Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

Mt:TODOS DE ENERGIA 559
Equação 14.16, Ui = f\[2 U2AE. Substituindo essa equação
na Equação 14.47 e omitindo o índice i, temos
Geralmente é mais fácil efetuar a diferenciação antes
do somatório. Além disso, L, A e E são constantes
para um dado elemento de treliça e, portanto, podemos
escrever
=
P =
L
N(aN)
aP AE
Nessa expressão,
deslocamento da articulação da treliça
(14.48)
força externa de intensidade variável aplicada a
uma articulação de treliça na direção de
N = força axial interna em um elemento provocada
por ambas, a força P e as cargas sobre a treliça
L = comprimento de um elemento
A = área da seção transversal de um elemento
módulo de elasticidade do material
E =
Para determinar a derivada parcial aN/aP, será necessário
tratar P como uma vmiável, e não como uma quantidade
numérica específica. Em outras palavras, cada força
axial interna N deve ser expressa em função de P.
Por comparação, a Equação 14.48 assemelha-se à
usada para o método do trabalho virtual (Equação
14.39) (1 'ZnNLIAE), exceto que n é substituída
· =
por aN/aP. Contudo, esse termos, n e aN/aP, serão os
mesmos, visto que representam a taxa de variação da
força axial interna em relação à carga P ou, em outras
palavras, a força axial por carga unitária.
Determine o deslocamento horizontal da articulação C
da treliça de aço mostrada na Figura 14.40a. A área da seção
transversal de cada elemento é indicada na figura. Considere
Eaç o
= 210(103)N/mm2•
SOLUÇÃO
externa P. Visto que o deslocamento horizontal de
C deve ser determinado, uma força horizontal variável P é
aplicada à articulação C (Figura 14.40b). Mais adiante essa
força será igualada ao valor fixo de 40 kN.
Forças internas N. Usando o método dos nós, determinamos
a força N em cada elemento. Os resultados são mostrados
na Figura 14.40b. Arranjando os dados em forma tabular,
temos
Membro
---------
N
aN
aP
----------------
N(P = 40 kN) L N(_jL
AB 4.000 BC o o o 3.000 o
AC l,67P 1,67 66,67( 103) 5.000 556,7(106)
CD 1,33P 1,33 53,33(103) 4.000 283,7(106)
Segundo teorema de Castigliano. Aplicando a Equação
14.48, obtemos
ll
- 2-N( a N ) J=_
c " - a P AE
= 0 + 0 +
+
556,7(106) N.m
(625 mm2)(210(103) N/mm2] ]
283,7(103) N·m
(1.250mm 2 )[ 210(103)N/mm2 ]
= 4,24 + 1,08 + 5,32 mm Resposta
O seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para determinar o deslocmnento de qualquer
articulação em uma treliça aplicando-se o segundo teorema de Castigliano.
Força externa P
" Coloque uma força P sobre a treliça na articulação onde o deslocamento deve ser determinado. Considera-se que
essa força tem intensidade variável e deve ser orientada ao longo da linha de ação do deslocamento.
Forças internas N
" Determine a força Nem cada elemento, provocada por ambas, as cargas reais (numéricas) e a força variável P. Considere
que as forças de tração são positivas e as de compressão, negativas.
" Determine a derivada parcial íJN/aP respectiva para cada elemento.
" Depois que N e aN/íJP foram determinadas, atribua a P seu valor numérico, se ela realmente substituiu uma força
real na treliça. Senão, iguale P a zero.
Segundo teorema de Castigliano
"Aplique o teorema de Castigliano para determinar o deslocamento desejado . É importante conservar os sinaís
algébricos para os valores correspondentes de N e aN/íJP quando substítuinnos esses termos na equação.
Se a soma resultante 2-N(oN/aP)L/AE for positiva, está na mesma direção de P. Se resultar um valor negativo,
está na direção contrária à de P.