Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS 633.4 Lei de HookeornoC observamos na seção anterior, o diagrama. . . . ddeformação para a mmona dos matenms e entensao-.. · Xl'be uma relação lznear entre tensao e e orgenana ehmaçaod f dentro da região elástica. Por consequencm, umaumen oA•· 1t na tensão provoca um aumento proporcwnana deformação. Esse fato foi escober .to por RoertHooke, em 1676, para molas, e e conec1do como lel deHooke e pode ser expresso matematicamente como(3.5)Nesta expressão, E representa a constante de proporcionalidade,denominada módulo de elasticidadeou módulo de Yo ung, nome que se deve a ThomasYoung, que publicou uma explicação sobre o móduloem 1807.Na realidade, a Equação 3.5 representa a equaçãoda porção inicial em linha reta d ? diarama tesão-:-cteformaçãoaté o limite de proporcwnahdade.Alem d1sso,0 módulo de elasticidade representa a inclinação dessareta. Visto que a deformação é adimensional, pelaEquação 3.5 E terá unidades de tensão como Pascal,MPa ou GPa. Como exemplo, considere o diagramatensão-deformação para o aço mostrado na Figura 3.6.Nesse diagrama (j' = 240 MPa e E1 = 0,0012 mm/mm,' /p pde modo queE = (j' lp =E1P240 GPa= 200 GP a0,0012 mm/mmComo mostra a Figura 3.13, o limite de proporcionalidadepara um tipo particular de aço depende da composiçãode sua liga. Todavia, a maioria dos aços, desde omais mole aço laminado até o mais duro aço-ferramenta,tem o mesmo módulo de elasticidade, geralmenteaceito como E = 200 GPa. Valores comuns de E paraoutros materiais de engenharia são encontrados emaçonormas de engenharia e manuais de referência. Apresentamosalguns valores representativos no final destelivro. Devemos observar que o módulo de elasticidadeé uma propriedade mecânica que indica a rigidez de ummaterial. Materiais muito rígidos, como o aço, têm grandesvalores de E (E o= 200 GPa), ao passo que materiaisesponjosos, coo a borracha vulcanizada, podemter valores mais baixos (Eh = 0,70 MPa).orrO módulo de elasticidade é uma das propriedadesmecânicas mais importantes utilizadas no desenvolvimentode equações apresentadas neste livro. Porém, ésempre bom lembrar que E só pode ser usado se ummaterial tiver comportamento linear elástico. Alémdisso, se a tensão no material for maior que o limiteu (MPa)1.2001.1001.000900800700600500400300200100---aço de mola(1% carbono)aço duro_ (0,6% carbono)tratado a quenteaço para máquina(0,6% carbono)aço estrutural(0,2% carbono)aço mole(0,1% carbono)L___j_ _ __l_ _ _j__-'----'-- E (mm/mm:0,002 0,004 0,006 0,008 0,01Figura 3.13de proporcionalidade, o diagrama tensão-deformaçãodeixa de ser uma linha reta, e a Equação 3.5 deixa deser válida.Endurecimento por deformação.Se um corpode prova de material dúctil, como o aço, for carregadona região plástica e, então, descarregado, a deformaçãoelástica é recuperada à medida que o material volta aseu estado de equilíbrio. Entretanto, a deformação plásticapermanece, e o resultado é que o material fica sujeitoa uma deformação permanente. Por exemplo, umcabo que é encurvado (plasticamente) retomará ( elasticamente)um pouco da forma original quando a cargafor retirada, mas não retornará totalmente à sua posiçãooriginal. Esse comportamento pode ser ilustradono diagrama tensão-deformação mostrado na Figura3.14a. Nesse diagrama, em primeiro lugar, o corpo deprova é carregado além de seu ponto de escoamentoA, até o ponto A'. Uma vez que é preciso vencer forçasinteratômicas para alongar o corpo de prova elasticamente,então essas mesmas forças reunirão os átomosnovamente quando a carga for removida (Figura 3.14a).Por consequência, o módulo de elasticidade, E, é o mesmo,e, portanto, a inclinação da reta O'A' é igual à inclinaçãoda reta OA.Se a carga for reaplicada, os átomos no material serãodeslocados novmnente até ocorrer escoamento àtensão A' ou próximo dela, e o diagrama tensão-deformaçãocontinuará na mesma trajetória de antes (Figura3.14b). Contudo, cabe observar que esse novo diagramatensão-deformação, definido por O'A'B, agora tem umponto de escoamento mais alto, (A'), uma consequênciado endurecimento por deformação. Em outras palavras,o material tem, agora, uma região elástica maior; contudo,tem menos ductilidade e uma região plástica menor doque tinha quando em seu estado original.
