Resposta natural RLC - derivação (artigo) _ Khan Academy

Ciências · Engenharia elétrica · Análise de circuitos
· Resposta natural e forçada
Resposta natural RLC - derivação
Uma derivação formal da resposta natural do circuito RLC. Escrito por
Willy McAllister.
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Introdução
Vamos dar uma olhada profunda na resposta natural de um
circuito resistor-indutor-capacitor (RLC). Este é o úl mo
circuito que analisaremos com o tratamento da equação
diferencial completa.
O circuito RLC é representa vo de circuitos reais que nós
realmente podemos construir, já que cada circuito real tem
alguma resistência finita. Este circuito tem um
comportamento complexo e rico que encontra aplicação em
muitas áreas da engenharia elétrica.
R
i
L
t=0
v C
+
−
C
O circuito para a resposta natural RLC.

O que estamos construindo
Nós vamos modelar o circuito RLC com uma equação
diferencial linear de 2ª ordem com a corrente, i, sendo uma
variável independente:
2
d i
L +
dt 2
di
R +
dt
1
C
i =
0
A equação caracterís ca resultante é:
s 2 R
+ s +
L
1
LC
=
0
Vamos encontrar as raízes da equação caracterís ca usando
a fórmula de Bhaskara:
s =
−R ±
2
R − 4L/C
2L
Subs tuindo as variáveis α e ω podemos escrever s de
forma um pouco mais simples:
o
s = −α ±
α2
− ω o 2
onde α =
R
2L
, e
ω = o
1
LC
α é chamado de fator de amortecimento e
de ressonância.
ω 0
é a frequência
Vamos resolver um exemplo de circuito RLC com valores de
componentes específicos e descobrir como a corrente e as
tensões se parecem.

Estratégia
Seguimos a mesma linha de raciocínio que usamos para
resolver o circuito de segunda ordem LC em um ar go
anterior.
1. Crie uma equação diferencial de segunda ordem com
base nas equações de - para os componentes , , e
C
. Usaremos a Lei de Kirchhoff das Tensões para
construir a equação.
2. Chute uma solução de forma consciente. Como de
costume, nosso palpite será uma função exponencial do
Ke st
po .
i v
3. Insira a solução proposta na equação diferencial. Os
termos exponenciais serão fatorados, deixando-nos
com uma equação caracterís ca na variável .
R L
4. Encontre as raízes da equação caracterís ca. Desta vez,
precisaremos usar a fórmula quadrá ca para calcular as
raízes.
5. Encontre as constantes ao calcular para as condições
iniciais.
6. Celebre a solução.
s
Modele o circuito com uma equação
diferencial
t = 0 − ,
R
i = 0 A i
+
+
L
vR
v L
−
v C
+
C
t = 0 − ,
v C
= V 0
−
t=0
−

Condições do circuito logo antes de fechar o interruptor: A corrente é 0 e
o capacitor é carregado até uma tensão inicial volts.
V 0
[notas sobre a atribuição de tensão]
Quando o interruptor é fechado, o circuito fica assim (agora
com as tensões rotuladas no indutor e no resistor, v e v ).
L
R
t = 0 + ,
i = ?
i
L
R
t = 0 + ,
+ vR
−
v C
= ?
+ +
C
v C
− −
t=0
v L
t = 0 +
Condições do circuito logo depois que o interruptor é fechado. Ainda
temos que encontrar a corrente e a tensão em . Resolvemos isto na
seção in tulada Encontre as condições iniciais.
Para cada elemento individual, podemos escrever as
equações de i- v.
v = L L
di
dt
v = R
−i R
1
v C = ∫ −i dt
C
Podemos escrever a Lei de Kichhoff das Tensões (LKT),
começando pelo canto inferior esquerdo e somando as
tensões ao longo da malha no sen do horário. O indutor

