Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

558 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
*1 8 no
ln 1879, Alberto Castigliano, um engenheiro de ferrovias
italiano, publicou um livro no qual descrevia um
método para determinar o deslocamento e a inclinação
em um ponto em um corpo. Esse método, denominado
segundo teorema de Castigliano, aplica-se somente a
corpos que tenham temperatura constante e cujo material
tenha comportamento linear elástico. Se o deslocamento
em um ponto tiver de ser determinado, o teorema
afirma que o deslocamento é igual à derivada parcial
de primeira ordem da energia de deformação no corpo
em relação a uma força que age no ponto e na direção
do deslocamento. De modo semelhante, a inclinação da
tangente em um ponto em um corpo é igual à derivada
parcial de primeira ordem da energia de deformação no
corpo com relação a um momento que age no ponto e
na direção do ângulo da inclinação.
Para deduzir o segundo teorema de Castigliano, considere
um corpo de forma arbitrária, que é submetido a
uma série de n forças, Pl' P 2 , ..., P "
(Figura 14.39). Visto
que o trabalho externo realizado por essas forças equivale
à energia de deformação interna armazenada no
cmpo, podemos aplicar a conservação de energia, isto é,
U=V
1 e
Todavia, o trabalho externo é função das cargas externas,
U e = 2-f P dx (Equação 14.1 ), portanto o trabalho
interno também é função das cargas externas. Assim,
(14.44)
Agora, se qualquer uma das forças externas, digamos
P i' aumentar de uma quantidade diferencial dP , o
trabalho interno também aumentará, de modo tal que
a energia de deformação torna-se
au.
V· + dU· = V· + -
' dP
1 1 1
ap. ]
p"
\
I
_.-- Pl
(14.45)
Entretanto, esse valor não deve depender da sequência
na qual as n forças são aplicadas ao corpo. Por exemplo,
poderíamos aplicar primeiro dP i
ao corpo, então
aplicar as cargas P P P 2 , ... ,P "
. Nesse caso,dP i provocaria 0
deslocamento do corpo por uma quantidade diferencial
dfli na direção de dPr Pela Equação 14.2, (U e = +Pfl),
o incremento de energia de deformação seria +dPd6. .
Todavia, essa quantidade é uma diferencial ele segJnd
ordem e pode ser desprezada. A aplicação adicional das
cargas P 1 , P 2 , ... , P "
faz com que dP i
desloque-se de fl p de
modo que a energia de deformação torna-se
(14.46)
Aqui, como acima, V; é a energia ele deformação
interna no corpo, provocada pelas cargas P I '
P 2 , ... , P "
e
dU = dP fl. é a energia de deformação adicional prol
I I
vocacla por dP ..
I
Resumindo, a Equação 14.45 representa a energia
ele deformação no corpo determinada pela aplicação
em primeiro lugar das cargas P 1 , P 2 , ... , Pn, e a seguir
dP i ; a Equação 14.46 representa a energia de deformação
determinada aplicando-se em primeiro lugar dP.
e a seguir as cargas P 1 , P 2 , ... , P "
. Visto que essas dua
equações devem ser iguais, exige-se
fl. = aU;
I aP-
'
(14.47)
o que prova o teorema; isto é, o deslocamento fl na
direção de P i é igual à derivada parcial de primeir ordem
ela energia de deformação em relação a P .
I
Devemos observar que a Equação 14.47 é uma declaração
referente aos requisitos de compatibilidade do
corpo, visto que é uma condição relacionada com deslocamento.
Além disso, a dedução acima exige que somente
forças conservativas sejam consideradas para a análise.
Essas forças podem ser aplicadas em qualquer ordem e,
além disso, realizam trabalho que é independente do caminho
e, portanto, não criam nenhuma perda de energia.
Como o material tem comportamento linear elástico, as
forças aplicadas serão conservativas e o teorema é válido.
Devemos mencionar também que o primeiro teorema ele
Castigliano assemelha-se ao segundo; todavia, relaciona
a carga P i com a derivada parcial da energia de deformação
em relação ao deslocamento correspondente, isto é,
P = a V I afl .A prova é semelhante à dada acima. Esse te-
' l I
orema constitui outro modo de expressar os requisitos de
equilíbrio para o corpo; contudo, sua aplicação é limitada
e não o discutiremos aqui.
Figum 14.39
ap
a
li ano
Visto que um elemento de treliça está sujeito a
uma carga axial, a energia de deformação é dada pela