Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
496 RESISTÊNCI.II, DOS MATERIAISSOLUÇÃOO cálculo das propriedades geométricas necessárias nos dáI. = _l_ (50 mm)(150 mm)3 = 14,06 X 106 mm4.<12A = (50 mm)(150 mm) = 7.500 mm4r =14,06 X1-'-------c--106 mm4= 43,30 mmX7.500mm2e=25mmKL =-1(4,5 mm)(l.OOO)- 4.500 mmKL= 4.500 mm = 10443,30 mmVisto que as curvas na Figura 13.18 foram definidas paraE aço = 200(103) MPa e cre = 250 MPa, podemos usá-las paradeterminar o valor de PIA e, dessa forma, evitar uma soluçãopor tentativa e erro da fórmula da secante. Aqui, KL!r ,= 104.Usando a curva definida pelo índice de excentricidade ec/12 =(25 mm)(75 mm)/(43,30 mm)2 = 1, obtemosP =r,.p- "'83 MPaA(83 MPa)(7.500 mm2) = 622.500 N = 622,5 kN RespostaPodemos verificar esse valor mostrando que ele satisfaz afórmula da secante (Equação 13.19):CTmáx = [ 1 + : sec( . fiE)]250 622,5(10 3) NJo [1 + (1) sec[ 4.500 mm7.500 mm2 (2)43,3 mm250 Jo 83[1 + sec(1,0586 rad)]250 Jo 83[1 + sec 60,65°]250 "' 252,3A deflexão máxima ocorre no centro da coluna, ondeCT máx = 250 MPa. Aplicando a Equação 13.16, temosv .= e[sec( fP ) - 1]max ')E! 2[ [= 25 mm sec= 25 mm[sec 1,0586 rad - 1]= 25 mm[ sec 60,65° - 1]622,5(103 ) N -200(103) N/mm2 X 14,06 X 1006rnm4= 26,0 mm RespostaA coluna de aço W200 x 59 A-36 mostrada na Figura13.20a está engastada na base e escorada no topo de modoque não pode deslocar-se, mas está livre para girar em tornodo eixo y-y . Além disso, ela pode oscilar para o ladono plano y-z. Determine a carga excêntrica máxima que acoluna pode suportar antes de começar a fiambar ou antesde o aço sofrer escoamento.SOLUÇÃOPelas condições de apoio, vemos que, em torno do eixo y-y,a coluna comporta-se como se estivesse presa por pinos notopo e engastada na base e sujeita a uma carga axial P (Figura13.20b ). Em torno do eixo x-x, a coluna está livre no topo,engastada na parte inferior e sujeita uma carga axial P e aomomento M = P(200 mm) (Figura 13.20c).XpzppX2,8 m4m4m(b) Flambagem no eixo y-yFigma 13.20eixo x-x
FLAMBAGEM DE COLUNAS 497Flambagem no eixo y-y. Pela Figura 13.12d, o fator de0,7(4 m)= 2,8 m = 2.800 mm. Pelá tabela no Apêndice B determinamosIY para a seção W200 x 59 e aplicando a Equação 13.11,temoscomprimento efetivo é K, = 0,7, portanto (KL\ =Tr2 El y7r2[200(103) N/mm2](20,4)(106) mm4)(P cr )y = (KL), = (2.800mm)2= 513.647 N = 5.136 kNEscoamento no eixo x-x. Pela Figura 13.12b, K, = 2,portanto (KL), = 2(4 m) = 8 m = 8.000 mm. Usando novamentea tabela no Apêndice B para determinar A = 7.580cm2, c = 210 mm/2 = 105 mm, e r, = 89,9 mm, e aplicando afórmula da secante, temosouP,[ ((KL)xfux )]u = - 1 + -sec --- --e A 1} 2r, EA250 = -[ PY 1 +200 X 105sec( ---8.000 PY-7.580 89,92 2(89,9) 200(103) . 7.5801,895 X 106 = P,[1 + 2,598 sec(1,143 X 10-3 JP: )]Resolvendo para P, por tentativa e erro e observando que oargumento para sec está em radianos, obtemosP, = 419.368 N = 419,4 kN RespostaComo esse valor é menor do que (P" ) = 5.136 kN, ocorreráfalha em torno do eixo x-x. Além disso, u = 419,4 x 103N/7.580 mm2 = 55,3 MPa < O' e = 250 MPa.J J*1 3 Flambagem inelásticaNa prática da engenharia, em geral as colunas sãoclassificadas de acordo com o tipo de tensão desenvolvidaem seu interior no momento da falha. Colunascompridas e esbeltas se tornarão instáveis quandoa tensão de compressão permanecer elástica. A falhaque ocorre é denominada instabilidade elástica. Colunasintermediárias falham devido a instabilidade inelástica,o que significa