tem um aumento de tensão, enquanto o resistor e o
capacitor sofrem uma queda de tensão.
+v − L v − R v = C 0
Subs tuindo os termos de v
em função de i, temos:
pelos termos correspondentes
di
L +
dt
1
R i + ∫ i dt = 0
C
Se quiséssemos, poderíamos atacar esta equação e tentar
resolvê-la, mas o termo integral é estranho de se lidar.
Podemos sumir com essa integral, se rarmos a derivada da
equação inteira.
d di [ L + R i + i dt = 0
dt dt C
1 ∫ ]
i
Isto nos fornece a seguinte equação com uma derivada
segunda, uma derivada primeira e um termo simples em ,
tudo ainda con nua igual a 0.
2
d i
L +
dt 2
di
R +
dt
1
C
i =
0
Essa equação é chamada de equação diferencial ordinária
homogênea de segunda ordem. É homogênea porque cada
termo é relacionado ao i e seus derivados. É de segunda
ordem porque a derivada mais alta é uma derivada de
segunda ordem. É ordinária porque há apenas uma variável
independente (sem derivadas parciais). Agora podemos
resolver nossa equação diferencial.

Proponha uma solução
Tal como fizemos com problemas anteriores de resposta
natural (RC, RL e LC), assumimos uma solução com uma
forma exponencial. Funções exponenciais têm a incrível
propriedade de que as derivadas se parecem muito com a
função original. Quando você tem várias derivadas
par cipando em uma equação diferencial, é realmente bom
quando elas se parecem. Assumimos uma solução com este
formato:
i(t) = Ke st
K
é um parâmetro ajustável que representa a amplitude da
corrente.
s está no expoente ao lado de t, então ele deve representar
algum po de frequência ( s precisa estar em unidades de
1/t). Chamamos isto de frequência natural.
Tente a solução proposta
Em seguida, subs tua a solução proposta na equação
diferencial. Se a equação for verdadeira, então, nossa
solução é vencedora.
d 2 st
d
st
1
st
L Ke + R Ke + Ke = 0
dt 2 dt C
Agora, vamos trabalhar sobre os termos com derivadas.
Termo do meio: A primeira derivada do termo R é

d
st
R Ke = sRKe st
dt
Ke st
Termo principal: ramos a derivada do termo principal
duas vezes:
d
Ke
st
= sKe st
dt
d
st 2 st
sKe = s Ke
dt
logo, o termo principal se torna:
d 2 st 2 st
L Ke =
dt 2 s LKe
Subs tua-os de volta na equação diferencial:
2 st st
1
st
s LKe + sRKe + Ke = 0
C
Agora podemos fatorar o termo comum .
Ke st
Ke st ( s 2 1
L + sR + ) = 0
C
Torne a equação verdadeira
Agora, vamos descobrir quantas maneiras existem para que
possamos tornar esta equação verdadeira.
Nós poderíamos definir K como sendo 0. O que implica em
i = 0 e que não estamos colocando nada dentro do circuito

e obtendo nada dele. Defini vamente entediante.
O termo e st nunca se torna 0, a não ser que t varie até ∞. É
muito tempo daqui até lá. Isso nos fornece uma maneira
interessante de validar a equação: se o termo com todos os
s´s for zero.
2
1
s L + sR + =
C
0
Isso se chama equação caracterís ca do circuito LRC.
Resolva as raízes da equação caracterís ca
Vamos encontrar valores de s que tornem verdadeira a
equação caracterís ca. (Queremos encontrar as raízes da
equação caracterís ca.)
Temos exatamente a ferramenta certa para isto, a fórmula
quadrá ca:
Para qualquer equação quadrá ca: ax 2 + bx + c = 0 ,
a fórmula quadrá ca nos fornece as raízes (os zeros da
equação):
x =
−b ±
b2
− 4ac
2a
Retornando para a equação caracterís ca, podemos
subs tuir os nossos valores dos componentes do circuito
para obter as raízes. a = L, b = R e c = 1/C.

