Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

576 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
epl = 57,1 o e ep2 = -32,9°
Os momentos principais de inércia em relação aos eixos x '
e y ' são determinados pela Equação A.l2. Por consequência,
2,90(109) + 5,60(109)
2
Figma A.15
Observe também que as equações deduzidas nesta
seção são semelhantes àquelas para a transformação
de tensão e deformação desenvolvidas nos capítulos 9
e 10, respectivamente. O exemplo a seguir ilustra sua
aplicação.
Determine os momentos principais de inércia para a área
da seção transversal da viga mostrada na Figura A.l6 cm relação
a um eixo que passa pelo centroide C.
y'
y
x'
ep! = 57,1°
f2a=t=r=-x
400 mm
-j r lOO mm
600 mm --l
Figura A.16
SOLUÇÃO
Os momentos e o produto de inércia da seção transversal
em relação aos eixos x, y foram calculados nos exemplos
A.3 e A.4. Os resultados são
I, = 2,90(109)mm4 I" = 5,60(109)mm4 I, 1 = -3,00(109)mm4
A Equação A.ll nos dá os ângulos de inclinação dos
eixos principais x ' e y'
tg 21Jp = (1, - Iy)/2
21Jp1 = 114,2°
Logo, como mostra a Figura A.16,
ou
I m áx = 7,54(109)mm4
Resposta
Especificamente, o momento de inércia max1mo,
Imáx = 7,54(109)mm4, ocorre em relação ao eixo x' (eixo
maior) já que, por inspeção, grande parte da área da seção
transversal encontra-se na posição mais afastada desse eixo.
Provamos isso substituindo os dados na primeira Equação
AlO por e= 57,1 °.
5 Círculo Mohr para
momentos de inércia
As equações A. lO a A.12 têm uma solução gráfica
que é conveniente usar e, de modo geral, fácil de lembrar.
Elevando ao quadrado a primeira e a terceira das
Equações A.10 e somando, temos como resultado
( I, + Iy)2
2 (I, - Iy)2
I,· - +
2
2
I,'y ' + I =
2 ,y (A.l3)
Em qualquer problema dado, I ,
. e I ,
,. são variáveis e
I,, IY e I,Y são constantes conhecidas. Assim, a Equação
A.13 pode ser escrita em forma compacta como
(I,, - a)2 + I,./ = R2
A representação gráfica dessa equação é um círculo
de raio
R=
( Ix - 1v) 2 2
2
+ I,y
cujo centro está localizado no ponto (a, 0), onde a =
(I ,
+ I)/2. O círculo construído dessa maneira é denominado
círculo de Mohr. Sua aplicação assemelha-se à
usada para as transformações de tensão e deformação
desenvolvidas nos capítulos 9 e 10, respectivamente.