Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
MtTODOS DE ENERGIA 521dx__L_Figma 14.4cisalhamento nessas faces não realizam nenhum trabalho.Por consequência, a energia de deformação armazenadano elemento éou1dUi =2 [r(dx dy)]y dzNa próxima seção, usaremos as equações 14.8 e14.11 para obter expressões formais para a energiade deformação armazenada em elementos estruturaissubmetidos a vários tipos de carga. Isso feito, poderemosdesenvolver os métodos de energia necessáriospara determinar o deslocamento e a inclinação empontos sobre um corpo.Te nsão multiaxial. O desenvolvimento anteriorpode ser ampliado para determinar a energia de deformaçãoem um corpo quando ele é submetido a umestado geral de tensão (Figura 14.5a). As energias dedeformação associadas a cada componente da tensãonormal e da tensão de cisalhamento podem ser obtidaspelas equações 14.6 e 14.9. Como a energia é umescalar, a energia total de deformação no corpo é, portanto,1dU· = -ry dV12(14.9)onde dV = dx dy dz é o volume do elemento.Integrando sobre todo o volume do corpo para obtera energia de deformação armazenada no corpo, temoslryU· = -dV1v 2(14.10)Como ocorreu no caso da tensão normal, a energia dedeformação por cisalhamento é sempre positiva, vistoque r e y estão sempre na mesma direção. Se o materialfor linear elástico, aplicando-se a lei de Hooke, y =r/G, podemos expressar a energia de deformação emtermos da tensão de cisalhamento comol l l , ] (14 12)+ 2TxyYxy + 2 T y zY yz + 2Txzrxz dV ·As tensões podem ser eliminadas usando-se a formageneralizada da lei de Hooke dada pelas equações10.18 e 10.19. Após substituir e reunir termos, temos:(14.11)+ 2 ( rx/ + r y / + rx/)] dV (14.13)(a)Figma 14.5(b)
522 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISSe somente as tensões principais o-1, o- 2 e o-3 agiremsobre o elemento (Figura 14.5b ), essa equação é reduzidaa uma forma mais simples, a saber,ui = ![_!_ ( a- 12 + a-2 2 + a-3 2)J v 2E- (a-1a- 2+ a-2 a-3 + a-w3) ] d v (14.14)Lembre-se de que usamos essa equação na Seção 10.7como base para desenvolver a teoria da energia de distorçãomáxima.1 2 Energia de deformaçãoelástica ra vários tiposc aUsando as equações para energia de deformaçãoelástica desenvolvidas na seção anterior, formularemosagora a energia de deformação armazenada emum elemento estrutural quando submetido a cargaaxial, momento fletor, cisalhamento transversal e momentode torção. Daremos exemplos para mostrarcomo calcular a energia de deformação em elementosestruturais submetidos a cada uma dessas cargas.Carga axial. Considere uma barra de seção transversalvariável ligeiramente cónica, que é submetidaa uma carga axial que coincide com o eixo centroicleda barra (Figura 14.6). A força axial interna em umaseção localizada à distância x de uma extremidade éN. Se a área da seção transversal nessa seção for A,então a tensão normal na seção é o- = N/A.Aplicandoa Equação 14.8, temos1 0"x2 1 N2U· ' = -dV = -dVv 2E v 2EA2Se escolhermos um elemento ou uma lâmina diferencialcom volume dV =A dx, a fórmula geral para aenergia de deformação na barra será, portanto,NFigura 14.6------ LFigura 14.7Por essa equação, podemos ver que a energia dedeformação elástica da barra aumentará se o comprimentoda barra aumentar, ou se o módulo de elasticidadeou a área da seção transversal diminuir. Por exemplo,uma haste de alumínio [Ea1 = 70 GPa] armazenaráaproximadamente três vezes a quantidade de energiaarmazenada por uma haste de aço [E aço = 200 G Pa] quetenha o mesmo tamanho e seja submetida à mesmacarga. Por outro lado, dobrar a área da seção transversalde uma determinada haste reduzirá à metade suacapacidade de