s =
−R ±
2
R − 4L/C
2L
Essa é a resposta para s, a frequência natural. Precisamos
examinar um pouco mais para compreender o significado
prá co desta solução.
Nós podemos tornar a notação mais compacta, subs tuindo
partes da expressão por duas novas variáveis, α e ω .
o
α =
R
2L
ω = o
1
LC
Deixe-me escrever a equação caracterís ca da seguinte
maneira ( dividindo tudo por L) :
s 2 R
+ s +
L
1
LC
=
0
Se usarmos α e ω , a equação caracterís ca pode ser
reescrita como:
o
s 2 + 2αs + ω
2
o = 0
Podemos reformular a equação quadrá ca pela manipulação
do denominador 2L até que ele esteja em cada termo no
numerador:
R
s = − ±
2L
( 2L
R )
2
−
4L/C
( 4L
2 )

O segundo termo sob a raiz quadrada se reduz a:
( 4L
2
4L/C
= ( 4L
2
) =
1
LC
E isto nos permite escrever s em termos de α e ω , ou seja:
o
s = −α ±
α2
− ω o 2
Nós sabemos que s é algum po de frequência (ele deve
possuir 1/t como unidade). Isso significa que os dois termos
que compõem s também são algum po de frequência.
α
é o chamado fator de amortecimento. Ele vai
determinar quão rápido o sinal total reduz até zerar.
ω o
é a chamada frequência de ressonância. Ela vai
determinar quão rápido o sistema oscila. Esta é a mesma
frequência de ressonância que nós encontramos na
resposta natural do
LC
Solução proposta, melhorada
A equação quadrá ca nos deu duas soluções para s,
chamaremos elas de s e . Precisamos incluir ambas na
1 s 2
solução proposta. Então, nós atualizamos nossa solução
proposta para ser uma combinação linear (a superposição)
de dois termos exponenciais separados com quatro
parâmetros ajustáveis:
i = K 1e s 1t
+ K
s t 2 e
2
s 1 e s
K e
2
1 K 2
são frequências naturais,
são termos de amplitude.

Circuito exemplo
Neste ponto, é ú l fazer um exemplo específico com alguns
valores de componentes reais, para ver como uma solução
par cular se sai. Aqui está o nosso circuito de exemplo:
t = 0 + ,
i = 0 A
i
L
1 henry
+
v L
R 2 ohms
+ vR
−
v C
+
− −
t=0
t = 0 + ,
v C
= 10 V
C
1 farad
5
Exemplo de resposta natural RLC. O capacitor tem uma tensão inicial de
10 volts. Não há nenhuma corrente fluindo no indutor no momento em
que o interruptor é fechado.
A equação diferencial para o circuito RLC é
2
d i
L +
dt 2
di
R +
dt
1
i =
C
0
Com os valores dos componentes reais torna-se:
2
d i
1 +
dt 2
di
2 +
dt
5i = 0
Como sempre, assumimos uma solução da forma:
i(t) = Ke st
Realizamos a análise que fizemos acima, o que resulta nesta
equação caracterís ca:
s 2 + 2s + 5 = 0

Solução para as raízes da equação caracterís ca com a
fórmula quadrá ca:
s =
−R ±
2
R − 4L/C
2L
Com os valores dos componentes reais:
s =
s =
−2 ±
−2 ±
22
− 4 ⋅ 1 ⋅ 5
2
4 − 20
2
s = −1 ±
−16
2
s = −1 ± j2
Engenheiros elétricos usam a letra j para indicar a unidade
imaginária −1, uma vez que já usamos i para corrente.
Conseguimos uma resposta complexa, assim como fizemos
com a resposta natural LC, só que desta vez a resposta
complexa inclui tanto uma parte real quanto uma parte
imaginária.
Resolver as raízes da equação caracterís ca nos deu duas
respostas possíveis s, então a solução proposta para i é
agora escrita como a superposição de dois diferentes
termos exponenciais:
Ciências
elétrica
Engenharia
Análise de
i = K 1 e (−1+j2)t + K
(−1−j2)t
2 e

