILIBRIO exige sempre o traçado completo de um diagrama esforço-deslocamento.

"- fato. com o processo exato do carregamento progressivo deve ser traçado o


*'

diagrama completo (F, y). Com o processo exato das excentricidades progressivas

deve ser traçado o diagrama completo (M,, y). Com o processo do pilar padrão, que é

suficientemente preciso apenas quando a barra é de seção transversal constante,

inclusive a armadura, e não existem cargas transversais aplicadas, também deve ser

traçado o diagrama completo . A vantagem do processo do pilar padrão

( :)

que a do diagrama (M, y) ou do diagrama (F, y).

reside no fato de que a obtenção do diagrama M,, - é muito menos trabalhosa

A idéia central do método do equilíbrio é proceder à verificação da segurança

contra o estado limite de instabilidade sem o traçado de um diagrama completo

esforço-deslocamento. O método do equilíbrio faz a verificação, calculando apenas 1

ponto desse diagrama.

1 5.4.2 MÉTODO DO Conforme já se sabe, a carga crítica pode ser calculada pelo método geral,

!, EQUILIBRIO. PROCESSO empregando-se o processo do carregamento progressivo ou o processo das excentri-

',.DO DESLOCAMENTO DE cidades progressivas, conforme se ilustra na Fig. 5.4.2-1, a qual resume as idéias já

,~

'*.

REFERÊNCIA

discutidas anteriormente.

Com ambos os processos a carga crítica é determinada quando a flecha y , da

seção de referência tende a uma assíntota paralela ao eixo das abscissas.

O método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência consiste

em se garantir a segurança contra o estado limite de instabilidade através da verificação

de que, sob a ação do carregamento de cálculo F,, ou da excentricidade de cálculo

e,,, a flecha y,,, , da seção de referência corresponde a uma configuração estável de

equilíbrio.

Fig. 5.4.2-1 Processa do deslocamento de referência

INSTABILIDADE 191

Com isso, calcula-se apenas um ponto do diagrama esforço-deslocamento, conforme

mostra a Fig. 5.4.2-2.

Para a constataçáo da estabilidade da configuraçáo de equilíbrio, procede-se por

etapas como indicado na Fig. 5.4.2-3.

Fig. 5.4.2-2 Modos de aplicação da processo

desconhecida

fFd

YFd YFd

colculo de y, cálculo de y 2

cálculo de y n

I* ETAPA Z"ETAPA n9ETAPA

rig. 5.4.2-3 Etapas do processo do deslocamento de referência.

Na primeira etapa calcula-se o deslocamento y, considerando apenas os efeitos

de l.a ordem. Qualquer que seja o tipo de carregamento ou de variação de seçüo

( , i)

transversal, dispondo-se dos diagramas M N, - podem ser calculadas as fle-

chas y,.

Na segunda etapa já se considera a configuração da barra com as deformações

calculadas na etapa anterior e assim sucessivamente.

As flechas calculadas y,, y,, ... , y ,_,, y, constituem-se numa sequência que,

quando convergente, comprova a estabilidade da configuração de equilíbrio.

Observe-se que pelo fato de. a sequência ser construída a partir da flecha y,

decorrente apenas dos efeitos de l.a ordem, quando ela for convergente o equilíbrio

será estável, pois ele corresponderá necessariamente ao ramo ascendente da curva

(F, yve,).

A convergência da sequência pode ser constatada numericamente. Quando ela

ocorre, sabe-se que o ponto Fd estáabaixo do ponto F,,,. Nesse caso fica provado que

a estrutura tem segurança superabundante, embora náo se saiba quanto de exagero

- :.- está sendo cometido.

,~-

1,'

5.4.3 MÉTODO DO métododo equilíbrio, com o processo do pilarpadrão, a verificaçáo dasegurança

i EQUIL~BRIO. PROCESSO arbitrando-se deformações 8, e E, tais que nüo ocorra o estado limite último de

1,

DO PILAR PADRÃO ou de alongamento plástico excessivo na seçáo mais solicitada da peça. Com

1

.-. /essas deformações são calculados os valores de: -, N,., e M,,,.

I

r

A peça será considerada segura contra o estado limite último de instabilidade na

flexão composta se forem simultaneamente satisfeitas as condições, Fig. 5.4.3-1:

onde

10 arbitrado

(5.4.3-4)

1

'int

ÚNICO PONTO CALCULADO

//

/#L--

/'

/

/

/

I 0 ,0

/ /'

I

(TI

mo..

0'

/0

-

e : 2 P 2

I-) I

2 10 r orbllrodo

repão mais witcitodo

M,"+

= c,

-

I

r

,

C"AL0,

ARBITRADO

Fig. 5.4.3-1 Método do equ~librio com o processo do pilar padrão.

INSTABILIDADE 193

O método do equilíbrio com o processo do pilar padrão é baseado nas seguintes

considerações:

1. Arbitrando-se as deformações específicas E, e E, das fibras extremas de uma seção

transversal, ficam conhecidos os valores de:

a. curvatura - 1 - E* - + E,

r d

b. força normal resistente .Nint = R,, + R; - R,

c. momentojletor resistente M,, = S (dos momentos de R,,, Ri e R,)

As deformações arbitradas náo devem superar os valores correspondentes ao

estado de ruptura ou de deformações plásticas excessivas.

Em lugar de E, e E, poderiam ter sido arbitrados diretamente os valores de E,,

1

deformação da fibra no nível do centro de gravidade, e de -, curvatura na seção

r

considerada.

Observe-se, na Fig. 5.4.3-2, que à medida que aumenta a força normal resistente

N,,,, diminui o valor da excentricidade interna e,., correspondente à mesma

1

curvatura -. Isso pode ser constatado, por exemplo, pelos resultados mostrados

r

anteriormente na Fig. 5.2.3-3, sendo, em geral, verdade pelo menos para v a 0,s.

,

i Y&LOR FIXADO

/---

.R.--r- AUMENTbNOO-SE O VALOR

Kg. 5.4.3-2 Influência da intensidade da forca normal

2. Admitindo-se que a flecha máxima a seja uma função conhecida da curvatura da

seção mais solicitada, os momentos de 2." ordem podem ser calculados em função

das deformações específicas arbitradas para essa seção.

Adotando o conceito de pilar padrão, tem-se

3. A peça será considerada segura contra o estado limite de instabilidade se forem

satisfeitas simultaneamente as condiçóes seguintes, Fig. 5.4.3-3:

Observe-se que a condição ei,,, a e, + a não pode ser substituída pela condição

Mi,,, a M, + N,a, pelo fato de ser N,,, a N,. Essa substituição somente seria lícita se

fosse Ni,,, = N,. De fato, da condição


i

F M ~ O ((ti

Nint 5 VALOR

JIL~BRIO ESTÍVEL SE

FOSSE N,", : Na.,

e2=a

I

Fig. 5.4.3-3 Verificação da estabilidade com N,,, = Nd,

sendo N,,, 2 N, e M,/N, = e,, obtém-se

I

I

ou seja, dessa condição resulta 1

e,,, (um número desconhecido menor do que e, + a)

I

concluindo-se que ela não se constitui numa condição de segurança.

Desse modo, a condição de segurança relativa aos momentos fletores obrigato- ,

riamente deve ser feita em função das excentricidades, pois N,,, 3 Nd. Com essa

1

verificação, a partir do valor arbitrado de -,

r

5.4.3-4.

obtém-se o valor limite de e,, Fig.

Fig. 5.4.3-4 Verificaçáo da estabilidade com N,, > N,.

INSTABILIDADE 195

4. Com o método do equilíbrio, a verificação de segurança contra o estado limite de

instabilidade é feita através da constatação da existência de um estado possível de

equilíbrio com N,,, 2 N,. O método garante a segurança mas não dá a solução

ótima, pois não fica determinado o grau de superdimensionamento existente.

5.4.4 PROCESSO O processo simplificado do equilíbrio corresponde à aplicação do método do equilí-

SIMPLIFICADO DO brio com a restrição suplementar de que a curvatura da seção mais solicitada é

EQUIL~BRIO arbitrada com um valor convencional.

O processo simplificado do equilíbrio decorre da observação de que, para

_* $ 1

muitas formas de seção transversal, a curva de h.Z, em função de -, para um dar

do valor de N,,,, tem andamento próximo de um diagrama bilinear, Fig. 5.4.4-1

I

Fig. 5.4.4-1 Processo simplificado do equilibrio.

I

(r),, convencioml

Esse fato pode ser constatado de modo muito claro nos diagramas das Figs.

5.2.3-3 a 5.2.3-5.

Nessas condições, para barras não excessivamente esbeltas, o ponto de tangência

correspondente à situação crítica está muito próximo do ponto correspondente à

capacidade última relativa a barras de esbeltez nula.

Surgiu assim o processo simplificado do equilíbrio, que engloba a verificação da

segurança contra a instabilidade na flexão composta dentro do próprio processo de

dirnensionamento da seção transversal.

Para isso, a capacidade última da peça é calculada, como se a esbeltez fosse nula,

com os esforços

onde Mjd engloba todos os efeitos de 1 ."ordem, inclusive os decorrentes da excentricidade

adicional e,, sendo

Observe-se que neste caso a segurançapode ser medidaem função dos momentos

M,, não sendo necessário recorrer-se as excentricidades, pois no dimensionamento é

imposta a condição Ninr = N,.

O valor adotado para a curvatura última - é um valor convencional, ajus.

(:),,

tado em face de verificações feitas para diferentes seções transversais.

Para cálculos rápidos o Código Modelo do CEB recomenda o valor

/

( ) 5

-L

..

I j ^

= x (5.4.4-4)

.-

P

Anteriormente a este valor único, o CEB* recomendava os valores

0,0035 + -d

para v, .s 0,5

(5.4.4-5) I

0,0035 + !&

para v, > 0,5

com - I

B Os valores adotados pela NB-I são:

0,0035 + h

E,

($1: (vd + 0,5) h

a\ %"".-.,*

, . . -

com

v, + 0,s 3 1 (5.4.4-9)

onde

Fd

v, = - (5.4.4-10)

& fcd

I

Observe-se que as expressões (5.4.4-4) a (5.4.4-10) tendem a fornecer para a

curvatura última convencional um valor maior do que o da curvatura última efetiva

para o estado limite último de ruptura, desde que a força normal tenha valores

significativos.

As conseqüências de uma condiçáo dessa natureza estáo mostrada!

5.5.4-2. )

TEB - Boletim 103.

INSTABILIDADE 197

I

PARA Nint = Nd

Fig. 5.4.4-2 Emprego de uma curvatura úlrirna convencional

5.4.5 PROCESSO NO caso de barras ~ouco esbeltas, Lom x 80, a,h~-l adotou o processo simplificado

SIMPLIFICADO DA NB-I do equilíbrio. L-'

A secão transversal mais solicitada deve ser dimensionada como se a esbeltez

fosse nula, adotando-se os esforços

onde M, engloba os efeitos iniciais e os efeitos da excentricidade adicional (acidental),

ou seja

u

(e, = comprimento de flambagem)

I

\ isto é, quando v < 0,s toma-se v + 0,5 = 1, sendo I

(5.4.5-6)

I

I

equivalem as do CEB, tendo

havido um ajuste em função do emprego da força normal reduzida v e não de

v

v0 = -.

0,85

Observe-se finalmente que não é feita distinção entre os aços Classe A e os

aços Classe B. Conforme se mostra nos diagramas

5.2.3-5, essa diferença não seria significativa.

das Figs. 5.2.3-4 e

5.4.6 EXEMPLO Considere-se novamente o mesmo exemplo n.O 2 apresentado no item 5.3.6 pelo

método geral. Para efeito de comparação, a armadura será dimensionada pela tabela

de interação da Fig. 5.3.5-3, ressaltando-se que poderia ter sido empregada qualquer

outra tabela ou ábaco de dimensionamento de seçóes submetidas à flexáo composta.

\ Dados:

e, = e,, + e, = 5\-f= 7 cm V' U, = 0.198

De acordo com a expressa0 (5.4.4-6), tem-se:

I

O momento de 2.a ordem vale, conforme (5.4.4-3),

I

ou seja,

I N =0,1kgi 1 MPa = 1 MNlrn' = I0 kgficmZ

I kN = 100 k8f = 0.1 tf I kNlm = IW kgflm 5 0.1 tflm

1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 rfm I kN/rn3 = 100 kgflm* = 0,I rf/m2

I kN.cm = IW kgi.cm = 0.1 tfcm I kN/mL I00 kgf/ml r 0.1 tilm'

1 I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 Nlirn'

INSTABILIDADE 199

Somando os efeitos de

e de 2.a ordem, obtém-se

po =/L,<+ ppd= 0,198 + 0,ll =0,31

-

e da tabela da Fig. 5.3.5-3, resulta

o, 0,39

valor este idêntico ao obtido pelo método geral, daí resultando a mesma armadura

A,, r,t., = 4 x 7,34 cmZ = 4 x 3 4 20

5.5 EXERC~CIOS

5.1 Qual é o fenômeno de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas

axialmente? Como pode ser caracterizado esse caso de instabilidade?

5.2 Que resultados podem ser obtidos quando se emprega a expressão aproximada da cur-

1

vatura - = d2y/dx2?

r

Que novos resultados podem serobtidos com o empregodaexpressão exatadacurvatura?

5.3 Por que a segurança das peças comprimidas de concreto estmtural não é mais verificada

em relação ao estado limite de instabilidade que pode ocorrer com as barras retas comprimidas

axialmente?

5.4 Por que não existe problema de instabilidade na flexáo composta dentro do regime

elástico?

Por que tal fenômeno somente existe quando é ultrapassado o limite de proporcionalidade?

5.5 Como é determinado o diagrama

5.6 Qual a infiuência da deformação lenta sobre a estabilidade na flexo-compressão? Justificar.

5.7 Definir pilar padrão. Como se emprega esse conceito com o método geral?

5.8 Descrever o método do equilíbrio para o cálculo das solicitaçóes criticas.

5.9 Justificar o processo simplificado do equilíbrio.

5.10 Descrever o processo simplificado de verificação da segurança contra a instabilidade na

flexão oblíqua composta.

Instabilidade na Flexáo

Composta Oblíqua

,

6.1 DEFORMAÇOES

NA FLEXÁO

COMPOSTA OBLÍQUA

6.1.1 DEFORMAÇÕES DO Considere-se uma barra submetida a um carregamento que produza flexão composta

EIXO DE BARRA oblíqua em suas seçóes transversais, Fig. 6.1.1-1.

excentricidade de

1 % ordem

excentricidade

total

Fig. 6.1.1-1 Excentricidade do carregamento.

Sob a ação do carregamento aplicado, o eixo da barra sofre deformaçóes. P

de barras esbeltas, os deslocamentos transversais criam as excentricidade

segunda ordem, as quais não podem ser ignoradas no estudo do equilíbrio da

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 201 I

/

PLANO DE FLEXÁO DA

SECA0 DA BASE

Fig. 6.1.1-2 Configuração deformada.

!W

LINHA NEUTRA DA BASE

Fig. 6.1.1-3 Esforços solicitantes na seção da base.

Na Fig. 6.1.1-2 ilustra-se a cod~guração deformada de um pilar submetido à

flexão composta oblíqua. Admitem-se como desprezíveis as deformações devidas a

uma eventual torção da peça.

Note-se que o eixo deformado do pilar é umacurvareversa e que o plano deflexão

é variável, de seÇão para seção, em virtude da própria deformação da barra.

Na Fig. 6.1.1-3 estãomostrados os esforços solicitantes na seção dabase do pilar,

onde:

Observe-se que o plano de deslocamento do eixo do pilar, no topo, em princípio

não é perpendicular a linha neutra da seção da base.

Esse perpendicularismo somente poderia existir se o eixo deformado da barra

fosse uma curva plana. Isto exigiria que a linha neutra de todas as seções tivesse

sempre a mesma direção, fato este que não pode acontecer quando o plano de flexão

varia de seção para seção, conforme se mostra na Fig. 6.1.1-2.

6.1.2 CURVATURAS Na Fig. 6.1.2-1 estão mostradas as curvaturas de um pilar submetido à flexão

composta oblíqua.

Numa barra de seção transversal retangular, sendo E,, E,, E, e ED as deformações

específicas dos vértices, a curvatura no plano perpendicular à linha neutra vale

I

onde h, é a maior dimensão da seção, medida perpendicularmente a própria linha

,

neutra.

Tendo em vista que se admite a hipótese de manutenção de forma plana de seção

1

transversal, a variação de deformação específica ao longo de qualquer fibra paralela ao

eixo Gx é sempre a mesma, daí resultando

I

Fato análogo ocorre com as fibras paralelas ao eixo Gy, sendo

1 - EA - EB ED - Ec

- - --

r, h, b

Desse modo, sendo

das condiçóes anteriores, resulta:


h, = h, cos ol + h, sen a

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 203

Q. 6.1.2-1 Curvaturas,

tem-se

-+--

h, h, h, cos a + h, sen a

r, r, r,

Para que esta condição seja satisfeita para quaisquer valores de h, e de h,, devem

ser simultaneamente

1 - 1 - - - cos a (6.1.2-1)

r, r,

1 - 1 -- - sen a

r, r,

6.1.3 CÁLCULO DAS Em princípio, também na flexão composta oblíqua podem ser determinados

CURVATURAS diagramas (momento fletor-força normal-curvatura), análogos aos que são determinados

para a flexão composta normal.

Entretanto, como se trata de flexão composta oblíqua, devem ser considerados

dois momentos fletores, M, e M,, bem como deve ser definida a direção da linha

neutra.

Teoricamente esses diagramas podem ser determinados conforme se mostra na

Fig. 6.1.3-1.

Na verdade, o trabalho material para essa determinação tende a ser proibitivo. O

raciocínio teórico é aqui apresentado principalmente para o esclarecimento dos conceitos

básicos referentes a instabilidade na flexão composta oblíqua.

Para um valor constante da inclinação a da linha neutra, pode ser estabelecido o

seguinte algoritmo de cálculo.

1 /%2d - sCldl

adota-se um novo valor de -=

r, h, I

adota-se um valor de EO

I

Nesta fase está inteiramente fixado o diagrama de deformações, logo são conhecidas

as tensões na seção transversal.

Calculam-se então os valores da resultante de compressão R, e da resultante

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA 205

de tração R,, donde se obtêm Nd, M,, e Mvd. Obtêm-se assim 1 ponto do diagrama

(A, p., v) e 1 ponto do diagrama

1

Observe-se que não basta fixar a curvatura- = E~Zd - Ecid para a determinar,

h,

ção dos esforços. Para essa determinação também deve ser fixado o valor de E,,

pois só assim fica definido univocamente o diagrama de deformações.

4.,

Adota-se um novo valor de E,, voltando à etapa 3, até ser alcançado um

dos valores limites E~I~, lim OU ES%d, tlm = 10%

1

IE~I~I

e

< I ~ad, ~tml

(E.2d E82d. 14,")

-

11

l~cldl = l~eld, lim/

Ai

OU

(Eg2d = Ead, ltm)

1

adota-se um novo valor de T,

Note-se que a representação dos diagramas indicada na Fig. 6.1.3-1 não seria das

mais adequadas para as aplicações.

Para emprego prático, a representação indicada na Fig. 6.1.3-2 seria a mais

conveniente.

I

Fig. 6.1.3-1 D i a s @r - fiy - Y - (I - I/T.)

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.1.3-2 Alternativa dos diagramas

- fiy - Y - u - l/ro),

6.2 CÁLCULO DA

CARGA CRITICA

PEI ;o MÉTODO

GERAL

Paraum valor e, 1 e, = tg 0 = constante, entrando-se com as intensidades de p, e

de forçanormal v, podem ser obtidos os valores dacurvaturae dainclinaçãoa dalinha

neutra.

.1 PROCESSOS EXATOS Em princípio, a determinação exata da carga crítica na flexão composta oblíqua pode

DE CÁLCULO ser feita pelos mesmos métodos empregados na flexão composta normal, com as

devidas adaptações para a consideração tanto da existênciade dois momentos fletores

quando da variação da posição da linha neutra.

Fig. 6.2.1-1 Cálculo eiato da carga crítica.

'i

/

/

DEFINE O PLANO

DE FLEX~O

I


Na Fig. 6.2.1-1 estáilustrado como senafeitaadeterminaçáo dacargacríticapelo

método geral com o processo do carregamento progressivo proporcional. Neste

processo todas as ações crescem proporcionalmente ao mesmo coeficiente K.

Na Fig. 6.2.1-2 está mostradaa 1 .a etapa de cálculo. Nesta primeira etapa devem

ser considerados apenas os momentos fletores de 1 .a ordem. Com essa hipótese serão

determinados os deslocamentos do eixo da barra.

Na Fig. 6.2.1-3 estão ilustradas as etapas subsequentes docálculo. Em cadaetapa

VALORES ADMITIDOS VALORES CALCULADOS

I

OS MOMENTOS DE

i/r

O(

ADMITINDO-SE PILAR DE

MNSTANTE

SECAO

sen Q

W

Yl,J

BASE

X

W 'TOPO DA BARRA

&

lg ETAPA DE CARREGAMENTO ( F = Fl )

Fig. 6.2.1-2 Método geral - Processo do carregamento progressivo proporcional

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBL~QUA 209

I

ADMITE-SE A OEMIETRIA

DETERUINAD* NA ETAPA

ANTERIOR MU A CARGA I

/ no ETAPA DE CARREGAMENTO ( F= F, )

Fig. 6.2.1-3 Carregamento progressivo proporcional

deverão ser considerados os momentos de 2.a ordem decorrentes dos deslocamentos

calculados na etapa anterior.

Conforme se mostra na Fig. 6.2.1-1, em função do parâmetro K, definido por

onde F , é um carregamento adotado como referência, podem ser traçados os diagramas

de flechas w, e w, de uma seçáo de referência.

A cargacrítica serádeterminada pelo diagramade flechas w,, ou w,, que primeiro

tender a uma assíntota paralela ao eixo dos deslocamentos.

As figuras anteriores mostram que o trabalho material necessário à aplicação de

um processo rigoroso de cálculo é bastante volumoso.

O delineamento de cálculo que foi apresentado teve por objetivo principal o

esclarecimento dos conceitos pertinentes ao problema, a fim de que possam ser

claramente entendidos os processos simplificados de cálculo.

210 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

CARGA F= F,

I ADMITEM-SE AS POSI~ES

CAL .CULAOAS SOB

DA CARGA

Fn-l

.-- 1 L PLANO DE FLEX~O

CALCULADO NA ETAW

ANTERIOR SOB

DE Fn-,

A

VALORES

CALCULADOS

Fig. 6.2.1-4 Carregamento progressivo proporcional

6.2.2 PILAR PADRAO De acordo com o que já foi visto anteriormente, opilar padráo é um pilar em

balanço com linha elástica senoidal, Fig. 6.2.2-1, ou seja,

?7

w = -a sen -7.

e,

A propriedade fundamental do pilar padrão é dada pela relação

ou seja,

INSTABILIDADE NA FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA

Fig. 6.2.2-1 Pilar padrão

Com essa propriedade, pode ser calculado o momento fletor de 2.= ordem na

seção da base do pilar, obtendo-se

Com o emprego do pilar padrão o momento fletor de 2.a ordem é calculado como

função exclusiva da curvatura da seção da base, não havendo a necessidade de se

proceder à integração da equação diferencial do eixo deformado da barra ao longo de

todo o seu comprimento.

Todavia, conforme se mostra na Fig. 6.2.2-2, o emprego do conceito de pilar

padrão corresponde a se admitir que o eixo da barra sejaumacurva plana contida num

plano perpendicular à linha neutra da seção da base do pilar.

u

Fig. 6.2.2-2

k

Pilar padrão - Deformaçáes admitidas.

INHA NEUTRA DA SFÃO

m BASE

M

-CALCULA-SE

A

Mln+= fun~ao de [~/r ) base

para N = valor

dado

- I

ra

Fig. 6.2.2-3 Determinação da valor

critico de M,.

Ng. 6.2.24 Determinaç!~ do mameniv inrerno M,,

da segão da base em funçáo de F, e a, para um dado

valor de 1.

INSTABILIDADE NA FLEXÁO COMPOSTA OBL~QUA 213

Uma vez fixada a geometria da seção transversal, paraumadada força nonnal N e

para uma dada inclinação O, = arctg (e,Je,J do plano de flexáo da seçáo da base do

pilar, deve ser traçada acurva do momento interno M,a,, Fig. 6.2.2-3. O máximo valor

disponível para M, = M,,, - M, fornece o valor M,, ,.

Na Fig. 6.2.2-4 está esquematizado o cálculo do diagrama

mnr = função ($)

Em princípio, pode ser empregado o seguinte algoritmo de cálculo:

7

t

Admite-se uma inclinação a da linha neutra

I

I

Admite-se um valor para a curvatura

(~s2 a O)

I

I !

I

Adota-se um valor para E,, respeitadas as condições 1 E,, ( s E,,, ,i, e

t

E82 5 10%0

Calcula-se o valor de Nd e compara-se com o valor fixado para F,

I

_I

i

Calculam-se os valores de M,, , e M,, , obtendo-se o valor dovetor

momento interno

-f +

M,nt = Mo,,


%

I

Calcula-se o momento de 2.a ordem

t

+

-f

sendo o vetor M,,

+ ee2 1

M2, base = Fd. -. -

10 r,

paralelo à linha neutra

I Calcula-se o valor disponível para o momento de oidem M,, , (

I

sendo -+ -3 +

M1, b~8e = MIN - M2, be8e

I

t

Verifica-se se o plano de ação do momento M,, , tem a inclinação

13 = O, sendo O, = arctg e'i

e,,

I

A 7 t

I

Obtém-se assim 1 ponto do diagrama

M1, = função (llra)

Uma vez traçado o diagrama M,., = função (llra), obtém-se o valor M,, ,,.,

conforme indicado na Fig. 6.2.2-3. Este valor corresponde aos parâmetros v e O,

adotados.

Variando-se a seguir o valor de O,, podem ser traçados diagramas de interação

como os que se mostram na Fig. 6.2.2-5.

Observe-se finalmente que, mesmo se fossem determinados inicialmente os

diagramas ( M, N, llra) conforme o delineamento teórico do item 6.1.3, ainda assim

seria necessário o cálculo por tentativas, a fim de garantir que o momento disponível

de 1." ordem, dado por

-+ -f -+

MI, orne = Mint - Mz. base

tivesse o plano de ação predeterminado inicialmente.

INSTABUDADE NA n ~ x Ã COMPOSTA o

OBL~QUA 215

X

420

0,IO

o 0,iO 0,20

Jlx= J--

h,

6.3 CÁLCULO DA

CARGA CRITICA POR

PROCESSOS

SIMPLIFICADOS

Fig. 6.2.2-5 Diagrama de interação (adaptado da Fig. 212-4 do Boletim 103 do CEB).

6.3.1 LINEARIZAÇAO DOS O andamento dos diagramas de interação, como os que são mostrados na Fig. 6.2.2-5,

DIAGRAMAS DE indica que, analogamente ao que acontece em relação ao estado limite último de

INTERAÇAO ruptura ou de alongamento plástico excessivo, também no caso de instabilidade a

superfície de interação (M,, M,, N),,, pode ser admitida como convexa.

Desse modo, a verificação da segurança pode ser feita como se indica na Fig.

6.3.1-1. A simplificação adotadaéportanto análoga à que foi proposta par ao estudo da

flexão oblíqua composta com esbeltez nula. Os resultados obtidos são usualmente a

favor da segurança, não havendoem geral restrição ao emprego deste processo, o qual

pode ser qlicado para peças com qualquer índice de esbeltez. No item seguinte será

apresentada a condição de validade da simplificação.

Observe-se que os pontos A e B, correspondentes à instabilidade, respectivamente,

nos planos Gx e Gy, podem ser determinados por qualquer dos processos de

cálculo anteriormente estudados.

I issim, no caso de peças muito esbeltas, em princípio devem ser empregados

proce :ssos rigorosos de cálculo.

1 \To caso de peças mcdianarnente esbeltas, os pontos A e B podem ser determinados

p or meio de processos simplificados de cálculo. Esse é o caminho seguido no item

seguinte.

d: VALOR

J = VALOR

M"' F ~ e, .

M :F~. e

Y

Y

DADO

DADO

"

A.

Fig. 6.3.1-1 Linearimção do diagrama de interação.

6.3.2 PROCESSO No caso de peças medianamente esbeltas a linearização do diagrama de interação

SIMPLIFICADO DO pode ser feita como se indica na Fig. 6.3.2-1.

EQUILIBRIO. DIAGRAMA A validade da simplificação adotada decorre da hipótese de convexidade da

LINEARIZADO superfície de interação (Y , +SI, , +I,, Estudos de investigação n~rnénca'~

mostraram que essa convexidade pode deixar de existir quando os índices de esbeltez

A, e A, forem muito diferentes entre si, podendo provar-se15 que a lineanzação do

diagrama é válida sob a condição

Para a determinação dos pontos A e B que definem a região de segurança é

adotado o conceito de pilar padrão, calculando-se:


INSTABILIDADE NA FLEXAO COMPOSTA OBL~QUA 217

PLANO DE A ~ Ã O M

I

T

I

( SOLU c80 EXATA )

0 "VALOR DADO

$ :VALOR DADO

e

M,=F

d x

M ~ = d F e Y

JA x

fi 2,

poro

tex / hx)

Fig. 6.3.2-1 Processo simplificado do equilibrio.

com

A, = área da seção transversal geométrica,

onde as curvaturas no plano onde atua M, e no plano onde atua M. po-

dem, no caso de barras medianamente esbeltas, ser admitidas com os valores convencionais

(L) = (L) = ($1

r, , r, , =i

C O ~ O ~ ~ I ~ ~ I

Admitindo as curvaturas recomendadas pela NB-I, têm-se:

L,,,

com

Observe-se que o emprego do método do equilíbrio simplificado, em função

diretamente dos momentos críticos de I .a ordem, exige que seja imposta a condição

N,,, = Nd. Caso contrário a verificação da segurança deveria ser feita em função das

excentricidades.

6.3.3 REDUÇAO DA Em muitos casos práticos é possível simplificar-se averificação da segurança contraa

FLEXAO OBL~QUA A instabilidade através da redução daflexáo composta oblíquaaduasflexões compostas

DUAS FLEXÕES NORMAIS normais.

Essa simplificação será aceitável nos seguintes casos básicos,* ilustrados pelas

Figs. 6.3.3-1 e 6.3.3.-2.

a. São diferentes as zonas mais solicitadas em cada uma dasjiexóes normais a que

foi reduzida a jiexão oblíqua.

Como cntério prático admite-se que esta condição seja satisfeita quando os terços

centrais dos eixos deformados correspondentes a cada uma das flexões normais não

ficam superpostos. Não há restrições quanto a forma da seção transversal.

Assim, na Fig. 6.3.3-1, ao pilar P1 pode ser aplicada a simplificação porquanto

não existe superposição dos terços centrais das linhas elásticas das duas flexões.

Note-se que, para a flexão no plano (xz), a seção mais solicitada é a do engastarnento

na base. Para a flexão no plano (yz), a seção mais solicitada está situada ameia altura

do pilar.

O pilar P2, mostrado nessa mesma figura, não pode ser calculado com a simplicação

considerada. Em particular, neste caso, a seção da base é a mais solicitada para

ambas' as flexões.

Observe-se finalmente que não há restrições de aplicação desta simplificação em

função da forma da seção transversal do pilar, uma vez que o cntério de aplicação

decorre apenas da separação das zonas mais solicitadas em cada uma das flexões

consideradas.

b. Pilares de seçáo retangular quando for satisfeita uma das seguintes condiçóes,

Fig. 6.3.3-2:

onde e, e e,, são excentricidades iniciais de I .a ordem, não incluídas as excentric idades

acidentais e, ou e.,.

.CRB - CUgo Modelo.


h,

Fig. 6.3.3-2 Seçáo retangular - Redução a 2 flexoes normais.

Conforme se vê na Fig. 6.3.3-2, admite-se a possibilidade de substituição da

flexáo oblíqua por duas flexões normais quando a obliquidade é pequena.

Neste caso, para cada uma das direções principais, a seção mais solicitada deve

ser verificada separadamente para as excentricidades.

e

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-3)

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-4)

c. Pilares de seção retangular submetidos a solicitações iniciais daj7exão normal

composta.

Neste caso, no plano de flexão iniciai faz-se a verificação com a excentricidade

total

e, = e,, + e,, + e,, (6.3.3-5)

e no plano transversal com a excentricidade

e, = e,, + e,,

Em lugar da expressão (6.3.3-6) a NB-1/78 adota uma expressão alternativa

equivalente, a qual será considerada posteriormente no estudo do dimensionamento

dos pilares.

6.4 EXERCICIOS 6.1 Mostrar que, emgeral, naflexáocompostaobliquadepilaresesbeltosoeixodeformadonáo

pode ser uma curva plana.

6.2 Como se processaalinearizaçãodos diagramas de interaçáo para o cálculo dacargacntica,

havendo esbeltezes diferentes segundo os dois eixos principais da seçáo transversal?

6.3 Qual a limitação imposta à linearização dos diagramas de interação?

6.4 Quando se pode reduzir a flexão composta oblíqua a duas flexões normais? JustU ficar

PARTE 3

PILARES, PAREDES E

ESTRUTURAS DE

CONTRAVENTAMENTO

7

Pilares e Paredes Usuais dos Edifícios

7.1 VERIFICAÇÃO DA

SEGURANÇA DAS

PEÇAS ESTRUTURAIS

7.1.1 CONDIÇÕES GERAIS Em princípio, a verificação da segurança contra os possíveis estados limites últimos

das estruturas é feita através da condição geral

onde Face representa a intensidade das ações atuantes e F,,, a intensidade das ações

resistentes.

As ações atuantes são aquelas que agem sobre a estrutura. As ações atuantes,

quando ultrapassam determinados valores, levam a estrutura a estados limites.

Entendem-se como ações resistentes aquelas ações que, se aplicadas a estrutura,

esgotam a sua capacidade resistente. As ações resistentes são portanto os limites das

ações atuantes correspondentes ao aparecimento de determinados estados limites.

Para verificação da segurança, ambas as ações F,,, e F,,,, são tomadas com

seus valores de cálculo, isto é, com seus valores determinantes.

Na maior parte das vezes, em lugar de a condição de segurança ser expressa

diretamente em função das ações F,,, e F,,,, empregam-se condições do tipo

Neste caso, a segurança é verificada em função de determinados efeitos S das

ações. Na verificação da segurança contra estados limites últimos, usualmente os

efeitos considerados são os esforços solicitantes.

Frequentemente os esforços solicitantes atuantes são indicados por Ss, e os

esforços solicitantes resistentes por SR.

7.1.2 TRAÇ AO SIMPLES. Nas peças submetidas à tração simples, a segurançaestágarantidaquandoé satisfei-

TIRANTES a condição

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍcIos 223

onde

N, é o valor de cálculo da força normal atuante

NRd

é o valor de cálculo da força normal resistente

Nessas peças, o concreto tem o papel de simples elemento de proteção das

armaduras. A segurança depende apenas da armadura, e a mína da peça tem características

essencialmente dúcteis, com grande capacidade de acomodação plástica. Por

essa razão, mesmo sabendo que é pequena a probabilidade de uma peça estar efetivamente

submetida à tração axial, pode-se desprezar a influência das excentricidades

inevitáveis que ocorrem no carregamento real das estruturas. Essa mesma hipótese

não pode, porém, ser admitida no caso de compressão simples.

7.1.3 FLEXÃO SIMPLES. No caso de peças submetidas a flexão simples, a segurança está garantida desde

VIGAS que em todas as seçóes transversais seja verificada a condição

onde

Msdé o valor de cálculo do momento fletor atuante

MRdé o valor de cálculo do momento fletor resistente

7.1.4 PEÇAS A verificação da segurança das seçóes submetidas a compressão simples é feita, em

COMPRIMIDAS princípio, pela condição

onde

N, é o valor de cálculo da força normal de compressão atuante

NRd é o valor de cálculo da força normal de compressão resistente

Todavia, mesmo nas peças teoricamente submetidas à compressão centrada,

admite-se que haja uma certaincerteza quanto à real localizaçãodo pontode aplicação

das forças externas. Por isso, as solicitações de cálculo são determinadas

introduzindo-se, sucessivamente segundo cada uma das direções principais da seção

transversal, uma excentricidade mínima dada por, Fig. 7.1.4-1:

A aplicação prática destes critérios tem mostrado que, em estruturas de edifícios

correntes com pilares de 20 cm de largura, o valor absoluto e,,. = 2 cm frequentemente

conduz a dimensóes significativamente maiores que as que vinham sendo

empregadas até agora. Por esta razão, tendo-se

essidade de calibrar o

modelo de segurança adotado pela NB-1/78

usualmente

obtidos anteriormente, parecepossível que

luto, respeitando-se apenas o valor

' /i I

1

Nas

I

SITUAÇÃO OE PROJETO

i / I

Fig. 7.1.4-1 Excentricidades mínimas inevitáveis.

