Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 73" À zes são instalados indicadores de tração em vez3.25 s ve ' h -• •de torqUtmeuando utilizado em conexões. Se uma porca do par, trospara garantir que um parafuso ten a a traçaoq apertada de tal modo que seis cabeças do indicador,alturas originais eram de 3 mm, forem esma 2gadas aterafuso o r' ' ,cabeça, determine a tensao n hste do parafuso. O wgrama3 deixando uma área de contato de 1,5 mm em cadao," mrn,tensa o-- del'o1·1nação do matenal e mostrado na figura._a-(MPa)d''----'----'-- e(mm/mm)0,30,0015Problema 3.253.6 Coeficiente de PoissonQuando submetido a uma força de tração axial, umcorpo deformável não apenas se alonga, mas tambémse contrai lateralmente. Por exemplo, se esticarmosuma tira de borracha, podemos notar que a espessura,assim como a largura ela tira diminuem. Da mesma forma,uma força de compressão que age sobre um corpoprovoca contração na direção da força e, no entanto,seus lados se expandem lateralmente. Esses dois casossão ilustrados na Figura 3.21 para uma barra com comprimentoe raio originais r e L, respectivamente.Quando a carga P é aplicada à barra, provoca umamudança o no comprimento e o' no raio da barra. Asdeformações na direção longitudinal ou axial e na direçãolateral ou radial são, respectivamente,oEJong = Leo'EJat = rNo início do século XIX, o cientista francês S. D.Poisson percebeu que, dentro da faixa elástica, a razãoentre essas deformações é uma constante, visto que oe o' são proporcionais. Essa constante é denominadacoeficiente de Poisson, v (nu), e seu valor numérico éúnico para um determinado material homogêneo e isotrópico.Em termos matemáticos,EJatv = ---EJong(3.9)Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamentolongitudinal (deformação positiva) provocacontração lateral (deformação negativa) e vice-versa.Observe que essa deformação lateral é a mesma emtodas as direções laterais (ou radiais). Além do mais,ela é causada somente pela força axial ou longitudinal;isto é, nenhuma força ou tensão age em uma direçãolateral de modo a deformar o material nessa direção.O coeficiente de Poisson é adimensional e, para amaioria dos sólidos não-porosos, seu valor encontrase,em geral, entre 1/4 e 1/3. Valores típicos de v para algunsmateriais comuns são apresentados no final destelivro. Um material ideal que não apresente nenhummovimento lateral quando é alongado ou comprimidoterá v = O. Na Seção 10.6 mostraremos que o valormáximo possível para o coeficiente de Poisson é 0,5.Portanto, O ::; v ::; 0,5.Uma barra de aço A-36 tem as dimensões mostradasna Figura 3.22. Se uma força axial P = 80 kN for aplicadaà barra, determine a mudança em seu comprimento e amudança nas dimensões da área de sua seção transversalapós a aplicação da carga. O material comporta-se elasticamente.SOLUÇÃOA tensão normal na barra ép 80(103) Na = - = --:----,-----:------,-- = 16,0(106) Paz A (0,1 m)(O,OS m)Pela tabela apresentada no final deste livro, para o aço A-36,E = 200 GP a e, portanto, a deformação na direção z éaçoFigura 3.21
7 4 RESISTtNCIA DOS MATERIAISP = 80 kN"'Figura 3.22lüü mmzylQ,_)' -Xy(a)ticilvalodt<l['rnalfi nalk (ll iéldo 1pl'l<'Yxy2O alongamento axial da barra é, portanto,RespostaPela Equação 3.9, onde v a ç o = 0,32, dado encontrado em tabelano final deste livro, as deformações ele contração em ambasas direções x e y sãoAssim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são8x = ExL , = -[25,6(10-6)](0,1 m) = -2,56 p,m Resposta8Y = E Y L Y = -[25,6(10-6)](0,05 m) = -1,28 p,m Resposta3.7 O diagrama tensãodeformaçãodedsalhamentoNa Seção 1.5 mostramos que, quando um elementodo material é submetido a cisalhamento puro, o equilíbrioexige que tensões de cisalhamento iguais sejamdesenvolvidas nas quatro faces do elemento. Essas tensõesdevem dirigir-se ou afastar-se de cantos diagonalmenteopostos do elemento (Figura 3.23a).Além disso,se o material for homogéneo e isotrópico, essa tensãode cisalhamento distorcerá o elemento uniformemente(Figura 3.23b ). Como mencionamos na Seção 2.2,a deformação por cisalhamento y mede a distorçãoxyangular do elemento em relação aos lados que se encontravam,originalmente, ao longo dos eixos x e y.O comportamento de um material submetido acisalhamento puro pode ser estudado em laboratóriopor meio de corpos de prova na forma de tubos finossubmetidos a carga de torção. Se o torque aplicado e!!