64 RESISTNCIA DOS MATERIAISregiãoelásticaregiãoplásticao----'--,o""',-----'---- "I permanete elástica _deformaçaoIrecuperaçao I (a)O(b)O'regiãoelásticaFigura 3.14regiãoplásticao Bhisterese mecânicaNa verdade, certa quantidade de calor ou energiapode ser perdida à medida que o corpo de prova é descarregadodesde A' e novamente carregado até essamesma tensão. O resultado é que as trajetórias A' a 0'e 0' a A' apresentarão leves curvaturas durante umamedição cuidadosa do ciclo de carregamento, mostradaspelas linhas tracejadas na Figura 3.14b. A área internaentre essas curvas representa energia perdida eé denominada histerese mecânica. Ela se torna umaconsideração importante na seleção de materiais queservirão como amortecedores para elementos estruturaisou equipamentos mecânicos vibratórios, emboraseus efeitos não sejam considerados neste livro.3.5 Energia de deformaçãoQuando um material é deformado por uma cargaexterna, tende a armazenar energia internamente emtodo o seu volume. Como essa energia está relacionadacom as deformações no material, ela é denominadaenergia de deformação. Por exemplo, quando um corpoFigura 3.15de prova de ensaio de tração é submetido a uma cargaaxial, um elemento de volume do material é submetidoa uma tensão uniaxial, como mostra a Figura 3.15. Essatensão desenvolve uma força !:::..F = a!:::..A = a(!:::..x l:::.ẏ)nas faces superior e inferior do elemento após ele tersofrido um deslocamento vertical E l:::..z. Por definição,trabalho é determinado pelo produto entre a força eo deslocamento na direção da força. Visto que a forçaaumenta uniformemente de zero até seu valor final8F quando é obtido o deslocamento E !:::..z, o trabalhorealizado pela força sobre o elemento é igual ao valormédio da força (!:::..F/2) vezes o deslocamento E !:::..z. Esse"trabalho externo" é equivalente ao "trabalho interno"ou energia de deformação armazenada no elemento,se considerarmos que nenhuma energia é perdida soba forma de calor. Por consequência, a energia de deformação!:::..U é !:::..U = (1!2!:::..F) E !:::..z = (1/2a !:::..x !:::..y) E!:::..z.Visto que o volume do elemento é !:::.. V = !:::..x !:::..y l:::..z,então !:::..U = 1!2aE!:::.. V.Às vezes, é conveniente formular a energia de deformaçãopor unidade de volume de material, denominadadensidade de energia de deformação, a qual pode serexpressa por!:::..U1= -aEu = --!:::.V 2(3.6)Se o comportamento do material for linear elástico,então a lei de Hooke se aplica, a = EE e, portanto,podemos expressar a densidade de energia de deformaçãoem termos da tensão uniaxial como(3.7)Módulo de resiliência. Em particular, quandoa tensão a atinge o limite de proporcionalidade, adensidade de energia de deformação, como calculadapela Equação 3.6 ou 3.7, é denominada módulo deresiliência, isto é,(3.8)Ls
- Page 28 and 29: TENSÃO 13zzyXXProblema 1.27*1.28.
- Page 30 and 31: TENSÃO 15zIzIrTzzX .. T z y ---yXy
- Page 32 and 33: TENSÃO 17(MR)x = 2-Mx; O = 1 y dF
- Page 34 and 35: TENSÃO 19A peça fundida mostrada
- Page 36 and 37: TENSÃO 21(a)(a)FFTmédv(b)v(c)Figu
- Page 38 and 39: TENSÃO 23A equação 7méd == V I
- Page 40 and 41: TENSÃO 25O elemento inclinado na F
- Page 42 and 43: TENSÃO 27'1.40. O bloco de concret
- Page 44 and 45: TENSÃO 291.55. Os grampos na filei
- Page 46 and 47: TENSÃO 311.70. O guindaste girató
- Page 48 and 49: TENSÃO 33pa(a)apiliiiil-(b)Tensão
- Page 50 and 51: TENSÃO 35prójeto de um elementopa
- Page 52 and 53: TENSÃO 37 2-Fx O; =+ j2-Fy = O;-15
- Page 54 and 55: TENSÃO 39Problema 1.804kN1.81. A j
- Page 56 and 57: TENSÃO 41rkd1 --'P = 150 kN- -d2 =
- Page 58 and 59: TENSÃO 43'1.108. A barra é mantid
- Page 60 and 61: TENSÃO 45+1 112 o parafuso longo p
- Page 62 and 63: ef r maçaOBJETJVOS DO CAPÍTULOEm
- Page 64 and 65: DEFORMAÇÃO 49zos ângulos de cada
- Page 66 and 67: DEFORMAÇÃO 511.----1 m ---1cVisto
- Page 68 and 69: DEFORMAÇÃO 53A i a rígida é sus
- Page 70 and 71: DEFORMAÇÃO 552 • 21. Um cabo fi
- Page 72 and 73: Pro r1e a esecânicas dos materiais