Fig. 7.1.4-2 Efeitos de 2.* ordem.

si~unçõ~s DE CALCULO

Para peças comprimidas de esbeltez não muito grande, em geral é permitido

substituir-se o cálculo exato de flexo-compressão por cálculos aproximados de compressão

simples, majorando-se convenientemente o valor da força normal atuante.

peças comprimidas, além das excentricidades inevitáveis acima vistas, também

devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem, Fig. 7.1.4-2.

Os momentos F.e, de l.a ordem são acrescentados aos momentos F.e, de 2.a

ordem, verificando-se a segurança em função da flexo-compressão assim determinada.

Em peças de esbeltez reduzida, usualmente adotam-se simplificações de cál-

CU~O.

7.1.5 FLEXAO COMPOSTA O caso geral de verificaçáo da segurançadas seções transversais submetidas a flexáo

composta possui um caráter vetorial, Fig. 7.1.5-1.

I

M

diqromo de intaoç&

ZONA DE SOU

i lrog

( N ~d, t r a simples) ~

Fig. 7.1.5-1 Veriiicaçáo da segurança

Na Fig. 7.1.5-1, o ponto A, representa as condições características de solicitação

e o ponto A, as condições de cálculo. A direção de verificaçáo da segurançs i, fixada

pelo vetor A,Ad, é definida pelos coeficientes de ponderação empregados na 1 determinação

das solicitaçóes de cálculo.

- ra qualquer combinação de solicitações M,, e N., a segurança fica garariuud

quando o respectivo ponto representativo A, está situado dentro da zona de segurança

delineada pelo diagrama de interação (M,,, NRd).

Observando o andamento geral dos diagramas de interação nas proximidades do

ponto correspondente a tração simples, verifica-se que geralmente a presença de um

eventual momento fletor parasitário não afeta significativamente o valor da força

normal resistente N,,.

O mesmo fato não ocorre, porém, nas proximidades do ponto correspondente a

compressáo simples. Neste caso, a presença de um momento fletor parasita usualmente

acarreta uma perda significativa no valor da força normal resistente NRò.

Em princípio, as peças submetidas à flexão composta com força normal de

compressão serão verificadas com a seguinte combinação de solicitações atuantes:

onde

Nd = força normal devida às ações consideradas no projeto

Mid = momento fletor devido às ações inicialmente consideradas no projeto

F,.e, = momento fletor devido a excentricidade adicional e,

F,.e, = momento fletor de 2.a ordem

Nas peças submetidas a flexo-compressáo, é admitida uma certa incerteza

quanto ao ponto de aplicação da resultante das forças externas. Consideram-se por

isso as excentricidades adicionais e,, cujos valores são os mesmos admitidos para

as excentricidades mínimas das peças teoricamente submetidas a compressão simples,

ou seja,

onde h é a maior dimensão da seção transversal da peça, na direçáo em que se

considera a excentricidade.

As expressões acima indicadas serão posteriormente reconsideradas, tendo-se

em vista o dimensionamento prático das seções transversais dos pilares.

7.2 COMPRESSAO

SIMPLES DE PILARES

7.2.1 PILARES O dimensionamento de seções submetidas a compressão simples é feito da forma a

NÃO-CINTADOS seguir analisada.

Admitindo que sejam conhecidos os valores de

N, = valor de cálculo da força normal atuante 1

f,, = valor de cálculo da resistência do concreto

i I

I

f,, = valor decálculoda resistênciadoaço comprimido (obedecidaarestrição

Es, e 2>0 %o)

e sendo, Fig. 7.2.1-1:

I


*-

d

A, = área da seção geométrica da peça

A,, = área da seçáo de concreto comprimido

A, = área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida,

Fig. 7.2.1-1 Pilares não-cintados.

tem-se a condição de segurança

fld 035 fcd . Acc + fsd

A,, = A, - A,

i

(7.2.1-3)

pois na compressáo centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto

seja de 2%0.

Da condição de segurança acima indicada, tem-se a condição de dimensionamento

que também pode ser escrita

Nd = 0,85 fCd A, +

w

Definindo a taxa geométrica de armadura longitudinal pela expressão

onde A, é a área da seção geométrica da peça (área da seção de concreti

desconto da parte ocupada pela armadura longitudinal), de (7.2.1-4) obtém- J sem o

se

resultando

>

-'w'

<

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS

Para o dimensionamento prático das seções comprimidas, é conveniente definirse

a tensão ideal de compressão u, pela expressáo

Na verdade, conforme será visto adiante, quando se faz o cálculo a compressão

simples, aforça normal de cálculo Nd deve ser majorada afim de ser levada em contaa

influência das excentricidades acidentais e das excentricidades de 2.a ordem,

tomando-se o valor

resultando

Substituindo as expressões acima em (7.2.1-6), tem-se finalmente

~ i = d 0.8' fd + PS (fr- 0%) (7.2.1-10)

Por vezes a expressão acimaé escntada forma simplificada seguinte, que ignoraa

devida à presença da armadura longitudinal:

(7.2.1-11)

s (1.2.1-9) a (7.2.1-11) permitem o dimensionamento das seções

transversais comprimidas.

Para os aços classe A, a resiçtência de cálculo à compressão é dada pelo menor

dos dois valores seguintes:

Para os aços classe B, a resistência de cálculo à compressão, de acordo com a

NB-I, pode ser obtida a partir da expressão

esd = 2 + - <r86 - 0,7 e-

fazendo-se

e

e8d = 2%0

E, = 210 000 MPa* I

Na tabela seguinte apresenta-se o resumo dos valores f,, para os aços especificados

pela EB-3.

*I MPa = 10 kgficmz

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

a*

,* *-

f,, (compressão simples

(MPa)*

*I MPa = 10 kgflcm*

Na Tabela 13 do Anexo apresentam-se valores de fa - 0,85 fcd para diferentes

valores de f,,.

7.2.2 INDICE DEESBELTEZ O índice de esbeltez dos pilares não-cintados é definido pela relação

onde

= comprimento de flambagem

i = raio de giração da seção geométrica da peça (seçáo transversal de concreto,

não se considerando a presença da armadura).

Nas estmturas de nós indeslocáveis, a NB-I permite considerar-se como comprimento

de flambagem(,de um pilar a distância entre os eixos das vigas entre as quais

ele se situa.

Essa hipótese corresponde a se admitir os pilares como barras com nós articulados

fixos.

A existência de vigas, cuja rigidez inibe parcialmente arotação que existiria se as

extremidades dos pilares fossem perfeitamente articuladas, diminui o comprimento de

flambagem. A NB-1 não considera essadiminuiçáo, embora o CEB* permitadescontos

de até 15% na determinaçáo do valor de e,.

No caso de estruturas de nós deslocáveis, o comprimento de flambagem pode ser

significativamente maior do que a distância entre os andares sucessivos da estrutura.

Nesse caso, o comprimentot, somente pode ser estimado de forma adequada através

da consideração da flambagem do conjunto da estrutura.

No caso particular de estruturas com nós deslocáveis mas com vigas de rigidez

muito grande, capazes de tornar desprezível a rotação dos nós da estrutura, o comprimento

de flambagem e, também é igual a distância entre os eixos das vigas que

delimitam o pilar considerado. Cada pilar é entáo considerado como se tivesse nas

suas extremidades apoios de simples escorregamento, Fig. (7.2.2-1).

Na determinaçáo da distância entre os eixos das vigas que delimitam os pilares, é

preciso considerar-se a eventual ixistência de vigas invertidas e de lajes rebaixadas

em cada um dos pisos considerados.

Conforme é ilustrado pelas Figs. 7.2.2-2 e 7.2.2-3, apresença de vigas invertidas

ou de lajes rebaixadas pode alterar o comprimento de flambagem em relaç;

direito usual da constmçáo.

Fig. 7.2.2-1 Pilares deslocáveis com vigas de grande t.igider

Fig. 7.2.22 Arranjo estrutural do nó


Fig. 7.2.2-3 Vigas invertidas e lajes rebaixadas

7.2.3 PILARES CINTADOS a. Condições de emprego

De acordo com a NB-1 é permitido o emprego de pilares cintados por armadura

de projeção circular desde que se tenha esbeltez A < 40, referida ao núcleo, Fig.

7.2.3-1, admitindo-seque apresença do cintamentqseja equivalente aumaumentoda

resistência característica do concreto de f,, para o valor

t

onde -

e

= excentricidade do carregamento, já incluída a excentricidade acidental, devendo

ser

A, = volume de armadura transversal por unidade de comprimento do pilar

rd,. A,,

(7.2.3-71

A,, = área da seção transversal da barra de cintamento de diâmetro 6,

A - r+t2

11 - - 4 (7.2.3-4)

k s , = espaçamento entre as espiras da armadura de cintamento

A,, = área da seção do núcleo, definido pelo eixo da barra de cintamento

Fig. 7.2.3-1 Pilares cintados

Com as considerações acima, o pilar é calculado como se não fosse cintado, não

se considerando o concreto exterior ao núcleo. A resistência total de cálculo dapeça

cintada não poderá, porém, ser considerada com valor superior a 1,7 vezes a resistência

do pilar calculado como se não houvesse cintamento. O efeito do cintamento sobre

aresistência do concretojáfoi analisado deformageral em outro volume deste curso.*

b. Compressão centrada

No caso de ser admitida uma situação de compressão centrada, sendo h < 40,

pode-se fazer:

logo

*Fundamentos do Projeto Estmturd "

-


Sendo A,,a área da seção

-

da armadura longitudinal e n o coeficiente de majoração

correspondente à influência das excentricidades acidentais, resulta a condição de

segurança

A

f,, + 2 f,,

aNd 0,85 (A,, - + fsd As, (7.2.3-8)

Yc


Ignorando, por simplicidade, a redução da seção efetiva de concreto devida a

presença da armadura longitudinal, tem-se a condição simplificada:

A

f,, + 2 L f,,

aN, < 0.85 A,; + f., A,, (7.2.3-10)

da qual resulta

devendo ser

c. Prescriçóes construtivas

As prescnçóes construtivas, impostas pela NB-I, sáo as seguintes:

1. esbeltez da peça

as extremidades das barras de cintamento, sejam elas formadas por uma armadura

helicoidal ou por estribos isolados, deverão estar bem ancoradas no núcleo

de concreto

Y"\

3. , ~toly inimu da barra de cintamento

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS

/-

S. valores limites da armadura de cintamenro

L-- . /'

6. armadura ion~irudinal

.

(inclusive na seçáo de emenda por traspasse)

7.3 PILARES DE

EDI FICIOS

7.3.1 AÇAO DO VENTO De modo geral, exige-se a consideração da açáo do vento nas estruturas em que esta

ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes.

Essa possibilidade existe de modo significativo nas estmturas aporticadas com

nós deslocáveis.

Definem-se como sendo de nós deslocáveis as estruturas cujos nós mudam de

posiçáo em virtude da flexáo de suas barras. No estudo da deslocabilidade das

STRUTURA DESLOCÁVEL ESTRUTURA INDESLOC~VEL

r.* ,.i-1 Deslocabilidade das estmturas.


estruturas são desprezadas as eventuais variações de comprimento das barras. Na

Fig. 7.3.1-1 são mostrados exemplos de estrutura deslocável e de estrutura indeslocável.

De acordo com a NB-1 (item 3.1.1-3) a ação do vento deve ser considerada

"obrigatoriamente no caso de estrutums com nós deslocáveis, nas yuais a altura sqju

maior que quatro vezes a largura menor, ou em que. numa drida direção, o número de

filas de pilares seja inferior a 4".

Na Fig. 7.3.1-2 é mostrada a aplicação dessa exigência da NB-1.

Admitindo que as estmturas mostradas nessa figura tenham nós deslocáveis, pelo

critérios o vento deverá ser considerado apenas na direçãox, pois nesta direção Hlb

> 4, enquanto que na direção y tem-se Hlb < 4. Pelo critério b, o vento deverá ser

considerado em ambas as direçõesx ey, pois em ambas existem menos de quatro filas

de pilares.*

4 critério de altura relativa

4

critério do número de filas

de pilares

Fig. 7.3.1-2 Consideração obrigatória da açáo do vento.

'O símbolo H foi empregado intencionalmente para chamar a aten$áo sobre o ieru us as iratar da altura

con~fm~ão

total da

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfCIOS 235

CONTRAVENTAMENTO Nos edifícios correntes não é recomendável que todos os pilares participem do

DAS ESTRUTURAS sistema estrutural que se admite como responsável pela estabilidade global da estrutura

e pela resistência às açóes horizontais atuantes. Caso isso fosse admitido, o

projeto seria em geral excessivamente trabalhoso, com resultados reais de precisáo

duvidosa, em virtude da complexidade das estruturas assim consideradas.

Usualmente os pilares dos edifícios são divididos em duas categorias, Fig. 7.3.2-1:

pilares contraventados e pilares (elementos) de contraventamento.

Os elementos de contraventamento sáo constituídos por pilares de grandes dimensões,

por paredes estruturais, por treliças ou pórticos de grande rigidez.

De modo geral procura-* fazer com que a estrutura de contraventamento,

composta por dois ou mais elementos de contraventamento e pelas lajes do edifício,

tenha rigidez suficiente para que os demais pilares possam ser considerados como

participantes de uma estrutura com 116s indeslocáveis, Fig. 7.3.2-2. Os elementos de

contraventamento devem assegurar a va'lidade desta hipótese.

Além disto, o sistema de contraventamento deve garantir a estabilidade da

estrutura no seu conjunto, bem como deve resistir a açao do vento sobre toda a

construção.

Os elementos de contraventamento podem, em princípio, ser classificados em

flexíveis e rígidos, Fig. 7.3.2-2.

Consideram-se como elementos flexíveis de contraventamento os que devem ser

calculados com a consideraçáo de efeitos de 2.a ordem. Este tipo de elemento de

contraventamento, sempre que possível, deve ser evitado, pois em geral acarreta

grandes dificuldades de cálculo.

Consideram-se como elementos rígidos de contraventarnento os que podem ser

calculados sem a consideração de efeitos de 2.a ordem. Para isso eles devem ter rigidez

superior a certos mínimos preestabelecidos. De acordo com os critérios de rigidezdo

CEB, para pilares essa rigidez mínima corresponde ao índice de esbeltez A = 25.

Fig. 7.3.2-1 Pilares contraventados

I


I

CONTRAVENTADOS ELEMENTOS DE CONTRAVENTAMENTO

7.3.3 SITUAÇÓES BÁSICAS De acordo com a NB-I os pilares de edifícios podem ser calculados de forma simplifi-

DE PROJETO cada, desde que respeitados certos requisitos complementares adiante considerados.

O cálculo simplificado permitido pela NB-1 pode ser aplicado as "estruturas de

edij%ios em que stj afuem carxas previstas na NB-5 e em que não seja necessário

considerar a açáo do vento".

Nocaso de estruturas submetidasaaçáo do vento, o cálculo simplificado podeser

aplicado aqueles pilares que ,260 participem dos sistemas estruturais resistentes aaçáo

do vento.

Para efeito de projeto, os pilares dos edifícios podem ser classificados nos

seguintes tipos: pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto, Figs.

7.3.3-1 e 7.3.3-2, desde que sejam pilares adequadamente contraventados.

A cada um desses tipos básicos de pilares corresponde uma situação de projeto

diversa.

Os pilares intermediários estão basicamente sujeitos a cargas axiais de compressão.

Como as vigas e lajes que se ap6iam nesses pilares não sofrem interrupção total

sobre os mesmos, admitern-se como desprezíveis os momentos fletores transmitidos

para os pilares. A situação básica de prqjeto dos pilares intermediários é, portanto, a

de compressáo centrada.

Os pilares de extremidade, em principiu, estão submetidos a flexão normal

composta. A flexáo decorre da interrupção, sobre o pilar, da viga perpendicular à

borda considerada, Fig. 7.3.3-2.

No caso dos pilares de canto, em virtude da intermpção das vigas situadas nas

duas bordas, existe basicamente uma situação de projeto de flexão oblíquacomposta.

Em todos os casos considerados é importante notar que as situações de projeto

levam em conta apenas os esforços solicitantes iniciais, que são os esforços de l.a

ordem, decorrentes apenas das cargas atuantes sobre a estmtura.

Para o dimensionamento dos pilares, devem ainda ser consideradas as excentricidades

acidentais, que também são excentricidades de I .a ordem, bem como; no caso

:s esbeltos, as excentricidades de 2.= ordem.

PILAR

INTERMEDIARIO

EXTREMIDADE

Fig. 7.3.3-1 Pilares de edifícios

Fig. 7.3.3-2 Arranjos estmturais dos pilares de edifícios.

7.3.4 SOLICITAÇÕES As solicitações iniciais dos pilares intermediáriospodem ser calculadas sem cocside-

INICIAIS DOS PILARES ,ração de momentosfletores.

INTERMEDIÁRIOS As solicitações iniciais resumem-se, neste caso, a força normal devida ao carregamento

aplicado.

A situaçáo de projeto dos pilares intermediários é portanto a de compressão

centrada, podendo ser aplicados os processos simplificados de cálculo adiante descritos.

Para o cálculo das cargas que atuam sobre os pilares dos edifícios, de acordo com

o item 3.2.2.3 da NB-1, as vigas podem ser calculadas como continuas, sem ligações

rígidas com os apoios, respeitadas certas restrições impostas pela própria NB-1.

No caso de vigas contínuas em que os tramos tenham aproximadamente amesma

rigidez, desde que o menor índice de rigidez Iltnão seja inferior a 80% do maior, a

NB-1 permite que as reações das vigas sobre os pilares sejam calculadas

considerando-se cada tramo independente dos demais e livremente apoiado. Todavia,

se houver balanço de extremidade, o efeito de suas cargas será calculado,

considerando-se a continuidade existente.

De modo geral não se recomenda o emprego dessa permissao da NB- I para vigas

com número reduzido de tramos, nem para a ava!iaçao das cargas dos pilares que

suportam os tramos de extremidade das vigas.

Nos exemplos de projeto apresentados no Cap. 8, essa permissão da NB- I não foi

empregada.

7.3.5 SOL~CITAÇOES Os pilares de extremidade sã riamente calculados a flexáo composta, Fig.

INICIAIS DOS PILARES DE 7.3.5-1.

EXTREMIDADE Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por um

momento fletor atuante no plano perpendicular a borda em que se situa o pilar.

A situação de projeto dos pilares de extremidade é, portanto, a deflexão normul

composta.

De acordo com a NB-1, os momentos fletores dos nós dos pilares extremos

poderão ser calculados pelas expressões seguintes:

onde

Ma,

= Me,,

r,

+ r, + r,

1

(7.3.5-2)

Me,, = momento de engastamento perfeito

I . .

r = - (indice de rigidez)

e

Fig. 7.3.5-1 Pilares de extremidade.

Fig. 7.3.5-2 Efeito da superposiçáo de pilares.

Observe-se que o tramo extremo da viga estará solicitado por momentos negativos,

cujo valor máximo é dado por

Conforme se mostra na Fig. 7.3.5-1, paraas extremidades opostas, tanto do pilar

inferior quanto do pilar superior, propagam-se momentos que, em geral, podem ser

admitidos com metade do valor do momento propagado.

Nos edifícios de vários andares, os momentos que aparecem nos pilares são

provenientes da superposição dos efeitos das vigas dos diferentes níveis, Fig. 7.3.5-2.

Assim, por exemplo, no pilar situado entre os níveis (i) e (i + 1) são:

ondeMi, ,,e Mi+ ,,i, são os momentos calculados isoladamente pelas expressóes

(7.3.5-1) a (7.3.5-4).

Observe-se que para o cálculo dos momentos fletores é indispensável o conhecimento

da seção transversal do pilar. O dimensionamento final será obtido então por

m e i o de aproximações sucessivas.

No caso de pilares usuais de edifícios, para efeito de pré-dimensionamento da

seção de concreto, pode-se admitir, de início, uma excentricidade relativa ei/h entre

0,05 e 0,10, onde e, = MIN e h é a dimensáo do pilar no plano de flexão.

7.3.6 SOLICITAÇÕES Nos pilares de canto, em princípio existe uma situaçáo de projeto deflexao oblíqua

INICIAIS DOS PILARES DE composta.

CANTO Os esforços solicitantes iniciais são constituídos pela força normal e por dois

I

momentos fletores, os quais atuam nos planos verticais que contêm os eixos das vigas

que formam o canto considerado.

Para a determinação desses esforços repetem-se, para cada um dos planos de

I

flexáo considerados, os raciocínios feitos para o caso do pilar de extremidade, Fig.

I 7.3.6-1.

I

Rg. 7.3.6-1 Pilares de canto

-

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFÍCIOS 241

7.4 PILARES CURTOS

7.4.1 SITUAÇÓES DE Entendem-se porpilares curtos aqueles que podem ser calculados sem a consideração

PROJETO E SITUAÇOES DE de suas deformações.

CÁLCWLO De modo geral admitem-se como curtos os pilares que tenham índice de esbeltez

não maior que A = 40, desde que sejam devidamente contraventados.

No dimensionamento dos pilares curtos, além dos esforços iniciais decorrentes

da situação de projeto em consideração, também devem ser admitidos outros esforços,

que se adicionam aos anteriores, e que têm por finalidade cobrir certos riscos

ei =EXCENTRICIDADE INICIAL N~ = F M ~ = F e

d d.

e, = EXCENTRICIOAOE AOICIONAL

( N8- I ACIDENTAL) Mxd=Fde~

Fig. 7.4.1-1 Pilares curtos.

devidos à incerteza quanto a real posição do ponto de aplicação da força de compressão.

A NB-1 considera essa incerteza acrescentando à excentricidade inicial ei outras

excentricidades e,, ditas excentricidades acidentais, conforme se mostra na Fig.

7.4.1-1. Observe-se que todas essas excentricidades são excentricidades de I .a ordem.

No caso de pilares esbeltos, deverão ainda ser consideradas as excentricidades de 2.a

ordem.

Em virtude da consideração das excentricidades acidentais e,, a maioria dos

casos em que agem forças normais de compressão deveria ser tratada, em princípio,

como se fossem problemas de flexão composta oblíqua.

Todavia, como o cálculo rigoroso de seções submetidas a flexão composta

oblíqua somente é exequível em termos práticos quando se dispõe de auxilio de um

computador ou, o que é equivalente, quando já existem os diagramas de interação (v,,

pZdr pUd) da seção considerada, diferentes simplificações são admitidas no projeto de

pilares. No item 7.5.6 é feita uma sugestão visando a simplificaçáo das situações de

cálculo atualmente admitidas pela NB-I .

7.4.2 CASO PARTICULAR Conforme foi mostrado na Fig. 7.4.1-1, quando se tem uma situação de projeto de

DE SIMPLIFICAÇAO DAS flexão normal composta, uma das situações de cálculo a ser teoricamente considerada

SITUACOES DE CÁLCULO é a de flexao composta oblíqua.

No entanto, como a obliquidade dessa flexão decorre apenas da excentricidade

acidental e,,, medida na direção do eixo Gy que não contém a excentricidade inicial

e,,, a NB-1 permite uma simplificaçáo. Em lugar da flexão composta oblíqua,

considera-se uma outra flexão composta normal, majorando-se o valor da excentricidade

e, de acordo com os critérios indicados na Fig. 7.4.2-1.

Em princípio, majoram-se as excentricidades na proporção

onde e é aexcentricidade daflexãooblíqua. Comisso, como se indicana Fig. 7.4.2-2, é

considerada agora a flexão composta segundo o eixo Gy, com excentricidade

e

e = Z VeiZ2 + e,,"

! e,,

uma vez qlte na direção Gx já foi considerada a flexão composta com excentricidade

e, = e,, + e,, (7.4.2-2)

Admite-se que, neste plano, esta última verificação já seja suficiente para a

garantia da segurança da peça.

Para a verificação da seção na direção Gy, em lugar da expressão (7.4.2-1)

adotam-se os valores indicados na Fig. 7.4.2-1, os quais decorrem das aproximações

indicadas na Fig. 7.4.2-2.


Fig. 7.4.2-1 SituaçUes simplificadas de cálculo. 1 1

Fig. 7.4.22 Citéio de sirnplificaçáo. 1


7.4.3 EXEMPLOS Considere-se a situação de projeto de flexão normal composta, Fig. 7.4.3-1, com os

seguintes dados:


Para esta seçáo transversal, as excentricidades acidentais valem:

ear a e,, = 3 cm

eou

e,, = 2 cm

1.' Exemplo: e,, = 10 cm

Neste caso, sendo e,, > 3 e,,,

tem-se e, = e,,, logo:

I I.a situação de cálculol

e, = e,, + e,, = 10 + 3 = 13 cm (---- e, - l3 - 0,144)

h, 90

12.a situaçáo de cálculo (e,, > 3 e,,)l

e, = e,, = 2 cm

2." Exemplo: e,, = 5 cm

Neste caso, sendo e,, < e,, < 3 e,,, tem-se

logo:

e, = e,, + e,, = 5 + 3 = 8 cm ( -

/ 2.a situaçáo de cálculo I

e, - 8

- = 0.089)

h, 90

3.O Exemplo: ei, = 1,5 cm

Neste caso, sendo e,, < e,,, tem-se

logo:

,

] situaçáo de, cálculol

e, = e,, + e,, = 1,5 + 3 = 4,5 cm

1 2.a situaçáo de cálculo/

7.4.4 PROCESSOS Em muitos casos da prática é possível adotar-se um tratamento simplificado quando

SIMPLIFICADOS DE existe uma situação de cálculo de flexão composta obliqua. As possíveis simplifica-

CÁLCULO DE FLEXAO ções de cálculo sáode três tipos, conforme adiante indicado. Noitem 7.5.6é mostrada

COMPOSTA OBL~QUA uma possível simplificação geral do problema.

a. Transformaçáo afim da seçáo transversal

Para aquelas seções que, por uma transformaçáo afim paralela a uma direçio,

possam ser reduzidas a uma figurainscrita num quadrado, com simetria emrelação aos

eixos paralelos aos lados e também em relação a uma diagonal, pode ser aplicado o

método de cálculo tratado na Seçáo 4.3.

Ainda assim, o trabalho material requerido para essa aplicação náo é de todo

desprezível, pelo que também são de interesse prático os métodos de transformação

daflexáo composta oblíqua em umaflexáo normal composta equivalente, atuante num

plano paralelo a um dos lados da seçáo.

h. Transforma~áo daJlexáo oblíqua em uma flexáo normal equivalente

Quando se conhece o andamento das curvas (pgd, pyd) dos diagramas de interação

(pldr pud, vd), é possivel transformar-se a flexáo composta obliqua em uma flexáo

normal composta equivalente, Fig. (7.4.4-1). Essa transformação tem por objetivo

reduzir o trabalho de cálculo nos casos rotineiros.

Conforme se observa na Fig. 7.4.4-1, para uma dada força normal relativa

Fd

Yd = -

A, fCd

deve ser empregada a mesma taxa mecânica w de armadura para ambas as combina-


1

X

= F~ .e,

-

h d , eq

Il xd

M ~ = F e

d' Y

Ii "d = Jd

pyd = 'd

-

h,

- e Y

h Y

Fd

- A, fcd

3 --

Fig. 7.4.4-1 Transformaçao da flexão oblíqua em flexão normal.

çóes de momentos a seguir consideradas:

Flexão oblíqua real

Flexão normal equivalente

Psd, emtualente = F sd + P Pyd

Pvd = 0

A condição de equivalência

Pzd, eQ = CL,d + P Pvd

também pode ser escrita

logo


daí resultando a excentricidade equivalente

aqual age no plano onde é maior a excentricidade relativa, istoé,adireção x é definida

pela condição

A expressão (7.4.4-2) é a adotadapela NB-I para a simplificação por ela considerada

no seu 5 4.1.1.3(A).

Os valores do coeficiente /3 podem ser determinados a partir dos diagramas de

interação (V,, pxdr p,). A tabela incluída na NB- I corresponde a seções retangulares

com armaduras iguais nas quatro faces. Para outros arranjos de armadura o raciocínio

pode ser repetido, determinando-se o coeficiente /3 a partir dos diagramas de interação

da seção.

I

c. Linearizaçáo do diagrama de interaçao

Quando não se dispoe do conhecimento prévio do andamento das curvas (pd,

pyd) dos diagramas de interação (v,, p,,, p,,), pode-se recorrer a linearização do

diagrama de interasão, Fig. 7.4.4-2.

Fig. 7.4.42 Linearizaçáo do diagrama de interaçáo

Ao invés da flexão composta oblíqua de esforços (ud, prd, pyd), sáo consideradas

duas flexóes normais compostas, respectivamente, de esforços (vdr pxd) e (V,, pvOd);

!

24s


onde

As expressões anteriores são válidas para seções transversais de forma qualquer

Elas permitem que sejam escritas as relações

Observe-se que com esse método a solução obtida pode ser muito antieconômica.

A força Fd é considerada sucessivamente no ponto A, sobre o eixoGy, e no

ponto B, sobre o eixo Gx. A essas posiçóes correspondem, respectivamente, os

momentos relativos pyo,a e l .~~,,,~. O erro cometido, contra a economia, decorre do

fato de o diagrama de interação ser curvo e não reto.

Note-se que, quando se dimensiona a seção sob a ação dos esforços (vd; fiuo, a)

e (v,; pzn, d), impõe-se que o diagrama real (p,,, pua) para v = vd passe efetivamente

pelos pontos P, e P,, Fig. 7.4.4-2.

Todavia, se o dimensionamento fosse feito separadamente para cada uma das

flexões normais, somando-se as armaduras assim calculadas, o erro cometido sena

muito maior, pois entao o diagrama real @L=,, pyd) passaria pelos pontos P', e P',. Este

último tipo de dimensionamento teve portanto ser evitado.

Observe-se que este tipo de erro não é cometido pelo método da traiisformação

afim de seção, pois nesse método a força F, é decomposta em duas partes, sendo cada

uma delas levada em cònta apenas em uma das flexões consideradas. O que não se

deve fazer é considerar duas flexões normais com a totalidade da força normal Nd em

ambas as flexões e,aseguir, somaras armaduras obtidas em cadaumadessasflexóes.

O método da linearização do diagrama de interação somente deverá ser usado

quando nao se dispuser de outra alternativa válida de cálculo.

7.4.5 CASO PARTICULAZ De acordo com a NB-1, no caso particular de seções retangulares comarmaduraigual

DE SIMPLIFICAÇAO nos quatro lados, a situação de flexão composta oblíqua pode ser tratada da forma

simplificada discutida no item 7.4.4(b), considerando-se uma flexão normal composta

equivalente, Fig. 7.4.5-1.

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFfClOS

Fig. 7.4.5-1 ~ilar'corn armadura igual nas 4 faces

Admite-se a excentricidade equivalente de valor

com

sendo o valor de p, de acordo com a NB-I, dado pela tabela seguinte

Valores de 100 p

o = A, f,d/A, f,,i

7.4.6 EXEMPLO Considere-se como exemplo a seção indicada na Fig. 7.4.6-1, sendo:

Fig. 7.4.61 Exemplo.

Os esforços solicitantes reais valem, neste caso:

vd = 0,7

da por

10 2

hz h, 50 20

Sendo de fato 5 > 5, pois - > -,

a excentricidade equivalente é defini-

Admitindo o valor aproximado w = 0,5, da Tabela incluída na NB-1, tem-se:

donde

50

e,, .. = 10 + 0,63 - . 2 = 13,2 cm

20

logo, a seção pode ser dimensionada a nexo-compressão no. rmal, sob a ação dos

esforços:


7.5 PILARES

ESBELTOS

7.5.1 CONSIDERAÇAO DOS Nas peças esbeltas, além dos esforços de l.a ordem, os quais abrangem os esforços

EFEITOS DE 2.a ORDEM iniciais dexidos as cargas aplicadas a estrutura e os esforços devidos as excentricidades

acidentais, também devem ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem,

que aparecem em virtude das deformações da própria estrutura.

Na Fig. 7.5.1-1 é mostrado um exemplo no qual são indicados os esforços de I.=

ordem iniciais e os esforços de 2.a ordem. Nesse exemplo, não estão indicados os

momentos fletores devidos as excentricidades acidentais.

FORÇA NORMAL MOMENTOS FLETORES MOMENTOS FLETORES

I NICIAIS

DE 2e ORDEM

Fig. 7.5.1-1 Solicitações dos pilares esbeltos.

Em geral admite-se que nas peças muito robustas sejam desprezíveis os efeitos de

2.a ordem.

A NB-1 admite que os efeitos de 2.a ordem possam ser ignorados quando o índice

de esbeltez da peça está abaixo do valor limite A = 40, e esta é contraventada.

Sendo o índice de esbeltez definido pela relação

onde[, é o comprimento deflambagem e i o raio

&):\:

de giração referente ao plano deflexão

j /

considerado, a limitação A s 40 corresponde nos casos práticos correntes aos seguin- 11

tes valores:

I

seção retangular de lados h, e h, i. ll, z 33~<:,

i = - ee G 12

seção circular de diâmetro d

LI.

-. 4) '1) .., ,- I

I

. -.. +/' -'.., '.

, ,

!

L

i i --

i


As exigências feitas pela NB-I para a verificação da segurança dos pilares

esbeltos estão resumidas no quadro mostrado na Fig. 7.5.1-2.

Fig. 7.5.1-2 Venficaçáo da segurança dos pilares (NR-I 4.1.1.3)

7.5.2 CONSIDERAÇAO DA Na determinação dos efeitos de 2.a ordem das peças submetidas à compressáo por

FLUÊNCIA ações de longa duração, em princípio deve ser considerada a fluência.

Em virtude dacomplexidade de determinação dos efeitos da fluência, usualmente

sáo adotados métodos aproximados de cálculo.

De acordo com o CEB será dispensável a consideração da fluência dos pilares

isolados quando for satisfeita pelo menos uma das seguintes condições:

a. jlexo-compressão com grande excentricidade

(ei = excentricidade inicial de 1." ordem)

ei/h 2 2,O (7.5.2-1)

b. predominância de cargas de curta duração

Fo*s 02 Fo+v,k (7.5.2-2)

c. pilares pouco esbeltos

A < 50 (7.5.2-3)

2. CRITÉRIOS DA NA-I

De acordo com a NB-I é desnecessário levar em conta o efeito da fluência nas

seguintes alternativas:

a. predominância de cargas de curta duração

lomo a NB-1 náo fornece critério quantitativo

apenas que afluência deve ser considerada "se for o caso", parece razoável o critério

do CEB, adotando-se a condição de dispensa de consideração.

Fsh 02 Fo + c, k (7.5.2-4)

b. pilares curtos ou mediatzanznzte esbeltos

h S 80 (7.5.2-5)

Subentende-se que esta restriçáo é paralelamente completada pela condição de

existir uma armadura de compressão. Com a presença de uma armadura de compressáo,

a fluência do concreto é substituída, em parte, por um processo de transferência

das tensões de compressão do concreto para o aço. Usualmente esta condiçáo é

satisfeita pelos pilares que dispõem de armadura simétrica.

Nos casos em que não existe justificativa para a dispensa da consideraçáo da

fluência, o cálculo poderá ser feito adotando-se simplificações de diversas naturezas,

de acordo com o que está apresentado no Cap. 9 referente aos pilares nãocontraventados

e as estruturas de contraventamento.

\

7.5.3 SITUAÇÕES DE No item 7.4.1 foram examinadas as situações de projeto e as correspondentes situa-

PROJETO ESITUAÇOES DE ções de cálculo, de acordo com as exigências da NB-I.

CÁLCULO As situações de cálculo determinam os esforços solicitantes de dimensionamento

que agem nos pilares curtos, para os quais não são feitas considerações de deformação,

nem elástica nem viscosa, pelo fato de os pilares serem pouco esbeltos.

Estas mesmas situações de cálculo também serão suficientes pardaverificação da

segurança dos pilares esbeltos, desde que sejam calculados por processos rigorosos.