circuitos
forçada
Resposta natural e
Resposta natural e forçada
intuição - 2
Resposta natural LC -
derivação - 1
Resposta natural LC -
derivação - 2
Os termos nos expoentes são conjugados de números
complexos. Vamos trabalhar a maneira em que eles estão
escritos. Nós podemos separar as partes reais e imaginárias
dos expoentes:
e fatorar o termo comum e −1t :
−1t −j2t
i = K 1e −1t e +j2t + K 2e e ,
Resposta natural LC -
derivação - 3
−t (
i = e K e + K e
1
+j2t
2 −j2t )
Resposta natural LC -
derivação - 4
Exemplo de resposta
natural LC
Resposta natural LC
Resposta natural LC -
derivação
Resposta natural RLC -
intuição
Perceba como a parte real de s veio através do processo de
fatoração para nos dar o termo principal, um decaimento
exponencial, e −t .
Os termos entre parênteses são uma soma de dois
exponenciais imaginários onde os expoentes são
conjugados de números complexos. Isso parece com o que
vimos na resposta natural LC. Como fizemos antes, nós
recorremos a fórmula de Euler para nos ajudar com estes
termos.
Resposta natural RLC -
derivação
Resposta natural RLC -
variações
Próxima lição
Fórmula de Euler
Usando as expansões da série de Maclaurin para e jx , sen jx,
e cos jx, é possível derivar a fórmula de Euler:
+jx
e =
cos x + j sen x
e
−jx
e =
cos x − j sen x

No vídeo relacionado, sempre que Sal diz i, nós dizemos j.
Estas fórmulas nos permitem transformar
número complexo normal.
imagin rio
e á
em um
Use a fórmula de Euler
Podemos usar a fórmula de Euler para transformar a soma
K 1 e +j2t + K
−j2t 2 e
para
K (cos 2t +
1 j sen 2t) + K (cos 2t −
2 j sen 2t).
Mul plica-se pelas constantes K e :
1 K 2
K 1 cos 2t + jK 1 sen 2t + K 2 cos 2t − jK 2 sen 2t ,
e agrupa os termos do cosseno e os termos do seno:
(K 1 + K 2) cos 2t + j(K 1 − K 2) sen 2t
Sem desordenar a equação, podemos simplificar sua
aparência se subs tuirmos os K's desconhecidos por A's
desconhecidos. Sendo A 1 = (K 1 + K 2)
, e A 2 = j(K 1 − K 2).
A expressão anterior se torna:
A 1 cos 2t + A 2 sen 2t
E agora colocamos isso de volta em nossa solução proposta:

−t
i = e (A 1 cos 2t + A 2 sen 2t)
Até aqui, tudo bem. Em seguida, precisamos descobrir
A 2
usando as condições iniciais.
A 1
e
Encontre as condições iniciais
Para uma equação de segunda ordem, você precisa de duas
condições iniciais para obter uma solução completa: uma
para a variável independente, i, e outra para sua primeira
derivada, di/dt.
Se determinarmos i e di/dt em um instante específico,
podemos descobrir A e .
1 A 2
Encontrar as condições iniciais para RLC é pra camente o
mesmo do circuito LC. Só temos de levar em conta o
resistor.
Aqui está o que sabemos sobre t = 0 −
do interruptor ser fechado):
(o instante logo antes
R 2 ohms
t = 0 − ,
i = 0 A i + −
+
vR
+
L v L
v C
1 henry − −
t=0
t = 0 − ,
v C
= V 0
C
1 farad
5
Condições do circuito logo antes de fechar o interruptor. Em t = 0 − ,
a corrente é 0 e a tensão inicial no capacitor é v = 10 V.
C

