Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE UMA ÁREA 569
Áreas compostas. Muitas vezes, uma área pode
ser secionada ou dividida em várias partes com formas
mais simples. Contanto que a área e a localização do
centroide de cada uma dessas 'formas compostas' sejam
conhecidas, podemos eliminar a necessidade de
integração para determinar o centroide da área inteira.
Nesse caso, devem ser usadas equações análogas à
Equação A.l, porém substituindo as integrais por sinais
de somatório finito; isto é,
X = .2:A
- .2::XA
.2:yA
y = .2:A
(A.2)
Nessas expressões matemáticas, x e y representam
as distâncias algébricas ou coordenadas x, y do centraide
de cada parte composta, e :kA representa a soma
das áreas das partes compostas ou, simplesmente, a
área total. Em particular, se um furo ou uma região
geométrica onde não exista nenhum material estiver
localizado no interior de uma parte composta, o furo
será considerado uma parte composta adicional com
área negativa. Além disso, como já discutimos, se a área
total for simétrica em torno de um eixo, o centroide da
área encontra-se no eixo.
O exemplo a seguir ilustra a aplicação da Equação
A.2.
3 cm
-
c-
l I
t
2cm
(a)
1'-r- c
lO cm
L__
H
2cm
(b)
I
lY
-1,5 cm
-S em
I
Localize o centroide C da área da seção transversal da
viga T mostrada na Figura A.4a.
SOLUÇÃO I
O eixo y está localizado ao longo do eixo de simetria, de
modo que x = O (Figura A.4a). Para obter y, definiremos o
eixo x (eixo de referência) passando pela base da área, que
é segmentada em dois retângulos como mostra a figura, e
a localização y do centroide é definida para cada um deles.
Aplicando a Equação A.2, temos
y - -
--
_ _ 2:yA _ [5
2:A
cm](10 cm)(2 cm) + [11,5 cm](3 cm)(8 cm)
(10 cm)(2 cm) + (3 cm)(8 cm)
= 8,55 cm Resposta
SOLUÇÃO 1 1
Usando os mesmos dois segmentos, o eixo x pode ser
localizado na parte superior da área, como mostra a Figura
A.4b. Nesse caso,
_ _ 2:yA _ [-1,5 cm](3 cm)(8 cm) + [-8 cm](10 cm)(2 cm)
y - 2:A - (3 cm)(8 cm) + (10 cm)(2 cm)
= -4,45 cm
(c)
Figma A.4
O sinal negativo indica que C está localizado abaixo da
origem, o que era previsível. Observe também que, pelas
duas respostas, 8,55 cm + 4,45 cm = 13,0 cm, que também é
a profundidade da viga.
SOLUÇÃO III
Pode-se também considerar que a área da seção transversal
é um único retângulo grande menos dois retângulos
pequenos (Figura A.4c). Então, teremos