- Page 74 and 75: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 76 and 77: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 80 and 81: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 82 and 83: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 84 and 85: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 86 and 87: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 88 and 89: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 90 and 91: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 92 and 93: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 94 and 95: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 96 and 97: PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIA
- Page 98 and 99: -PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERI
- Page 100 and 101: Carga axialOBJETIVOS DO CAPÍTULOCa
- Page 102 and 103: CARGA AXIAL 87,.--.seDISi·),I.l·o
- Page 104 and 105: CARGA AXIAL 8975 kNlÃB = 75 kN75 k
- Page 106 and 107: CARGA AXIAL 91SOLUÇÃOForça mment
- Page 108 and 109: CARGA AXIAL 93U suporte para tubos
- Page 110 and 111: CARGA AXIAL 95U bola cujas extremid
- Page 112 and 113: CARGA AXIAL 97qne l:iajàuma relaç
- Page 114 and 115: CARGA AXIAL 99BA. • D FIro,2 m 0,
- Page 116 and 117: CARGA AXIAL 1 Ü 1., Escolha um dos
- Page 118 and 119: CARGA AXIAL 1 03D ·8 cabos de aço
- Page 120 and 121: CARGA AXlAL 1 05d IA b rra está pr
- Page 122 and 123: CARGA AXIAL 107"" ma propriedade do
- Page 124 and 125: CARGA AXIAL 1 09nter a consistênci
- Page 126 and 127: CARGA AXIAL 1114.7 Concentrações
64 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
região
elástica
região
plástica
o----'--,o""',-----'---- "
I permanete elástica _
deformaçao
I
recuperaçao I (a)
O
(b)
O'
região
elástica
Figura 3.14
região
plástica
o B
histerese mecânica
Na verdade, certa quantidade de calor ou energia
pode ser perdida à medida que o corpo de prova é descarregado
desde A' e novamente carregado até essa
mesma tensão. O resultado é que as trajetórias A' a 0'
e 0' a A' apresentarão leves curvaturas durante uma
medição cuidadosa do ciclo de carregamento, mostradas
pelas linhas tracejadas na Figura 3.14b. A área interna
entre essas curvas representa energia perdida e
é denominada histerese mecânica. Ela se torna uma
consideração importante na seleção de materiais que
servirão como amortecedores para elementos estruturais
ou equipamentos mecânicos vibratórios, embora
seus efeitos não sejam considerados neste livro.
3.5 Energia de deformação
Quando um material é deformado por uma carga
externa, tende a armazenar energia internamente em
todo o seu volume. Como essa energia está relacionada
com as deformações no material, ela é denominada
energia de deformação. Por exemplo, quando um corpo
Figura 3.15
de prova de ensaio de tração é submetido a uma carga
axial, um elemento de volume do material é submetido
a uma tensão uniaxial, como mostra a Figura 3.15. Essa
tensão desenvolve uma força !:::..F = a!:::..A = a(!:::..x l:::.ẏ)
nas faces superior e inferior do elemento após ele ter
sofrido um deslocamento vertical E l:::..z. Por definição,
trabalho é determinado pelo produto entre a força e
o deslocamento na direção da força. Visto que a força
aumenta uniformemente de zero até seu valor final
8F quando é obtido o deslocamento E !:::..z, o trabalho
realizado pela força sobre o elemento é igual ao valor
médio da força (!:::..F/2) vezes o deslocamento E !:::..z. Esse
"trabalho externo" é equivalente ao "trabalho interno"
ou energia de deformação armazenada no elemento,
se considerarmos que nenhuma energia é perdida sob
a forma de calor. Por consequência, a energia de deformação
!:::..U é !:::..U = (1!2!:::..F) E !:::..z = (1/2a !:::..x !:::..y) E
!:::..z.Visto que o volume do elemento é !:::.. V = !:::..x !:::..y l:::..z,
então !:::..U = 1!2aE!:::.. V.
Às vezes, é conveniente formular a energia de deformação
por unidade de volume de material, denominada
densidade de energia de deformação, a qual pode ser
expressa por
!:::..U
1
= -aE
u = --
!:::.V 2
(3.6)
Se o comportamento do material for linear elástico,
então a lei de Hooke se aplica, a = EE e, portanto,
podemos expressar a densidade de energia de deformação
em termos da tensão uniaxial como
(3.7)
Módulo de resiliência. Em particular, quando
a tensão a atinge o limite de proporcionalidade, a
densidade de energia de deformação, como calculada
pela Equação 3.6 ou 3.7, é denominada módulo de
resiliência, isto é,
(3.8)
L
s