Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 575
y'
y
Observe que, se somarmos a primeira e a segunda
equações, veremos que o momento polar de inércia em
torno do eixo z que passa pelo ponto O é independente
da orientação dos eixos x' e y', isto é,
10 = I", + I,. = I" + I Y
Figura A.14
I" Y
são conhecidos. Como mostra a Figura A.14, as coordenadas
para o elemento de área dA em relação aos
dois sistemas de coordenadas estão relacionadas pelas
equações de transformação
x' = x cos 8 + y sen 8
y' = y cos e - x sen e
Por essas equações, os momentos e produto de
inércia de dA em torno dos eixos x' e y' tornam-se
dix' = y' 2 dA = (y cos e - X sen e? dA
diy' = x'2 dA = (x cos 8 + ysen e)2 dA
dix'y' = x'y' dA
= (x cos e + y sen e)(y cos e - x sen e) d
Expandindo cada expressão e integrando, e percebendo
que I" = f y2 dA, I Y
= J x2 dA e I" Y
= J xy dA,
obtemos
I , = I cos2 e + I sen2 e
X X )' X)'
I , = I sen2 e + I cos2 e + 2I
) ' X )' A)'
2I sen e cos e
sen e cos e
I<'
y
' =I" sen e cos e - I Y
sen e cos e + I,/ cos2 e - sen2 e)
Essas equações podem ser simplificadas por meio
das identidades trigonométricas sen 2e = 2 sen e cos e
e cos 2e = cos2 e - sen2 e, o que dá como resultado
r1: + I y I, Iy
Ix' = + --
2 2
-- cos 2e - Ixy sen 2e
l, + Iy
I /
=
-2-
Ix'y' = 2
Ix - Iy
cos 2e + Ixy sen 2e
2
(A. lO)
Ix - Iy
sen 2e + Ixy cos 2e
Momentos principais inércia. AEquação
A.lü mostra que I,., I , v
e I<'y' dependem do ângulo de
inclinação, e, dos eixos x' ,y'. Agora, determinaremos a
orientação desses eixos em torno dos quais os momentos
de inércia da área, I,, e I", são máximos e mínimos.
Esse conjunto particular de -eixos é denominado eixos
principais de inércia para a área, e os momentos de
inércia correspondentes em relação a esses eixos são
denominados momentos principais de inércia. Em geral,
há um conjunto de eixos principais para cada origem
escolhida O; todavia, normalmente o centroide da
área é a localização mais importante para O.
o ângulo e = ep, que define a orientação dos eixos
principais para a área, pode ser determinado diferenciando
a primeira Equação A. lO em relação a e e igualando
o resultado a zero. Assim,
dix' (I, - Iy)
de = -2
2
Portanto, em e = e ,
p
sen 2e - 2lxy cos 2e = (
- Ix y
tg 2e p
= ----=---­
Ux - Iy)/2
(A.ll)
Essa equação tem duas raízes, eP1 e e p z ' separadas
por um ângulo de 90° e, portanto, especificam a inclinação
de cada eixo principal.
O seno e o cosseno de 2e P 1 e 2eP2 podem ser obtidos
pelos triângulos mostrados na Figura A.15, que se
baseiam na Equação A.ll. Substituindo essas relações
trigonométricas na primeira ou na segunda Equação
A. lO e simplificando, o resultado é
Jm:íx ==
mín
1, + Iy
2 ±
(Ix - Iy)2
2
+ Ixy (A12)
Dependendo do sinal escolhido, esse resultado dá o
momento de inércia máximo ou mínimo da área. Além
do mais, se substituirmos tais relações trigonométricas
p o
l • p2 ,
d d · , · 1 - ·
para e e e na terceira Equação A.lO, veremos que
I< 'y'
= ; Isto e, o pro uto e mercw em re açao aos eTxos
principais equivale a zero. Visto que na Seção A.3
indicamos que o produto de inércia é igual a zero em
relação a qualquer eixo simétrico, decorre, por consequência,
que qualquer eixo simétrico representa wn
eixo principal de inércia para a área.
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