De fato, embora nesses pilares existam efeitos de 2.a ordem bem como de

fluência, o cálculo da carga crítica ou da excentricidade crítica pelo método geral com

os processos do carregamento progressivo e da excentricidade progressiva, bem como

pelo método de equilíbrio com o processo do deslocamentode referência,já incluem

esses efeitos dentro dos próprios métodos de cálculo.

rig. r.=.=-l Pilares curtos e pilares esbeltos calculados por processos rigorosos. Simplificação das situa-

~ões básicas de cálculo.

O conceito de excentricidade e, de 2.a ordem do carregamento bem como o de

excentricidade suplementar e, devida a fluência somente surgem na aplicação do

método do equilíbrio, particularmente com o processo do pilar padráo. As deformações

da peça, de natureza elástica e de natureza viscosa, sáo transformadas em

excentricidades adicionais das cargas aplicadas.

Tendo em vista que as excentricidades acidentais e, têm por finalidade estabelecer

tão-somente uma segurança suplementar contra os efeitos das incertezas quanto

ao ponto de aplicação das cargas e quanto àlinearidade e verticalidade dos pilares, as

situações de cálculo estipuladas pela NB-I e reproduzidas na Fig. 7.4.1-1 podem ser

Fie. 7.5.3-2 Simpliiicaçáodas situaçóes básicas de cátculo. Pilares esbeltos calculados por processos

:ados.

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFICIOS 255

simplificadas conforme se mostra na Fig. 7.5.3-1. Estas simplificações são coerentes

com o que recomenda o Código Modelo do CEB.3 Essas são as situações básicas de

cálculo, válidas para os pilares curtos e para os pilares esbeltos calculados por

processos rigorosos.

No caso depilares esbeltos calculados por processos simplificados, as situações

de cálculo são derivadas das situaçóes anteriores, considerando-se também as excentricidades

e,, e e, quando houver fluência significativa. As situaçóes de cálculo assim

resultantes estão mostradas na Fig. 7.5.3-2.

É oportuno observar-se que as simplificações propostas são coerentes com ofato

de que a excentricidade e, de 2.a ordem e a excentricidade suplementar e, devida a

fluêncianão podem ser admitidas na mesma direçáo da excentricidade oblíqua e(, Fig.

7.5.3-3, conforme já foi discutido no Cap. 6.

Quando se emprega o método geral de cálculo com o processo do pilar padrão,

utilizando, por exemplo, diagramas de interação (Mldr Nd) como os que são mostrados

nas Figs.(5.3.5-4) e (5.3.5-5),nas situações de cálculo devem ser explicitadas as

excentricidades suplementares e, mas não as excentricidades e,, as quais são consideradas

pelo próprio método de cálculo. Um exemplo dessa situação é mostrado no Cap.

8, item 8.2.6.

Fig. 7.5.3-3 Flexáo obliqua

NEUTRA

Quando a fluência é considerada através de uma excentricidade equivalente de

ordem, as excentricidades suplementares e,, e e,, serão calculadas pelas expressões

gerais discutidas no Cap. 9, as quais fornecem:

onde

F, = carga de longa duração, a qual produz fluência.

F, = carga de flambagem de Eul'er, calculada conforme se indica no Cap. 9.

4 (t, , to) = função de fluência.

. e,,, = excentricidade na direçáo Gx da carga F,

e,,, ..= excentricidade na direção Gy da carga F,

e,,

= excentricidade acidental na direção Gx

e,, = excentricidade acidental na direçáo Gy

I

i

I

t

I

sendo

A carga de longa duração F, vale

Fn = Y n (Fgk + $2

7.5.4 SUPERPOSICIO

F~R)

F,, = valor característico da carga permanente

$2F-o-cela.&longa duração do valor característico da carga acidental usual

.

1,110 a 1,25, conforme o tipodG&

"--4

DOS A determinaião seuarada dos momentos fletores de 1," e de 2.. ordem com a sua

MOMENTOS FLETORES DE posterior superposição somente será possível se os pilares da estrutura puderem ser

1.a E DE 2.a ORDEM considerados isoladamente, sem a necessidade de uma análise global da estabilidade

do conjunto.

Discute-se adiante, no Cap. 9, as condiçóes gerais para que os pilares de uma

estrutura possam ser tratados isoladamente. Essa possibilidade sempre existe nas

estruturas de nós indeslocáveis, como as estruturas usuais dos edifícios correntes.

No caso de pilares de estruturas com nós indeslocáveis, distinguem-se os dois

casos básicos seguintes:

a. Momentosfletores iniciais nulos ou constantes, Fig. 7.5.4-1.

e, = const -- 3,-

Fig. 7.5.4-1 Superposiçáo dos momentos de

e de 2.* ordem.

Neste caso, a seção mais solicitada do pilar é aquela onde se dá a máxima

excentricidade e, de 2.a ordem.

O dimensionamento será feito então para os valores

e = e, + e, + e, (7.5.4-1)

acrescentando-se ainda a excentricidade

caso, resultando

b. Momenrosfleiores iniciais variáveis, Fig. 7.5.4-2.

Fig. 7.5.4-2 Superposi~áo dos momentos de 1."

de 2." ordem

Neste caso, não se sabe a priori se a seção mais solicitada é aquela onde ocorre

e,, , ou aquela onde existe e,, ,

No caso de não existirem cargas transversais aplicadas ao longo do pilar, Fig.

7.4.7-2. a NB-I prescreve a verificação nas seguintes seções da peça:

1. Seçi io da extremidade mais solicitada (elA = e,, , ; e, = 0)

.

1 2. Seçáo intermediária (e, = e,, ; e, = e,,

Nd = Fd

admitindo-se convencionalmente o valor

I

com

I

eic > O quando tiver o mesmo srntido que e,.

Neste último caso, se houver fluência significativa, deverá ser considerada a

excentricidade suplementar e,, resuitando

7.6 PROCESSOS

SIMPLIFICADOS DE

CÁLCULO

e = e, + e, + e, + e, (7.5.4-6)

!

7.6.1 CRITÉRIO BÁSICO DE O critério básico de simplificaçáo decorre da análise dos diagramas de interaçáo,

SIMPLIFICAÇÃO como o que é mostrado na Fig. 7.6.1-1.

!

i

d'= 0.5 h

I

<

-- Jd

36

3 d e =3 dii(Pd

Fig. 7.6.1-1 Transformagáo da flexo-cornpressáa em compressáo centrada

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIFíCIOS 259

Desde que se tenha um arranjo simétrico de armaduras e uma força normal

relativa de compressão com valores

a taxa mecânica w de armadura correspondente as solicitações reais (v, ,,L,)

pode ser

determinada, a favor da segurança, em função de uma compressão centrada equivalente,

com uma força normal relativa equivalente (vd, eR) dada por


com

ud, =C = aud (7.6.1-2)

logo

No caso da Fig. 7.6.1-1, tem-se K = 3,

ou seja,

O coeficiente K = 3 é válido para seções retangulares em que pelo menos 213 da

armadura estejam concentrados junto as bordas perpendiculares a altura h da seção.

Para as demais seções retangulares e para as seçóes circulares, da análise dos

diagramas de interação resulta

1

ou seja,

No item (7.6.4) estas condições de equivalência estão ilustradas por algumas

figuras explicativas.

7.6.2 PILARES CURTOS

SOB CARGA CENTRADA

De acordo com a NB-I, quando Fd é suposta centrada e A c 40, o pilar poderá ser

calculado à compressão, com a força normal aumentada na proporção I + 6lh, mas

não menor que 1 ,I, onde h, medido em centímetros, é o menor lado do retângulo mais

estreito circunscrito ã seçáo transversal, Fig. 7.6.2-1.

No caso de pilares curtos (A c 40) em situações de projeto de compressão

centrada (ei = O), o critério adotado pela NB-1 é o mesmo admitido pelo CEB, o qual

"7

---- - ~ ~ -

de à condição (7.6.1-2), ou seja,

Fig. 7.6.2-1 Retingulo circunscrito a seção transversal.

donde

Neste caso, não se faz qualquer restriçáo ao valor v,, e a adoção da expressão

única(7.6.2-1) deve ser entendidacomouma soluçáo simplistaválida paraos casos em

'

que a excentricidade é pouco significativa.

De fato, neste caso a única excentricidade a ser considerada é a excentricidade

acidental e,, dela decorrendo:

1. parahs 60cm : e, = 2cm

2 6

a= li3-=I+h

h

2. para h 3 60 cm : e, = h130

Na Tabela 13 estão apresentados os coeficientes u de majoração da força normal,

correspondentes a pilares curtos (A s 40).

7.6.3 EXEMPLOS Determinar a força normal equivalente para o dimensionamento das seguintes seçóes

transversais, admitindo-se sempre A < 40.

a. Seçáo refungular: h, = 30 cm , h, = 70 cm

b. Seção circular: d = 40 cm

7.6.4 PILARES Neste caso, válido para 40 < A < 80, de acordo com a NB-l , além das excentricidades

MEDIANAMENTE acidentais também devem ser consideradas as excentricidades de 2.a ordem. as quais

ESBELTOS SOB CARGA podem ser determinadas da forma convencional já discutida anteriormente, ou seja:

sendo

onde

1 -

--

0,0035 + f,,/E,

com vd + 0,5 a 1 ,O

r (v, + 0 3 h

Como a situaçáo de projeto é de compressão centrada, a situação de cálculo

decorre dos valores de e, e h, medidos na direção correspondente à maior esbeltez.

Para a determinação da força normal equivalente são adotados os critérios já

discutidos em (7.6.1), a saber:

a. Seçbes retangulares com@, = A, a 3) Fig. 76.4-1

3

com

Fig. 7.6.4-1 Seçóes retangulares com A,, 2 AJ3.

b. Seçóes circulares e seções refangulares com

Fig. 7.6.4-2 Seçoes circulares e seçoes retangulares com A,, , A,/3

Nas Tabelas 14 a 19 são apresentados os valores do coeficiente c< de majoração de

força normal, correspondentes aos aços CA-25, CA-50 e CA-60, para pilares medianamente

esbeltos (40 < A < 80).

Exemplos numéricos de aplicação estao apresentados no Cap. 8.

7.6.5 PROCESSO Em princípio, o critério introduzido no item 7.6.1 para a transformaçáo de umaflexão

i APROXIMADO DE composta normal em uma compressáo centrada, expresso pela equação

PRÉ-DIMENSIONAMENTO

E DE DIMENSIONAMENTO Ud,en = Vd + pdi (7.6.5-1)

EXPEDITO

pode ser empregado mesmo quando no momento pd existir uma parcela devida a uma

excentricidade inicial ei.

Entretanto esta aplicação deve ser usada com cautela, pois a precisáo de seus

resultados depdnde do andamento dos diagramas de interação nas faixas de valores

altos de pd.

Por esta razão, a expressão (7.6.5-1) pode ser empregada irrestritamente tãosomente

para o pré-dimensionamento. O emprego desta expressão para dimensionamento

somente é lícito após o seu controle, por meio da análise do andamento dos

correspondentes diagramas de interação.

Em muitos casos da prática essa aplicação é possível, com precisão numérica

muito boa, conforme será visto nos exemplos de projeto.

Generalizando o critério de simplificação, pode-se resolver de forma semelhante

o problema do pré-dimensionamento das peças sujeitas a flexão composta oblíqua.

Através da análise dos diagramas de interação (v,, pzdi pyd), a flexáo composta

oblíqua pode ser transformada numaflexão composta normal equivalente, para a qual

se obtenha a mesma taxa o de armadura, conforme já foi mostrado no item 7.4.4,

particularmente através da Fig. 7.4.4-1.

A seguir, esta flexão composta normal é transformada numa compressão centrada

equivalente, podendo-se fazer assim o dimensionamento expedito da seção

transversal da peça.

7.7 PAREDES

ESTRUTURAIS

7.7.1 CONCEITOS BÁSICOS Definem-se como paredes estruturais as estruturas laminares planas verticais apoiaz

das de modo continuoem toda a sua base, com comprimento b maior que cinco vezes a

espessura h, solicitadas predominantemente por cargas contidas no seu plano médio,

Fig. 7.7.1-1.

b > 5h

PAREDE

b G 5h

PILAR

Fig. 7.7.1-1 Distin$ao entre paredes e pilares

Para efeito de dimensionamento, as paredes estruturais são tratadas da mesma

forma que os pilares, alterando-se apenas alguns detalhes particulares.

Um problema particular que merece consideração especial é constituído pelos

pilares de seção celular, compostos elementos que podem ser assimilados a

paredes estruturais, Fig. 7.7.1-2.

Particularmente em relação a armadura mínima dos pilares de seção celular, é

importante lembrar que as exigências de um mínimo de armadura nos pilares nasceram

do conceito de excentricidade acidental.

No caso de seções nãu-vazadas, as exigências tradicionais parecem usualmente

satisfatórias.

No entanto, no caso de pilares de grandes seções transversais, como é o caso

usual dos pilares de seção celular, essas mesmas exigências frequentemente são

exageradas, pois nesses casos nada se melhora, em princípio, em relação a segurança

da peça, pelo aumento da armadura além dos valores requeridos pelo cálculo.

No caso de pilares de seção celular, cabe então garantir, através das exigências de

armaduras mínimas, a segurança contra flexões localizadas não previstas das paredes

que compõem o pilar.

Em casos destanatureza, a solucão lógica - será admitir-se a existência de um pilar

para o cálculo do conjunto e dar-se o tratamento de parede estmtural para a consideração

das disposicoes - . construtivas, tais como cobrimentos mínimos, armaduras mínimas,

espaçamentos miximos e exigências quanto as armaduras transversais.

I

I

Fig. 7.7.1-2 Pilares de seçia celular

7.7.2 EXCENTRICIDADE De modo geral, o dimensionamentodas paredes estruturais será feito considerando-se

DO CARREGAMENTO queacargatenhaumaexcentricidade emrelaçãoaoplano médio da peça, Fig. 7.7.2-1.

Fig. 7.7

"cidade do carregamento das paredes

A excentricidade a considerar será a soma das seguintes parcelas:

a. excentricidade inicial ei correspondente a posição prevista para o ponto de aplicação

das cargas;

b. excentricidade acidental e, resultante da imprecisão de execução;

c. excentricidade de 2.a ordem e,, correspondente as deformações de flexáo em plano

perpendicular a parede.

No caso de paredes estruturais, a determinaçáo da excentricidade inicial e, deve

considerar ainteração das paredes tanto com as vigas quanto com as lajes com as quais

elas estejam monoliticamente ligadas.

No caso de pilares, as ligações destes com as lajes são usualmente ignoradas,

exceto quando existirem lajes-cogumelo. Com paredes estruturais, a interação das

mesmas com as lajes pode ser importante, mesmo quando as lajes são maciças,

particularmente no caso de paredes de extremidade dispostas paralelamente à borda

da construção, Fig. 7.7.2-2.

Fig. 7.7.2-2 Interaçao laje-parede.

De acordo com a NB-1, as excentricidades acidentais a serem adotadas para o

cálculo de paredes estruturais deverão estar no intervalo

dependendo a escolha do valor específico, a ser adotado no cálculo, dos cuidados

previstos para a execução da obra.

7.7.3 MOMENTOS No caso de paredes estruturais fixadas no topo e no pé, os momentos fletores

FLETORES DE 2.a OR,DEM ordem poderão ser calculados da mesma forma que para os pilares, adotando-se o

processo simplificado do equilíbrio, pelo qual

onde a curvatura Ilr é adotada com o valor convencional

com


sendo h a espessura da parede e

Para a determinação do comprimento de flambagem e,, a NB-1 admite os seguintes

valores aproximados, determinados em função da altura (da parede e da relação

altura da parede

P =

largura da parede

I

a. Topo e pé articulados fixos

Bordas verticais livres

b. Topo e pé articuladosfixos

Uma borda vertical livre e outra faa (articulada ou engastada)

c. Topo e pé articulados fixos

Bordas verticais firas (articuladas ou engastadas)

e e, = - para íj3 G 1)

1 + pz

(7.7.3-4)

i

7.8 DISPOSIÇOES

CONSTRUTIVAS

e e, = - para íj3 > 1)

2 P

d. Topo e pé engastados, com P G I

Adotam-se os valores indicados em a, b, c multiplicados por 0,85

(7.7.3-5) 1

7.8.1 RESISTÊNCIA AO Os valores máximos e mínimos relativos as disposições construtivas consideram as

FOGO exigências das seguintes normas brasileiras: 1

NB-1/78: Projeto e execução de obras de concveto armado

I

NB-503177: Exigências particulares das obras de concreto armado e protendido em

relação a resistência ao fogo

I

Tendo em vista a ação do fogo sobre as estruturas, devem ser analisados os 1

seguintes aspectos fundamentais:

1. Classificação dos incêndios

Para a consideração da intensidade do fogo, a NB-503 classifica os incêndios da

seguinte forma:

a. Admite-se para o poder calorífico da madeira o valor de 4 500 kcalJi.0

b. Transformam-se os materiais combustíveis da e num equiv

-


madeira, considerando o poder calorífico e a quantidade desses materiais.

c. Admite-se a seguinte correlação entre o potencial calorifico equivalente em

madeira e a duração do incêndio:

Tabela 1

Potencial calorifico

equivalente em

madeira (kg/mz)*

30

60

90

120

Duração do

incêndio

(minutos)

60

120

180

240

Representação

simbólica

do fogo

F 60

F 120

F 180

F 240

*Para valores inrermediários do potencial calorifico adota-se a duracão imediatamente

superior.

2. Incêndio a ser considerado no projeto

a. Para edifícios residenciais de altura não superior a 12 m, medida do piso

mais baixo ao teto mais alto, pode ser adotada a duração F 60 para toda a

estrutura.

b. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente não exceda a 60 kg/m2

de madeira, deve o projeto considerar no mínimo as seguintes durações:

- para elementos estruturais essenciais aresistência global da estrutura, tais

como pilares e vigas de transição: F 120

- para os demais elementos da estrutura: F 60

c. Nos edifícios em que o potencial calorífico equivalente exceder a 60 kg/m2, em

lugar da duração F 120 adotar-se-á a duração indicada na Tabela 1, e a duração

imediatamente inferior em lugar da duração F 60 para os elementos estruturais

classificados no caso b.

7.8.2 DIMENSOES Valores exigidos pela NB-1

EXTERNAS M~NIMAS

Nota 1 - apoiado em toda a extensão da base e obrigatoriamente considerada a

flexáo devidaãs ligações com lajes e com os pilares de andares adjacentes.

e, = altura livre

i = raio de giração mínimo

L = distância numa certa direçao entre eixos de pilares

di = diâmetro do núcleo cintado

b = largura da seção

h =. espessura da seção


Observação: Náo sáo permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pilares,

quer no concreto, quer em espaços vazios sem aberturas de

drenagem.

Valores exigidos pela NB-503 (centímetros)

Peças

F60

Duração do fogo

FIZ0 F180

F24

1: Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e

expostos ao fogo em duas ou mais faces.

2. Pilares de seção quadrada, inteiramente comprimida, e

expostos ao fogo em uma só face.

3. Paredes de seçáo retangular com relação de lados

blh 5, inteiramente comprimida.*

4: Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direçáo

longitudinal.

20

12

12

8

30

16

16

11.5

36

20

20

15

40

24

24

18

'Para pilares com relagão de lados entre 1 e 5, interpela-se linearmente entre os valores dos casos 1 e 3.

7.8.3 COBRIMENTOS Valores exigidos pela NB-I: Cobrimento c (centímetros)*

M~NIMOS

Concreto revestido

com argamassa de

pelo menos 1 cm de

espessura

Concreto aparente

Peças

Pilares

Paredes

Interior de

edifícios

1,s

1,0

Ao ar

livre

2,O

1s

Interior de

edificios

2,O

28

Ao ar

livre

2.5

2,s

Concreto

em contato

com o solo

3,O

3 ,o

Concreto

em meio

fortemente

agressivo

4.0

4,O

'Cobnmento c medido a partir dor estribos ou das armaduras secundárias externas à armadura principal.

.Valores exigidos pela NB-503: Cobrimento c( da armadura longitudinal (cm)

I

I~ilares

Peças de concreto náo-revestido

(7 (**I

com seção inteiramente comprimida 1 2,5 1 4.5 / 6,O / 7,s 1

Peças fletidas que não possam dilatar livremente na direção

longitudinal

Paredes / 1,5 1 3,O / 4,s 1 -

I I I I I 1

'Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimcnto c,, para cada 1,s cm de revestimento de argamassa de cal e areia.

"Permitem-se descontos de 1.0 cm do cobrimento c,. oara cada 0.4 sm de revestimento de xsso ou de fibras de

amianto, ou de argamassa de vermiculite

2.5

4,O

5,O

6,O

7.8.4 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1

LONGITUDINAIS

a. Pilares não-cintados que tenham todas as barras comprimidas

= 0.8% para teli > 30

,i, = 0,5% para t,/i s 30

'

lusive no trecho de emenda I

sse)


b. Pilares com seção efeíiva A,, ,f superior a seçáo calculada A,, ,.,l

A, = 03% A,, .., para (,/i > 30

A,, ,i, = 0,5% A,, .., parateli s 30

A,, ,i, = 0,5% A,, , (videcomentários, § 7.7.1, arespeito de pilares de seção

c. Paredes (b 6 h)

celular). De modo geral esta condiçáo da NB-I parece

exagerada, podendo por isso ser suprimida.

...

p,,, = 0,4%

d. Paredes com seçáo efetiva A,, ,superior a seçáo calculada A,., ,.,

A,, min = 0,4% A,, c,

A,, ,i, = 02% A,, ,f

e. Paredes com 5 h < b < 6 h

Interpolar linearmente entre os valores recomendados para pilares e paredes.

f. Pilares cintados

Veja-se o § 7.2.3

I

7.8.5 ESPAÇAMENTO DAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-1

BARRAS LONGITUDINAIS

a. Espaço livre mínimo entre barras; 2 cm; 1 4; 1,2 dogregodo

+ = diâmetro das barras, das luvas ou dos feixes

b. Espaço livre mínimo entre barras, na posição das emendas por traspasse: 2 $

I

c. Espaçamento máximo, junto ao contorno dos pilares náo-cintados:

i

40 cm

d. Espaçamento máximo, das barras da armadura principal das paredes: I

2 h, 30 cm i I I

7.8.6 ARMADURAS VALORES EXIGIDOS PELA NB-I

TRANSVERSAIS

a. Espaçamento máximo dos estribos dos pilares náo-cintudos

f,k.Jf,.,

- 30 cm

- menor dimensão externa da seção da peça

- 21 +,e 340 m2,1 +, para aço CA-25 e CA-32

- 12 +, e 190 +2,/ +, para aço CAIIO, CA-50 e CA-60

Caso f,k, esi,.o, < fuk, armadura reduzir o espaçamento proporcionalmente a

b. Arranjos básicos dos estribos

Na Fig. 7.8.6-1 são mostrados os arranjos básicos dos estribos, de acordo com as

exigências da NB-1.

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

Fig. 7.8.6-1 .4rranjos básicos dos estribos das peças náo-cintadas.

c. Diâmetro mínimu dos estribos

De acordo com a NB-1, deve-se ter:

d. Armaduras secundárias das paredes

A armadura secundária, normal à armadura principal, deverá ter seção tr,.,, .,-

sal no mínimo 50% da principal.

PILARES E PAREDES USUAIS DOS EDIF'fCIOS

e. Estribos suplementares nas paredes

O emprego nas paredes de estribos suplementares, como os indicados na Fig.

7.8.6-1, é exigido pela NB-1 apenas quando ocorre pelo menos uma das seguintes

circunstâncias:

f. Pilares cintados

Veja-se o § 7.2.3

7.9 EXERC~CIOS 7. 1 Que são ações atuantes e ações resistentes? Definir solicitações atuantes e soiicitaçóes

resistentes.

7. 2 Qual a condição de segurança na flexão pura?

7. 3 Definir a direçáo da verificação da segurança na flexão composta.

7. 4 Que são excentricidades acidentais?

7. 5 Deduzir as expressões básicas de dimensionamento dos pilares não-cintados submetidos a

compressão centrada.

7. 6 Qual a funçáo do coeficiente a de majoraçáo da força normal?

7. 7 Como é determinado o índice de esbeltez dos pilares dos edifícios correntes? Quais as

hipóteses envolvidas nessa determinação?

7. 8 Que é pilar cintado? Qual o efeito do cintamento?

7. 9 Como a NB-I considera quantitativamente a influência do cintamento?

7.10 Quais as restriçóes ao emprego de pilares cintados?

7.11 Quais as exigências da NB-I quanto a dimensões, espaçamentos e taxas de armadura dos

pilares cintados?

7.12 Quais as condiçóes que tornam obrigatória a consideração da açáo do vento sobre os

edifícios?

7.13 Que são estruturas de contraventamento?

7.14 Como são considerados os nós dos pilares de estruturas contraventadas?

7.15 Quais sáo as situações básicas de projeto dos pilares dos edifícios?

7.16 Como são calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de extremidade?

7.17 Como sáo calculados os momentos fletores iniciais dos pilares de canto?

7.18 Definir as situaçóes de projeto e as correspondentes situações de cálculo estipuladas pela

NB-1. Como podem ser elas simplificadas? Justificar.

7.19 Como se faz a transformação de uma flexáo composta oblíqua numa flexáo composta

normal equivalente?

7.20 O que se entende por diagrama de interação linearizado na flexáo composta oblíqua?

Quando é lícita essa linearizaçáo?

7.21 Quais as desvantagens do emprego do diagrama de interaçáo linearizado?

Pilares Usuais de Edifícios.

Exemplos de Dimensionamento

8.1 DADOS BÁSICOS

DE PROJETO

8.1.1 CARGAS DE PROJETO Para a determinação das cargas de projeto, dispõe-se da Norma Brasileira NB-5/78

(Cargas para cálculo de estruturas de edificações), a qual "fixa as condições exigíveis

para a determinação dos valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de

estruturas de edificações, qualquer que seja a sua classe e destino, salvo os casos

previstos em normas especiais".

A NB-5 classifica as cargas em permanentes e acidentais, indicando-as, respectivamente,

pelos símbolos (g) e (q).

A carga permanente (g) da construção é constituída pelo peso próprio da estwtura

e pelo peso de todos os elementos constmtivos fixos e instalações permanentes.

Para os casos em que não há determinação experimental, a NB-5 fornece os

valores dos pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais frequentes.

A tabela seguinte é um extrato da Tabela 2.1.3 da NB-5178.

Blocos

artificiais

e concretos

Peso específico aparente

1 Materiais I íkN/m3)

blocos de argamassa

cimento amianto

lajotas cerâmicas

tijolos furados

tijolos maciços

tijolos sílico-calcários

argamassa de cal. cimento e areia

argamassa de cimento e areia

argamassa de gesso

concreto simples

concreto armado

22

20

18

13

18

20

19

2 1

12.5

24

25

I N =0.1kgf I MPa =I MNlmX= 10kflcm2

I kN = IWkgf= 0.1 tf I kN1m = IW kgfim = 0,l tfim

I kN.m = 1W kgfm = 0.1 ttm

I kNimS= IW kgfimP = 0.1 tflm'

1 kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm I kNimb IW kgflm' = 0.1 tfIm3

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 273

De acordo com a NB-5, carga acidental é toda aquela que pode atuar sobre a

estrutura de edificações em função de seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos,

veículos etc.).

Na tabela seguinte apresenta-se um pequeno extrato da Tabela 2.2.1.2 da NB-5,

na qual são especificados os valores mínimos das cargas verticais.

Local

Casas de máquinas

Corredores

Edifícios residenciais

Escritórios

(incluindo o peso próprio das máquinas)

a ser determinada em cada caso, porém com o

valor mínimo de

com acesso ao público

sem acesso ao público

dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro

despensa, área de serviço e lavanderia

salas de uso geral e banheiro

Carga (kN/mZ)

7.5

3

2

1.5

2

2

C

A NB-5 fixa ainda diversos valores numéricos e formula uma série de recomendações

para diferentes casos específicos de carregamento.

No caso de edifícios para escritórios, residências e casas comerciais não destinadas

a depósito, para o cálculo de pilares e defundações, as cargas acidentais podem ser

reduzidas de acordo com os seguintes valores prescritos pela NB-5.

I

-

Número de pisos que atuam sobre o Redução percentual das cargas acidentais

elemento

1.2 e 3

4

5

6 ou mais

0

20

40

60

8.1.2 ARRANJO GERAL E Na Fig. 8.1.2-1 está delineado o arranjo geral da estrutura que servirá de suporte

CARREGAMENTO DAS para os exemplos de dimensionamento a seguir apresentados.

LAJES Nos itens seguintes serão dimensionados os pilares P1, P4, P5, W e P8,

admitindo-se diferentes índices de esbeltez.

a. Carregamento das lajes

g, = peso próprio = 0,12 m x25 kN/m3 = 3,O kN/mZ

g, = revestimento (taco + argamassa) = 0,8 kN/mZ

q = carga acidental (escritórios) = 2,O kN/m2

-

p = carga total

5,8 kN/mZ

1N =O,lkgf i MPa I I MNlm* = IOkgf!cm2

I kN = IW kgf = 0,1 tf I kN1m = IW kglirn =O,! tfim

I kN.m = IWkgfm = 0.1 tf.m I kN!mS= 100kgf/m2=0,1 tf/rnS

I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 õcm I kN/rnS = lW kgflm' = 0.1 tflm"


Fig. 8.1.2-1 Arranjo geral

b. Reações das lajes

De acordo com o quejáfoi discutido anteriormente,* as reações de apoiadas lajes

sobre as vigas são obtidas da seguinte forma:

'Fundamentos do Projeto Estnitural.

IN =O,Ikgf I MPa = I MNlmZ = 10 kgficm2

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = 100 kgf/m = 0.1 tflm

1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m I kNlms= 100kgf/mP = 0,1 tfim2

1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 tfcm I kNlm3 = 100 kgfIm3 = 0.1 tflm=


8.1.3 cÁLCULO DAS VIGAS I. Viga VI

VIGA @ (20/50 + 12)

Fig. 8.1.3-1 Cálculo da viga VI

a. Cargas

peso próprio + alvenaria

laje (L1 = L2)

-

12,0 kN/m

7,8 kN/m

p = 193 kN/m 20 kN/m

b. Reaçóes

As reações estão indicadas na Fig. 8.1.3-1 e foram calculadas admitindo-se uma

viga contínua (os momentos nos apoios internos foram calculados de forma aproximada

pelo valor - pt2/10).

Não convém, em situaçóes dessa natureza, o uso indiscnminado da permissão

dada pela NB-I em seu 5 3.2.2.3 B (d).

c. Rigidez (de acordo com a Tabela 27)

-

0,i kd 1 MPa = i MN/mS = 10 kgficrnP

I00 kd =- 0,l lf

1 kN/m = 100 kgfim = 0,l tfim

i00 kgtm = 0.1 tf m I kNim2 = 1001<gWmP = 0.1 tWmz

100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kNim3 = 100 kgf/mg = 0,l tfima

1 MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cmz

d. ?víomento de engastamento perfeito

VIGAS

o=@ (20/50+ 12)

Fig. 8.1.3-2 Cálculo das vigas V2 e V3

a. Cargas

peso próprio = 0,20 m x 0,60 m x 25 kN/m3 = 3,O kN/m

- -

laje (L1 L2)

L1 = 7,s kN/m

laje (L3 L4)

L3 = 7,s kN/m

p = 18,6 kN/m 19 kN/m

b. Reações

Valores indicados na Fig. 8.1.3-2.

c. Rigidez

IN =O,lkgi I MPa =I MNlrn2= IOkgflcm'

I kN = IWkgi= 0.1 tf I kNlm = IW kgflm = O, I tfim

I kN.m = 1W kdm = 0.1 tfm I kN1m' = IW kgfimP = 0.1 lflm'

I kN.cm= 1Wkgj.cm =U,I tf.cm 1 kNlmZ= 1Wkgflm8=U,1 tfirn3

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMF'LOS DE DIMENSIONAMENTO

d. Momento de engastamento perfeito

pe2 - 19 kN/m . (6mY = 57 kN,m

Me, = 12 -

12

111. Viga V4

Fig. 8.1.3-3 Cálculo da viga V4

a. Cargas I

peso próprio + alvenaria

= 10 kN/m

-

laje (Ll)

= 5,s kN/m

p = 15,s kN/m 16 kN/m

b. Reações

O equilíbrio de rigidez dentre os pilares P1 e P4 permite que neste caso sejaválida

uma simplificação como a do item 3.2.2.3 B (d) da NB-1.

Os valores das reaçóes estão indicados na Fig. 8.1.3-3.

c. Rigidez

h

b,/b, = 12/36 = 0,33

hJh = 12/52 = 0,23

I) = 0,51 (Tabela 27)

I MPa = 0,l kN/cm2 = I00 N/cmP


r, =- I =i

21 = 0,55 dm3

t 40

d. Momento de engastamenro perfeito

IV. Viga V5

I

1

a.

Fig. 8.1.3-4 Cálculo da viga VS.

Cargas

peso próprio

laje L1

laie L2

= 2,O kN/m

= 5,s kN/m

= 5.8 kNim

8.1.4 CARREGAMENTO a. Cargas devidas a 1 andar

DOS PILARES

b. Reações

Reações calculadas de forma simplificada. Valores indicados na Fig. 8.1 5 4.

Total = 82 kN Total = Ill kN Total = 181 kN

I I I I

'Peso próprio já incluído na consideração das alvenarias.

"Valor estimado para o peso próprio.

1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 kgf/cm2

1 kN = IW kgf = 0.1 tf I kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm

1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kN/m2 = 1W k8f/mP = 0.1 rf/m2

1 kN.cm= 100 kgf:cm = 0,l tfcm I kNIm3 = IW kgflms = 0.1 tfim"

b. Carga de 10 andares (Valores característicos)

P1 = 820 kN

P4 = 1110 kN

P5 = 1810 kN

P7 = 1110 kN

P8 = 1810 kN

8.2 PILARES

INTERNOS

.2.1 PILAR CURTO (h s 40) a. Problema proposto

Considere-se o dimensionamento do pilar PS, admitindo que o comprimento de

flambagem seja l', = 3,50 m.

De acordo com os dados básicos, têm-se

Admita-se o emprego dos seguintes materiais:

Aço: CA-SOB y, = 1,15

Na compressão simples = 2%0): fsd = 356 MPa (Tabela 20)

Concreto: fCk = 15 MPa YC = 1,4

Na compressão simples: 0,85 f,,

15

=0,85 = 9,l MPa

1,4

b. Pré-dimensionamento '

Admitindo-se a taxa geométrica de armadura

p, = 1%

a tensão ideal a,, vale (Tabela 23)

aia = 035 f,d + p, (fad - 0,85 f,n) = 12,5 MPa = 1,25 kN/cmZ

,I I

resultando a estimativa

ou seja, será adotada a seção

A, = 35 cm x 60 cm = 2100 cm2

1N =O,lkgf I MPa = 1 MNlmZ = 10kgficmZ

I kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNim IW kgfim = O,] tfim

1 kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tf.m 1 kN/rnP = 100 kgfim* = 0.1 tfimP

I kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNim3 = IW kgfimb 0.1 tfima

I MPa = 0.1 kN/cmZ = 100 Nlcm'


c. Dimensionamento

Adotando-se a seção definitiva

têm-st

De acordo com a NB-1 , para A < 40, a excentricidade acidental mínima pode ser

substituída por uma majoração da força normal, devendo tomar-se

com

É óbvio que esta majoração será feita em função da menor dimensão da seção

transversal, a qual já foi considerada na determinação de A,.

Neste caso, as duas situações de cálculo de flexáo composta, teoricamente

definidas pela NB-I, Fig. 7.4.1-1, ficam reduzidas a uma única situação de cálculo de

compressão centrada.

Desse modo, resulta

obtendo-se a tensão ideal média

. = -

ld

Nld = 2965 kN kN

= 1,41 - = 14,l MPa

A, 2100 cmZ cmZ

De acordo com a Tabela 23, para o Aço CA-50B e f,, = 15 MPa, a tensão

ufd = 14,l MPa corresponde a taxa de armadura

logo

não havendo restrições quanto ao arranjo da armadura longitudinal além das prescnções

constmtivas da NB-I.