armazenar energia. Os seguintes exemplosilustram esse ponto numericamente.Um dos dois parafusos de aço de alta resistência A e Bmostrados na Figura 14.8 deve ser escolhido para suportaruma carga de tração repentina. Para escolher, é necessáriodeterminar a maior quantidade de energia de deformaçãoelástica que cada parafuso pode absorver. O parafuso A temdiâmetro de 20 mm por 50 mm de comprimento e diâmetrode rosca (ou menor diâmetro) de 18 mm dentro da regiãorosqueada de 6 mm. O parafuso B tem roscas 'recalcadas',de modo tal que o diâmetro em todo o seu comprimentoNAB(14.15)Para o caso mais comum de uma barra prismáticade área de seção transversal constante A, comprimentoL e carga axial constante N (Figura 14.7), Equação14.15, quando integrada, dáCN2Ll(14.16)1---118mmFigura 14.8
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522 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Se somente as tensões principais o-1, o- 2 e o-3 agirem
sobre o elemento (Figura 14.5b ), essa equação é reduzida
a uma forma mais simples, a saber,
ui = ![_!_ ( a- 12 + a-2 2 + a-3 2)
J v 2E
- (a-1a- 2
+ a-2 a-3 + a-w3) ] d v (14.14)
Lembre-se de que usamos essa equação na Seção 10.7
como base para desenvolver a teoria da energia de distorção
máxima.
1 2 Energia de deformação
elástica ra vários tipos
c a
Usando as equações para energia de deformação
elástica desenvolvidas na seção anterior, formularemos
agora a energia de deformação armazenada em
um elemento estrutural quando submetido a carga
axial, momento fletor, cisalhamento transversal e momento
de torção. Daremos exemplos para mostrar
como calcular a energia de deformação em elementos
estruturais submetidos a cada uma dessas cargas.
Carga axial. Considere uma barra de seção transversal
variável ligeiramente cónica, que é submetida
a uma carga axial que coincide com o eixo centroicle
da barra (Figura 14.6). A força axial interna em uma
seção localizada à distância x de uma extremidade é
N. Se a área da seção transversal nessa seção for A,
então a tensão normal na seção é o- = N/A.Aplicando
a Equação 14.8, temos
1 0"x2 1 N2
U· ' = -dV = -dV
v 2E v 2EA2
Se escolhermos um elemento ou uma lâmina diferencial
com volume dV =A dx, a fórmula geral para a
energia de deformação na barra será, portanto,
N
Figura 14.6
------ L
Figura 14.7
Por essa equação, podemos ver que a energia de
deformação elástica da barra aumentará se o comprimento
da barra aumentar, ou se o módulo de elasticidade
ou a área da seção transversal diminuir. Por exemplo,
uma haste de alumínio [Ea1 = 70 GPa] armazenará
aproximadamente três vezes a quantidade de energia
armazenada por uma haste de aço [E aç
o = 200 G Pa] que
tenha o mesmo tamanho e seja submetida à mesma
carga. Por outro lado, dobrar a área da seção transversal
de uma determinada haste reduzirá à metade sua
capacidade de armazenar energia. Os seguintes exemplos
ilustram esse ponto numericamente.
Um dos dois parafusos de aço de alta resistência A e B
mostrados na Figura 14.8 deve ser escolhido para suportar
uma carga de tração repentina. Para escolher, é necessário
determinar a maior quantidade de energia de deformação
elástica que cada parafuso pode absorver. O parafuso A tem
diâmetro de 20 mm por 50 mm de comprimento e diâmetro
de rosca (ou menor diâmetro) de 18 mm dentro da região
rosqueada de 6 mm. O parafuso B tem roscas 'recalcadas',
de modo tal que o diâmetro em todo o seu comprimento
N
A
B
(14.15)
Para o caso mais comum de uma barra prismática
de área de seção transversal constante A, comprimento
L e carga axial constante N (Figura 14.7), Equação
14.15, quando integrada, dá
CN2Ll
(14.16)
1---1
18mm
Figura 14.8