que a tensão de compressão nafalha é maior do que o limite de proporcionalidadedo material. E as colunas curtas, às vezes denominadaspostes, não se tornam instáveis; mais exatamente, omaterial simplesmente escoa ou sofre ruptura.A aplicação da equação de Euler exige que a tensãona coluna permaneça abaixo do limite de escoamentodo material (na verdade, o limite de proporcionalidade)quando a coluna sofre ftambagem e, por isso, a equaçãoaplica-se somente às colunas compridas. Todavia, naprática, a maioria das colunas selecionadas tem comprimentointermediário. O comportamento dessas colunaspode ser estudado modificando-se a equação de Eulerde modo que ela possa ser aplicada à ftambagem inelástica.Para mostrar como isso pode ser feito, considereque o material tem diagrama tensão-deformação comoo mostrado na Figura 13.21a. Aqui, o limite de proporcionalidadeé u1 Pe o módulo de elasticidade, ou inclinaçãoda reta AB, é E. Uma representação gráfica dahipérbole de Euler (Figura 13.8), é mostrada na Figura13.2lb. Essa equação é válida para uma coluna que tenhaum índice de esbeltez tão pequeno quanto (KL!r), P,visto que, nesse ponto, a tensão axial na coluna torna-se(}'cr = 0'/ p '(J'D(J'/ pD E,HB Ó.E(KL)r 1KLrA <:--- E(a)InelásticaColunas de comprimentocurto e intermediário(b)ElásticaColunas longasFigura 13.21
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496 RESISTÊNCI.II, DOS MATERIAIS
SOLUÇÃO
O cálculo das propriedades geométricas necessárias nos dá
I. = _l_ (50 mm)(150 mm)3 = 14,06 X 106 mm4
.<
12
A = (50 mm)(150 mm) = 7.500 mm4
r =
14,06 X
1-'-------c--
106 mm4
= 43,30 mm
X
7.500mm2
e=25mm
KL =-1(4,5 mm)(l.OOO)- 4.500 mm
KL
= 4.500 mm = 104
43,30 mm
Visto que as curvas na Figura 13.18 foram definidas para
E aço = 200(103) MPa e cre = 250 MPa, podemos usá-las para
determinar o valor de PIA e, dessa forma, evitar uma solução
por tentativa e erro da fórmula da secante. Aqui, KL!r ,
= 104.
Usando a curva definida pelo índice de excentricidade ec/12 =
(25 mm)(75 mm)/(43,30 mm)2 = 1, obtemos
P =
r,
.
p
- "'83 MPa
A
(83 MPa)(7.500 mm2) = 622.500 N = 622,5 kN Resposta
Podemos verificar esse valor mostrando que ele satisfaz a
fórmula da secante (Equação 13.19):
CTmáx = [ 1 + : sec( . fiE)]
250 622,5(10 3) N
Jo [1 + (1) sec[ 4.500 mm
7.500 mm2 (2)43,3 mm
250 Jo 83[1 + sec(1,0586 rad)]
250 Jo 83[1 + sec 60,65°]
250 "' 252,3
A deflexão máxima ocorre no centro da coluna, onde
CT máx = 250 MPa. Aplicando a Equação 13.16, temos
v .
= e[sec( fP ) - 1]
max ')E! 2
[ [
= 25 mm sec
= 25 mm[sec 1,0586 rad - 1]
= 25 mm[ sec 60,65° - 1]
622,5(103 ) N -
200(103) N/mm2 X 14,06 X 1006rnm4
= 26,0 mm Resposta
A coluna de aço W200 x 59 A-36 mostrada na Figura
13.20a está engastada na base e escorada no topo de modo
que não pode deslocar-se, mas está livre para girar em torno
do eixo y-y . Além disso, ela pode oscilar para o lado
no plano y-z. Determine a carga excêntrica máxima que a
coluna pode suportar antes de começar a fiambar ou antes
de o aço sofrer escoamento.
SOLUÇÃO
Pelas condições de apoio, vemos que, em torno do eixo y-y,
a coluna comporta-se como se estivesse presa por pinos no
topo e engastada na base e sujeita a uma carga axial P (Figura
13.20b ). Em torno do eixo x-x, a coluna está livre no topo,
engastada na parte inferior e sujeita uma carga axial P e ao
momento M = P(200 mm) (Figura 13.20c).
X
p
z
p
p
X
2,8 m
4m
4m
(b) Flambagem no eixo y-y
Figma 13.20
eixo x-x
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