0,l kgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgflcm'

: IW kgf = 0.1 tf 1 kNlm = IW kgfim = 0.1 tfim

100 kgf.m = 0.1 tfm I kNlma = 1W kgf/mP = 0.1 fims

; IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNid = IWkgfid = 0.1 ifim3

PILARES USUAIS DE EDIF'~cIoS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 281

8.2.2 PILAR a. Problema proposto

MEDIANA MENTE ESBELTO Considere-se novamente o mesmo pilar P5, admitindo agora o novo compnmento

(40 i A s 80) de flambagem

e, = 5,60 m (e,, = te, por hipótese)

e a mesma seção transversal do caso anterior, ou seja,

Neste caso têm-se, novamente, Fig. 8.2.2-1: 1 1

Fig. 8.2.2-1 Arranjo da armadura

I MPa = 0.1 kN/cm2 = 100 N/cmz

+

sendo mantidos os mesmos materiais: Aço CA-SOB, f,, = 15 MPa

b. Pimensionamento

O pilar poderá ser novamente dimensionado apenas em função da esbeltez

máxima. De acordo com a NB-I , o pilar poderá ser admitido numa situação de cálculo

de compressão uniforme, majorando-se a força normal proporcionalmente a

onde

K = 3 (decisxo de projeto, válida para seçóes retangulares

e, = e,, + e,,

1

com A,, 3 - A,, Tabela 16)

3

e,, = 2 cm faz = 2 cm > -

30

(Ver comentário feito em 7.1.4)

logo

tZ,, . 0,0035 + 0,0027

eZs = -

10 (v, + 0,s) h

Empregando-se a Tabela 16, com f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2, tem-se

2 cm

?!E = = 0,057

h, 35 cm

e sendo

IN =O,lkgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz

I kN = IW kgf = 0.1 tf i kNim = IW kgfim = 0.1 fim

I kN.m = 100 kgf.rn = 0.1 tf.m I kNimS= IW kgfimP = 0.1 @/me

I kNcm = 1W kgfcm = 0.1 tfcm I kNima = IW kgfim3 = 0.1 tfirn3

1 MPa = 0.1 kNicm2 = 100 Nicm'

PILARES USUAIS DE EDIFÍCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

resulta (Tabela 16)

a2 = 0,26

obtendo-se

ou seja

a=a,+a2= 1,17+0,26= 1,43

Nld = a Nd = l,43 X 2534 = 3624 kN

Com a seção adotada, obtém-se

Nld =

Uid = - 3624kN - 1,73 - kN = 17,3 MPa

A, 2100 cmZ cm2

e da Tabela 23 resulta (CA-SOB, f,, = 15 MPa)

logo

p, = 2,4%

2100

A, = 2,4 -- = 50,4 cm2 = 16 4 20 (50,4 cm2), devendo ser respeitada a con-

1 O0

1

dição A,, > - A,, Fig. 8.2.2-1.

3

8.2.3 PILAR ESBELTO SEM a. Problema . urouosto .

CONSIDERAÇAO DA Considere-se mais uma vez o pilar P5, admitindo os valores:

-

.+Ac.= 20 cm x 150 cm = 3000 cmz

e, = 560 I& (e,, = e,,)

h i 7 * p a = 1,07 kNIcmZ L. ! 1 Í

1 i

Na direção de menor rigidez, têm-se

1 i

IN =0,1kgf 1 MPa = I MNlrna = 10 kgflcrn*

IkN =IWkgf=O,ltf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tfim

I kNm = 100 kgfm = 0.1 tfm 1 kN/rn2= I00 kgf/rn3= 0.1 tf/m2

I kN.cm = IlM kgfcm = 0.1 tfcm I kN/m3 = IW kgf/rn3 = 0.1 tf/mJ

1 MPa = O,] kN/cmz = 100 N/cmz


e na direção de maior rigidez

A Fig. 8.2.3-1 mostra as situações de cálculo especificadas pela NB-1,

ignorando-se ainda as possíveis simplificações permitidas.

SITUAÇÃO SUPOSTA

NO PROJETO

e. =

I

Y

SITUAÇ~ES DE CÁLCULO CONFORME A NB -I.

1'

( 1"

( 2O 1

i d * x

~ d b a y ~ x

eax

i,' 97

Xy= 13

Fig. 8.2.3-1 Situaçóes de cálculo

b. Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso pelas tabelas do Manual de

Flambagem do CEB)

Neste caso, o único momento de I .a ordem decorre da excentricidade acidental

e,,, sendo

hz - 20

e,, = 2 cm (e,, = 2 cm > - - - = 0,67 cm)

30 30

logo

Parao emprego das tabelas daFig. 5.3.5-3 do Cap. 5,'6~"calculam-seos valores:

1N =O,lk&f I MPa = I MNim2 = I0 kgficm*

IkN =IWkgf=O.ltf I kNim = I00 kgflm = 0,I tfim

1 kN.m = IWkgfm = 0.1 1f.m 1 kNimZ= IWkgfim2=0,1 tiim'

1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I ücm I kN/ma = I00 kgfima = 0.1 tfim3

I MPa = 0.1 kNicm2 = 100 NicmP

"


De acordo com a tabela citada, têm-se:

para

para

Interpolando linearmente para <,/h = 28, resulta

Observe-se que, de acordo com a definição adotada,'" l7 a taxa o. não fornece a

armadura total, mas sim a armadura de cada uma das faces.

Sendo então wn =

5 fUd

2

0,85 fc, A,

0,85 x 10,7 MPa x 3000 cm2 = 25,7 cmZ

tem.se 5 = 0,41

2 435 MPa

logo A, = 2 x 8 6 20 (2 x 25,2 cm2), conforme indicação da Fig. 8.2.3-2

Fig. 8.2.3-2 Atnanjo da armadura.

/yh,=

20cm

I N =0,1kgf I MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cm2

I kN = 100 kgf = 0.1 tf r kN/rn = 100 kgfim = 0.1 tf/m

1 kN.m = IW kgf.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 k8firn2 = 0.1 WmP

1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 dcm I kN/m3 = 100 kgf/mS = 0.1 tf/rn3

I MPa = 0.1 kN/crn2 = 100 N/cmZ

c. 2.O Situaçáo de cálculo (Dimensionamento simplificado)

A 2.a situação de cálculo especificadapela NB-1 corresponde aflexáo no plano de

maior rigidez da seção transversal do pilar, Fig. 8.2.3-1.

Neste caso, sendo A, < 40, adinite-se o cálculo simplificado, resultando:

Nld = 2787 kN kN

Uid = -

= 0,93 - = 9,3 MPa

A, 3000 cm2 cmP

1 De acordo com a Tabela 23, para CA-SOB, fek = 15 MPa e u,, = 9,3 MPa, resulta

I

um valor

I

Ps, nec < Ps, dismnível = Ps, I.* sit. de esleuio

8.2.4 PILAR ESBELTO. a. Problema proposro

SOLUÇAO ALTERNATIVA Considere-se novamente o pilar, P5, nas mesmas condiçoes do item anterior.

POR MEIO DE O objetivo deste exemplo é mostrar o emprego de diagramas de interação de

DIAGRAMAS DE flexão composta de barras esbeltas, como os que foram mostrados no Cap. 5, Fig.

INTERAÇÃO 5.3.5-5.

Basicamente, esses diagramas de interação fornecem os mesmos dados que as

I< tabelas apresentadas pelo Manual de Flambagem do CEB.17

Tendo em vista o objetivo deste exemplo, será considerado apenas o dimensionamento

referente a I .a situação de cálculo do item anterior (58.2.4-b), Fig. 8.2.3-1.

b. I.a Situação de cálculo (Solução alternativa - dimensionamento rigoroso por

meio dos diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5)*

Dados do projeto:

N, = 2534 k~ N<r IJ

e,, = e,, = 2 cm

A, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2

h, = 20 cm

*ReferSncia (18)

I; @,

&J

IN =O,lkgf 1 MPa = I MNlms = 10 kgf/cmZ

I kN = 100 kgf = 0.1 rf I kN1m = IW kdim = 0.1 tflm

1 k Nm = 1W kgf.m = 0.1 tfm I kN/ma = 1W kgf/m2 = 0.1 tflm'

I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tfcm I kNim3 = l m kgfim3 = 0.1 tf/m3

i


kN

fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 -

cm2

kN

f,, = 435 MPa = 43,5 -

cm2

Com esses dados, obtêm-se os valores:

Dos diagramas deinteração da Fig. 5.3.5-5, com vd = 0,79e pId = 0,08, obtêm-se:

para 5 = 25 : w = 0,65 r/

h

para 5 h = 30 : o = 0,85

Interpelando para 5 = 28, obtém-se

h

e sendo

resulta

I N =O,lkgf 1 MPa =I MNlmZ = 10kgf/crn2 '

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kN/m = IW kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m I kN/m2 = IW kgflmz= 0.1 tflm'

I kN.cm = IW kgfcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mS = 100 kgfimg = 0.1 tf/mJ

I MPa = 0.1 kN/cmP = 100 N/cms

zss


ou seja

resultado praticamente igual ao anteriormente obtido.

8.2.5 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto

SOLUÇÁO ALTERNATIVA Repetir o dimensionamento feito no item anterior, mas empregando-se direta-

POR MEIO DE mente os diagramas (moment~ fletor-força normal-curvatura).

DIAGRAMAS (M, N, Ilr) 1

A Fig. 8.2.5-1 mostra os diagramas (M, N, -) correspondentes a d'/h = 0,05 e

r

ACO CA 50-A

d'lh = 0,15, respectivamente, ambos válidos para u = 0,80

8 =orctg 0,066 el=arctg 0,074

Fig. 8.2.5-1 Solu~ão por meio de diagramas (M- N - llr).

b. Dimensionamento

- N

UA = d = 0,79 0,8

.- -

\

\

\ I

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

\- 291 1

\

sendo

tem-se

ou seja

Considerando que os diagramas daFig. 8.2.5-1 têm por abscissaavanável 103d/r,

pode-se escrever

Desse modo, o coeficiente angular da reta que determina o momento de 2.= ordem

p2 é dado por

No caso presente, têm-se:

d

para- - = 0,95 : tg 8

H

d

para - = 0,85 : tg o

h

Conforme se vê na Fig. 8.2.5-1 têm-se:

d

para - = 0,95 : OJ = 0,65

h

d

para - = 0,85 : = o,90

h 1

I

d

resultando por interpolaçáo, para - = 0,90,

h

aticamente o mesmo valor obtido no item anterior, ao qual corresponde

= 2 x 9 C$ 20 (2 x 28,35 cm2)

I

-.

.

~ ~.~.


8.2.6 PILAR ESBELTO. a. Problema proposto

CONSIDERAÇAO DA Considere-se novamente o dimensionamento do pilar P5, levando em conta o

FLUÊNCIA efeitoda fluência. Para isso, serão admitidos os seguintes valores:

'\ \ i, \

a e n a duração

-'.~-

N~, +.bk~=o,sr N.

! Fg = y, (No, + +, Nck) com y, = 1,10

,..~~

função de fluência +(L, to) = 2

A, = h,h, = 20 cm x 150 cm = 3000 cm2

b. Cálculo da excentricidade suplementar e,

.- --\

i ;

- carga que produz fluência F- (Ngk + I)~N~,) = y,.0,95,Nk

/-v-----------.

'\-.'

F, = 1,10 x 0,95 x 1810 = 1890 kN

'%,

,''

\

'8

l

- excentricidade de I .a ordem da carga F,

~.

e, = e, + e.

sendo

;ei

= 0 (situaç,áo..de.projeto de compressão centrada)

i-.--.-

.. .. ~ ~

~.

. ~~

- módulo de deformação longitudinal do concreto

E, = 0,9 x 6600 dfck + 3,5 (em MPaj

f,, = 15 MPa

E, = 0,9 x 6600 d m =

25550 MPa

kN

= 2555 -

cmZ

- momento de inércia ideal

Admitindo-se a seção retangular da Fig. 8.2.3-2 como fruto de um prédimensionamento

aproximado, têm-se

A, = 2 x 8 4 20 = 50,4 cm2

E, = 210000 MPa

IN =O,Ikgf I MPa = I MNlm2 = lOkgfIcm2

IkN =IWkgf=O,Itf I kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 1W kgtm = 0.1 1f.m I kN/mz= IW kgflm2 = 0.1 tf/mS

1 kN.cm= IW kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNImz= IWkgf/mS= 0,I tf/ma

I MPa = 0.1 kN1cm2 = IW N/cm2

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

- carga de flambagem de Euler

sendo e, = 5,60 m

- excentricidade suplementar

S*.> " c

~.

.

2,??&890 ) V

e, = 2 { exp ( !- I)} = 2,e-0,5z = 1,19 cm L'

9800 - 1890 ,

<

L ..

c. Situaçóes de cálculo

A Fig. 8.2.6-1 mostra as situaçóes de cálculo, considerando-se o efeito dafluência.

SITUAÇAO SUPOSTA SITUA~ÕES DE CÁLCULO CONFORME A NB - I

NO PROJETO ( 1 " ) (2%)

-

ei=O

_I + h,= 20

e,,

ecx

e

X = 13

Y

x

Fig. 8.2.6-1 Situaçóes de cálculo.

Observe-se aue na Fie. - 8.2.6-1

Isto decorre do fato de que o pilar ; d á calculado pelo processo hEla~padrai$

mas sim por um processo rigoroso, no qual são explicitadas apenas as excentricidades

de I .a ordem

IN =O.lkgf I MPa = I MNlrn2 = 10 k&icrns

IkN =lmkgf=o,lrf I kNim = IW kgfirn = 0.1 tflm

1 kN.m = IW kgf.rn = 0.1 1f.m 1 kNimZ= 1W kgfim* = 0.1 tfim2

I kN.crn = 1U kgf.cm = 0.1 tf.cm I kNirnL IW kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicrn2 = 100 Nlcm*

292 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS .C

e

d. Dimensionamento em função da situação de cálculo

Neste caso, empregando novamente os diagramas de interação da Fig. 5.3.5-5,

têm-se

Nd = yf Nk = 1,4 x 1810 = 2534 kN

e,, = e,, + e, = 2 + 1,19 =3,19cm

A, = 20 em x 150 cm = 3000 cm2

h, = 20 cm

logo, sendo

I

para

obtém-se:

6 = 25 : = 0,80

h

resultando para <,/h = 28

ou seja

3

w = 0,80 + - x 0,20 =

5

podendo fazer-se A, = 2 x 11 4 20

(2 x 34,65 cm3

8.2.7 PILAR CINTADO a. Problema proposto

Considere-se o dimensionamento do pilar P8, admitindo uma seção transversal

1N =O,lkgf 1 MPa = I MN/mP = IOksficm'

IkN =lWkgf=O,IIf 1 kN/m = 1W kgflm = 0.1 tfim

I kN.m = 1W kgf.m = 0,I ttm 1 kN/mz = 100 kgf/m2 = 0.1 Um'

1 kN.cm= 1W kgi.cm = 0,1 tf.cm 1 kNlmS= lWIrBflmS=O,I Iflm"

k'-\ 1

circular com diâmet d = 45 cm e a otando um comprimento de flambagem e, = 3,50

m.

s são os seguintes:

uYY

Nk = 1810 kN

Nd = ,Nk = ,4 x 1810 = 2534 kN

Aço: C - = l,l5 fvk = 500 MP

Concreto: fck = I5 MPa y, = 1,4 fcd

b. Tentativa de dimensionamento como pilar náo-cintado

De acordo com a NB-1, em lugar da excentricidade acidental

pode-se admitir compressão centrada com

Sendo (Tabela 13)

Nld = aNd = 1,15 x 2534

resultando

uid = - Nld _--

2914 kN

= 2,32 - = 23,2 MPa

A, 1256 crn2

A esta tensão ideal corresponderia a taxa geométrica de armadura dada por

1 MPa = 0.1 kN/cmz = IW N/cmP


.A

6 '>

que no caso vale

resultando a armadura longitudinal

Admitindo-se que houvesse emendas por traspasse, estariaultrapassado o limite

de 6% imposto pela NB-1 para a máxima armadura longitudinal de pilares nãocintados.

~.

C. Condiçóes de dimensionamento como pilar cintado

Admita-se a colocação da máxima armadura longitudinal

considerada, impondo a bitola +&ara as barras da armadura longitudinal e respepando

as prescrições construtivas da NB-1 e da NB-503, conforme o que foi

n b -

7.3. --~ -

----- ~ ~ ~ - - ~

Prescriçóes da NB-503

- Admitindo-se um edifício com potencial calorífico equivalente em madeira não

superior a 60 kg/m2, deve ser considerado um incêndio F 120 para o dimensionamento

dos pilares, uma vez que o prédio tem 10 andares conforme os dados básicos

de projeto.

- Cobrimento c, da armadura longitudinal, admitindo-se um revestimento de argamassa

de cal e areia com 1,5 cm de espessura:

Prescriçóes da NB-1 -

de edifícios: c = 2,0 cm

por traspasse. 2 +,

d. Determinaçüo da armadura longitudinal

O

Desse modo, conforme indicado na Fig. 8.2.7-1, tem-se o número máximo de

di ' 38,5cm

EMENDAS POR TRASPASSE

d=45cm

di

38,5 cm

Fig. 8.2.7-1 YLLI...~~~~~,~o do máximo

número de banas longitudinais~

PILARES USUAIS DE EDK~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 295

barras

Armadura longitudinal adotada é então

A,, = 18 4 16 = 36,O cm2

A área do núcleo cintado vale

resultando a taxa

Jw"

que é aceitável, pois conduz, nas emendas, a um valor inferior a 8%, que é a taxa

máxima permitida para pilares cintados. -

e. Dererminação rln armadura de cinramento

Sendo

resulta /

sendo possível empregar-se o pilar cintado (NB-I : h,,, = 40)

Existindo uma situação de projeto de compressão centrada, com

pode-se admitir a situação de cálculo de compressão centrada, pois

h

A força normal majorada vale então

resultando

NIa = 1,16 X 2534 kN = 2940 kN

a expressão simplificada (7.2.3-1 I), tem-se

1 2 i

1164cmZ - -

50 (r:Zrl

a

AI = 9,85 cm2

Por outro lado, de acordo com a definição dada por (7.2.3-3), tem-se

nd . Atl

onde AI, é a área da seção transversal da barra de cintamento e sl é o espaçamento

das espiras, logo

Adotando-se sl = 5 cm, resulta

donde

AI, = 9,85

n x 38,5

= 0,4l cmZ

i/-

+, = 8 mm \ (A,t = + 8 cada 5 cm) )

f. Verificaçãofinal

De acordo com a NB-I, deve ser

Calculando-se a carga limite do pilar não-cintado, tem-se

ou seja

N,,, IE<r-C,LodO -

- (0,85 x 1,07 - x 1256 cmZ + 35,6 - x 36 cm2 = 2090 kN

I

1 kN kN

I

1,16 cm" cm2

2i-i

I

1 N = 0.1 kBf I MPa = I MNlmz = 10kBflcmP

IkN =100kgf=0,ltf I kNlm = IW k8fIrn = 0,l tflm

1 kN.m = 1W kgf.m = 0,1 1f.m 1 kNlrn2= 100 kgflm' = O,l tflm'

1 kN.cm= I00 W.cm = 0,I tf.cm 1 kNlmk lfWkBflms = 0.1 tflma

PILARES USUAIS DE ED~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

8.3 PILARES DE

EXTREMIDADE

estando portanto satisfeita a condição

Na, ~intaa~ = 2543 kN <

J

1,7 x Na, .so.~intaao = 3552 kN

8.3.1 PILAR CURTO a. Problema proposto

Considere-se odimensionamento do pilar P4, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.

Esse pilar está submetido à flexão composta em virtude do seu monolitismo com as

vigas V2 dos diferentes pisos. Como o plano de flexão contém um eixo de simetna da

seção transversal do pilar, a flexão composta será normal.

b. Dados de projeto

De acordo com o que foi estabelecido em 5 8.1.4 deste capítulo, têm-se:

Admitam-se ainda os seguintes elementos:

C = C, = 2,80 m

f,, = 15 MPa

15

fcd = fCK = - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

Yc 134

Aço CA-50B

f@ = - fuk

= joO MPa = 435 MPa = 43,5 kN/cmZ

Y* 1,15

c. Pré-dimensionamento

Para pré-dimensionamento dos pilares de extremidade dos edifícios usuais, em

geral pode ser admitido um valor

No caso presente, admitindo-se um valor médio e,/h = 0,07, com h = 25cm,

resultam as excentricidades

logo

1N =O,Ikd I MPa = I MN/m2 = I0 kgf/crnP

1kN =IWkgf=O,ld 1 kNlm = 100 W /m = 0.1 tflm

1 kN.m = 100 kBf.m = 0,l tfm I kN/mz= 100 kgflm' = 0,l tflm'

1 kN.cm = 100 kdcm = 0.1 tf.cm 1 kNlmS = 100 kdim' = 0.1 üimS

1 MPa = 0,l kNlcmx = 100 N/crnZ


donde

logo

De acordo com o § 7.6.5, pode-se fazer, neste caso,

~d,~~=vd+3pd=vd(1+3~ 0,15) = 1,45 vd

logo

De acordo com a Tabela 23, para p, = 1%, tem-se

aid = 12,s MPa = 1,25 kN/cmZ

donde

A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais Fig. 8.3.1-1

Sendo

h = -

e, -- 280

= 38,8 < 40

i 7.22

(Pilar curto)

Calculando o índice de rigidez do pilar, têm-se:

1N =O,Ikgf 1 MPa =I MNlmz= 10k8ficm2

1 kN = 100 kgf = 0.1 tf I kNim = IW kgflm = 0.1 tíim

L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 1f.m I kNlmP = 100 kgfim' = 0.1 tíim*

I kN.cm = IW kgtcm = 0.1 ffcm I kN/mL ILW 1<8f/m3 = 0.1 tí/mJ

P4

X

( kN. m ikN m)

25cm/l'__i

(A-A)

MOMENTOS

FLETORES ( Mik)

Fig. 8.3.1-1 Determinação dos momentos fletores iniciais.

Admitindo-se r,, = r,,, Fig. 8.3.1-1, a presença da viga V2 de um único andar

acarreta os seguintes momentos fletores:

donde

Desse modo, considerando a propagação dos momentos através das expressóes

(7.3.5-6) e (7.3.5-7), obtêm-se os valores

donde

MI,,

6 = Moose, 6 = yf Mk = l,4 x 15,5 = 21,7 kN.m

IN =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficmz

1kN =IWkgf=O,Itf I kNlm = 100 kgflm = 0,l dlm

1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tfm 1 kN/rn2 = 100 kgf/mz = 0.1 d/m2

I kNcm = 1W kgfcm = O,l tf.cm I kN/m3 = 1W kgfim' = 0.1 Wm'

I MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm*


Os esforços soliciiantes iniciais têm portanto os valores indicados na Fig. 8.3.1-2.

Observe-se que é desprezada a variação de força normal ao longo de um tramo de

pilar, adoiando-se o valor constante

Em arnbas as extremidades, os módulos das excentricidades máximas da força

axial são iguais a

FORÇAS NORMAIS MOMENTOS FLETORES (M,~)

(Nd) M,A= 21,7

e , ~ = 1, 4cm

(kN)

(kNm)

Nd - 1 554

ele= 1,4cm

Fig. 8.3.1-2 Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais

e. Excentricidades acidentais

De acordo com a NB-1, deve-se fazer:

e,,

= 2 cm

e,,

70

= !!?i = .- = 2,3 cm

30 30

A essas excentricidades acidentais correspondem os momentos fletores acidentais:

f. Efeitos de 2.O ordem

No caso presente, por se tratar de um pilar

fletores de 2.= ordem a serem considerados no

existem momentos

Por essa razão, os

LN =O,lkgf I MPa = 1 MNlm2 = 10 kgf/crns

IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = 100 kgfim = 0,I tfim

1 kN.m = IW kBfm = 0.1 ifm I kN/ms = 1W kgfim2 = 0.1 tiim'

I kN.cm = 1M kgf.cm = 0,l tfcm I kN/m'= IW kgf/m8 = 0.1 tflm'


momentos fletores totais são obtidos pelasimples superposiçãodos momentos iniciais

com os momentos acidentais.

g. Momentosfletores totais e situaçóes de cálculo

A Fig. 8.3.1-3 mostra os diagramas de momentos fletores totais ao longo do

comprimento do pilar. Estes momentos são de 1 .a ordem, porque o pilar é suficientemente

curto para que sejam desprezados os efeitos de 2.a ordem.

Tendo em vista o andamento dos diagramas de momentos fletores, a armadura

será constante ao longo do comprimento do pilar e com arranjo simétrico dentro da

seção transversal.

Na Fig. 8.3.1-4 estão mostradas as situações de cálculo a serem consideradas no

dimensionamento do pilar.

ENVOLT~RIA DOS ENVOLTÓRIA DOS

VALORES DE Myd VALORES DE MXd

Fig. 8.3.1-3 Diagramas de momentos fletores totais (pilar curto).

h. I.a Situação de cálculo (Dimensionamento rigoroso)

Nd = 1554 kN

MSd = 52,s kN.m

A, = 25 cm x 70 cm = 1750 cm2

f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

fUd = 435 MPa

1 N = 0,l kBf 1 MPa = I MNlm* = I0 kgficm'

I kN = 100 kgí = 0.1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgí.m = 0,l tf.m 1 kN/mX= lWkgf/ma =O,I tf/ms

1 kN.cm = 100 kgtcm = 0.1 tf.cm 1 kN/mz = 100 kBf/ma = 0,l n/ma

I MPa = 0.1 kNlcm' =/ 100 N/cmz

w e

= 1,4 crn

y

si~unçio SIMPLIFICADA 4 /( PARA eix < e 0 Y )

SITUAÇÃ~ EQUIVALENTE (NB-i)

e = e +0,4 ela' = 2,3 cm

X I X

e. = i,4 cm e,, = 1,4 cm

I X .-

e, = 3,4 cm

Fig. 8.3.1-4 Condl~óer de dirnen~ionarnentu

donde

Empregando-se os diagramas de interação (Ref. 7), resulta

w = 0,31 (para d,' = 0,15 h)

I N =0,1kgf I MPa = I MNlm2 = 10kgficmP

I kN = IW kgf = 0.1 tf I kN!m = 100 kgfim = O,! tfim

1 kN.m = 100 k8fm = 0,1 tfm I kN/mL IW kgfimP = 0.1 tfim*

1 kNcm = 100 kgf.cm = 0,l tfcm I kN!m3= IW kgfiinL 0.1 tfimg

PILARES USUAIS DE EDIF~cIOS. EXEWlPLOS DE DIMENSIONAMENTO 303

A,= 12 fl 12,5 logo, Fig. 8.3.1-5,

A,, , = 12 4 12,s (A,,,

= 15,O cm2)

i. I.a Situação de calculo (Dimensionamento expedito)

Tendo em vista o que já foi dito sobre o andamento dos diagramas de interação,

pode-se, em casos desta natureza, proceder da seguinte forma:

I!

I

125 i

Fig. 8.3.1-5 Dimensionamento rigoroso.

v, ,,,,,,, = ~ ~ , ~ ~ + =0,83 3 p ~ +3 ~ , X d 0,ll = 1,16

Desse modo, sendo

Fig. 8.3.1-6 Dimensianamenia expedito.

tem-se

logo

uid = - N1d = vd, fed = 1 ,I6 x 10,7 MPa = 12,41 MPa

A,

-

Para f,, = 15 MPa e Aço CA-50B, pela Tabela 23 obtém-se

p, 1 ,O%

A

A,= 1,02= 1750 cmz = 17,s cmz

1 O0 1 O0

resultando, Fig. 8.3.1-6,

A,, e = 14 4 12,5 (A,, , = 17,5 cm2)

j. 2.a Situaçáo de calculo (Dimensionamento simplificado)

De acordo com a NB-I , em lugar da situação teórica de flexão oblíqua é possível ,

considerar-se uma situação de flexão normal com a excentricidade

I

I

I

I

No entanto, é plenamente satisfatóna a verificação com

I

e, = e,, = 2,3 cm

1 N = 0,l kgf I MPa = I MNlm2 = I0 kgficm'

fkN = 100 kgf = 0,l tf 1 kNlm = 100 kgfim = 0.1 tfim

I kN.m = 100 kgf.m = 0.1 tfm 1 kNimZ = IW kgfirns = 0.1 dlm'

1 kNcm = 100 kgf.cm = 0,l tf.crn 1 kN/rn3 = IW kgfirns = 0.1 tfirn'

I MPa = 0.1 kNicrnZ = 100 Nicrn'

304 ESTRUTüRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

conforme foi discutido em § 7.5.3

Fazendo-se o cálculo simplificado, neste caso, resulta:

N, = 1554 kN

e, = e,, = 2,3 cm

Como a armadura está disposta ao longo das bordas de maior comprimento, Fig.

8$.1-5, têm-se

ri, = - a Nd - 1759 kN = 1,Ol kN/cm2 = 10,l MPa

A, 1750 cm2

Pela Tabela 23, para fck = 15 MPa, tem-se

p. ' 0,5% < P , ,! c.,

Note-se que, se fosse feito e, = e,,+ 0,4 ei,, conforme exige a NB-1, o resultado

obtido seria exatamente o mesmo.


MEDIANAMENTE Considere-se o mesmo pilar P4 no item 8.3.1, admitindo porém que seu compn-

ESBELTO. 1 .O EXEMPLO mente seja de 4,60 m.

b. Dados de projeto

Conforme o que foi determinado na Seção 8.1, bem como no item 8.3.1, têm-se:

I

Nk = 1110 kN

N, = yfNh = lr4 x 1140 = 1554 kN

Me,,, = 57 kN.m (V2)

Me,,, = yfMeng,k = 1,4 x 57 = 79,s kN.m

r, = 1,16 dm3

Pilar: h, = 25 cm, h, = 70 cm

A, = 25 x 70 = 1750 cmZ

Admitam-se também os seguintes elementos:

e = e, =4,60m

f,, = 15 MPa

fck - 15

fed = - - - = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

Yc 1,4

'íPa = 0.1 kNlcm2 = 100 Nlcm'

PILARES USUAIS DE EDlFfCIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENT~ 305

Aço CA-SOB

f,,,, = 435 MPa

c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais

Analogamente ao que foi mostrado na Fig. 8.3.1-1, têm-se agora:

h, = 25 cm

- Az=-- 460 - 63,7

7,22

64 (pilar medianamente esbelto)

Momentos devidos à viga V2 de um único andar:

donde

logo

Considerando-se a propagação de momentos devidos a diversos andares, tem-se

M , , = -M ,,,,, , = I,5 r 7,3 = 10,95 kN.m

M ,

= -Mo ,,,,

= yfMk = 1.4 x 10,95 = 15,3 kN.m

A Fig. 8.3.2-1 mostra os esforços solicitantes iniciais ao longo do pilar considerado.

FORÇAS NORMAIS

(Nd)

MOMENTOS FLETORES

(Mid)

h A

Mia =I53

~ig. 8.3.21 Situaçóes de projeto. Esforços

solicitantes iniciais.

1N =O,lkgf MPa = I MN/m3 = l0kgf/cmS

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNim = IW kgflm = 0.1 tfim

I kNm = 100 kgf.m = 0,1 ff.m I kN/mP = 1W kgfim* = 0,I d/m2

1 kN.cm = 1UO kgtcm = 0,1 tfcm 1 kN/m8= IWkf/m3 = O,L d/ms

1 MPa = 0.1 kNlçms = IW Nlem'


d. Excentricidades acidentais

h, = 25 cm, logo e,, = 2 cm

h, = 70 cm, logo e,, = !?!i = ?! = 2,3 cm

30 30

e. Excentricidades de 2.O ordem

Na direção de maior esbeltez, tem-se

devendo ser considerados os momentos fletores de 2.a ordem cujo valor máximo, de

acordo com a NB-I , pode ser calculado pela expressão

com

No caso presente, empregando Aço CA-50 (não importa para esta expressáo

se o aço é da Classe A ou da Classe B), tem-se

Esta expressão está tabelada na Tabela 25, da qual, para

resulta

ou seja

e,, = 0,14 x 25 = 3,5 cm

Na direção de menos esbeltez, têm-se

1N =O,lkgf I MPa = I MNlm* = 10 kgflcm2

1kN =IWkgf=O,ltf I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 100 1<gtm = 0.1 tf.m I kNlm' = 100 kgflm' = 0.1 tflms

I kN.cm = 100 kgfcm = 0,1 tfcm 1 kN/ms = 100kBflm2 = 0,1 tflmS

1 MPa = 0.1 kN/cm2 = L00 N/cma

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO

3W

sendo portanto desprezíveis, nesta direção, os efeitos de 2.a ordem.

f. Situaçüo de cálculo. Superposição dos esforços

Neste caso, sendo h, > 40, no dimensionamento deverão ser levados em conta os

momentos fletores de 2.a ordem.

Admite-se que o pilar em consideração, por pertencer a uma esttutura de edifício

devidamente contraventada, possua extremidades indeslocáveis. Nessas condições,

os máximos momentos fletores iniciais agem nas extremidades do pilar e os máximos

momentos fletores de 2.a ordem agem em sua seção intermediária.

Por essa razão, conforme foi visto no item 7.5.4, a NB-1 especifica que sejam

considerados os seguintes momentos fletores iniciais:

1. Seção intermediária

onde

Mic < 0 quando tracionar a face oposta aquela tracionada por M~A

No caso presente, tem-se

logo

donde

M~A,<I = - Mim = 15,3 kN.m

Mi,.,

= 0,4 MiA,d = 0,4 x 15,3 = 6,l kN.m

2. Seçóes das extremidades

logo

Mt,, d = MLA, = 15,3 kN.m

Desse modo, resultam as seguintes situações de cálculo:

-

1 N = 0.1 W I MPa = I MNlm' = I0 kgflcm*

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN/mP = IW Wlm' = 0.1 tflm'

1 kN.cm = 1W kgf.cm = 0.1 e.cm L kNlm" IW kgflm9 = 0,l tflm'

I MPa = 0.1 kNlcmP = LW Nlcm2


.2 Situações

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 309

1. Seção intermediária

Na = 1554 kN

1 .a Situação: e, = e ,~

2.= Situação: e, = e,, = 2,3 cm

2. Seçáo de extremidade

+ e,, + e,, = 0,4 + 2,O +3,5 = 5,9 cm

N, = 1554 kN

I.a Situação: e, = e. + e,, = 1,0 + 2,0 = 3,0 cm

2.a Situação: e, = e,, = 2,3 cm

A Fig. 8.3.2-2 mostra as situações de cálculo para as duas seções criticas do pilar,

isto é, para a seção intermediária e para a seção de extremidade. As situações de

cálculo foram determinadas com as simplificações expostas no item 7.5.3.

g. l.a Condição de dimensionamenro (Cálculo rigoroso) .

Do exame das situações de cálculo mostradas na Fig. 8.3.2-2, torna-se evidente

que, para o pilar em consideração, a condição mais desfavorável é aprimeira condição

de cálculo da seção intermediária.Desse modo, sendo:

Nd = 1554kN

-

e, = 5,9 cm

fCd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

fVd = 435 MPa (CA-SOB)

A, = 25 cm x 70 cm = I750 cm2

têm-se

logo

Dos diagramas de interaçáo, com 8' = 0,15, resulta

o = 0,61

A, = o A,f,, = 0,61 1750 =,26,3 cmz

f ~ d 435

125.1 ou seja, Fig. 8.3.2-3,

Fig. 8.3.23 Cálculo rigoroso.

A, = 14 4 16 (A,,, = 28,0 cm2)

I N = 0,l kgf I MPa = I MNIrn' = I0 kgficrnP

IkN =lOOkgf=O,Itf I kNim = 100 kgflm = 0,l tWm

L kN.m = 100 kgf.m = 0.1 ttm 1 kNlmP = 1W kgflrn' = 0.1 tWm2

1 kN.cm= 100 kgfcrn = 0.1 tf.cm 1 kNimJ = 100 kgfim' = 0.1 tfima


A,= 16 $ 16 h. 1 .a Situação de dimensionamento (Cálculo expedito)

Admitindo-se o emprego do cálculo expedito, têm-se

logo

e

a=I+3-=1+3x0,24=1,71

h

Nld = a Nd = 1,71 x 1554 =2654kN

Da Tabela 23, para fck = 15 MPa e

Nld =

uid = - 2654 kN = 1,52 kN/cm2 = 15,2 MPa

A, 1750 cm2

Fig. 8.3.24 Cálculo expedito

resulta

p, = 1,78%

logo

I

ou seja, Fig. 8.3.24,

i A, = 16 4 16 (A,, d = 32,O cm2)

i. 2.a Condição de di~nensionamento (Cálculo simplificado)

A 2.a Condição de dimensionamento é igual para as duas seções críticas do

pilar, Fig. 8.3.2-2.

