Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 573
algumas aplicações de projeto mecânico ou estrutural,
necessita-se saber a orientação desses eixos que dão, respectivamente,
os momentos de inércia máximo e mínimo
da área. A Seção A.4 discute o método para determinar
isso. Todavia, para utilizá-lo, em primeiro lugar deve-se
calcular o produto de inércia para a área, bem como seus
momentos de inércia para os eixos x, y dados.
O produto de inércia para o elemento diferencial
dA na Figura A.9, que está localizado no ponto (x, y ), é
definido como di, Y
= xy dA. Dessa forma, para a área
inteira A, o produto de inércia é
(A.S)
( dA
y
-=1
---'----+-------+ Y ____---?-- X
\ d A " __l::-
Figura A.lO
y
-y
Corno ocorre para o momento de inércia, as unidades
de comprimento do produto de inércia são elevadas
à quarta potência, por exemplo, m4, mm\ pé\ pol4•
Entretanto, visto que x ou y podem representar uma
quantidade negativa, ao passo que o elemento de área
é sempre positivo, o produto de inércia pode ser positivo,
negativo ou zero, dependendo da localização e
orientação dos eixos coordenados. Por exemplo, o produto
de inércia I, Y para uma área será zero se o eixo x
ou o eixo y, for um eixo de simetria para a área. Para
mostrar isso, considere a área sombreada na Figura
A.lü, na qual, para cada elemento dA localizado no
ponto (x, y), há um elemento de área correspondente
dA localizado em (x, -y). Visto que os produtos de
inércia para esses elementos são, respectivamente, xy
dA e -xy dA, quando da soma algébrica ou da integração
de todos os elementos de área escolhidos desse
modo, eles se cancelarão mutuamente. Por consequência,
o produto de inércia para a área total torna-se
zero. Além disso, decorre da definição de I," que o 'sinal
' dessa quantidade depende do quadrante no qual
a área está localizada. Como mostra a Figura A.ll, o
sinal de l, Y mudará à medida que a área girar de um
quadrante para outro.
Figum A.ll
Teorema dos eixos paralelos. Considere a
área sombreada mostrada na Figura A.l2, na qual x'
e y' representam um conjunto de eixos centroides e x
e y representam um conjunto correspondente de eixos
paralelos. Considerando que o produto de inércia de
dA em relação aos eixos x e y é di, Y
= (x' + dx)(y' +
dy)dA, para a área inteira,
Ixy = 1 (x' + d,:)(y' + dy) dA
y
y
y'
L-------- x
Figura A.9
r
---!----!----+'--- x'
dy
l L___--:--- X
Figura A.12