O interruptor está aberto, então
A tensão inicial do capacitor é especificada:
v (0 ) =
C − V 0
.
Se t = 0 + é o instante logo após o interruptor fechar, nosso
+
obje vo é encontrar i(0 ) e di/dt(0 + ). Nós conhecemos
algumas propriedades dos indutores e capacitores que nos
dizem o que acontece quando o interruptor se fecha,
passando de a :
−
i(0 ) = 0
t = 0 − t = 0 + +
i(0 ) = i(0 ) =
A corrente no indutor não pode variar
instantaneamente, logo
A tensão no capacitor não pode variar
instantaneamente, logo
−
0
v C (0 + ) = v C(0 − ) = V 0
t = 0 + ,
i = 0 A
i
L
1 henry
+
v L
R 2 ohms
+ vR
−
v C
+
− −
t=0
t = 0 + ,
v C
= 10 V
C
1 farad
5
Condições do circuito logo depois do interruptor ser fechado, em t = 0 + .
+
i(0 ) = 0 e v C (0 + ) = 10 V.
Agora nós já conhecemos uma condição inicial, i(0 ) =
+
0
conhecemos algo sobre a tensão, mas não conhecemos
+
di/dt(0 ).
, e
Vamos lá, em busca da segunda condição inicial, di/dt(0 + ).
Toda vez que eu vejo di/dt isso me faz lembrar a equação
i- v do indutor. Se pudermos descobrir a tensão que passa
pelo indutor, podemos determinar di/dt.
Vamos fazer isso
pelo processo de eliminação.

A Lei de Kirchhoff das Tensões na malha é:
+v − L v − R v = C 0
Visto que i(0 ) =
resistor, v
+
0
, isso significa que a tensão através do
, tem que ser . Também sabemos que a tensão
R 0
no capacitor é v C = V
com estes valores:
v L − 0 − V =
0 0
0
. Vamos preencher a equação LKT
E agora conhecemos a tensão no indutor em t = 0 + :
v = L
V 0
Podemos usar isto para derivar di/dt usando a equação i-v
do indutor.
v
+
di
+
L(0 ) = L (0 )
dt
di
10 = 1 (0
+
)
dt
di
+
(0 ) = 10 A/sec
dt
No instante logo após fechar o interruptor, a corrente na
bobina possui uma taxa de variação inicial de 10 amperes
por segundo.

A
Encontre as constantes e
usando as condições iniciais
A 1 2
Como um lembrete, a nossa solução proposta é:
−t
i = e (A 1 cos 2t + A 2 sen 2t)
e as condições iniciais são:
+
i(0 ) = 0
di
+
(0 ) = 10
dt
Se calcularmos i em t = 0, podemos encontrar uma das
constantes A . Inserir t = 0 e i = 0 na solução proposta:
−0
0 = e (A 1 cos 2 ⋅ 0 + A 2 sen 2 ⋅ 0)
0 = 1 (A 1 cos 0 + A 2 sen 0)
0 = (A ⋅ 1 1 + A ⋅ 2 0)
A = 1 0
A =
1 0
, então o termo cosseno sai da solução. Uma
constante a menos, só falta uma. Nossa solução proposta
agora é:
i = A 2 e −t sen 2t

Vamos então determinar
inicial:
A 2
usando a segunda condição
Precisamos de uma equação para a derivada de i. Onde
podemos descobrir isso? Que tal pegar a derivada da
solução proposta?
di
dt
=
d ( A e −t sen 2t
dt 2 )
A solução proposta é o produto de duas funções, então para
calcular sua derivada, usamos a regra do produto
( fg ) ′ ′
= f g + f g ′
Iden fique as duas partes do produto e suas derivações:
f = A e g =
2 −t sin 2t
f ′ = −A 2 e −t g ′ = 2 cos 2t
Monte as peças de acordo com a regra do produto:
di
dt
di
dt
=
=
−A 2 e −t sen 2t + A 2 e −t 2 cos 2t
A 2 e −t (2 cos 2t − sen 2t)
Podemos avaliar esta expressão em t = 0 + :
10 = A 2e −0 (2 cos 0 − sen 0)
10 = A ⋅ 2 1 ⋅ (2 − 0) = 2A 2

A 2 = 5
Solução para corrente
E finalmente, depois de muito trabalho duro, a solução para
a corrente é:
i = 5e
−t
sen 2t
O gráfico de i como uma função do tempo se parece com
isto:
i (amperes)
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-1,5
-1
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
t (s)
-1
-1,5
-2
-2,5
-3
-3,5
1
A resposta natural de um circuito RLC, R = 2 Ω, L = 1 H, and C = F. As
5
curvas mais claras representam ± 5e −t , as envoltórias da onda senoidal em
decaimento.