Desse modo, sendo

têm-se

Nd = 1554 kN

e,, = 2,3 cm

A, = 1750 cm2

PILARES USUAIS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 311

logo

N,,I = aNd = 1,12 x 1554 = 1740 kN

resultando então

i

1

I

I

Desse modo, o dimensionamento feito pela 1 .a condição é o que determina a armadura

I

do pilar. 1

I


MEDIANAMENTE Considere-se agora o pilar P7, mostrado em planta na Fig. 8.1.2-1.

ESBELTO. 2.O EXEMPLO Esse pilar tem esforços iniciais equivalentes aos do pilar P4.

Este outro exemplo de pilar de extremidade tem por finalidade salientar a importância

da excentricidade acidental e da correspondente excentricidade de 2.a ordem

sobre o dimensionamento da peça.

Sendo um problema de mesma natureza que o anterior, os seus resultados serão

apresentados de forma relativamente sintética.

b. Dados de projeto

r = 1,16

Pilar: h, = 70 cm, h, =-25 cm com a maior rigidez correspondendo

ao plano de flexao da viga V3

A, = 70 x 25 = 1750 cm2

e, = 4,60 m

f,, = 15

fcd = 10,7 MPa = 1 ,O7 kN/cm2

L = 435 MPa

c. Esforços solicirantes iniciais I

lilar medianamente esbelto)

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MNlm2= IOkgflcm*

I kN = 100 kgf = 0.1 tf 1 kNlm = 100 kgflrn = 0.1 tflm

1 kNm = 100 kgfm = 0,1 tfm 1 kN/m2 = 100 kgflm* = 0.1 tflrna

1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0.1 tfcm 1 kN/mJ = 100 kgflm' = 0.1 fimJ

I MPa = 0,l kNIcmx = 100 Nlcms

d. Situações de cálculo

1. bireçáo x (h < 40)

Seção crítica: topo e base do pilar

h= - 70

e,, = - - - = 2,3 cm

30 30

e,, E O

2. Direçio y

Seção crítica: seção intermediária

Sendo

Nd = 1554 kN

ei, = O

e,, = 2 cm

da Tabela 25 resulta

ou seja

e,, = 0,14 X 25 = 3,5 cm

e. Dimensionamento

Embora o momento fletor inicial atue no plano que contém o eixo Gx, o d

sionamento é comandado pela flexão no plano Gy, decorrente dos esforços

1 N = 0.1 kgf I MPa = I MN/mX= lOkgf/cm2

I kN = 100 kgf = 0,l lf I kN/m = 1m kgflrn = 0,I õ/m

1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 ttm 1 kN/m3= IMkgi/m'= 0,I tf/mZ

I kN.cm = 100 Wcrn = 0,l ff.cm 1 kN/m" 102 kgffma = O,l lffmS

com

My, = Nd. e,,

Com estes esforços obtém-se praticamente a mesma quantidade de armadura que

a do item 8.3.2 (l.a condição de dimensionamento).

Como no caso anterior, a 2.a condição de dimensionamento não afeta os resultados

já obtidos.

Observe-se que o dimensionamento do pilar P7 dependeu da força normal N, e

das excentricidades e,, e e,,, não tendo sido influenciado pelo momento inicial e,, ao

contrário do que aconteceu no caso anterior do pilar P4.

8.3.4 O ESTUDO DOS A consideração de pilares esbeltos com momentos fletores iniciais que variam ao

PILARES ESBELTOS longo do comprimento não pode ser feita de forma adequada através dos processos já

exemplificados.

A dificuldade essencial que impede essa consideração é a incongruência existente

entre um diagrama de momentos fletores de forma qualquer e o conceito de pilar

padrão, o qual admite sempre uma linha elástica senoidal.

A solução geral dos problemas de pilares esbeltos será estudada no Cap. 9, onde

são considerados os processos do pilar padrão corrigido e do deslocamento de referência.

-

8.4 PILARES DE

CANTO

8.4.1 PILAR CURTO. a. Problema proposto

DIMENSIONAMENTO Considere-se o dimensionamento do pilar P1 de canto, mostrado na Fig. 8.1.2-1. ,

RIGOROSO O pilar P1 está submetido aflexão composta oblíqua, emvirtude de sua continuidade

estmtural com as vigas V1 na direção Ox e com as vigas V4 na direção Oy.

d Admite-se o comprimento de flambagem e, = 2,80 m.

I

b. Dados de projeto

De acordo com o que foi estabelecido em 8.1, os dados básicos de projeto são os

seguintes:

1

I

viga VI: Me,,,, = 60 kN.m

rd,,, = 0,96 dm3

viga V4:

Mew,Uk = 21,3 kN.m

r,,,,, = 0,55 dm3

fck = 15 MPa Aço CA-SOB

1 N = 0.1 kgf 1 MPa = 1 MNlm' = 10 kgilem2

1 kN = 1W k$ = 0.1 tf 1 kNlm = IM kgflm = 0.1 fflm

I kN.m = 1Wkgf.m = 0,I ttm 1 kNlm2= 1Wksflm2= 0.1 tflm*

1 kN.cm = 1W kgi.em = 0,l tf.crn I kNlma = 100 kgflm3 = 0.1 fflm"


c. Pré-dimensionamenro

Analogamente ao que foi feito em 8.3.1, admitem-se as excentricidades iniciais

transformando-se aflexão compostaobliquanumaflexão composta normal, conforme

foi discutido em 7.4.4.

Desse modo, sendo

onde

a expressão anterior, conforme mostrado pela equação (7.4.4-2), pode ser escrita

ou seja

A tabela do item 7.4.5 reproduz os valores de p recomendados pela NB-1 para

pilares de

-

seção retangular com armadura igual nas quatro faces. Estimando-se

vd 0,7

w

-

0,50

resulta

p 0,63

donde

Por outro lado, de acordo com a expressão (7.6.1-7), estaflexão normal composta

equivalente pode ser transformada num caso de compressão uniforme, sendo

e

a=1+4-=1+4X0,11=1,44

h

resultando

NM = a Nd = 1,44 X 1148 = 1653 kN


Desse modo, admitindo-se uma taxade armadurap, da ordem de 1,2%, de acordo

com a Tabela 23, para f,, = 15 MPa e Aço CA-SOB, tem-se

ad = 13,2 MPa = 1,32 kN/cmZ

resultando para a área de concreto o valor

podendo ser adotada a seção

onde

A, = 25 cm x 50 cm = 1250 cm2

Com a seção adotada, sendo

tem-se -

h=-=-- 280 - 38,s i 40 (Pilar curto)

i 7,22

d. Situações de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.1-1)

I Direção x

-

r,ila,

Mtw. k = Mmp, k =

~SUU + r,, + riw

Me, ,k

donde

logo

IN =O,lkgf I MPa = I MNlmn = 10 kgf/cms

IkN =lWkgi=O,llf 1 kN/m = IM) kgfim = 0.1 tfim

1 kN.m = 1W k8f.m = 0.1 tfm I kN/m2 = 100 k8f/mz = O,l fim'

1 kN.cm = IM) k8f.cm = 0.1 1f.cm 1 kN/ms = 1W kgf/mS = 0,l tflm3

1 MPa = 0.1 kN/cmz = 1W N/cmz

resultando

M,,.,

= -Maoae. d = y, MK = 1,4 X 14,58 = 20,41 kN.m

logo

.

Md 2041 kN.cm =

eu, = e,,

1,78 cm

= --

Nd 1148 kN

2 Direçáo y

hl,~, k = MNP, L =

rpiiar

rgup + ~VIY.

+ rinf

Me,.

k

donde

logo

Mtwo,k=

resultando

-Mbose,k = 1,s X 8,22 = 12,33 kN.m

*~-

logo

e. Excentricidades acidentais

Tendo-se em vista o que foi dito em § 7.5.3, serão consideradas apenas as

excentricidades segundo os eixos centrais de inércia das seções transversais.

Observando-se as exigências da NB-I e o pré-dimensionamento já feito, têm-se

h, = 50 cm e,, = 2 cm

I MPa = 0.1 kNlçm' = 1W Nlcm*

*

h, = 25cm

SEÇÁO DO TO^ SE#O DA BASE

Fig. 8.4.1-1 Situaçoes de3rojeto - Momentos fletores iniciais

Y

A Y

3

c1

e,, = i,78 cm

'L

-, -.

-

(e,=ei,= 1,78 em

-

e = e,y = 1,50cm

_BI f ,. B 2

x eiy= 1,50cm x

'1

4

A1

eay=2,0 cm

J- e, = 2,O cm I

c2 A 2

\e,=

3,78cm

-.

Fig. 8.4.1-2 Situações de cálculo.

ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

f. Situações de calculo

Como a armadura será disposta com dupla simetria, não se fará qualquer distinção

entre a seçáo do topo e a seção de base.

A. Fig. 8.4.1-2 mostra as situações de cálculo das seções transversais do pilar,

resultando:

I .a Situação

2.Q Situação

g. Dimensionamento rigoroso

De acordo com os dados de projeto, têm-se

Nd = 1148 kN

A, = 25 x 50 = 1250 cm2

fcd = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

fud = 435 MPa = 43,s kN/cm2

1 .a Situação de cálculo

Nd -

vd = -- - = 0,86 (compressão)

A, f,, 1250 x 1,07

Empregando-se o ábaco da Fig. 4.1.24, válido para o Aço CA-SOB, com o arranjo

de oito barras, obtêm-se

resultando, para v, = 036,

2.O Situação de cálculo

De forma análoga, sendo

vd = 0,86

1 N = 0,l W 1 MPa = I MN/rn2 = 10kgf/cmx

IkN =IWkgf=O,Id 1 kNlm = 100 kgfirn = 0,I dlm

1 kN.m = 1W kgf.rn = 0.1 tf.m 1 kN/mZ= IW kgf/rnz = 0.1 tf/rnz

I kN.cm = 1W kgf.ern = 0.1 tfcm I kN/mJ = 1W kgflm' = 0.1 WmJ

I MPa = 0.1 kNlcm2 = IW Nlcm'


obtém-se o = 0,40

valor determinado a favor da segurança com v, = 1,0.

Desse modo, predomina a I.= situação de cálculo, resultando

Como o arranjo admitido foi o de oito barras, tem-se, Fig. 8.1.4-3,

A, = 8 4 16 (A, = 16,0 cmz)

li

Fig. 8.4.1-3 Arranjo da armadura.

8.4.2 PILAR CURTO. a. Problema proposto

DIMENSIONAMENTO Considere-se novamente o dimensionamento da armadura do pilar PI,

SIMPLIFICADO empregando-se agora o processo simplificado permitido pela NB-1. Serão admitidas

as mesmas dimensões obtidas no item anterior para a seção transversal do pilar.

b. Dados de projeto

De acordo com o que foi visto no item anterior, têm-se

I.a Situação de dlculo: e, = 3,78 cm e, = 1,50 cm

2.a Situação de cálculo: e, = 1,78 cm e, = 3,50 cm

f,, = 1 ,O7 kN/cmZ

fud = 43,5 kN/cm2 (Aço CA-SOB)

IN =O,Ikgi 1 MPa = I MNlm2 = I0 kgf/cm2

IkN =IWkgf=O,lff I kN/m = 1W kgfim = 0,l tfim

I kN.m = IW k&m = 0.1 tf.m I kNim2 = 1W kBfim2 = 0.1 tfim*

1 kN.cm = IW kgtcm = 0,l tfcm I kNima = 1W kgfim3 = 0.1 @/ma

1 MPa = 0.1 kNicm' = 1W N/cm'

ESTRUTLJRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

c. Excentricidade equivalente

De conformidade com o que foi visto em 7.4.5, inicialmente deve ser verificado o

setor em que se encontra a força normal, Fig. 8.4.2-1.

Fig. 8.4.21 Simplificação permitida pela NB-I.

%;m=Q07

hy 50

A excentricidade equivalente, de acordo com (7.4.5-I), tem por expressão

onde p é dado pela NB-I em função de vd e de o.

Considerando a situação de cálculo, tem-se

25

e,, ., = 3,78 + p- x 1,50

50

não sendo necessário, conforme já foi discutido, considerar a 2.= condição.


e admitindo p -

cmZ

1,2%, ou seja, tomando-se

1N =0,1k@ 1 MW = I MN/mZ = IOkgflcm2

IkN =100kgf=O,Itf I kNlm = ICQ kgílm = 0.1 dlm

1 kN.m = 100kgf.m = 0.1 d.m 1 kNlmZ= 100kgfImz= 0.1 tflm'

1 kN.cm = 100 Wcm = 0.1 d.cm I kNlma = I00 kgf/m3 = 0.1 UIm'

PILARES USUAIS DE EDIFICIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMENTO 321

da tabela do item 7.4.5, resulta

logo

/3 = 0,55

e,, ,

25

50

= 3,78 + 0,55 x - x 1,50 = 3,723 + 0,41 = 4,19 cm

d. Dimensionamento

Admitindo-se os valores

do diagrama de interaçáo correspondente ao arranjo de oito barras de aço encmado a

frio, (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se

o = 0,47

resultando a mesma solução obtida no item anterior, ou seja,

i

-.-/

ME DIANAMENTE

A, = 0,47 1250 = 14,45 cmZ (A, = 8 qi 16)

433

1 dos itens anteriores, admitindo porém que o seu

i

r*,,,

= 0,%.d

, . -\

,/

viga V4: Mew,uk = 21,3 k ~fX

r"'sa., = 0;-

fck = 15 MPa f,, = 10,7 MPa = 1,07 kN/cm2

Aço CA-50B fvd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2

1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlma= 10 ksf/cm2

1kN =IWkgf=O,ld 1 kNlm = 1M ksflm = 0,l dlm

1 kN.m = 100 kgf.m = O,I 1f.m 1 kNlm2 = 100Lgf/m2 = 0.1 dlm'

1 kN.cm= 100 kgf.cm = 0.1 d.cm I kN/ma = IWkgflma =O,I #ma

c. Situaçóes de projeto. Esforços solicitantes iniciais (Fig. 8.4.3-1)

1. Direção x

, MI~, k = MNP, L =

donde

logo

MI~. k =

0,14

0,14 + 0,96 + 0,14

+ + rffl

M~W. zk

x 60 kN.m = 6,77 kN.m

Mt,,,k=

resultando

-Mbaae,k= 1,5 x 6,77 =

donde

Mtogo, d = -Mbase,

Md =

e,., = - ~Ic, = -

Nd 1148 kN \

2. Direçáo y

u

logo

M,,,,k= Mbaae,k= 1,5 x7,18 = 10,78 kN.m

resultando

IN =O,Ikgf I MPa = 1 MNlrn2 = 10 kgflcmZ

IkN =lWkgf=O.itf 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm

1 kN.m = IW kgfm = 0.1 ttm I kNlmL lWkgflm'= 0,l tflm'

i kN.cm = 1W Wem = 0.1 Ii.cm 1 kN/ma = IW kgflma = 0.1 tfim'

I MPa = 0.1 kNlcmz = 100 Nlcm'


Fig. 8.4.3-1 Situações de projeto. Esfovos solicitantes iniciais,

d. Excentricidades acidentais

h, = 25 cm, logo e,, _=_~ ~~~~~

h, = 50 cm, logo /e,, = 2 cm

, --

e. Excentricidades de 2.R ordek-

1. Direçáo x

h, = 25 cm

1N =O,Ikgf I MPa = I MN/m2 = IOkgf/cmP

IkN =IWkgf=O,lõ 1 kNim = IW kgfirn = 0.1 fim

1 kN.m = 100 W .m = 0.1 tfm 1 kN/ms = 1W kgfim' = 0.1 t£lm2

I kN.cm = 1W kgfcm = 0.1 d.cm I kNlrnS = 100 kgf/ma = 0.1 tfima

I MPa = 0.1 kNicmP = tM N/çms

De acordo com a NB-1, para um pilar de esbeltez média, com Aço CA-50.

pode-se admitir o valor

com

O valor de 3 pode ser obtido da Tabela 25, da qual, para

h,

resulta

2. Direção y u

Sendo A, < 40, não há necessidade de ser considerada uma excentricidade de 2.a

ordem na direção y.

Todavia, caso fosse

os efeitos de 2.a ordem na direção y seriam determinados pelas mesmas expressões

PILARES USUAJS DE EDIF~CIOS. EXEMPLOS DE DIMENSIONAMEiWO 325

empregadas para a determinação de e,,.

Nesse caso, seria tomado o valor

f. Situações de cálculo. Superposição dos esforços

A Fig. 8.4.3-2 mostra as situações de cálculo, considerando-se separadamente as

seções de extremidade e a seção intermediária.

SECÕES

DAS EXTREMIDADES

%.-

,Y

ei, =1,24 cm

X

A

eX=1,24cm

-

e, = 3,24cm

ey =3,3 cm

SITUAC~O DE

19 SITUAÇ~

PROJETO DE CALCULO

-

I

2% S ITUAÇ~

DE CÁLCULO

e,, =0,50 cm

e,=

6,O cm

= 2,0 crn

SITUAÇÃO DE i! SITUAÇÃO I

PROJETO DE CÁLCULO 20 SITUAÇÃO

Fig. 8.4.3-2 Situaçóes de cálculo

DE ÇÁLCULO

g,

)

T:~~

-..__

1

ESTRUTURAS DE CONCRETBSO&lC~TA~OESN~S

i.%

/~-~ P --I;

?/r

2.a Situação

i

,. e, = r

1 l

d

I.a Situação de cálculo /

e, = 0,5 + 2,O % 3,s = 6,O cm

2.a Situação de cálculo

e, = O

< ~

.4

. ~

Dimensionamento . . . ---...--------

Tendo em vista que a seção terá um arranjo de armadura com dupla simetria,

parece evidente que a situação mais desfavorável corresponde a I.a situação de

cálculo da seção intermediária. Caso persista qualquer dúvida, as seções de extremidade

também devem ser verificadas.

Cpdeqndo;se então a 1 .a situação de cálculo da seção intermediária, tem-se:

Do diagrama de interação naflexão composta normal, correspondente ao arranjo

de 8 barrasd~ aço encniado (Ref. 7, 2.O vol., p. 222), obtém-se

ou seja, Fig. 8.4.3-3

I

A, = 8 4 20 (A, = 25,2 cm3

I

No caso presente, o dimensionamento feito no item 8.4.2 permite dispensar-se a 1

verificação tanto das seções de extremidade quanto da2.a situação de cálculo da seção

I

intermediária.

Fig. 8.4.3-3 Arranjo da armadura

8.4.4 O ESTUDO DOS Analogamente ao que já foi dito em 8.3.4 em relação aos pilares de extremidade,

PILARES ESBELTOS também no caso de pilares de canto não se podem aplicar os processos simplificados

aqui considerados, quando a esbeltez ultrapassa determinados limites.

No Cap. 9 serão estudados os problemas de instabilidade na flexão composta

oblíqua de pilares esbeltos e muito esbeltos.

Problemas Especiais de Determinação da

Carga Crítica

9.1 CARGAS DE

LONGA DURAÇÁO

9.1.1 CONSIDERAÇÁO DA Na avaliação da segurança dos pilares com esbeltez acima de certos limites (k = 80),

FLUÊNCI A quando houver cargas de longa duração, também deverão ser obrigatoriamente . considerados

os efeitosda fluência.

Como a fluência ocorre sob aação dos esforços permanentes de serviço (característicos),

as tensões no concreto são suficientemente baixas para que se empregue a

teoria linear da fluência, na qual é admitidauma função 4 de fluência independente da

tensão aplicada. Nesse caso, sendo

têm-se

CC = tensão de compressão no concreto

Ec = módulo de deformação longitudinal do concreto

&C = deformação imediata do concreto

Ecc = deformação por fluência do concreto

'0'01 = deformação total do concreto

4 = função de fluência

Com a hipótese adotada de ser 4 independente de uc, por efeito da fluência, o

diagrama tensão-deformação do concret'sofre uma transformação afun, de razão 4,

paralelamente ao eixo de E,, Fig. 9.1.1-1.

Conforme já foi mostrado na tabela da Fig. 5.2.3-2, de posse do diagrama

tensão-deformação correspondente a um certo valor 4 da função de fluência, podem

ser determinados os diagramas (M, N, l/r), onde as curvaturas são dadas por

.

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 329

Fig. 9.1.1-1 Influência da fluência sobre o diagrama c - E do concreto.

Umavez conhecidos os diagramas (M, N, llr) correspondentes aum dado+, para

o cálculo da carga crítica, em princípio poderiam ser aplicados os mesmos métodos já

vistos anteriormente, se as cargas aplicadas fossem todas de longa duração.

Todavia, como na grande maioria das constmções, nem todas as cargas são de

natureza permanente, o problema de determinação da carga crítica precisa ser reanalisado.

9.1.2 CARGA No caso de existirem cargas de longa e cargas de curta duração, a verificação rigorosa

PARCIALMENTE DE da segurança contra o estado limite de instabilidade fica bastante complicada.

LONGA DURAÇÁO A dificuldade maior decorre do fato de que, para as cargas de longa duração,

devem ser empregados diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a + # O e, para o

restante do carregamento, que é de curta duração, os diagramas de acréscimos (AM,

AN, 1lAr) +=, devem ser calculados com + = 0.

Note-se que, para a intensidade do carregamento de longa duração, deveria ser

admitido o valor característico F,, ou, no máximo, o valor y, F,,.* Em muitos casos

também existe uma parcela$, F, da carga variável que deveria ser consideradacomo

de longa duração. O valor II<, Fck é a parcela de longa duração (quase permanente) da

carga acidental F,.

Admita-se então estabelecida uma certa história de carregamento da estrutura,

constituída, por exemplo, da seguinte sequência:

. . .., --

1. Açóes iniciais de longa duração: F,,

2. Açóes suplementares de curta duração: (F, - F,,) + Fd

Na Fig. 9.1.2-1 estão ilustradas as diferentes soluçóes associadas a esse problema,

empregando-se o método geral com o piocesso de carregamento progressivo.

Pelo fato de não ser válido o princípio da superposição dos efeitos, a solução

rigorosa seria teoricamente possível, desde que fossem traçados os diagramas (M, N,

l/r) de cada seção transversal com a respectiva história de carregamento. Para o

traçado desses diagramas, considerar-se-ia o efeito da fluência para valores de M e de

N inferiores aos esforços provocados, na seção considerada, pelo carregamento F,, +

Jr,F,. Para os valores de M e N superiores a esses limites, os acréscimos de esforços

não provocariam deformação lenta, mas o cálculo dacurvatura exigiria a definição do

diagrama (Ao, AE) correspondente a esses acréscimos de esforços.

Em face dacomplexidade do problema são empregadas as soluçóes aproximadas

.---.

'Paras discussão do significadoda cargay, F,ver do Autor: Fundamentos doPi.ojetoEstrulural. O Código Modelodo

CEB introduz esse conceito sob a forma de um coeficiente y. de comportamento, admitindo valores de 1.10 a 1.25.

i

Folt,$=o

. 0 '0 ITOW O CARREGAMENTO DE

CURTA oun~çloi

Fcrit

.,-=-=-

- Fgk

I xiw o CARREGAMENTO DE LONGA DURA~~,~)

SOLUÇÃO RIGOROSA ACENAS

TEORICAMENTE POSSIVEL

yref

Fig. 9.1.2-1 Carga parcialmente de longa duração

,/*'

,s I

É

,",< -,-----

--, a seguir analisadas.

preciso observar desde já que essas soluções aproximadas são plenamente

L satisfatórias, pois as cargas de longa duração atum com seus valores de serviço, não

havendo portanto muito interesse no que se poderia chamar de solução exata.

9.1.3 MÉTODO DE De acordo com este método aproximado, realiza-se o cálculo como se toda a carga

FUNÇAO EQUIVALENTE fosse de longa duração, adotando-se para a função de fluência o valor equivalente i

~

DE FLUÊNCIA efetivo

(9.1.3-1)

,,y+a--, i-l valor

.~

o

a = fração da força normal que produz fluência

p = fração de momento fletor de 1 .a ordem que produz fluência

@(t,,t,) = função de fluência real do problema

,,

-~~ i

Para emprego prático, esta solução somente será exequível se forem conhecidos

os diagramas (M, N, llr) para o valor adotado. I

Para isso, os diagramas (M, N, l/r), = , poderão ser calculados diretarnente ou

obtidos porinterpolação entre os diagramas (M, N, Ilr), =, e (M, N, Ilr),, onde4 éum

padronizado, por exemplo, 4 = 2. I

I

~ma;ez conhecidos os diagramas (M, N, Ilr) correspondentes a$,f, podem ser 8

aplicados todos os processos de cálculo discutidos anteriormente.

Deve-se observar que este método é bastante geral, podendo ser aplicado inclusive

nos casos de pilares muito esbeltos ou de seção transversal variável.

i

9.1.4 MÉTODO DA Com este outro método aproximado de cálculo admite-se que todo o carregamento

EXCENTRICIDADE seja de curta duração, introduzindo-se para todas as cargas longitudinais, tanto de

EQUIVALENTE longa quanto de curta duração, uma excentricidade suplementar e, de l.a ordem, dada i

por

I

F, = carga de longa duração que produz fluência

e,, = excentricidade de I.a ordem dacarga F,, na qual se inclui a excentricidade

acidental &, ou seja,

-

I

-,

= e;. + e. I

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA C~TICA 331

e,, = excentricidade inicial da carga F,

F, = carga de flambagem de Euler, sendo

n--- -\ \

F, = 10 E, 1,/ee2 ,J

L- -

E, = módulo de deformação longitudinal do concreto

w /L r De acordo com a NB-1/78, tem-se I

7 w

5 I>- 2.

I E, = 0,9 x 6600 flf

(MPa) ( 1 MPa = 10 kgf/cm2)