_-'Yxy2(b)Figura 3.23os ângulos de torção resultantes forem medidos, então,pelos métodos que explicaremos no Capítulo 5, os dadospodem ser usados para determinar a tensão de cisalhamentoe a deformação por cisalhamento e para construirum diagrama tensão-deformação de cisalhamento.Um exemplo desse diagrama para um material dúctilé mostrado na Figura 3.24. Como ocorre no ensaio detração, esse material, quando submetido a cisalhamento,exibe comportamento linear elástico e terá um limitede proporcionalidade definido r lp' Também ocorrerá endurecimentopor deformação até que a tensão de cisalhamentomáxima 7111seja atingida. Por fim, o materialcomeçará a perder sua resistência ao cisalhamento atéatingir um ponto no qual sofrerá ruptura, r rup'A maioria dos materiais de engenharia, como o queacabamos de descrever, apresentará comportamentoelástico linear e, portanto, a lei de Hooke para cisalhamentopode ser expressa porTm'TrupT[pGiI'Ylp'YmFigura 3.24- 'Yrup(3.10)pod<;o et; d\11(' iisal hdt' Ilkl11/(ldo 1suhv 11
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7 4 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
P = 80 kN
"'
Figura 3.22
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2
O alongamento axial da barra é, portanto,
Resposta
Pela Equação 3.9, onde v a ç o = 0,32, dado encontrado em tabela
no final deste livro, as deformações ele contração em ambas
as direções x e y são
Assim, as mudanças nas dimensões da seção transversal são
8x = Ex
L , = -[25,6(10-6)](0,1 m) = -2,56 p,m Resposta
8Y = E Y L Y = -[25,6(10-6)](0,05 m) = -1,28 p,m Resposta
3.7 O diagrama tensãodeformação
de
dsalhamento
Na Seção 1.5 mostramos que, quando um elemento
do material é submetido a cisalhamento puro, o equilíbrio
exige que tensões de cisalhamento iguais sejam
desenvolvidas nas quatro faces do elemento. Essas tensões
devem dirigir-se ou afastar-se de cantos diagonalmente
opostos do elemento (Figura 3.23a).Além disso,
se o material for homogéneo e isotrópico, essa tensão
de cisalhamento distorcerá o elemento uniformemente
(Figura 3.23b ). Como mencionamos na Seção 2.2,
a deformação por cisalhamento y mede a distorção
xy
angular do elemento em relação aos lados que se encontravam,
originalmente, ao longo dos eixos x e y.
O comportamento de um material submetido a
cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório
por meio de corpos de prova na forma de tubos finos
submetidos a carga de torção. Se o torque aplicado e
!!_-'Yxy
2
(b)
Figura 3.23
os ângulos de torção resultantes forem medidos, então,
pelos métodos que explicaremos no Capítulo 5, os dados
podem ser usados para determinar a tensão de cisalhamento
e a deformação por cisalhamento e para construir
um diagrama tensão-deformação de cisalhamento.
Um exemplo desse diagrama para um material dúctil
é mostrado na Figura 3.24. Como ocorre no ensaio de
tração, esse material, quando submetido a cisalhamento,
exibe comportamento linear elástico e terá um limite
de proporcionalidade definido r lp' Também ocorrerá endurecimento
por deformação até que a tensão de cisalhamento
máxima 7111
seja atingida. Por fim, o material
começará a perder sua resistência ao cisalhamento até
atingir um ponto no qual sofrerá ruptura, r rup'
A maioria dos materiais de engenharia, como o que
acabamos de descrever, apresentará comportamento
elástico linear e, portanto, a lei de Hooke para cisalhamento
pode ser expressa por
Tm
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Figura 3.24
-
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(3.10)
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