Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

MÉTODOS DE ENERGIA 551
14.85. Determine o deslocamento vertical da articulação C.
Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal de
2.800 mm2•
14.86. Determine o deslocamento vertical da articulação
H. Cada elemento de aço A-36 tem área de seção transversal
de 2.800 mm2•
30 kN 40 kN 30 kN
Problemas 14.85/86
*1 Método das forças
virtuais aplicado a vigas
Nesta seção, aplicaremos o método das forças virtuais
para determinar o deslocamento e a inclinação em
um ponto sobre uma viga. Para ilustrar os princípios, o
deslocamento Ll do ponto A sobre a viga mostrada na
Figura 14.34b será determinado. Esse deslocamento é
provocado pela 'carga distribuída real' w e, visto que
essa carga provoca cisalhamento e também momento
no interior da viga, na verdade teremos de considerar
o trabalho virtual interno decorrente de ambas as
cargas. No Exemplo 14.7, entretanto, mostramos que
deflexões em vigas provocadas por cisalhamento são
desprezíveis em comparação com as provocadas por
flexão, em particular se a viga for comprida e esbelta.
Como esse tipo de viga é muito usado na prática, consideraremos
somente a energia de deformação virtual
decorrente de flexão (Tabela 14.1). Portanto, aplicando
a Equação 14.36, a equação do trabalho virtual é
1· Ll =
lo· L
m M d x
EI
(14.42)
Nessa expressão,
1 carga virtual externa unitária que age sobre a
viga na direção de ó.
Ll
agem sobre a viga
m
deslocamento provocado pelas cargas reais que
momento virtual interno na viga, expresso em
função de x e provocado pela carga virtual externa
unitária
M = momento interno na viga, expresso em função
de x e provocado pelas cargas reais
E módulo de elasticidade do material
I momento de inércia da área da seção transversal,
calculado em torno do eixo neutro
De modo semelhante, se tivermos que determinar
a inclinação e da tangente em um ponto sobre a linha
elástica da viga, um momento virtual unitário deve ser
aplicado ao ponto, e o momento virtual interno correspondente
m0 tem de ser determinado. Se aplicarmos a
Equação 14.37 para esse caso e desprezarmos o efeito
de deformações por cisalhamento, temos
1 L m0M
1·e = --dx
EI (14.43)
Observe que a formulação das equações acima
decorre naturalmente do desenvolvimento na Seção
14.5. Por exemplo, a carga virtual externa unitária cria
um momento virtual interno m na viga na posição x
(Figura 14.34a). Quando a carga real w é aplicada, ela
provoca uma deformação dx ou uma rotação por um
ângulo de no elemento em x (Figura 14.34b ). Contanto
que o material responda elasticamente, então de é
igual a (MIEI)dx. Por consequência, o trabalho virtual
1\'
A
v
·
111
x dx
r
Carga virtuais
(a)
1
Figma 14.34
v
x dx
rF=!:,d=:b=:b:f!il t M
R
Cargas reais
(b)