I

~~~~ - . ~ -

~ ~

.. '\

/I, = momento de inérciada seção total A, de concreto. Tendo em vista agrande !

,'

i influência da armadura na inibição da deformação lenta, será razoável

tomar-se a seção ideal no estádio Ia,* levando em conta, pelo menos de , '

,

.. ~- forma - apr~~ximada~a~presençadaarmadura~

e, = comprimento de flambagem

Admite-se o valor

F, = yn (F,k + $2 F,)

com

/

sendo $, F, a parcela de longa duração da carga acidental.

Uma vez transformado o efeito da fluência numa excentricidade de 1." ordem,

aplicam-se os mesmos métodos de cálculo já estudados anteriormente.

Um exemplo de aplicação deste método já foi visto no item 8.2.6 do capítulo

anterior.

Tendo em vista que os efeitos de longa duração ocorrem sob tensões relativamente

baixas do concreto e que, além disso, existe um efeito inibidor da fluência pela

presença das armaduras, não há em princípio necessidade de grande rigor na consideração

desse fenômeno.

Por essa razão, no caso de peças com armadura variável, é preferível

determinar-se a carga de flambagem de Euler ignorando a presença da armadura e

considerando um valor atenuado da função de fluência, adotando-se a expressão

em lugar da expressão (9.1.4-1).

De forma análoga, no caso de pilares de seção transversal variável, é aceitável a

determinação da carga de flambagem de Euler por processos simplificados, ou mesmo

por processos aproximados. Nos casos usuais são muito úteis as tabelas organizadas

por Langendon~k.~~

-

*O Código Modelo do C1 EB sugere a adoção da se$ão de concreto simples, desprezando-se a armadura

1N =0,lk8f I MPa = I MNlm* = I0 kgflcm'

IkN =lWkgf=O,Itf I kNim = 100 kgflm = 0,l tflm

1 kN.m = 1W W m = 0.1 tf.m 1 kNlmZ = IW kgflm' = 0,1 tflm2

i kN.cm= 1W kd.cm = 0,l dcm 1 kNlmS= IW kgflm3 = 0.1 tflma

9.1.5 JUSTIFICATIVA DO A justificativa da validade desse método de cálculo pode ser dada da maneiradescrita

MÉTODO DA a seguir.

EXCENTRICIDADE

EQUIVALENTE Consideração

Em reeime - elástico. a determinação das flechas das barras esbeltas submetidas a

flexo-compressão pode ser feita assimilando-se a excentricidade inicial e, do carregamento

a uma flecha inicial w, da barra, Fig. 9.1.5-1.

Fig. 9.1.5-1 Carga de curta duraçéa. Flexão composta de b ms esbeltas - Regime elástico.

Desse modo, tomando uma barra articulada nas extremidades cujo eixo já tenha

uma pequena curvatura inicial, a aplicação de uma força de compressão longitudinal

com linha de ação segundo a reta que une as extremidades da barra acarreta a

ampliação das flechas, as quais passamdos valores iniciais y, paraos valoresfinais y,.

Quando a configuração inicial da barra for dada pela curva senoidal

TX

y, = wl sen -

e

prova-se quer9 a configuração final é expressa por

\

F = força de compressão aplicada

F, = carga de flambagem de Euler de uma barra reta de mesmo compri

mesmo produto de rigidez E1

A flecha máxima da barra, que originalmente tinha o valor w,, pass; i a valer

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CR~TICA 333

2.a Consideração

Nas mesmas condições do caso anterior, admita-se que o material da barra seja

visco-elástico e que, portanto, sofra um processo de fluência.

Esse processo se dá com tensões variáveis, pois, a medida que aumentam as

flechas, aumentam as tensões devidas aos efeitos de 2.a ordem, Fig. 9.1.5-2.

INSTANTE INICIAL to INSTANTE FINAL 1,

Fig. 9.1.52 Barras com curvatura inicial - Fluência

No caso de barras de eixo senoidal, prova-se que2'

onde

+(t,,to) = função de fluência entre os instantes t, e to

Sendo w, aflecha máxima da barra no instante to logo após a aplicação das forças

F,, a flecha máxima no tempo infinito t, passa, por efeito de fluência, a valer

b_

WI = w2 . exp + (t,, to)

['

\ %

b 1. (9.1.5-2)

F, - F,

3.a Consideração

Conforme se mostra na Fig. 9.1.5-3, para a verificação da segurança contra o

estado limite de instabilidade, em lugar da história real de carregamento pode ser

admitida uma história equivalente. Esta história equivalente de carregamento admite

que, ante s da aplicação da carga de curta duração F,, a estrutura seja descarregada da

carga F, de longa duração e, a seguir, carregada com o valor total F, + F,.

A Fi g. 9.1.5-4 mostra o efeito do carregamento e do descarregamento de uma

esrrurura submetida a uma carga F, de longa duração.

centricidade inicial e,, do carregamento F, de longa duração é assimilada à

ixima w, de uma barra com curvatura inicial, a qual é admitida com eixo

senoiaai.

No ins tante ini cial h, a aplicação de F, amplia aflecha máxima para o valor w2 (to),

~ .


1 HISTÓRIA REAL DE CARREGAMENTO TOTAL

CARREGAMENTO

F

9 I I ,t

I

to

IF

fr

,CARREGAMENTO TOTAL

HIST~RIA EQUIVALENTE DE

CARREGAMENTO

Fig. 9.1.5-3 Históna de carregamento.

dado por

Por efeito da fluência, no tempo final t,, a flecha máxima toma o valor

wdt,) = w2(to) . exp 4 (t-, to) F,

FE - F g

_*."

+(L> to) F,

w3ítoa) = elg F~ . exp

FE - Fo FE - Fo

........... "

--.-.~" , . ;:. -_

Observe-se, Fig. 9.1.5-4, que, se a carga F, fosse aplicada no tempo t, e não no

tempo to para que se obtivesse a mesma flecha w3(t,) dadapor (9.1.5-3), aflechainicial

da barra deveria ser

ou seja, por efeito da fluência, aflecha inicial w, = e,, sofreu um acréscimo e, dado por

e, = w,. .,luale., - w,

!

Desse modo, a flecha

......

suplementar e,correspondente aos efeitos da fluênciavale

.. .

...... ,.-.:*I'-

%~.=..-., . . _ _ .-

.....

Observe-se então, Fig. 9.1.5-3, que essa flecha suplementar se traduz numa

excentricidade suplementare, para todas as cargas, tanto ,quanto F,, que seaplicam

~imnlfaneamente no tempo final t,, de acordo com a históna equivalente de carrega-

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA CaTICA 335

Fig. 9.1.5-4 Determinação da excentricidade suplementar e, devida à fluência.

9.2. PILAR PADRÃO

MELHORADO

9.2.1 MODOS DE EMPREGO De acordo com o que foi visto no item 5.3.4, o conceito de pilar padrão surgiu como

DO PILAR PADRAO sendo o de um pilar em balanço com linha elástica senoidal, Fig. 9.2.1-1.

Com essa hipótese, sendo o eixo do pilar dado por

onde o comprimento de flambagem e, vale

e, = 2e

obtém-se

- -, . I..111. ?do r2 10, resulta

3- (L)

10 r base

O momento fletor M, de 2.a ordem na seção da base, dado por

Mz = F,a

36 ESTRUT~RAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

9.2.1-1 Pilar

pode então ser determinado pela expressão

*c-

que é uma função linear da curvatura -

lhas

Surge, desse modo, o processo do pilar padrão.

Na Fig. 9.2.1-2 é ilustrada a sua aplicação dentro do método geral de calculo.

Deve-se notar que é dessa maneira que são usualmente determinados os diagramas de

interação (M,, N),,,, como aqueles ilustrados pelas Figs. 5.3.5-4 e 5.3.5-5.

A Fig. 9.2.1-3 mostra a aplicação do processo do pilar padrão dentro do método

do equilíbrio: arbitra-se o valor critico de (llr),., e, com este valor arbitrado, é

calculado o valor de M,,. Para dimensionamento impõe-se a condição de que, para

N, = N,, seja M, não menor que M,, + M,,.

Na prática, essa aplicação do método do equilíbrio torna-se difícil, pois elarequer

que seja arbitrado, de forma adequada, o valor de (llr),,,.

No caso de pilares não muito esbeltos, a dificuldade de escolha do valor (llr),,

pode ser contornada, adotando-se curvaturas críticas próximas a curvatura última

correspondente a peças de esbeltez nula, Fig. 9.2.1-4.

Conforme se mostra na Fig. 9.2.1-4, essa possibilidade decorre do própi io andamento

dos diagramas (M- N - l/r). De fato, para barras não muito esbeltas, o ponto

de tangência para a determinação de M,,, é razoavelmente próximo do pontc 3 u"'.uapondente

a ruptura material da seção da base.

Desse modo, a expressão (5.4.4-8), que dá as curvaturas convencionais a dotadas

pela NB-1/78, fornece os valores

'

com

V, + 0,5 1

os quais, na realidade, correspondem a pontos de um intervalo qut: piuvaveiiiiciiir

contém o valor exato da curvatura ( l/r), relat iva à mpti ura materi,

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CR~TICA 337

M

M

DIAGRAM (M-N- ih)

DA SEÇAO DA BASE

PARA UMDADO VALOR M N*

. ,"

-----------

/

/

ÚNICO

1.---

WNTO CALCULADO

/

'

I I I

(T )base. cri, (~)boie,u (7)wbitrodo

te2

arctg (- F, )

I0

Fig. 9.2.1-2 Processo do pilar padrão aplicado ao método geral.

I

base

Fig. 9.2:l-3 Processo do pilar padrão aplicado ao método do equilibrio.

Nessas condiçóes, o emprego de curvaturas críticas convencionais acarreta erros

na determinação de M,,c,, , pois o valor de (I/r),,i,,, arwtado pode diferir do valor de

(l/r). correspondente à mptura material. Por essa razão, o método simplificado do

equilíbrio é restrito a barras medianamente esbeltas (h 80). Para barras de maior

esbeltez, exige-se o emprego de processos mais rigorosos, como, por exemplo, o

processo do pilar padrão com o método geral.

Nu =Nd

RUFTURA

O

MATERIAI

Fig. 9.2.1-4 Processo do pilar padrão aplicado ao método simplificado do equilibno.

9.2.2 FUNDAMENTOS DO Conformejáfoi discutido, para os pilares esbeltos (h > 80) não pode ser empregado o

PROCESSO DO PILAR processo simplificado do equilíbrio.

PADRÁO MELHORADO A solução rigorosa do problema exigiria o emprego do método geral, por exemplo,

com o processo do carregamento progressivo proporcional. Todavia, cálculos

dessa natureza somente podem ser elaborados em casos excepcionais. Como altemativa,

pode ser empregado o método do equilíbrio com o processo do deslocamento de

referência, cujos resultados estão sempre a favor da segurança.

No caso usual de pilares de seçáo constante, uma soluçáo suficientemente precisa

pode ser obtida através do método geral com o processo do pilarpadráo. Todavia, em

certos casos, toma-se necessário melhorar a precisão dos resultados obtidos, uma vez

que, paraos pilares de maior esbeltez, nem sempre pode seradmitidaumalinhaelástica

senoidal.

De fato, tendo em vista que a real conf~gumção do eixo deformado do pilar

depende da verdadeira distribuição de momentos fletores totais M, + M,, em pnncipio

não se pode admitir como verdadeira a expressão (9.2.1-l), sendo portanto

Para a melhoria dos resultados surge a idéia do pilarpadrão melhorado. Nele é

considerada a verdadeira distribuição de momentos de ordem, admitindo-se que

apenas os momentos de 2.a ordem produzam deslocamentos transversais com dis&

buição senoidal. A Fig. 9.2.2-1 mostra como o fato de a linha elástica total não ser

senoidal afeta a determinação da carga crítica.

RUPTURA MATERIAL

m ~ L

Fig. 9.2.21 iniiuência da forma da linha elástica na determinação da carga crítica.

Nessa figura, os momentos de 1 .a e de 2.a ordem correspondentes ao pilar padrão

(linha elástica senoidal) estão indicados, respectivamente, por M, e M,. No caso do

pilar padrão melhorado, de linha elástica não-senoidal, esses mesmos valores são

indicados por M,, e M,,, respectivamente. Observe-se que, em princípio, pode ser

M,, 5 M,.

7

De acordo com o que se mostra na Fig. 9.2.2-1, o momento crítico de ordem

poderia ser em princípio obtido através da determinação do maior valor de M,, que

pode ser resistido pela seção dabase. A curvatura íl/r)b,,, correspondente a esse valor

M,,, , seria a curvatura crítica.

Esse caminho teórico pode, no entanto, ser simplificado, conforme se verá

adiante.

9.2.3 PROCESSO DO PILAR No processo do pilar padrão melhorado admite-se que apenas a componente de 2.a

PADRÁO MELHORADO ordem da linha elástica tenha distribuição senoidal. A componente de ordem

depende da lei de distribuição dos momentos de ordem, Fig. 9.2.3-1. Admite-se

também que, tanto no pilar padrão quanto no pilar padrão melhorado, sejam iguais as

curvaturas ctíticas da base e o momento total crítico.

1 Com as hipóteses adotadas, quando se passa do pilar padrão para o pilar ---'-'-

melhorado, uma parte de M,, , transforma-se em M , ., , ou vice-versa, co

seja o andamento do diagrama de momentos M, ao longo do pilar.

Pai ra a deten ninação da correção a ser introduzida no valor c lisponível do mo-

COMPONENTE SENOIWL

COMPONEKTE NAo-SENOIDAL

OS MESMOS MUX1ES

DE

JLrbase

ait

PILAR PADRÃO

Fig. 9.2.3-1 Decomposiçáo dos deslocamentos.

PILAR PADRAO MEL HORADQ

mento de 1." ordem, admite-se a decomposição da curvatura total da base do pilar

padrão melhorado em duas parcelas, Fig. 9.2.3-2, fazendo

= (l/r)crit = (l/ri)m + (1Irz)m (9.2.3-1)

onde

(1 ., ,, ~urvatura da seção da base devida a M,,, C,

(li,,,, - da curvatura da seção da base devida a M,,, .,

Para que es

(M - N - llr) é

posição seja exequível em termos práticos, o diagrama

io, Fig. 9.2.3-2, daí resultando:

sendo E1 o produto de rigidez secante da seção da base.

Para a determinação das parcelas (llr,), e (Ilr,), da decomposição da curvatura

da seção da base, admite-se que a flecha da extremidade livre do pilar padrão melhorado

também seja decomposta em duas parcelas, conforme já foi mostrado na Fig.

9.2.3-1, resultane-

onde

alm = flech, ite dos momentos fletores de I .a ordem, a ser determinada

diretamen~t: ciii função da lei de distribuição destes momentos, que é um

dado inicial do problema-

DAWMA (M-N-f I DA SEÇ~O DA BASE

PARA UM 0400 VALOR DE N

Fig. 9.2.3-2 Processa do pilar padrão melhorado.

e: a,, = - (l/r,),, correspondente à componente senoidal da linha elástica

10

Observe-se que a,, é umvalor conhecido e que h, éumaincógnitadoproblema.

De acordo com as hipóteses adotadas, tem-se

- MI, cnt + M2, cnt = Mim, cn.t + Mzm, cnt Mmt

que passará a ser escrita

suprimindo-se o índice crit por simplicidade.

Desse modo, sendo

logo

tem-se

M,, = M - M,,

M1m = (M1+ Mz) - Mzm

M,, = M, + M, 1

< -+I


PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA

obtém-se

logo

e:

M, = a,,, = P. [alm + -(I)

10 r,

e: alm + - (1lrJm

Mz" = a,,, = 10

M, a 5 (!)

10 r

M,, = M, + M,

1

Nessas condições, considerando a linearização expressa pelas equações

(9.2.3-2), tem-se

[

eZ

a,, E; L M2,

M,, = M, + M, I

10

-

- wric

10 1

De acordo com a analogia de Mohr, a flecha a,, é obtida como o momento

estático do diagrama&emrelação ao topo do pilarpadrão. Desse modo, fazendo-se

E1

Z = a,, E1 (9.2.3-3)

onde Z é o momento estático do diagrama de momentos M,, resulta

ou seja

(

M,, = M, + M, 1 -

z

10 - + M,

wri1 )

Introduzindo nessa expressão a relação

obtém-se

Mcv,t - Mm = M~rn

L

M,, - 10 -

e:

Como a correção procurada é sempre moderada, no 2.O termo da expressão

~

,\


anterior admitem-se, por simplicidade, que sejam

onde M, corresponde ao momento último relativo ao estado limite último de ruptura

ou de alongamento plástico excessivo.

Nessas condições, resulta finalmente

que para maior clareza será escrita

Uma vezcalculado o valor de Z em função do diagrama de momentos fletores de

I .a ordem, a expressão (9.2.3-5) fornece o valor melhorado domomento critico de I.=

ordem.

9.2.4 COEFICIENTES DE Deacordo com o processo do pilarpadráomelhorado, o momentode I.aordemcritico

CORREÇÃO. CASOS melhorado M,,, , é dado pela expressão

PARTICULARES -1 *..--/ J%---."--- ---

; Mm. c,, = I + Mz, crit 10

MI, cvit

,e-

Mu - z ""7 MI, ,,.i,

Definindo-se os coeficientes '-'.y.-.'-' .._, '-\-, '

k=- Mz, ctit

M"

resulta

MI,, ,tit = M,, ,dt (1 + k a,)

ou sob a forma adimensi.onal,_,

d --e--"- .~

i. ~ i m ,

-.._ .-

ctit = /*i, crit (1 + kpm) ~

A % ~ . ~ ~ d e c o m ~ odo s diagrama i ~ ã o de momentos fletores de I."

ordem para o cálculo do coeficiente a,. Note-se que, na expressão (9.2.4-7) n

momento M,, .,, é o valor que atua na base do pilar padrão.

Considerando as diferentes componentes da diagrama de M,, têm-se:

a. Componente retangular

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA 343

10 z

Fig. 9.2.41 Determinação de a, = 1 -- -

6, MI, base

b. Componente triangular

c. Componente parabólica

e2

Z, = a1 Mt, base - - = M,, base ai

2e , e

3 2

Na Fig. 9.2.4-2 estão apresentados alguns resultados particulares

1 MI Ml

Tabela básica de valores de a,

Fig. 9.2.42 Coeficientes de cowefão.

344 ESTRUTZTRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

Sendo e = P,/2, resulta

ou seja ,

logo

" .,~"Z,X.

h --

I)

9.2.5 EXEMPLO Considere-se a determinação da máxima força horizontal F, que pode ser aplicada ao

pilar da Fig. 9.2.5-1.

AS=2x8825= 80cm2

Aço CA-50A

fck = 21 MPa



~ .

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÁO DA CARGA cRÍTICA

fck - 21

f,d = - - - = 15 MPa = 1,50 kN/cm2

YC 134

A, = 2 X 8 qí 25 = 80 cm2

fyd = 435 MPa = 43,5 kN/cm2

As f& = 80 43,5 = 0,36

o=-

A, fcd 6400 x 1,s

345 I

L~

,.&%C ~. .

.-,. ,

*.

.' a. Processo do pilar padrüo .:

"De acordo como áBeiaco diFig. 5.3.5-5, para !,/h = 30, o = 0,36 e v, = 0,26,

tem-se pI, er(l = 0,11, donde

=

.

Desse modo, obtêm-se

e,, 0,42 x 80 = 33,6 cm

e,, , = 5 cm

logo

Fud (elc- e,,) - 2520 x 28,6 = 60,O kN

Fhd =

h 1200

donde

Esta seria portanto a máxima força horizontal que em serviço poderia ser aplicada

ao topo do pilar se a componente dalinha elástica, devidaaos momentos de 1 .a ordem,

fosse senoidal.

e-

4 ' b. Processo do pilar padrüo melhorado

Admitindo-se o resultado obtido anteriormente, o diagrama de momentos de

ordem permite o cálculo do fator de correçáo, conforme indicado na Fig. 9.2.5-2,

resultando

De acordo com o ábaco da Fig. 2.3.5-1, para v, = 0,26 e o = 0,36 tem-se o valor

último pd = 0,23.

Desse modo, sendo


Fig. 9.2.5-2 Aplicação do pilar padrão melhorado

obtém-se

= /"d - /"I. erir = 023 - O,11 = 0,52

/"d 0,23

Conhecidos os dois coeficientes k e a,, resulta finalmente o valor melhorado,

dado por

ou seja

plm,ertt

=0,11(1 + 0,52 X0,lM) =O,11 x 1,054=0,116

donde os valores melhorados

'%

9.3 ESTUDO GERAL

DOS PILARES

ESBELTOS

, .

O 116

F,, = L x 42,9 = 45,2 kN

0,11

Em face da ordem de grandeza da correção obtida, não cabe a reformulação do

diagrama de M, empregado no cálculo dos coeficientes de correção.

\

' '. . ."xi."

9.3.1 PILARES ESBELTOS De acordo com o que foi mostrado na Fig. 7.5.1-2, no caso de pilares esbeltos, com

DE SEÇAO CONSTANTE 80 <h e 140, a NB-1 não mais permite o emprego do processo simplificado do

\,

(h s 140) equilíbrio, no qual são adotadas curvaturas últimas padronizadas.

.,.J-, . ,,@.- .* No caso de pilares esbeltos com h s 140, a NB-1 ainda permite o emprego de

processos simplificados de cálculo desde que justificados, exigindo porém que, na

'

presença de cargas de longa duração, seja levada em conta a influência da flu'

1N =U,lksf 1 MPa = 1 MNlm2 = lu kgf/cmP

I kN = 100 kd = U,l tf 1 kNim = 1W kgfim = 0,l dlm

I I<N.~ = IW kgf.,,, = U,I tf.,,, I kNim2 = 100 ksflm' = 0.1 Wm'

1 ~ N . C 100 ~ = ligtcm = 0,1 tf.cm 1 kNlms= 100ksflm8 = 0,l tflm"

No caso de pilares de seção constante submetidos a força normal constante,

quando 80 < A s 140, o processo de cálculo mais aconselhável é o correspondente ao

emprego do método geral com o pilar padrão.

O cálculo fica bastante simplificado quando existem diagramas de interação em

função da esbeltez, como os que são mostrados nas Figs. 1.3.5-4 e 5.3.5-5.,Caso

contrário, é preciso lançar-se mão dos diagramas (momento fletor-força normalcurvatura),

procedendo como foi mostrado no exemplo do item 8.2.4.

Em qualquer dos dois casos, cabe formular a correção permitida pelo conceito de

pilar padrão melhorado.

Na presença de cargas de longa duração convém empregar o método da excentricidade

equivalente, conforme exemplificado em (8.2.6).

Nos casos de flexão composta oblíqua, os critérios de linearização do diagrama

de interação podem ser empregados sem maiores dificuldades.

Quando o pilar estiver submetido a força normal com significativa variação ao

longo do seu comprimento, toma-se necessário recorrer a processos mais rigorosos

como, por exemplo, o do deslocamento de referência.

9.3.2 PILARES MUITO

ESBELTOS DE SEÇAO

CONSTANTE (h > 140)

1 9.3.3 PILARES COM SEÇAO

TRANSVERSAL

VARIÁVEL OU FORCA

NORMAL VARIÁVEL

I

A NB-1 permite o emprego de pilares desta natureza, desde que sejam tomadas

precauções adequadas.

Dentre essas precauções estão a limitação de ser h < 200, a obrigatoriedade de

consideração de eventuais fenômenos de vibração e a majoraçáo do coeficiente de

ponderação da força normal para o valor

y, = 1,4 + 0,Ol (h - 140)

Além disso, no caso de pilares com A > 140, a NB-I exige que a segurança seja

demonstrada por processo exato. Torna-se portanto obrigatório o emprego do método

geral com o processo do carregamento progressivo proporcional ou então, afavor da

segurança, do método do equilíbrio com o processo do deslocamento de referência,

discutido no item 5.4.2.

Analogamente ao que foi dito para os pilares esbeltos, a influência da fluência

pode ser considerada pelo método da excentricidade equivalente, e aflexão composta

oblíqua pode ser tratada a partir da idéia da linearização do diagrama de interação.

Conforme foi mostrado no item 5.4.2, o método do equilíbrio com o processo do

deslocamento de referência permite a verificação da estabilidade de pilares com seção

transversal variável submetidos a qualquer tipo de carregamento.

Observe-se, no entanto, que adeterminação exatada carga crítica somente pode

ser feita pelo método geral.

Q que* método do equilíbrio permite fazer é a simples verificação de se o

equilíbrio é ou não estável sob a ação do carregamento de cálculo.

Apresenta-se a seguir uma sistematização do método do equilíbrio aplicado a

pilares com seção transversal variável. Note-se que a mesma sistematização é válida

se apenas a força normal varia ao longo do pilar.

Para isso, considere-se o pilar genérico mostrado na-Fig. 9.3.3-1.

=&li- carregamento, admitindo todas as açôes com seus valores de cálculo

F, = Y, FIK

Subdivide-se o pilar em segmentos que possam ser admitidos com seção constante

e com força normal constante.

Consideram-se na l.= etapa apenas os momentos fletores de ordem,

incluindo-se neles aeventual infiuênciadaexcentricidade equivalente correspondente

a fluência.

Através dos diagramas (M, N, l/r) determinam-se as curvaturas desta etapa e,

por meio da analogia de Mohr, calculam-se as flechas dos pontos nodais adotados na

subdivisão do pilar em segmentos.

Essas flechas são adotadas como ponto de partida da 2.a etapa, na qual são

rl

TODAS AS

AÇ~ES COM

SEUS VALORES

DE CALCULO

Fi = rf Fi

Mi= &,I + M2,i

Fig. 9.3.3-1 Pilares de seçáo variável.

considerados os momentos de I.= ordem e os momentos de 2.a ordem determinados

com as flechas da etapa anterior.

Com esses esforços são recalculadas as flechas, prosseguindo-se o processo por

aproximações sucessivas.

A segurança do pilar estará demonstrada se as flechas dos diferentes pontos

nodais tenderem para valores limites finitos, pois então terá sido atingidauma posição

de equilíbrio estável.

9.3.4 EXEMPLO Verificar a segurança contra o estado limite último do pilar indicado na Fig. 9.3.4-1,

PRELIMINAR sendo dados:

F,,d = yf FIiK = 200 kN

fck = 14 MPa

fcd = 10 MPa

Aço CAJOA

o = constante = 0,60

Este exemplo tem caráter preliminar e serve tão-somente para que sejamostrado

o tipo de algoritmo de cálculo empregado. As flechas calculadas neste exemplo são

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C~~TICA 349

IkN =lWkBf=O,ltf

I kN.m = IW kgtm = 0.1 1f.m

4 C d' = O,O5 h Fig. 9.3.4-1 Exemplo.

exageradas porque se admitiu, para todo o pilar, o diagrama v, - E, determinadocom

os valores de cálculo. Nos itens seguintes, o problema do diagrama tensãodeformação

a ser empregado será reconsiderado.

Solução Empregam-se os diagramas (pd, vd. ]/r) do Apêndice 2.

De acordo com os resultados adiante indicados, verifica-se que já na 3.a etapa fica

evidenciada a convergência do processo, estando portanto já garantida em termos

práticos a segurança do pilar considerado, conforme está mostrado na Fig. 9.3.4-1.

I.= ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS

h A, Nd

Seção v6 = -

Na M L ~ ei 5

h

e

PI~ = ~d '

(m) (m3 (kN) A, f<d (kN.m) (m) h


CÁLCULO DAS FLECHAS y,., ,

Seção o v, pid

d d = 0,95 h i 103 ?i?

103 -

r (m) r (cm)

(m-'1

2.a ETAPA


Seção

h YI: e, e, e, e

-- - e

Vd

Wd=Ud-

( 4 (cm) (cm) h h h h

CÁLCULO DAS FLECHAS y,,.,,,,

Seção o vd

d d = 0,95 h 1 103

,A* 1O3 - Yzo

r ím) r ( 4

(m-'1

3.a ETAPA


Seçáo

h YZP e2 e, e, e

e

Ud --- pd = Vd -

(cm) (cm) (cm) h h h h

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRfTICA

CÁLCULO DAS FLECHAS ys=

d d = 0,95 h I

Y8

Seção w vd p,, lo3 -

r Iml r Icml

1

9.3.5 A RIGIDEZ DO

CONCRETO A SER

CONSIDERADA

/

No exemplo preiiminar do item anterior, admitiu-se que o diagrama tensãodeformação

do concreto, empregado no cálculo dos deslocamentos transversais do

eixo do pilar, fosse o mesmo diagrama parábola-retângulo adotado no cálculo do

estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo. Empregou-se,

portanto, no exemplo preliminar anterior, o diagrama A da Fig. 9.3.5-1, que é o

diagrama apresentado no item 8.2.4 da NB-1/78.

Este também era o diagrama recomendado pelo CEB no seu Manual de Flambagem1"

(Boletim 123, 1978). Esse diagrama leva a uma estimativa exagerada da

defoi'mabilidade da estrutura.

0185 fck

0,85 fcd

Fig. 9.3.5-1 Possíveis diagramas (c, E) para o cálculo dos deslocamentos da barra

De acordo com o Código Modelo do CEB, no estudo da instabilidade é conveniente

relacionar a rigidez do concreto à sua resistência média, adotando-se para isso

um coeficiente de comportamento y. = 0,8, daíresultando para aavaliação de f,d o valor

y, = 1,2.

Além disso, o Código Modelo passou a adotar uma expressão analítica mais

realista para o diagrama uc - E,, correspondente ao diagrama B da Fig. 9.3.5-1.

i

Todavia, esse diagrama B, embora menos impreciso que o diagrama parábolaretângulo,

também é convencional, podendo ser ainda comgido em função da densidade

do concreto. Além disso, como esse diagrama é variável com a resistência do

concreto e com aforma da seção transversal, o seu emprego exige o cálculo automático

direto do problema específico em consideração.

Parao emprego de diagramas (pd- vd - l/r) comoos apresentados no Apêndice%

sugere-se a adoçáo usual do diagrama C, particularmente para os pilares esbeltos (h >

80) e para os não contraventados, permitindo-se o diagrama D para os pilares simultaneamente

contraventados e medianamente esbeltos (h < 80).

O diagrama B poderá então ser exigido apenas no caso de pilares muito esbeltos,

(h > 140).

É importante observar-se que nos diagramas C e D foi explicitado o coeficiente

035 quejáestáembutido no cálculodosdiagramas (pd- vd - l/r) do Apêndice2. Parao

emprego desses diagramas, no caso C será feito con~encionalmentef,~ = f,,e, no caso

D, será tomado o valor fcd = femi, sendo f, a resistência média ao j dias de idade. Por

motivos análogos, em ambos os casos será adotado fUk em lugar de fVd.

Note-se, finalmente, que o diagrama D decorre da interpretação de que

-

fciestruh<ra - fe,eomos de prwal~c~

ou seja

fcm,eatmaTa E fcm/132 E 035 fcm E fek

ou seja, admite-se parao concretodaestmturaarigidez correspondenteao quantil de 5%

das resistências dos corpos de prova de controle.

9.3.6 EXEMPLO Considere-se novamente a verificação da

-

estabilidade do pilar tratado no exemplo do

DEFINITIVO item 9.3.4.

Nas mesmas condições do exemplo citado, adotando o diagrama tensáodeformação

correspondente a 0.85 fCk fck/1,2, tem-se:

ETAPA

CÁLCULO DOS ESFORÇOS PARA O CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS

h A, Nd* Nd Mld e, e, e, ***

Seção v, = - pia = vd -

(cm) (m2) (kN) A,€,,** (kN.m) (m) h h

'Na = y, Nr= 1.4 N1.

"7. = 1.0 r,, = f,.

*** y,= 1.4 y.= 1,O.

CÁLCULO DAS FLECHAS y,. .,.

-bOL

4'

Yi"

Seção o* v* Wld 109 - d** d = 0,95 h 1 105

(m) r (cm)

ím-'t

2

4, = 1,O r, = 1.0 f, = f, = I4 MPa f, = f, = SOO MW.

*'Fmmeea-s o Diagrama 31 do Anexo.

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA C-ICA

2.a ETAPA


h y,,~ e, e, e, e e

(cm) ícm) ícm) h h h pa = - h

Seção "a - - -

CÁLCULO DAS FLECHAS yt: ,

Seção o vd pd

103 j d = 0,95h 2 x 103 Yza

r ím) r (cmj

3.a ETAPA


h yz" e, e, e, e e*

Seção vd --- pd = Vd -

( 4 (cm) (cmj h h h h

*A comparagáo com os vaiores da etapa anterior já garante a converg6ncia do processa,

provando-se assim a estabilidade do pilar.

CÁLCULO DAS FLECHAS y,.. .,.

Em virtude da igualdade dos esforços obtidos, pode-se escrever diretamente

I

I

9.4 ESTRUTURAS DE

CONTRAVENTAMENTO

9.4.1 A ESTABILIDADE A análise da estabilidade global das estruturas deve ser feita levando-se em conta o

GLOBAL DAS caráter tridimensional das constmções.

ESTRUTURAS Usualmente, esta análise é feita considerando-se a estabilidade de pilares isola-


dos ou de elementos estruturais planos verticais situados segundo duas direções

ortogonais.

De modo geraL3 admite-se que haja risco de ruína por instabilidade desde que o

índice de esbeltez do elemento supere o valor limite h = 25.

No caso de pilares isolados, de acordo com o que já foi visto no estudo da

instabilidade na flexáo composta oblíqua, a análise usualmente recai no estudo da

estabilidade segundo os planos principais de flexáo da peça.

No caso de elementos estruturais planos aporticados, faz-se a distinção entre

estruturas indeslocáveis e estruturas deslocáveis. Em qualquer caso, deve ser assegurada

a estabilidade em dois planos, tanto no plano do elemento quanto no plano a ele

perpendicular. Para isso, cada peça estrutural é considerada ou como pertencente a

dois elementos estruturais planos que se cruzam, ou então em uma das direções como

pilar isolado.

Quando se consideram estruturas indeslocáveis, as barras comprimidas são

frequentemente tratadas, no plano da estrutura, como pilares isolados.

A Fig. 9.4.1-1 mostra os critérios adotados pelo CEB3 para a determinação do

comprimento de flambagem desses pilares no caso de estruturas planas aporticadas.

b

+

valor USU~I : te =to

valor mínimo- te a 0,85 to

Fig. 9.4.1-1 Comprimentos de flambagem de estruturas indeslocáveis (cnténos CEB). 1

Observe-se que o critério considerado é mais elaborado que o critério simplista

adotado pela NB-1/78, pelo qual se admite que o comprimento de flambagem seja

sempre igual à distância entre os eixos das vigas entre as quais ele se situa,

desprezando-se portanto totalmente a rigidez à flexáo das vigas.

Nas exigências da NB-1/78, esta simplificaçáo é compensada pela elevação para

A = 40 do limite, a partir do qual é obrigatória a consideração de efeitos de 2.a ordem.

Desse modo, quando se estuda convenientemente a estrutura de contraventamento,

os pilares contraventados podem ser admitidos como pertencentes a uma

1

estrutura de nós indeslocáveis, podendo empregar-se os critérios da NB-1/78 ou

adotar-se o comprimento de flambagem igual ao comprimento livre entre vigas,

e, = e, (9.4.1-1)

ou até um valor menor, determinado em função da rigidez dessas vigas. Nesses casos

será tomado sempre um valor

e, 3 o,ss e,

e os efeitos de 2.a ordem deverão ser considerados a partir do limite A = í

Nos edifícios de poucos andares frequentemente não há um arranjo estrutural de

peças de concreto armado que garanta a indeslocabilidade do sistema. Nestes casos,

,

frequentemente a indeslocabilidade dos nós é obtida pela colaboração das alvenarias

I]

imentn

s


Fig. 9.4.1-2 Influência da "gidez das vigas de contraventamento

No caso de estruturas deslocáveis, a estabilidade depende em grande parte da

rigidez das vigas. A Fig. 9.4.1-2 mostra como as vigas influenciam o valor dos

momentos de 2.a ordem.

9.4.2 RIGIDEZ M~NIMA De acordo como que foi apresentadono Cap. 7, item 7.2.2, no projetodeedifícios, em

DE geral não é conveniente que todos os pilares participem do sistema estrutural admitido

CONTRAVENTAMENTO como responsável pcia estabilidade global da construção. Essa participação, se fosse

considerada, levaria a uma complexidade exagerada de cálculo. Por esse motivo, os

pilares das construções são usualmente divididos em duas categorias: pilares contraventados

e pilares pertencentes à estrutura de contraventamento.

Os pilares contraventados são tratados como se pertencessem a uma estrutura

indeslocável. A estrutura de contraventamento deve assegurar a validade dessa

hipótese. Para isso, ela deve ter rigidez adequada.

Frequentemente, a estrutura de contraventamento é composta por paredes estruturais

em balanço, engastadas na fundação, ou por pórticos múltiplos eventualmente

entreliçados. Em qualquer desses casos, os nós da estrutura de contraventamento são

de fato deslocáveis.

No entanto, desde que a estrutura de contraventamento seja suficientemente

rígida para que seus deslocamentos não afetem a segurança dos pilares contraventados,

estes podem continuar sendo tratados como se pertencessem a uma estrutura

indeslocável. Quando isso acontece, isto é, quando a estrutura de contraventamento é

quase-indeslocável, ela pode efetivamente garantir a estabilidade global da construção.

Caso contrário, não se pode admitir a estrutura como contraventada, e todos os

pilares devem ser tratados como pertencentes a elementos estruturais de nós deslocáveis.

De acordo com o CEB,3 no caso de edifícios de vários andares, uma estrutura de

contraventamento pode ser admitida como quase-indeslocável, desde que obedeça as

seguintes restrições:

DAS E S ~ ~ ~ ~ ~ ~

parans 3

(9.4.2-1)


onde

n = número de andares

L = altura total da construção

R, = soma de todas as cargas verticais da constmção, em condições de serviço,

dada por

E, I, = soma da rigidez aflexão de todos os elementos verticais que compõem a

estrutura de contraventamento, no estado não-fissurado, na direção considerada.

Quando houver variação da rigidez ao longo do comprimento

de um elemento, deverá ser empregadauma rigidez equivalente adequadamente

estimada

E, = módulo secante de deformação do concreto que, de acordo com a NB-1,

pode ser tomado o valor*

E, = 6000 d f em MPa

/

Observe-se que a maneira como e calculado o valor de E,I, equivale a consideração

da estrutura de contraventamento como um conjunto de pilares em balanço,

engastados na fundação, desprezando-se totalmente a rigidez das vigas que ligam

esses pilares, Fig. 9.4.2-1.

RIGIDEZES EQUIVALENTES

Fig. 9.4.2-1 Rigidez das estruturas de contraventamenta.

No caso de estruturas entreliçadas, a rigidez equivalente pode ser determinada,

por exemplo, igualando-se aflecha na extremidade livre daestmturareal sob aaçáo de

uma carga horizontal unitária a flecha do pilar em balanço equivalente.

Os critérios indicados anteriormente podem ser interpretados como decc

de uma limitação do peso total da constmção a uma fração de carga de flambs

*Em unidades t6enicas ainda empregadas transitoriamente E, = 19u00 -em

kgflcm

estrutura de contraventamento.

No caso de pilares submetidos a uma carga axial de compressão uniformemente

L, a carga crítica de Euler valelg

çóes de serviço, é exigida a relação

com pelo menos quatro andares, em condi-

admitindo-se que R, seja uniformemente distribuída ao longo da altura da constmçào,

resulta

ou seja

R", 0~05 ~u E 5%

No caso de construções com até três andares, a condição imposta por (9.4.4-1)

corresponde a

R,, 0,03 R, .ti*, E (9.4.2-5)

9.4.3 EXEMPLO. PAREDES Como exemplo de estrutura contraventada por paredes isoladas, considere-se um

ISOLADAS DE edificio alto com as seguintes características, Fig. 9.4.5-1.

CONTRAVENTAMENTO

a. Número de pisos elevados: 13

b. Altura total L

L = 4,O m + 12 x 2,90 m = 3830 m = 3880 cm

c. Concreto f,, = 15 MPa

E,, = 6000 v'-=

6000 0 15 + 3,5 = 25800 MPa = 2600 kN

cmZ

d. Peso total do prédio R, = G + Qk

admitindo-se o peso total unitário pk = g + q, = 10 kN/m2

R, = n.e, e, pk = 13 x 25 m x 8 m x 10 kN/m2 = 26000 kN

e. Rigidez mínima da estrutura de contraventamento

obtendo-se

-

1N -0,lkgf 1 MPa = I MNlms = I0 k@/cms

1 kN = 1W kgf = 0.1 tf I kNlm = 1W kgf/m = 0.1 tfim

1 kN.m = 1W kgfm = 0.1 tf.m 1 kNlmz= 1Wkgflm2=0,1 tfimz

I kN.cm= 100kgf.cm = O,? ttcm 1 kN/mS= 100kgfims=O,l tWmg

1 MPa = 0.1 kN/cm2 = IW Nlcm'

I

~I

358 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÓES NORMAIS

logo

ou seja

Admitindo que a estrutura de contraventamento seja formada por duas paredes

isoladas, tem-se

logo, adotando-se

b = 20cm

PAREDES ISOLADAS DE CONTRAVENTAMENTO

L

TL

4,OOn

19

As lajes funcionam como diafragmas horizontais rígido:

3 I

i

i



resulta

s

r

Conforme semostra, em escala, na Fig. 9.4.3-1, a estruturade contraventamento,

na direção paralela ao lado menor da planta do edifício, pode ser constituída por duas

paredes de 20 cm x 500 cm.

Observe-se que o emprego do critério

L . &< 0,6

E" I"

permite admitir-se que as duas paredes isoladas de 20 cm x 500 cm sejam um

contraventamento adequado para o prédio em questão, na direção de sua menor

rigidez. Com essa hipótese, os demais pilares poderão ser considerados, nessa direção,

como pertencentes a uma estrutura indeslocável.

Todavia, nessa mesma direção, o índice de esbeltez da própria estrutura de

contraventamento vale

Desse modo, como h > Ali, = 25, no dimensionamento dessas paredes, inclusive

de suas fundações, deverá ser considerado o efeito dos momentos de 2.a ordem.

94.4 SOLICITAÇÕES Para adeterminação dos esforços de 2." ordem das estruturas decontraventamento, é

DEVIDAS AO EFEITO DE preciso considerar o funcionamento básico das mesmas, ilustrado pela Fig. 9.4.4-1.

CONTRAVENTAMENTO

Fl + F2

I p2

/

I

p1

B

B

PILAR DE

PILAR

EFEIJO GLOBAL PARA

CON' TRAVENTAI 1MTO CONTRAVENTUDJ O CALCULO DE Yt

Fig. 9.4.4-1 Funcioni mento básic o das estmt uras de contraventamento.

Neste exemj plo, o eql iilíbrio do pilar P2, que é contraventado pelo pilar PI,

fornece a condiçi

ir.

H = Fz a/L

O momento i. ,,,em na base do pilar de contraventamento P1 vale então

Ms + HL= a

Df :sse modo , o cálculo do momer ito de 2.a ordem necessário ao dimensionamento

......- >- -

----a,. -,

da estruruid ut: LuiiriavciirdiiicllLu pode ser feito como se todas as cargas verticais

fossem aplicadas à própria estrutura de coptraventamento.

Observe-se que essa hipótese só é válida para o cálculo dos momentos de 2.a

ordem. Para o cálculo dos efeitos de l .a ordem, as forças devemser aplicadas em suas

posiçõe iras.

3-50 ESTRUTVRAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

Note-se também que as flechas a são consideradas na determinação dos esforços

solicitantes da estrutura de contraventamento, embora essas mesmas flechas sejam

admitidas como desprezíveis para a determinação dos esforços dos pilares contraventados.

Em edifícios altos, o esquema básico de funcionamento das estruturas de contraventamento

é repetido em todos os andares da constmçáo, Fig. 9.4.4-2.

PILAR DE PILAR EFEITO GLOBAL PARA

CWTRAVENTAYENTO CONTRAVENTADO O C ~CULO DE Yt

Fig. 9.4.4-2 Contraventamento em edificios altos

Nesse exemplo, os pilares e as paredes de contraventamento são tratados como

peças isoladas submetidas a forças normais variáveis ao longo do seu comprimento.

Nas estmiuras deslocáveis, em lugar da excentricidade acidental das cargas,

pode-se considerar uma inclinação acidental dos pilares.

De acordo com o CEB,3 deve-se considerar uma inclinação a em relação à

vertical com os seguintes valores:

- constmções de um único andar e estmturas carregadas principalmente no topo:

1

tga = -

150 1

- outras constmções: tga = -

200

9.4.5 PAREDES E PILARES Em geral, as estruturas de contraventamento têm esbeltez bastante reduzida, embora

DE nem sempre possam ser desprezados os seus efeitos de 2.a ordem.

CONTRAVENTAMENTO. A verificação rigorosa da estabilidade pode ser feita pelo método do equilíbrio

CALCULO RIGOROSO com O processo do deslocamento de referência, tal qual foi empregado no item 9.3.3

para o cálculo de pilares com seção variável ou com força normal variável

Na Fig. 9.4.5-1 está esquematizada a marcha de cálculo.

Na 1 .a etapa, em função dos momentos de I .a ordem M,, e das forças non nais N,,

que efetivamente atum na peça de contraventamento, são determinadas as (:umatu-

ras llr, e, a partir delas, calculam-se os deslocamentos y, ,. Todos os esfor .ços são

considerados com seus valores majorados de cálculo.

Na 2.a etapa já se considera a peça de contraventamento com uma CL imatura

inicial.

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 361 i

Nld

l* ETAPA

A H, -

Mld

-1

-

-

Y41

i Fl,n

MOMENTOS DE IPORDEY

DESLOCAMEMOS Yi,>

20 ETAPA

AC~ES DE CkwI.0 APENM PARA

DESLOCAMENTOS Yi,t

A

Os momeqtos de ordem são, nesta etapa, os mesmos que na etapa anterior.

Calculam-'se a seguir os~momeritd~'~~2.~ ordem, devidos as flechas iniciais

calculadas na etapaantenor, procedendo-se como se em cadaandar as forças verticais

tivessem os valores RUdi correspondentes a soma de todas as forças verticais desse

andar. Com isso são calculados os valores de M,.

De posse do novo diagrama de momentos M,, obtido pela soma Mld + M,,, e

considerando novamente as forças normais efetivas N,,, determinam-se as novas

curvaturas. A partir dessas curvaturas calculam-se as novas flechas y,,~.

I

~ -


O processo é repetido tantas vezes quantas forem necessárias para se provar que

todas as diferenças de flechas Ay, obtidas entre duas etapas sucessivas tendem a zero.

Se isso for provado, a estrutura será estivel.

O processo numérico é desenvolvido nos moldes do exemplo apresentado no item

9.3.4.

9.4.6 PAREDES E PILARES Sempre que a esbeltez da estrutura de contraventamento for moderada, poderá ser

DE aplicado o processo simplificado do equilíbrio, com a adaptação que agora se apre-

CONTRAVENTAMENTO. Senta para a consideração das cargas axiais distribuídas ao longo do comprimento do

CÁLCULO SIMPLIFICADO pilar, Fig. 9.4.6-1.

Observe-se que as mesmas considerações podem ser feitas para se levar em onta

,.*,- o peso próprio de um pilar isolado.

.v,T- ..

endõmi~bo~e a -da base do pilar, no caso do pilar padrão,

carregado na extremidade e de linha elástica senoidal, é obtida a flecha

L- i

a

eZ

= F (1)

10 r base

I1

que também pode ser escrita ,!

--

í

I

L /

sendo o carresento aistnbuido ao longo do comprimento do

x = 5 L pilar, admite-se que a linha elástica sejaparabólica, com a mesma flechaa que o pilar

padrão e com a mesma curvatura da seção da base, resultando então a equação

(9.4.6-1)

1, Com essa hipótese, obtém-se o seguinte valor para o momento de 2.a ordem na

-__' seção da base:

I

L

Mi. bnar = qdY dx

Fig. 9.4.6-1 Cargas axiais uniformemente

distribuídas.

a JT GC>-E~

'U 1

- e

2.

- T

Z

O

M~ L

L3

Orne = 04 (!) (+Ibeee

r qd xz base dx = 0,4 qd

o

.2 '." qd = - Rvd

Chamando-se de R,, a carga total que produz efeitos de 2.a ordem, tem-se

r.

MP, base = Rud -

(9.4.6-2)

a expressão anterior pode ser escrita

Observe-se que 0rnomentode2.~ ordem M,, b,,,vale 113 do que valeria sc . ~

estivesse aplicado na extremidade do pilar.

do pilar, na seção genérica de abscissa x, Fig. 9.4.6-1 ,o momenl

i vale

I

,.

- t2 + 2 t3)

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CRITICA

!

onde 1

Para as aplicações, desde que A s 80, pode-se admitir o valor convencional

(l/r),,,, especificado pela NB-1/78.

9.4.7 EXEMPLO. PAREDE'

ISOLADA DE

CONTRAVENTAMENTO

Calcular o momento de 2.a ordem na base das paredes

exemplo do item 9.4.3.


L

= 38,80 m

\ ./

y I- i-.. V-

r)

w

R,, = 26000 kN fck = 15 MPa

/ II i d

A, = 20 X 500 = 10000 cm2 Aço CA-5$ I !

I

-

,-

I

carga unitária de serviço: p, = 10 kN/m2

A i

força normal efetiva na base: N, (8 m x,h,5 x 10 kN/m2) 4 13 = 2600 kN

V

força normal de cálculo: N, = y, N, = 1,4 x 2600 = 3640 kN

peso total correspondente a: - - 22600 kN = 13000 k~

uma parede 2 2

peso total de cálculo: R,, = y,.R,,,

= 1.4 x 13000 = 18200 kN

,, i

Sendo f,., = I5 MPa, logo fCd = 10,7 MPa = 1,07 KN/cm2, tem-se

,\

1N =O,Ikgf I MPa = I MNlm' = I0 kgf/cmP

I kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,I tflrn

1 kNm = IWIrgtm = 0.1 tem I kNlm'=1WkBflrn~=O,ltflm'

1 kN.cm = 100 kgf.crn = 0,l ttcm 1 kNlrnS= 100 kgflma = 0.1 tflm3

1 MPa = 0,1 kNlcm2 = 100 Nlc

I


9.5 ESTRUTURAS

ESBELTAS NAO-

CONTRAVENTADAS

logo

M,, , = 4237 kN.m

c

9.5.1 A ESBELTEZ DAS No caso de estruturas deslocáveis, Fig. 9.5.1-1, o comprimento de flambagem dos

ESTRUTURAS pilares é maior que a distância entre os eixos das vigas adjacentes.

DESLOCAVEIS

Fig. 9.5.1-1 Comprimento de flambagem

dos pilares de estruturas deslocáveis.

Em princípio não é aconselhável o emprego de estruturas aporticadas deslocáveis

muito esbeltas. Sempre que possível, a construção deve ser contraventada por meio

de paredes quase-rígidas, maciças ou entreliçadas, que tornem indeslocáveis os nós

dos elementos estruturais aporticados.

Para a determinação do índice de esbeltez das estruturas deslocáveis pode ser

empregado o critério do CEB3 mostrado na Fig. 9.5.1-2, pelo qual se obtém o valor

onde

K = deslocamento horizontal de um andar em relação àquele que está abaixo,

sob a ação de uma carga H aplicada no topo da estrutura, suposta de

comportamento elástico linear, com módulo de deformação E.

A = soma das áreas das seções de todos os pilares situados entre os dois andares

considerados.

O CEB formula seu critério com H = 1 e E = 1, embora isso não seja

necessário e nem sempre conveniente, como está mostrado em 9.5.5.

1 N =O,] kgf 1 MPa = I MNlmz = I0 kgf/gflema

1kN =100kgf=O,lõ 1 kNIm = 100 kgflm = 0,l dlm

1 kN.m = 100 kgtm = 0,I lf.m I kN/m' = 100 kgi/rnZ = 0.1 d/ml

I kN.cm= 1W kgf.cm = 0.1 d.cm I kKlma = 1W kgf/m3 = 0.1 dlm'

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇÃO DA CARGA CRfTICA 365

Fig. 9.5.1-2 Estruturas deslocáveis. Determinação do comp"menro ae Iiamoagem.

A justificativ .essão (9.5.1-1) decorre da generalização do resultado

correspondente a6 o,gastado em uma extremidade e com apoio de simples

escorregamento na outra,z3 Fig. 9.5.1-2.

Neste caso particular, tem-se

9 - K -

2 3 E1

logo

K=- H h3

12 E1