Quando o interruptor é fechado, a corrente sofre um grande
impulso posi vo e assume o formato da primeira
concavidade de uma onda senoidal. A onda senoidal
rapidamente desaparece depois de algumas oscilações, pois
a energia do sistema se dissipa rapidamente sob a forma de
calor conforme a carga vai e vem pelo resistor.
O papel da "fricção", neste exemplo, interpretado pelo valor
do resistência, representa uma taxa de dissipação de energia
razoavelmente alta. A corrente visivelmente muda de sinal
somente duas vezes antes de ir a zero.
Este é um exemplo de uma solução sub-amortecida. Vamos
apresentar este termo descri vo na próxima seção.
Resolver as tensões
t = 0 + ,
i = 0 A
i
L
1 henry
+
v L
R 2 ohms
+ vR
−
v C
+
− −
t=0
t = 0 + ,
v C
= 10 V
C
1 farad
5
Há apenas uma corrente no circuito. Agora que sabemos a
resposta natural da corrente, podemos encontrar a resposta
natural das três tensões.
Tensão do resistor
Usamos a Lei de Ohm para encontrar a tensão no resistor:
( há um sinal de − pois i está ao contrário em relação a v )
R

v = R
−i R
v
−t
R = −5e sen 2t ⋅ 2 Ω
v
−t
R = −10e sin 2t
Tensão do indutor
O tensão no indutor surge da equação i- v do indutor:
v = L L
di
dt
d
v L = 1 ⋅ (5e−t
sin 2t)
dt
[mostrar os passos da derivada]
v L = −5e
−t(sin 2t − 2 cos 2t)
Tensão do capacitor
Para encontrar a tensão no capacitor, podemos usar a forma
integral da equação i- v do capacitor: ( mais um outro sinal
de − extra, pois o sen do de i é contrário ao de v )
C
1
v C = ∫ −i dt
C
1
v C = ∫
−t
−5e sin 2t dt
1/5
[mostrar a integração]

v
−t
C = 5e (sin 2t + 2 cos 2t)
Aqui estão todas as três tensões plotadas juntas:
v (volts)
11
10
9
8
−t
v L = −5e (sin 2t − 2 cos 2t)
7
6
−t
v C = +5e (sen 2t + 2 cos 2t)
5
4
3
2
1
-1,5
-1
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
t (s)
-2
-3
-4
-5
−t
v R = −10e sin 2t
[Uma outra maneira de determinar a tensão do capacitor
usando a LKT.]
Resumo
O circuito RLC é o equivalente eletrônico de um pêndulo
oscilante com atrito. O circuito pode ser modelado por essa
equação diferencial linear de 2a-ordem:
2
d i
L +
dt 2
di
R +
dt
1
C
i = 0
A equação caracterís ca resultante é:

s 2 R
+ s +
L
1
LC
=
0
Vamos encontrar as raízes da equação caracterís ca usando
a fórmula quadrá ca:
s =
−R ±
2
R − 4L/C
2L
Subs tuindo as variáveis α e ω escrevemos s de forma um
pouco mais simples:
o
s = −α ±
α2
− ω o 2
onde α =
R e ω o
2L
=
1
LC
Terminamos por resolver um circuito de exemplo cujos
componentes produziram uma corrente (e tensões) que
oscila algumas vezes.
As raízes da equação caracterís ca podem assumir tanto
formas reais quanto complexas, dependendo do dimensão
rela va de α e ω . No próximo ar go, descreveremos estas
três formas em maiores detalhes:
amortecimento supercrí co,
duas exponenciais decrescentes
amortecimento crí co,
exponencial decrescente
amortecimento subcrí co,
de amplitude decrescente
[Aviso de direitos autorais]
o
α = ω
α > ω
0
, que é a soma de
0, que é uma t⋅
α < ω
0
, que é uma senóide

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