Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

574 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
= r x ' y ' dA + d, r y ' dA
JA JA
O primeiro termo à direita representa o p_!oduto de
inércia da área em relação ao eixo centroide I,. v·· Os segundo
e terceiro termos equivalem a zero, já que os momentos
da área são considerados em torno do eixo centroide.
Como sabemos que a quarta integral representa
a área total A, temos, portanto, como resultado final
(A.9)
Deve-se notar a similaridade entre essa equação e o
teorema dos eixos paralelos para momentos de inércia.
Em particular, é importante que os sinais algébricos para
d, e d Y sejam mantidos quando da aplicação da Equação
A.9. Como ilustrado no exemplo a seguir, o teorema dos
eixos paralelos encontra importante aplicação na determinação
do produto de inércia de uma área composta
em relação a um conjunto de eixos x, y.
do teorema dos eixos paralelos a cada um dos retângulos
dá como resultado
Retângulo A:
lxy = fx'y' + Ad,dy
=O+ (300 mm)(100 mm)( -250 mm)(200 mm)
= -1,50(109) mm4
Retângulo 8:
Retângulo D:
lxy = l.r'y' + Adxdy
=0+0
=O
lxy = Jx'y' + Adxdy
= O + (300 mm)(100 mm)(250 mm)( -200 mm)
= -1,50(109) mm4
Logo, o produto de inércia para a seção transversal inteira
é
I,y = [-1,50(109)) +O+ [-1,50(109)]
= -3,00(109) mm4 Resposta
Determine o produto de inércia da área da seção transversal
da viga mostrada na Figura A.13a em torno dos eixos
centroides x e y.
SOLUÇÃO
Como no exemplo A.3, a seção transversal pode ser
considerada como três áreas retangulares compostas, A, B
e D (Figura A.13b ). As coordenadas para os centroides de
cada um desses retângulos são mostradas na figura. Devido
à simetria, o produto de inércia de cada retângulo é igual
zero em torno de um conjunto de eixos x ' , y ' que passam
pelo centroide do retângulo. Por consequência, a aplicação
Momentos de inércia para
uma área em torno de
eixos inclinados
Em projeto mecânico ou estrutural, às vezes é necessário
calcular os momentos e produtos de inércia I,.,
I i
e I,' y
' para uma área em relação a um conjunto de
eixos x ' e y ' inclinados quando os valores de e, I,, I Y
e
OOmm 1
400mm
---1
I
lOOmm li
y
-x
400mm
_l
,J-
l---600mm
___,-
lOOmm
(a)
Figma A.13
(b)