~~~ ~~

Fazendo

I = AiZ

obtém-se

K= - H h3

12 E Ai'

e sendo

resulta

ou seja

Verifica-se abbiiii qur: a cqua~ão (9.5.1-1) decorre da expressão citada, admitindo

que a influência da flexibilidade das vigas fique considerada pela determinação do

deslocamento K, na estrutura tal qual ela é.

9.5.2 EXEMPLO. ESBELTEZ Determinar o índice de esbeltez da estrutura da Fig. 9.5.2-1

DE UM PÓRTICO

7

I

e, = 800

.

Pl(6Ox60)

I

3

P2(60x6O)

(MEDIDAS EM CENT~METROSI

1

2

I

tnJ,

I


Para o cálculo do deslocamento do andar superior em relação ao nível inferior

aplicou-se o processo de Cross, já se considerando as condições de antimetna dos

resultados, Fig. 9.5.2-2.

Neste caso, têm-se:

1. Pilar P1

I , 6 ' = 63 - 108 dm4 = 0,0108 m4

12

2. Viga

3. Coeficientes de distribuição

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETER~AÇAO DA CARGA CRITICA 367 ~

A

D

\

MOMENTOS FLETORES

Fig. 9.5.2-2 Cálculo do deslocamento horizontal relativo

. 4. Recalque aplicado (Me,, = 100 kN.m)

- 100 kN.m

Sendo M,,,, = --- -

Y2

1 100 X 8' - 98765,4

obtém-se K = - . -

E 6 x 0,0108 E

5. Força aplicada

Sendo

resulta

6. Índice de esbeltez efetivo


7. Comparação

Desprezando-se o efeito de pórtico, os pilares isolados teriam o índicede esbeltez

aparente

9.5.3 PÓRTICOS A verificação exata da segurança contra a instabilidade de pórticos hiperestáticos

HIPERESTÁTICOS. somente pode ser feita através do método geral, com uma análise não-linear. Em cada

CÁLCULO RIGOROSO etapa do processo de resolução, deve ser resolvido o problema hiperestático.

As dificuldades materiais desse cálculo exato são excessivas para a sua aplicação

prática.

No caso de pórticos múltiplos com barras perpendiculares entre si, pode-se

desenvolver um processo de cálculo suficientemente rigoroso que pode ser programado

para emprego prático, Fig. 9.5.3-1.

O processo se desenvolve por aproximações sucessivas. Na etapaé feita uma

análise linear de ordem, calculando-se os deslocamentos horizontais a, dosdiferentes

andares.

Na 2.a etapa vão ser considerados os efeitos dos deslocamentos horizontais

calculados na etapa anterior.

Todavia, em lugar de as barras serem consideradas com deformações iniciais,

como foi feito em outros casos já analisados, admite-se novamente a confliguração

inicial do pórtico, substituindo-se o efeito de 2.a ordem por um efeito de ordem

equivalente.

Para isso, na 2.a etapa serão consideradas forças horizontais suplementares, Fig.

9.5.3-1, calculadas por critério análogo ao empregado na determinação do efeito de

contraventamento, Fig. 9.4.4-1. Desse modo, admitindo-se para essa finalidade que

todos os nós sejam articulados, a força horizontal de sustentação é dada, em cadanó,

pela expressão

conforme se mostra nsFig. 9.5.3-1.

Calculam-se novamente os deslocamentos horizontais dos diferentes andares,

repetindo-se o processo quantas vezes for necessário. Em cada etapa deve ser avaliada

convenientemente a rigidez de cada barra da estrutura, em funçãodos esforços

calculados na etapa anterior," como se indica na Fig. 9.5.3-2.

A estrutura seráconsiderada estável quando os deslocamentos ai dos andares e as

forças fictícias H, convergirem para valores finitos.

De acordo com o CEB,* o processo de determinação dos momentos fletores

finais pode ser acelerado. Assim. sendo M,, M,, . .. os momentos fletores calculados

numa dada seçáo de referência da estrutura, Fig. 9.5.3-2, prova-se que o valor final

pode ser obtido pela expressão

'Manual de Flambegem, Boletim 123

O Fh i- a i-i I

ihiih

I! ETAPA fll

WSIÇ~O DEFORMADA DO I

ANDAR (1-1)

75m7 xm I

O O @ I

I

I

F2 1

@

P,i-l

- O Fh 'i i

t

b

nm- rn

P P i

Z N

1:i 1,i j:i m:i

=Z 5 Fj,,

CÁLCULO RIGOROSO DE P~RTICOS HIPEREÇTÁTICOS

Fig. 9.5.3-1 Cálculo rigoroso de pórticos hiperestáticos.

DEFORMADA DO I

ANDAR L

2OETAPA

F1 1

ai I DEFORMADA DO

4

O

H1

I I ANDAR ( i + 1

Fh

-

i 1

I7.i-1 5, i-1 pai p ~ 0 ~ P 1

Hi=- Z N

__C

O

-

Hi- 1 hi 1'1 j,i hi-1 j:i Ni,i-i

Fh,i-i

O - -"L

Fh,i

F F F Zai-1 - ai

1,i 2,i P ,i

P

Pai = ai -

P P i-1

m m 7~ Fl '' Nili-~ = )--I mil

F,

O O @


I Rigidez equivalente I M

- -

' 1 2 ;

Fig. 9.5.3-2 Evolução dos resultados de cálculo.

et pos de

c8iculo

i 9.5.4 PÓRTICOS Tendo em vista a grande complexidade do cálculo rigoroso dos pórticos hiperestáti-

HIPERESTÁTICOS. cos, tal como foi descrito no item anterior, cabe o processo simplificado considerado

CÁLCULO SIMPLIFICADO adiante. A aplicação normal deste processo é exequível quando os pórticos são

relativamente simples, como o do exemplo a seguir apresentado.

Conforme se mostra na Fig. 9.5.4-1, na etapa do processo é feita a análise

linear de l.= ordem do pórtico, aplicando-se todas as ações verticais F, e horizontais

F,, já com seus valores de cálculo FOd = y, FUk e Fhd = yf Fh*

Todos os esforços são sempre considerados com seus

valores de cdkulo ( Fvd,FhdiMd ,Vd ,Nd)

Fig. 9.5 .4-1 Cálcula 8 simplificado de pórticos hiperestáticos

PILARFS I SOLADl

ETAPAS POSTERIC

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 371

Nas etapas seguintes, verifica-se a estabilidade de cada pilar considerado isoladamente,

submetido as ações que a ele são diretamente aplicadas e aos esforços M,,,

V,,, Nld calculados na 1 .a etapa, e que atuam nas seções de corte feitas para separar o

pilar do restante do pórtico.

Este processo aproximado de cálculo dos pórticos hiperestáticos é baseado na

consideração de que, no processo rigoroso de cálculo, como mostra a Fig. 9.5.3-2, os

momentos fletores crescem amedida que se considerametapas posteriores de cálculo.

Desse modo, afavor da segurança, os momentos fletores introduzidos nas seções de

corte são mantidos com seus valores calculados na I .a etapa, através de uma análise

linear do sistema. As variações de V,, e N,, são, por maior razão, consideradas como

desprezíveis, pois elas decorrem apenas das variações dos momentos fletores, uma

vez que todo o carregamento é aplicado desde o início do processo.

A partir da2.= etapa, procede-se de acordo com o que foi visto no item9.3.3 parao

cálculo de pilares com seção transversal variável ou forçanomal variável. O exemplo

apresentado no item 9.3.4 ilustra a marcha de cálculo a ser empregada.

9.5.5 INFLUÊNCIA DA De acordo comoque é mostrado na Fig. 9.5.5-1, adeformabilidadedafundaçãodeum

DEFORMABILIDADE DA pilar agrava o risco de mína por instabilidade.

FUNDAÇAO A esbeltez do pilar aumenta, crescendo também os efeitos de 2.a ordem, pois,

além das flechas decorrentes da própria deformação do pilar, ainda existem o9esiacamentos

horizontais devidos a rotação ds base. .

Para o cálculo do índice de esbeltez do pilar pode-se empregar, por exemplo, o

critério dado pela expressão (9.5.1-1). De acordo com esse critério, ilustrado no item

9.5.1 pela Fig. 9.5.1-2, tem-se

7

onde h é a distância entre os dois andares consecutivos. No exemplo da Fig. 9.5.5-1,

toma-se para h o valor do comprimento efetivo do pilar e, em compensação, toma-se

para K o valor de sua flecha horizontal medida entre a seção da base e a sua

extremidade livre.

,//,$//~

,%, , +

I

\

'\.--'

Fig. 9.5.5-1 Influência da defonnabilidade da fundação.


A consideração da deformabilidade da fundação na determinação dos efeitos de

2.= ordem é feita agora dentro dos diferentes métodos de cálculo já discutidos.

No caso de serem empregados processos nos quais é feita a integração da linha

elástica, somam-se as flechas devidas a rotação da base com as flechas devidas à

deformação do pilar, resultando

y=b'x+w (9.5.5-2)

Os momentos fletores de 2.a ordem valem entáo

M2 = F" (K - Y)

e sendo

K'= 8e + a

onde a é a parcela da flecha da extremidade livre devida à deformação do pilar e

tem-se

logo

Mbae = k 8.8 (9.5.5-3)

e=-

%me

ke

B

que na seção de engastamento vale

M,, = F~(+ h + a)


Mòme = MI. bme + Mz, base

1

obtem-se

MI ame

M, *b.,, =F,h- +F,h -

Mz, boae+ F" a

I kn ke

resultando

M,, aose

F,a+ F,hk.9

F h1 Mz. 0, =

1

h

- Fnke

Rv=ql/

h2

R" -(I)

r base

f / / Quando se empregaopilarpadráo, aparcela F; adomomento de 2.aordem vale

+= --

7,5

F;a = F, .- h2 (2)

(9.5.5-5)

2,5 r

onde h = 8.

De forma análoga, quando se considera uma carga axial R, uniformemente

distribuída ao longo do comprimento do pilar, em lugar da parcela F,.a deve ser

empregado o valor

e as parcelas F, h e Fo h M1, devem ser reduzidas à me--, , . ..rtude do

~ig. 9.5.5-2 Caso gemi. I, ke


tipo de distribuição de R,, resultando, neste caso,

hZ 1 Ml, tm*e

R " ) +-Rh-

7,s r e 2

Mz,

ke

base=

(9.5.5-7)

1

1

h

- - R,-

2 ke

Finalmente, quando se considera o caso geral mostrado na Fig. 9.5.5-2, tem-se

M2, o,=

M~+(P.~ ++)h.*

1- Fnl+-- R" h

( 2)ke

k@ (9.5.5-8)

onde M,, é a parcela de Mz devida apenas à deformação do pilar.

9.5.6 EXEMPLO. PAREDE Considere-se a determinação do momento fletor na base da parede de contratrenta-

ISOLADA DE mento estudada nos itens 9.4.3 e 9.4.7, levando em conta a açáo do ventok,a

CONTRAVENTAMENTO deformabilidade da fundação.

De acordo com os dados do projeto Fig. 9.5.6-1, tem-se:

L = 38,80 m

R,,, = 18200 kN (metade do peso total da constmção)

h = 5,O m (altura da seção da parede)

%

1

- -

r

1,16 x lOP cm-' (curvatura da seção da base)

N,, , = 2600 kN (de cada uma das duas paredes)

8.0 rn I

P

1

argila

Fig. 9.5.6-1 Iniiuência da deformabilidade da fundação

1

rija

a) Vento

logo

Para a consideração do vento (23), são admitidos os seguintes valores:

V, = 40 mls (NB-599)

4, = V2,/1,6= 402/1,6 = 1000 N/mZ = 1 kN/m2

donde, para uma largura de influência de 12,5 m, obtém-se

pk = 12,5 m x 1 kN/m2 = 12,5 kN/m2

resultando, na base da parede, o momento

b) Momentos de 1 .a ordem

Neste exemplo meramente ilustrativo, das combinações de solicitações prescritas

pela NB-1, será examinada apenas aquela em que o vento é a ação variável de

natureza diferente que se admite produzir efeitos de menor intensidade. Num projeto

real, a situação inversa também deverá ser considerada.

Desse modo, neste exemplo, tem-se

M,, .,.,, = O,X y, M,, = 0,8 x 1.4 x 9409 = 10538 kN.m

correspondente a uma excentricidade inicial

Além disso, considerando-se a excentricidade acidental

resultam os valores

e, =e, + e, =2,90 + 0,17 =3,07m

e

M,, = N, e, = 1,4 x 2600 kN x 3,07 m = 11175 kN.m

C) Fundação direta sobre argila dura

De acordo com a NB-51 (24), em condições de serviço, admite-se paraas argilas

duras o valor básico da tensão admissível.

uadm = 0,4 MPa

Admitindo-se que a base sejauma placa rígida de largura B = 3 m e comprimento

H = 8 m, Fig. 9.5.6-1, as suas propriedades são as seguintes:

área da base

A=3x8=24mZ

módulo de resistência

W = 3 x X2/6 = 32 m3

momento de inércia

I = 3 x X3/12 = 128 m4

Admitindo que opeso próprio da sapata de fundaçãojuntamente coma: 3 cargas do

andar térreo dupliquem a força normal na base da fundação, sob os efei itos de I .a

*'i

1N =0,1kgf 1 MPa = L MN/m2 = 10 kgfiçm*

1kN =1W@=O,lff 1 kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm

I kN.m = 100 kgtm = 0.1 ttm I kNlrnz= 100 kgfim2= 0,I tflmz

1 kN.cm= IW kgf.cm = 0,l ftcm 1 kN/mJ= 1Wk8flm8 = 0.1 Iilma

2600

PROBLEMAS ESPECIAIS DE DETERMINAÇAO DA CARGA CR~TICA 375

ordem, em serviço, resultariam as tensões extremas nas bordas da sapata

-2 N, M,, = 2 x 2600 + x 3,07

moor* -- + -

A W 24 32

~

ou sejam

kN

r,,, = 217 + 249 = 466 -

-

s 0.47 MPa (com~ressão) 1

kN

mmi, = 217 + 249 = -32- 0,03 MPa (tração)

m2

Embora a tensão na borda tracionada seja muito baixa, ela sugere um reexame da

solução estmtural adotada, tanto da fundação, quanto do próprio sistema de contraveutamento

empregado.

-

Todavia, apenas para ilustrar a influência da deformabilidade da base nos efe&--

de 2.= ordem do pilar, admite-se que a solução sejaaceitável, pois a tensão máxima de

compressão na borda não supera 1,2 ma,, 0,5 MPa.

d) Deformabilidade da fundação

De modo geral quando são calculados os recalques de uma estrutura, a Mecânica

dos Solos (25) (26) fornece os elementos para isso necessários.

Quando o problema se refere a ações permanentes, os parâmetros do terreno são

os habitualmente considerados na Engenharia de Fundações (27).

No caso presente em que se quer calcular a rotação da base, com exceção dos

momentos devidos às excentricidades acidentais, todos os outros, devidos ao vento e

aos efeitos de 2.a ordem dele decorrentes, são de curta duração.

Por esta razão, em casos dessa natureza, em lugar dos valores tradicionalmente

adotados no cálculo de recalques de fundação, serão empregados os parâmetros

adequados a condições de solicitação dinâmica (28).

Desse modo, no caso presente de uma argila dura com tensão admissivel para

solicitações estáticas da ordem de 0,5 MPa, para a compressão uniforme é possível

adotar-se (28), a favor da segurança, o coeficiente de recalque vertical

k, = 0,5 MPalcm

admitindo-se placas rígidas de aproximadamente 10 m2.

No caso presente, a favor da segurança recomenda-se (28) adotar

k,, = k, fl = 0,5 x 0,65 = 0,32 MPalcm

24

No cálculo de rotações, para uma relação de lados

a=-- 8 - 2,7

-

3 m

o coeficiente de recalque correspondente à compressão não uniforme vale (28)

k, 2,8 k,

donde

k, = 2,8 x 0,32 = 0,90 MPalcm

isto é

k, = 0.09 kN/cm3

De acordo com a notação empregada neste trabalho, resulta então

k, = k, hndog.0

ou seja

kN

k, = 0,09 - x 128 x 108 cm4 = 11,s x 108 kN.cm

cm3

ou aproximadamente

e) Momentos de 2." ordem [equação (9.5.5-8)]

MI base

M,, + ^

Roa

. L,. .,

Sendo de acordo com o exemplo do item 9.4.7

tem-se

(i)

M,, = R"d - = 4237 kN.m

7,5 r

base

resultando

.a

Conclui-se que, neste caso particular, devido à deformabilidade da fundaçáo

resultou

havendo portanto um aumento de 12% do momento de 2.a ordem na base das paredes

de contraventamento.

No caso de ações de longa duração, este aumento pode ser consideravelmente

ampliado pela diminuição da rigidez do terreno de fundação.

Apêndice 1

TABELAS E DIAGRAMAS DE

DIMENSIONAMENTO

Tabela 1 Flexáo simples e flexáo composta com grande excentricidade.

Seções retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇ~ES NORMAIS

Tabela 1 (Continuação)

CA-SOA

CA-4OA

Nd = E,, (Nd > O tração; N, < O compressão)

FLEXAO SIMPLES M~~ = M* N* = O

ARMADURA SIMPLES

ARMADURA DUPLA (Vide Tabela :

Tabela 2 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade.

Seçóes retangulares. Tabela auxiliar para o cálculo da armadura de compressáo

Fazendo

M,,, . = M,,, , para 5 = 5 , têm-se:

Uld = fWd

u com os valores abaixo

--I------

x - X

I

lirn

;::: :

217,O 278,O

Valores de v;, MPa para 5 = fil,

I, I

Acos

217,O 278,O

MPa

217,O 278,O

1 N = 0,1 k!# i MPa = 1 MN!ml = 10 k!#!cmx

IkN =IWkgf=O.llf 1 kNlm = 104 k8fim = 0,1 lflm

1 kN.m = 1W k@.m = 0,l lf.m 1 kN!mz = 1W k!#lmim' = 0.1 tf/mP

i 1 kN.cm = 1W k!#.cm = 0,l t.cm 1 kN!m3 = 100 kgflmJ = 0,l Sims



Seções retangulares. Diagrama retangular de tensões. Tabela resumida para

dimensionamento (C A-25, C A-SOA, C A-50B, C A-6OB)

(y. = 1,15 y, = 1.4)

Para 4 = b,,

O' = d'ld

k',

Aço

kB

6' = 0,05

O' = 0.10

O' = 0.15

8' = 0.20

CA-25

CA-SOA

CA-50B

CA-60B

0,046

0,023

0,023

0,019

0,046

0,023

0,025

0,021

0,046

0,023

0,026

0,022

0,046

0,023

0,026

0,024

0,046

0,023

0,028

0,026

Unidades: kN. cm

ld '

'L:. . L.

Flexão composta:

N, = F, (N, > O tração; Nd < 0 compressão)

M,, = Fd e,

Flexão simples

M,d = M,

Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 Nd

d

Md

Armadura simples: A, = k, -

d

Armadura dupla I

(k', calculado para 5 = cam)

Armadura dupla

M,,, , = momento resistido pela seção com armadura

simples

= Msd. C + AMa

M, = momento resistido pela seção com armadura

simples

Ma = Md, c + AMd

k; calculado para 5 = (Mld. C = MSd, OU (Md, c = Ma, lirn)

1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm' = I0 kgflcmP

I kN = 1W kgf = 0,1 tf I kNlm = 1M) kgflm = 0,I lflm

1 kN.m = IW kgf.m = 0,l tfm I kNlmZ= 1W kgflm' = 0,l ülm'

1 kN.cm = IW W.cm = 0.1 tf.cm 1 kNlma = IW kgf/ms = 0.1 tflm'

1 MPa =


k,

1

= bd21MSd ks

Para fck MPa Para os aços

I

Para y, + 1.4 entrar com o valor o b

YE


Seçóes retangulares. Tabela resumida para dimensionamento

(CA-32, CA-40A, CA-40B)

(y, = 1,15 y, = 1,4)

I

1 Unidades: kN, cm

I

Flexão composta

N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão)

M, = F, e,

Flexáo simples

MBd = Md

Armadura simples: A, = k, 5 + kg2 Nd

Armadura dupla

I

d

Armadura simples: A, = k, - Md

d

r

AMd

d - d'

A, = k, M,. + k,, -

d

Armadura dupla A; = k', - AMSd (k; calculado para = htm)

AMd

I A:=kgd

- d'

d - d'

M,,,, = momento resistido pela seçáo com armadura

simples

MPd = MDd, C + AM.d

Md, C = momento resistido pela seçáo com armadura

simples

Md = Md, C + AMd

\

I MPa = O,

n

.cm

I MPa = 1 MNlms = 10 kgflcrn'

i kNlm = 10 kgfim = 0,l tflm

1 kNlmZ= IW kgf/rnP = 0,l tf/m2

I kN/ma = 100 kgf/mS = 0.1 tflmz

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO


I r =

Para f,, MPa

I

Para os aços

Para 71 i 1.4 entrar com o valor 3 b

YI

~

(Usualmente


Tabela 5 Flexão simples e flexão cnmposta com grande excentricidade.

Seçóes retangulares armadas com aço CA-25

(Y, = ],I5 YC = 1-41

Armadura simples = A,

Armadura dupla {A% = A'1 +

A*

I

Flexão composta

Nd = Fd (Nd > O tração; Nd

Mid = Fd e,

0,46

k* = - k; =-

0,46

a

O compressão)

Unidades: kN, cm

B

Flexão simples

M,d = Md

Msd

d

Armadura simples: A, = k, - + k, Nd


Md

d

I

Armadura dupla

=

M*d, c

Armadura dupla

A, = k,-

Md, c

d

+ kB- AMd

d - d'

.A\

AMa

= k:-

d - d'

Md, , = momento resistido pela seção com armadura

simples A,,

Msd = M*d. e + AMSd

Mid, c = Md, correspondente a g = g., )

M,, . = momento resistido pela seção com armadura

simples A,,

M, = M , , + AMd

-

N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10 kgflcm"

kN = 100 kgf = 0.1 tf' 1 kNlm = 1W kgilm = 0,l õlm

kN.m = 100 W m = 0,I ttm 1 kNlmB = IW kdlm' = 0.1 tflm'

kN.cm = 1W kptcm = 0,l Cem 1 kNlm8 = 100 kgild = 0.1 @/ma

1 MPa =O,

Aço CA-25


*b = &cm Pani y. i 1.4 entrar com o valor 2 b

Yr

I

+

Tabela 6 Flexão simples e flexáo composta com grande excentricidade.

Sgões retangulares armadas com aço CAdOA

(y, = 1.15 YC = 1,4)

'O-

.e

I Armadura simples = A,

Armadura dupla (2:=

100 p, = 100 A91

bd

a = - rsd fVd

P=- r:d fVd

I

M,d = Md

Flexão composta

N, = F, (N, > O tração; N, < O compressão)

Msd = Fd e.

Unidades: kN, cm

Flexão simples

Msd = Md

i

Armadura simples: As = k, M'd + kSt Nd

d

/ Armadura dupla

i

I

A'' = k; - AM8d

d - d'

M,,, . = momento resistido pela seção com armadura

simples A,,

M, = M,, c + AM,d

Md


d

Armadura dupla

I

A Md

= k: -

d-d'


simples A..

Md = Md, C + AMb

I

(Usualmente M, . = M,, , correspondente a 6 = 6 ,.)

I MPa = I MNlm' = I0 kg«cmX

1 kN = 1W kgf = 0.1 lf 1 kNlm = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 1W kd.m = 0.1 tf.m 1 kNlm2 = 1W kgtlms = 0,l fimx

I kN.cm = 100 kgfcm = 0.1 ttcm 1 kNlm3= 1W kgflm3 = 0.1 tflma

.

1 MPa = O,1 kNlcmS = 100

Aco CAJOA


Para y, f 1,4 entrar com o valor 3 b

Yc



Seções retangulares armadas com aço CA-SOB

(Y. = ],I5 YC = 14)

bd2

k, = -

MSd


A - A,, + As2

Armadura dupla -

A,,

lOOp, = 100- bd

a=-

V*d

fWd

P=-

fWd

0,23

k, = - k' --

O,23

a 6 - P

Plexão composta

Nd = Fd (Nb > O traçáo; Nd 1 0 compressão)

Msd = Fd es

Unidades: kN, cm

Flexão simples

M,, = Md

Armadura simples: A, = k, 5 + kB Na Armadura simples: A, = k, - Md

Armadura dupla

I

I

d

A, = k, -

d

Msd + kB (%L + N ~)

d-d'

I

Armadura dupla I

d

Md. c

d

AMd

d - d'

A, = k, - + k,, -


simples A,,

MSd = Msd, e + AMsd

(Usualmente M,, . = M,,, , correspondente a 5 = fti,.)


simples A,,

M, = M , . = AM,

- -

IN =U,LXS 1 MPa = I MNlmP = I0 kgf/cmz

1 kN = IOO kgf = 0.1 tf i kN/m = IW kgfim = 0.1 tflm

1 kN rn = 100 kgf rn = 0.1 tf rn I kN/m2 = 100 kgf/mz = 0.1 tf/rnS

I kN crn = 100 kgf cm = 0,I tf crn I kNlrn3 = 1W kgflrn' = 0.1 tf/rns

I

I

1 MPa = 0,I kNbmS = I(U

Tabela 7 (Continua@o) k,, = ' 0 023 k, - 0,023

8 -

Aço CA-SOB f,, (MPa) OL B

X

f=;

f,r = 9 fCx = 13,s

f,, = 15

fCk = 18

fCk = 21

f,, = 25

f,, = 30

P

k, 1100~~ k, (1MIp, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100p, k, 1100~~ k, u 6' = 0,0516' = 0,1016' = 0,15 16' = 0,20

Para y, # 1,4 entrar com o valor 1'4 b

Yc


Tabela 8 Fiexáo simples e tiexáo composta com grande excentricidade.

Seçóes retangulares armadas com aço CA-óOB

(Y, = 1,15 YC = 1,4)

bd2

k,=-

Mad


A - A*, + A,

Armadura dupla {K; -

A,,

100p, = 100- bd

P=-

mad

01 =- d d

1 Flexão composta Unidades: kN, cm

N, = Fd (Nd > O tração; Nd < O compressão)

M,, = Fd e,

f"d

f"d

k,, 023 r -- 0,23

= i

a a - P

Flexão simples 1

M, = Md

I

i'

Msd

Armadura simples: A, = k, - + k,, N,

d

Armadura dupla

A, = k, -

d

A\ = k.-

d - d'

c + k, (!?L + N,)

d - d'

Ma, , = momento resistido pela seção com armadura

simples A.,

= Ma, c + AM,,

Md


d

Armadura dupla

(Usualmente M,, , = M,, , correspondente a f = (,,,,,.)

I

Md, c

d

A Md

A, = k, - + k,, -

d - d'

M, . = momento resistido pela seção com armadura

simples A,,

Mh = Md, c + AMd 1

I

1 N =v,, 1(BI

I kN = 1W kgf = 0.1 ?i

1 kNm = IWkdm=0,1 tfm

IkN.cm= 1Wkgfcm=O,1tic m

-

-

I Mia

1 kNlm

I kN/m2

I kNlma

i MPa = 0.1 k ~ / c = ~ IW *

*P = tum Para y, + I,4 entrar com o valor 1'4 b

YE

Tabela 9 Flexo-compressáo com pequena excentricidade. Armadura unilateral.

Seçóes retangulares. Tabela universal. Diagrama parábola-retângulo

f;d

o' = (ud - 035 a,) -

Uid




E,d

Tabela 10 Diagramas

tensão-deformação dos aços Classe B

Aços classe B - Relação (u8dr zsd)

1 ,O

1,l

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

250,3

261,l

269,O

275,6

281,3

286,4

1,s 291,l

1 3 295,4

usd (Mpa)

CA-40B I CA-SOB

I !

Vale a lei de Hooke ;

U3d = Ead E* i

,

CA-óOB

313,2

325,3

334,6

342,s 376,l

2,4 313,s 376,4 4303

2,6 320,2 385,2 443,O

2,8 326,O 393,3 453,9

(1 MPa = 10 kgficrn')



Tabela 11 Flexão simples e flexão composta com grande excentricidade. Flexão

diagonal da seçáo quadrada. Diagrama parábola-retângulo

1. Flexão composta

N, = ESQ (N,, > O tração; N,, < O compressão)

2. Flexão simples M,,, = M a N., = O

a. Armadura Simples A,, = L (% + N,,)

'Jad

h. Armadura Dupla Assa = L (* +

US~ d, - d:

Parte

1 AMszd

A;zQ = - -

vid d2 - d:


Tabela 11 (l.a parte - Continuação)


Tabela 11 (2.a Parte)

E<,,, = -3<50%0

/

CA-50A

CA-40A

CA-32

CA-25

X

f=d

0,52

0,54

0,56

0,58

0,60

0,62

0,6283

____-___-

0,64

0,66

0,6788

_ - - - - -

0,68

0,70

0,72

0,7254

____

0,74

0,76

0,7717

.

0,78

0,80

0,82

0,84

036

0,88

0,90

0,92

0,94

0,96

0,98

1 ,O0

1,05

1,10

1,15

1.20

Pard

0,109

0,116

0,122

0,129

0,136

9,143

0,145

0,149

0,155

0,161

6'

- - - - - -

0,161

0,167

0,173

0,174

-___--

0,178

0,183

0,186

0,188

0,192

0,197

0,200

0,204

0,207

0.21 1

0,213

0,216

0,218

0,221

0,223

0,227

0,230

0,232

Tabela 11

= 0,15

0,705

0,694

0,682

0,671

0,660

0,649

0,644

0,638

0,627

0,618

zc

- - - - - - -

0,617

0,607

0,598

0,595

0,589

0,580

0,575

0,571

0,563

0,555

0,548

0,540

0,533

0,526

0,520

0,514

0,507

0,502

0,496

0,483

0,472

0,463

Parte - Continuação)

Plad

0,109

0,116

0,122

0,129

0,136

0,143

0,145

0,149

0,156

0,162

6'

._ - - - - -

0,162

0,168

0,174

0, 176

0,180

0,185

0,188

0,190

0,195

0,199

0,204

0,207

0,211

0,214

0,218

0,220

0,223

0,225

0,228

0,232

0,236

0,238

0,240

= 0,20

zc

5 =d

0,705

0,694

0,682

0,671

0,660

0,649

0,644

_

0,637

0,626

0,616

.- - - _ - - -

0,616

0,605

0,595

0,593

0,586

0,576

0,571

0,567

0,559

0,550

0,542

0,534

0,527

0,519

0,512

0,506

0,499

0,493

0,487

0,472

0,460

0,449

0,440

Eclb = -3,5Wa

Esd

(%o)

3,23

2.98

2,75

2,53

2.33

2,15

2,07

_____ _-__

1,97

1,80

_ - _ - - _

1,36

1.33

_______-_

1,23

1,11

1 ,O4

0,99

0,85

0,77

0,67

0,57

0,48

0,39

0,30

022

0,lS

0,07

0,W

- 0,17

- 0,32

- 0,46

- 0,58

CA-SOA

-1-

ICA-40A

_ CA-32

e

0 c

~g

a

6

O

E

'È

e

CA-25

Tabela 12 Flexo-compressão com pequena excentricidade. Flexáo diagonal

da seção quadrada. Diagrama parábola-retângulo

l.a Parte

x

'I= h

1 ,O0

I ,O2

1

1 ,O6

1 ,O8

1.10

1.15

1,20

I ,25

1.30

1,35

1,40

1,45

1,50

1,55

1,60

1,65

1,70

I ,75

1,80

1,90

2,OO

2,25

2,50

2,75

3,OO

3,50

4,OO

5,00

a

6; = o,os

0,316

0,320

0,324

0,328

0,33 1

0,334

0,341

0,346

0,350

0,354

0,357

0,359

0,362

0,364

0,365

0,367

0,368

0,369

0,370

0,371

0,372

0,374

0,376

0,377

0,378

0,379

0,380

0,381

0,381

0,382

Valores

s: = 0.10

0,278

0,282

0,286

0,289

0,292

0,295

0,301

0,306

0,310

0,313

0,316

0,319

0,321

0,322

0,324

0,325

0,326

0,327

0,328

0,329

0,33 1

0,332

0,334

0,335

0,336

0,337

0,338

0,338

0,339

0.340

de piZd

s: = 0.15

0,240

0,244

0,247

0,250

0,253

0,256

0,261

0,266

0,270

0,273

0,275

0,278

0,280

0,281

0,283

0,284

0,285

0,286

0,287

0,288

0,289

0,290

0,292

0,293

0,294

0,295

0,296

0,296

0,297

0.297

s; = 0.20

0,202

0.206

0,209

0,212

0,214

0,217

0,222

0,226

0,229

0,232

0,235

0,237

0,238

0,240

0,241

0,242

0,243

0,244

0,245

0.246

0,247

0,248

0,250

0,251

0,252

0,252

0,253

0,254

0,254

0,255

0.85.m,

0,758

0,7M

0,769

0,774

0,779

0,783

0,792

0,799

0,805

0,810

0,814

0.818

0,821

0,824

0,826

0.828

0.830

0.83 1

0,833

0,834

0.836

0,838

0,841

0,843

0,844

0,845

0.847

0,848

0,849

0,850

9

3.

2.

0

vi

P

4RM4DUR4

UNILATERAL

d: o

APÊNDICE 1 TABELAS E DIAGRAMAS DE DIMENSIONAMENTO 401

Tabela 12 (La Parte -Continuação)

X

61 =L E:< (%O)

s; = O,OS s; = 0,lO

s; = O,lS

s; = O,2O

Tabela 12

Parte - Compressau unirui


mlh </,//lF5)l

Tabela 13 Cálculo simplificado de compressão centrada

Pilares curtos A S 40

Coeficiente a de majoração da força normal

/-'\

8' .~.,,-:., . < &', ... . -<:. . .. ,- '..'a...I';..!. ,.4.:.

0.. . ..d )

. . ,. . o:..

~

, . ,'4'., .:O; ....:,i.: . .: ., ..'..,

. , ) . , ,,

.. . .... ..:. ..,,..

,, . . . .. ,

d...d'.., A

. .,,. ..il

d.,.. ,d .:..

,.,:.

A.;~, i';.

. ,

.,. '

'\ .: .. . 4 .,:,I,! .,;

'

I : ' :,,.,'.O - ..

. . . " . . \. \ '.,"..;. . .

. '. ,.;;:,.,;.~d;;',,

. : , . ,.. : \ ,a . 4: .,~..~'::

. . . . . .. . ., . . . . .', ;a -;

, ,

\ ,

Valores de a

1N =O,Ikgi I MPa = 1 MNlmz = 10 kgf/crnP

I kN = 1W kgf = 0,l tf 1 kNlm = 1W kgflm = 0,l fflm

1 kN.m = 100 kgfrn = O,l 1f.m I kN/m* = 100 kgf/m= = 0.1 tflm*

I kN.cm = IW kgtcrn = 0,l C.cm I kNlrnS = 100 kgf/ms = 0,1 tflm8

I MPa = 0.1 kNlcm2 = 10

CA-25

-

SEÇÕES


Pilares de esbeltez média 40 < A s 80


com AS! 3 As$$fl

RETANGULARES

(A,

2 A , + 2As2

B

A, = b h - bl hi As,

L

b J

CX = a, +a2 N,,= O(N, e= e,+ e2

Valores de a,

al=l+3&

h

Valores de a,

%=-(q(

10 h

3 e 0,003s + 0,001~

v,, + 0,s 1

IN =0,1kgf 1 MPa = I MNlm2 = IOkgfIcm'

I kN = 1W kgf = 0,l tf I kNlm = 100 kgflm = 0.1 tfirn

i kN.m = 100 kgtm = 0.1 1f.m 1 kNimz= 100 kgfim' = 0.1 tfimP

i kN.cm= 1Wkgfcm = 0,1 tfcm 1 kNimS= IWkgf/m'=O,lffims

-

Tabela 15 Cálculo simplificado de compressáo eentrada

Pilares de esbeltez média 40 < A = 80


SEÇÓES RETANWLARES

can A,, < 2

,As,

I

(X-

a,+ Me N,, = O: N, e= e,+ e2

n

vd = N /A f

*Esbeltez limite para sefóes circulares

1 N = 0,i k I MPa = I MNIrn2 = I0 kgflcm'

I kN = 1001

I kN.m = 100L *.... .,. ...-

I kN/m = 100 kgflm = 0,I tflm

' b"'m2= 100 kgflm2= 0.1 lilm'

i kN.cm = 100 kgf.crn = 0.1 t

ma = 100 kgflmX = 0.1 lflm3

I MPa = O

CA-50



coeficiente a de majoração da força normal

Valores de a, a, = l f 3 5

h

Valores de a,

1N =O,lkgf 1 MPa = I MNlm2 = 10kgf/cm'

I kN = IW kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kN/mx= lWkgf/mP= 0,1 fim'

I kN.cm= IW kgfcm = 0,l ttcm I kN/ms = 100 kgfim3 = 0,1 fflma

1 MPa = 0,l kN/cmz = 100 Nlcrns

SECÕES RETANGULARES

can A,, < +

Tabela 17 Cálculo simplifcado de compressão centrada



SEÇÓES CIRCULARES

(A,= 2A,,

+ 2A,,)

e

ll,5< h 5 23

Ac :b h-bi h1

4

10<$<20 A

nihc hi2)

0:- O(, + a,

Nld = O:Nd e=e,+e,

Valores de a,

Valores de or,

23

0,98 0,91 0,84 0,79 0,74 0,69 0,65 0,62 0,59 0,56 0,54

'Esbeltez limite para sqóes circulares

1N =O,Ikgf 1 MPa = I MNlm* = 10kgflcrnz

IkN =lWkgf=O,llf 1 kNlm = 100 kgflm = 0,l tflm

1 kNm = LW k6.m = 0.1 tf.m 1 kNlmz = IW kãlma = 0.1 tflmx

1 kN.cm = 100 kgtcm = 0,l tf.e

I MPa = O,I

C A-60

SEÇÕES


Pilares de esbeltez média 40 < A S 80


RETANGULARES

AS

com As, 1 , ~ As-Jj$jfl

B

(As = 2 A , + 2As2)

A?.,

A,= b h - bi hi

Valores de a,

C

b

4

-

cx = O(, +a2 yd = O(N, e = e, 7 e,

Valores de a,

1 MPa = 0,l kN/cm2 = 100 Nlcm'

CA-60

SEÇ~E! SE@ES RETANGULARES

OOm a," 41<+

1 - 3

(A, = 2Aw + 2Ae )

Q

11,5<+< 23

.




/"SI

SEÇÓES CIRCULARES

Ac=bh-bi hi

k'

10 <+<20 Ac= 1(h2- h;)

4

Valores de a,

e,/h 0,033 0-04 0,05 0.06 0,07 0,08 0.09 0.10

a1 1,13 1,16 1,20 1 1.24 1 1.28 1,32 1 1,36 1,40

Valores de a,

I I I I I I I I I

23 1,06 0,97 0,90 0,84 0,79 0,74 0,70 0,67 0,63 0,60 0,58

(*)Esbeltez limite para seçóes circulares

I MPa

i kN/m

8 1 kNim2

Tabela 20 Dimensionamento - Compressão simples

Y, = 1,4 y,= I,IS f,x (MPa)

Dimensionar com a força normal majorada N,, = aNd

'f.8 = resistência de cálculo do aço, respeitada a condição s 2 %~


CA-25 y, = 1,4 y, = 1,15

Valores de utd = 0.85 f,# + ps (fad - 0,85 fcd) em (MPa)

N = 0,l kgf

kN = 1W kgi = 0,l tf

kN.m = IW kd.m = 0,l U r.m

kN.cm = IW kgfcm = 0.1 d.cm

I MP;

1 kNi

1 kNI

I kNl


CA-SOA y, = 1,4 y. = 1,15

Valores de c,, = 0,85 fcd + p, (f,, - 0,85 fcd) em (MPa)

1N =0,1kgf 1 MPa = I MN/m2 = I0 k8flcmz

IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNIm = 100 kgfim = 0,l Iílm

1 kN.m = 1W kgtm = 0.1 1f.m I kN/ml = 100 k8f/rnz = 0.1 tflm2

1 kN.cm = 1W kgf.cm = O,L tf.cm I kN/m3 = 1W kgf/mS = 0.1 tflm'

1 MPa = 0.1 kNlcmS = 100 Nlcmz


CA-SOB y, = 1,4 y, = 1,15

Valores de <r, = 035 f,, + p, (f, - 035 f,,) em (MPa)

I N = 0.1 kgf L MPa = 1 MNlmz = 10 kgficmz

1kN =lWkgf=O,ltf 1 kNlm = IW kgfim = 0,I tfim

1 kN.m = 100 kgfm = 0.1 tf.m 1 kNimx= 1Wkgf/m2 = 0.1 tfim'

1 kN.cm = IM ligtcm = 0.1 ã.cm I kNimZ = IW kgfim3 = 0,l tfim3

I


Tabela 24 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem

Pilares de esbeltez média 40 < h s 80

e: 0,0035 + fud/E,

MZd= Nde2 = Nd-.

I0 (V, + 0,5) h

413

I I I I I I I I I I I I I I I

*Esbeltez limite para seiões circulares

1N =0,1kgf 1 MPa = I MN/m2 = 10 kgflcm'

1kN =IWkgf=O,llf I kNlm = 1W kgflm = 0.1 tflm

1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 1f.m 1 kN1m2 = IW kgf/ma = 0,l tf/rnZ

I kNcm= 1W kgtcm = 0,1 ttcm 1 kN/m3 = IWkgf/m3 =0,1 ama


Tabela 25 Cálculo de momentos iietores de 2.a ordem

Pilares de esbeltez média 40 < A < 80

*Esbeltez limite para seções circulares

1 Ii = 0.1 kgf I MPa = 1 MNlmP = 10kgf/cm2

IkN =IWkgi=O,ltf 1 kN/m = 1M kgilm = 0,1 tflm

1 kN.m = 1W kgf.m = 0.1 dm 1 kN/m2= 1W kgfima = 0.1 tf/m2

I kN.cm = 1W kgfem = 0.1 ttcm 1 kNimS = 1W kgfim3 = 0.1 tflma

I MPa = O,


Tabela 26 Cálculo de momentos fletores de 2.a ordem

Pilares de esbeltez média 40 < A S 80

Valores de -

0,0035 + 0,00248

h - & ($) v,, + 0.5

I I I I I I I I I I I I I

23 0,316 0,288 0,264 0,243 0,226 0,211 0,198 0,186 0,176 0,166 0,158 0,151

*Esbeltez limite para seções circulares

0,144

1N =0,1kgí I MPa = 1 MNlmZ = 10 kgf/cm2

IkN =IWkgf=O,ltf 1 kNim = IW kgflm = O,I tflm

1 kN.m = IW kgí.m = 0,l tf.m 1 kNlm* = 1W kdm' = 0.1 lflm'

1 kN.cm = IW kgf.cm = 0,I @.cm 1 kN/m3 = 100 kgíimJ = 0,l lflm8

1 MPa = 0.1 kNicmz = 100 Nicm'

VIGA INTERNA VIGA ISOLADA

Apêndice 2

Diagramas Momento fletor -

Força normal - Curvatura

I

d'

fluência I$ =O

I

ACO CA-25

DIAGRAMA (p-4 - d/r

fluência

I$ = O

DIAGRAMA

í H - J - d/r l

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - C URVAW 419

A, = bh

$ =

Acfcd

Ac fcd

Md

r. Achfcd

= 4+

AÇO CA-25

. .&h = nn5

fluência

4 = O

DIAGRAMA ( p-3-d/r )


Ac: bh

9 = Nd

Acfcd

- Acfyd 1

Acfcd

= AChfcd

= 3 2

h

AÇO CA-25

dI/h=~05

fluência

$=o

.

I 3 4 5 6 7 9

id dir

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

A, = bh

.

Acfvd

Ac fcd

fluência

9 =

N d

Acfcd

Md

r= Achfcd

4I = O

r 3+

422 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITACOES NORMAIS

AÇO CA-25

dl/h= 405

piq

w :* Md , $2

AC fcd

.IE AChfCd

I fluência (I = O I

h

DIAGRAMA i M - 3 - d/r 1

AÇO CA- 25

1

d'

I

fluência

$= O

I

AÇO CA-25

DIAGRAMAS ( H-3- d/r )

fluência

$I = O

AÇO CA-25

I

i

DIAGRAMAS ( p - 2 -d/r)

I

d'

fluência

p= - Md = "+

Ach fcd

4 = O

r

h

03

AÇO CA- 25

ACO CA- 25

o

I 2

DIAGRAM

fluência

4 = O

AÇO CA- 25 AÇO CA- 25

O J 1 ! " l ! ' l ' ! " ' ! o

I 2 3 I 2 3

103d/r

103d/r

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 427

ACO CA - 25

DIAGRAMAS (r-*- d/r)

r,-

!, F

.1

A,=

ACO

CA- 25

bh

f iuêncio @ = 0

,-sfra.

Ac fcd

$ =-

N d

fcd

Ac h fcd


ACO CA- 25

ACO CA-25

AÇO CA-25

e

As/2

As/2

d'

A, = bh

, As fyd

fcd

J =- Nd

Acfcd

M

'= 14, hdfcd

=

I 4 103d/r

fluência

O=O


E,

0.4

AÇO CA-25

DIAGRAMAS ( !--3-d/r)

0.1

o

I 2 3 lo3dh I 2 3 4

fluência r$ = O

J :N"

Ac fcd

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATCTRA 431

ACO CA-25

'1 +1e+b,9

1 A

* = bh

3;-

Nd

AC fcd

fluência $= 0 I

DIAGRAMAS í P-a- d a

1 U2


I

fluência

a, =wY4

p. Mb , 3 e

Ac fcd

h 'cd

0 = O

DIAGRAMA (

- 9 - d/f

APRNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

Ac fcd

I

d'

1

fluência @ =O

r

0-5

o

3 4 5 6 7 8 9 10

DIAGRAMA ( r- 4 - d/r )

lo3 d/r


W;-

A

f d

fcd

r;A

h fcd

= J &

h

fluência

@ = O

AÇO CA-50-A

DIAGRAMA ( p- 9- d/r )

fluência

$ = O

AÇO CA-50-A

DIAGRAMA ( p- +d/r )

A d 2

As/ 2

Ac=bh

$=L

Acfcd

=$o

w =Y Asf d

Md

AC fcd A c h b h

fluência 6 = O I

ACO CA-50A

DIAGRAMA ( - 3 - d h )

ACO CA- 50-A

r= Achfcd h

w

Asf d

Md = 3P

Ac fcd

I

fluência 4 = O

I

,

fcd

I

d' fluência (I = O

fcd

DIAGRAMAS ( p - 9- d/r )


,k?Y& Md = J L

Acfcd r= Achfcd

h

fluência

4 = O

RAMAS (I"- 9- d/r)

1

- Asfyd

Ac fcd

d' fluência 4. O

r

fcd

43

42

o " : " ' : " ' : ' " :

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

DIAGRAMAS ( p - J - d/r )

I 4 5 6 7 8 9 10' d/r

442 ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇÕES NORMAIS

'1 r

g A s / 2

Ac = bh

$=- Acfcd N d

As/2

p - = J A

- As fvd M d

Acfcd

fcd

bh

h

fluência

= O

ACO

CA-50-A

DIAGRAMA ( p - J - d/r )

APONDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA 443

o

I 2 3 4 5 6 7 8

DIAGRAMAS ( v - 9 - d/r ) fluência I) = O

I 6

APÊNDICE 2 -DIAGRAMAS

MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

P!

I DIAGRAMAS ( p - J - d/r )

AÇO CA-50-A

d'/h= 415

ACO CA-50-A

AÇO CA-5C-A

fluência I) =O

r

DIAGRAMAS ( fi - 3 - d/r )

r

43

4 2

o

I 2 3

o

103d/r I 2

3

A, = bh

J=- Nd

Ac fcd

Ac = bh

w =U

Acfcd

d =

N d

cd

Md z J-

fiz Ach fcd

e

h

fluência

d> = O

GRAMA (k -v - d/r )


e

A, = bh

,

J =-

N d

cd

, As fvd = I>- e

Acfcd

h

fluência

@ = o

ACO CA-50-B

O,]

o

I 2 3 4 5 6 7 8

DIAGRAMA (&-v - d/r)

AP~NDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA

,nçfvd - ~d = 9 e

Acfcd

Ach fcd

h

fluência (0 = 0

AÇO CA-50-B

450 ESTRUTU~AS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORMAIS

A, = bh

4 =

N d

cd

- Asfvd M d e

Acfcd

I= Ach fcd

= Jh

fluência

$=O

DIAGRAMA ()I -3 -d/r '

Ac = bh

-J =

N d

cd

w - As fyd M d = 9- e

I= A, h fcd

h

Acfcd

fluência $ =O

AÇO CA-50-B

dl/h = 0,05

3 4 5 6

OIAGRAMA (+ -3 - d/r )

i 03d/r

A, = bh

, AS fvd

Acfcd

N d

J =

cd

= qe

M d

= Achfcd h

L

fluência

$ = O

r

0,5

AÇO CA-50-B

DIAGRAMA (P-T

3 4 5

lo3d,

DIAGRAMAS (p -V - d/r)

I fluência @ =O I

DIAGRAMAS (JA-v - d/r

d'

A, = bh

3 . -

N d

fcd

A,fyd

Md

U> =A, fcd = Ach fcd = 4;

fluência (I =O

rC

AÇO CA-50- B

d'/h = 0,05

piiT


1 ' ;

DIAGRAMAS [p -V - d/r

Acfcd

fluência

$=O

DIAGRAMAS (N-V -d/r)

r+ fluência

+ = 0

3.-

Nd

A,/2 Ac=bh AC fcd

APÊNDICE 2 - DIAGRAMAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATi

F

DIAGRAMA (k

.

A, = bh

4 =

N d

cd

w =U Md = 9- e

Acfcd

r= Ach fcd h

fluência

4 = O

DIAGRAMA (P-V- d/r)

e

As/2

A, = bh

4 =

N d

cd

As/2

w=V

Asf d M d

= J-

e

fiz A, h fcd

h

Acfcd

fluência @ =O

Ac = bh

3 =-

N d

Acf cd

",=% Md = 9 8

AC fcd P= A C fcd ~

h

fluência =O

DIAGRAMAS


ACO CA-509

ACO CA-SOB

I d l i

DIAGRAMAS (P -V - d/r )

I fluência @=O I

LIA

AÇO CA-5OB

d?h=0.15

ACO CA-50-B

d'h = 0.15

ACO CA-50-A

d/h = 0.15

1

DIAGRAMAS (@-V - d/r)

O

ACO CA-50'B

fluência 4

Referências Bibliográficas

Associação Brasileira de Normas Técnicas. NB-1178. Procedimento para Projeto e execução de obras de concreto

armado.

LANGENDONCK, T. van Cálculo de concrcro armado -2 vols. Associação de Cimento Ponland. São Paulo,

,O<"

.,<".

Comité Euro-Internationa1 du Béton. Ccde Mcdèle CEB-FIP pour les stnicturer en béton. CEB BuUetin

d'lnformation n.O 1241125. Pais, 1977.

LOSER, B. Concreto armodo - Cálculo e métodos de dimensionomenro. Primeira edição brasileira autorizada,

traduzida da 7.= ed. alemã de 1938. Sáo Paulo, 1947.

BURKE, J. U. Jr. Tobelas popa r> dimcnsionamento de wções retangulares no eslddio III. Escola Politécnica. Sáo

Paulo, 1955.

BURKE. J. U. Ir., GERTSENCHTEIN. M. Tabelos~ora o cálculodeflexáo normolno eIádioIII. Z.*ed. revista.

São Paub, 1970.

MONTOYA, P. J., MESEGNER, A. G. E MORAN CABRÉ, F. Hormigón Almado, 7.'ed. Gustavo Gili S.A.

Barcelona, 1973.

PFEIL, W.Dhension~menfodeconrr~roormodoYflerri~composta. LivmsTécnicose CientikosEd.S.A. Riode

,-,,b,,", r""-:-" ,o,< ,,,".

MARINO, M. A.Seçórsrransv~rsaisdeconcreroormodosuielfososoiiciro~ó~snormnis. Disseilaçãodemestrado.

Escola Politécnica da USP. São Paulo, 1578.

LANGENDONCK, T. van flexr?o composra oblíquo no concrero armado. Associação Brasileira de Cimento

Portland. São Paulo, 1977.

MORAN CABRÉ, F. Design ofreinforced concrere sccfions undcr normal loods ondsrressrs in rke ulrimarr limit

siar*, in CEB BuUetin d'lnformation n.- 83. Paris, 1972.

FUSCO. P. B.Fund~menros dooroieroesfrufural. . .

McGraw-Hilldo Brasil eEdit. da Universidadede São Paulo. Sáo

Paulo, 1976.

RATZERSDORFER. J. Flarnbaeem. Publicacões n.a<513.531 e559do Institutode Pesquisas Tecnolósicasde Sáo

"-" .,--, .,*A -

MENEGOTTO. M. 81 PINTO, E. A simple deslgn cdlerion for biariolly londedcoiumns. International Arsociation

for Bridge and Structural Engineering. Symposium, Final Report, p. 69-74. Quebec, 1974.

GALGOUL, N. Z. BeitragzurBemessung von ScklankenStohiberonstürenfdrschiefe Biegungmir Acksdruckunter

Kurzreir und Dau~rbelasfunz. Tese. Technische Universitãt München. Muniaue. 1978.

Comité Euro-lnternational du-~éton Manuel de Calcul - Flambement - lnstabiliié. CEB BuUetin d'lnformation ".O

103. P&s. 1974.

Comité Euro-lnternational du Béton. CEB-FIP Manualofbucklingand instability, in CEB B~Uetind'Infomationn.~

123. Paris, 1977. .

BUCHAIN. R. Efeitos de segunda ordem e estado limite último de instabilidade em pilares de concreto armado.

Dissertação de mestrado. Escola Politécnica da Universidade de Sáo Paulo, Sáo Paulo, 1979.

TIMOSHENKO, S. P. -"Resistênciados materiais", 2 v. Traduçáo. Ao LivroTécnico Ltda. Riode Janeiro, 19úL.

LEVI. F. & PIZZETTI. G. -Fluase, Plosticité, Preconrroinre. Dunod. Paris, 1951.

LANGENDONCK. T. van Tabelasporo ocálculo2o cargo axioldeflambogemdr barros relasdesecçáovo~ávri.

A.B.C.P., Separata da Revista Politécnica n.Oq69 e 171. São Paulo. 1956.

MORSCH. E. Teoria y Práctica de1 Hormigón Armodo. Trsdução espanhola. Gustavo Gili, Barcelona, 1948.

Arsociqão Brasileira de Normas Técnicas. NB.599. Procedimento para determinação das Forças devidas ao vento

em edificaçses.

24. Assoeiaçáo Brasileira de Normas ~écnicas, NB-51. procedimento para Projeto e execução de fundaçses.

25. VARGAS, M.Introduçáo U Mec6nico dos Solos McGraw-Hill do Brasil e Edit. da Universidade de São Paulo. São

Pniiln. ~~- . 1977.

?o I.lSC'HLK. K. Bri,i.!eir .,<r Hi,.ir,.int,hirnd U' k.rnrt B S.hn Rcrlin. 1%'

27 Rcc.,mmrnJ~ii.in~ .i! ihc Cuniniticc fur \Vatcrfnint Stni:iure, I ' zJ. U' Frnil & S.ihn Bcrlin 191'

?h R4RKAh. D I>. I>)n*mi,ruíh.i~v~.~n.lfoiind~lii~nii~rrJu,;i.i~lori.~%u~. h4:Grnu-HiIIBuul t .,mDin) heu Iark

I*?.

Índice Alfabético

Os números emnogritoreferem-sea locaisonde oassuntoé abordado mais extensamente. Os númerosem

itálico referem-se a localizaç0es fora do tento (legendas. quadros. disticor, notas erc.):

A - problemas especiais de determi- 65 216.217

nação da, 328 - do eixo de barra, 200 Esbeltk de um pónicodr

Ábacos -de flambagem de Euler. 331 domínios de (v. Daminios 366

de flenáo normal composta de - de longa duração. 172, 175, 328 de defoimaçáo) Esforços

Montoya. 115 -de projeto, 272 - módulo de. li -atuantes. 12,

-em roseta, 108 parcialmente de longa duração. na flexáo composta oblíqua, 2W decomposiçi

i1 de. i25

Açofs) 329 - na fleno-compressáo, 167 Estabilidade

- CA-509, 134 permanente, 272 Derlocabilidade dasestruturas,233 - da configura ção flefida < ie equilí-

- classe A, I I Carregamento. história de, 334 Deslocamentos, decomposição brio, 158

classe B, I I Coeficiente de correçáo, 342,343 dos, 339, 340 dasformasde rquiiioriu, .," .,.

10". ,O,

- diagrama de cálculo dos. 10 Compatibilidade. equações adi- Diagrama(s). 417-62 Estado

Asóes mensionair de, 51 - carga-deslocamento. 178 - de deformqáoplisticaer ~cessiva.

-atuantes, 222 Compressáo -de cálculo dos agos, 10 3

- resistentes, 222 - armadura de, 25, 35 - de dimensionamento, 377416 -de encunamento último do con-

Analogiade Mohr. 169 - centrada, I1 1 -de interaçâo (v. Interaçáo, dia- creto, 2

Armaduras(s). 90 - - cálculo simplificado de, 402-8 gramas de) -de neutralizaçáo. 5

- alongamentos últimos simples, 409.12 de tensões parábola-retângulo, 5 -limite último

das.3, 5 - tensáo ideal de, 227 - linearizado, 216 - -de instabilidade. 153~99

de compressáo, 25, 35, - uniforme, 69. 75,401 - momento-curvatura, 169 --de ruptura ou de alongamento

d e tração, 10, 25. 34 exemplos. 77 - momento fletor-força normal- plástico excessivo, 1-152. 3

- - centro de gravidade da, 46 Concreto cuivatura, 173 - - na nexo-compressão, li

-dupla, 24, 27 - encunamentos últimos do, 5 - para o cálculo dos deslocamentos - último de ruptura. 2

- - se~ão com, 34, 35 - rigidez a ser considerada. 351 da barra, 351 Estribos. arranjos básicos i

-longitudinais, 268 - ruptura do, 2.3 - retangulardetensóes, 6,63,79,89 Estruturas

- minimas, 264 - verificação do tensáo-deformaçáo. 176 - deslocáveis. 365

-simples, 22, 26 - -em funçáo da armadura exis- - - dos aços Classe B, 394 --esbeltez das. 364

- - cálculo da, 32 tente. 32 Dimensionamento - esbeltas não-contra ventavas. ,o+

- -deformações, 34 - - em funçáo do momento atuante, -aproximado, 124 Euler

- taxa mecânica de, 22 3 1 - diagrama de, 377416 -carga de flambagem de. 331

-transversais, 269 -vigas de seção T das estruturas exemplos de, 36 -fórmula de. 156

- unilateral. 70 de, 82 -expedito, 262 Excentricidade(s)

--exemplos, 72 Contraventamento. 236 - tabelas de, 3774!6 -acidental, 11 1, 242

-das estruturas. 235 Domínios. 4 -adicional, 111

B - em edifícios altos, 360 - de deformação, 4, 6,7 -do carregamento. 2W. 26

estruturas de, 221 - iniciais de I.%ordem. 211

Barras longitudinais, espaçamento --estabilidade giobal das. 353 E -mínimas inevitáveis, 224

dai, 269 - - quase-indeslocável, 355 - progreraivas, processo d

- --rigidez mínima das, 355 Edificios

c - influCnciada rigidezdas vigas de, - cobrimenros mínimos, 268 F

355 - dimensões externas mínimas. 267

Cálculo - paredes de, 360, 362 - disposiçóes construtivas, 266 Flambagem, 154

-de deforma$ões, 85 - - isoladas de, 357, 363 - pilares (v. Pilares) -carga de, 154

- de flechas com não-lineatidadefi- - pilares de, 360, 362 Equações adimensionais - comprimet

sica, 168 - solicitações devidas ao efeito de, -de compatibilidade. 51 - cunia de,

-de resistência, 85 359 - de equilíbrio, 67 Flexão

Cargafs) Convexidade, propriedade de, 108 Equilibtio - Composta,

- -acidental, 273 Curvaturas, 202,203 condiçues de, 17 c o m grar.". .nu-

- crítica, ou carga de nambagem ' -álcula das, 204 - de forças, expressão de, I'" -cálculo prático, 55

154 -de momentos, 140 - -de barras esbeltas no regime

- - cálculo da, 207 - equaçóesadimensionaisde elástico, 161

- - - pelo método do - estabiiidade das formas di --instabilidade na. 168

- - -pelo método ge ;formaçáo(ões) 161 - - obliqua, 123

- - -por processos simolificados álculo de, 85 -método do, 189 - - - deformaç6es na, 200

215 - condições de compatibilidade de, - proces~o $i lidade na, 200

mplificado dc

'~

- -

ESTRUTURAS DE CONCRETO. SOLICITAÇOES NORIV

---processos simplificados de

cálculo de, 245

- - resolução dos ~roblemas de, 53

- diagonal da seçáo quadrada

- - erande excentricidade. 129.130

, - -pequena excentricidade, 136

- normal composta, 111

-oblíqua, 101.52

- - -métodos geras de, 101

,or tentativas, 110

imposta. 111

dução aduas flexóes normair,

",Q

.,"

ples, 2.45, 82, 223

1~ulo prático, 22

solução dos problemas de. 53

Fcompressáo, 45

i pequena excentricidade, 64

il~ulo prático, 69

solução geral dos problemas

de. 68

- cur vatura na, 170

- def orrnaçóes na,

- esti %dos limites úI

- insl 'abilidade na, .

nsformacáo em comoressáo

centrãda, 2,

Flex o-tracáo. 45

Fárr nula

- da

A"

- . . ..

Norma Russa

Norma Venezuriaiia,

Incêndios, classiti, :ação das, 26f

Instabilidade

-estado limite últi~ mo de, 153-99

-fundamentos, 15' I

- na compressáo a xial, 154

- na nexão compor

--oblíqua. 200

- na nexo-compres

Interaçáo

diagramade,54, 1

- lineairaçáo dor ,, ..-, ,.,

- - para pilares esb eltos, 185-7

- laje~parede, 265

supenicies de. 104

- -caso panicular i ia. 145

Manutenção da seçáo plana, 4

Matérias plásticas, 155

Método(s)

- da excentricidade equivalente

2,"

- -justificativa do, 332

da transformação afim das seçóes,

117

- de funçáo equivalente de fluència,

330

- do equilíbrio, 189

Mohr. analoeia de. 169

Momento(s)'

- de inércia, 416

-externos, 159

--de 1.'ede2.aordem, superposiçio

dos, 256

--de Za ordem, 265

- - - cálculo de, 413-15

-internos, 159

N

NÓ(s)

- arranjo estrutural do, 229

- deslocáveis, 233

- indeslocáveir, 235

Pãreoe(s), /'i

de contraventamento. 360. i

estruturais, conceitos bis

263

excentricidade do carreran iento

das, 2M

isoladas de c

tnto,

357, 363

usuais dos edi

eças

comprimidas, ''3

subarmadas, 9

superairnadas, 10

ilar(es), 221

carregamento dos, 278

cintados, 230,231, 292

com armadura igual nas 4 faces,

249

compressáo simples de, 225

- com seção transversal variável ou

força nomal variável, 347,348

contraventados, 235

CU~OS. 241

-calculados por processos rigorosos,

253

- dimensionamento rigoroso, 313

dimensionamento simplificado,

,>r,

- - sob carga centrada, 259

-de canto, 223,240, 313

- - solicitações iniciais dos, 240

-de contraventamento. 360. 362

-de edificios, 233, 236,237

- - açáo do vento. 233

- - armnios estruturais dos. 238

A,'

-de extremidade, 236, 297

- - solicitações iniciais dos, 239

- de seçáo celular, 2M

- deslocáveis com vigas de grande

rigidez, 229

- dimensionamento, 236

- efeito da superposiçáo de. 239

- e~beltos. 272

- - calculados por processos rigororos,

253

--calculados por processos

simpli~ados, 2%

- - considerasão da fluência. 290

--de seção constante, 346

--estudo dos. 313

- - estudo geral dos. 346

- - sem consideração da flu&ncia,

283

- - solução alternativa por meio de

diagramas, 288

- - SOIUF~O alternativa por meio de

diagramas de interaçáo, 286

- influência da deformabilidade da

fundaçáo, 371,373

- intermediirios, 236

- - solicitaçóer iniciais dos, 238

-internos, 279

- medianamente esbelto, 304, 311,

321

- - sob carga centrada, 261

-muito esbeltos de seção constante,

347

- não-cintados, 225,226

--índice de esbeltez, 228

-padrão, 181, 210,211

- deformaçóes admitidas, 211

- -melhorado, 335, 338

- - - aplicação do, 345

- - - fundamentos, 337 Z

- - modos de emprego do, 335

-usuais dos edificios, 222

- verificação da segurança dos, 252

Pórticos hipereatáticos, 36s

cálculo rigoroso de, 369

- cálculo simplificado, 370

hocesso

- aproximado de pré-di

mensionamenra e df

dimensionamento en

pedito, 2 '62

-da Norma Russa, 116

- das excenti ricidadesprogl

179

- do carregakiiciiiu piugisa

- - etapas do, 180

- proporcional, 178, 208

-do deslocamento de ref

isn .,"

- do pilar padráo, 182, 192

-corrigido, 184

--melhorado, 338, 346

-simplificado do equihbrio, 195,

216,217

Regime

- anelástico, 161

- elástico, 154

- - flexãaçompostade barrasesbeltas

no, 161

Resistência

- ao fogo, 266

- cálculo de, 85

Ruína, 3

S

reto. 2, 3

iltimo de. 2. 3

le. 2

Seçãa(6es)

-afins. 117

com armadura dupla. 34, 35

-método de transformacão afim

das. 117

- quadrada, flexãodiagonalda. 129.

130. 136

- retangulares, 17-81

--propriedades básicas, 46. 66

- - transformações afim das, 117

-submetida a momentos de sentidos

contrários, 42

- T, 82-1W

--cálculo prático das. 89

- - notação usual, 82

--processo de dimensionamento

das, 86

-transversal, formas de. 146

Segurança, verificação da, 55

Solicitação(6es)

- casos de, 6

-normais, 2

Solidariedade dos materiais, 5

Tabelas

- adimensionais, 24

- de dimensionamento, 377416

- dimensionais, organização dar, 31

-tipo K, 28

- - emprego de, 60, 95

- universiils, 24

- - emprego de, 89

Tirantes, 222

Tração

-armadura de, 25, 34

- com pequena excentricidade. 17

-simples, 17, 222

aaçáes afim, 121

v

Valores

-de cálculo, 29

-de dimensionamento, 29

VanÁveis

- adimensionais, 22, 24

- dimensionais, 28

Verificação da segurança das peças

estruturais, 222

Viga($), 223

- cálculo das, 275

-de seção retangular, 82

- invenidas, 230

z

Zona utilizável, 98

~ ~ o o " ~ , ~ A ~ o M ' , , M c ~ r ~ ~ " ~ c , ~ o ~ . ~ , ~ ~ ~ , , ~ ~

IMPRESSA0 E ACABAMENTO:

@ AGGS INDOSTRIAS GRAFICAS SA.

R. LUIS CAMARA, 535 - TEL.: 270-6722 - RIO DE JANEIRO - RJ.

ESTRUTURAS DE CONCRETO - SOLICITAÇÕES NORMAIS - FUSCO

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?