Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

FLAMBAGEM DE COLUNAS 493
(a)
t M' = Pe
.---r=-- v
L
(c)
X
Figura 13.15
\
f\
w
· 1/
.J
I
p
I
X
(b)
Para avaliar as constantes, temos de aplicar as condições
de contorno. Em X = O, v = O, portanto c2 = e.
Em x = L, v = O, resulta
e[1 - cos(VP[iii L)]
cl = -------===---=c-----
senCIPjifJ L)
Visto que 1-cos(vPjEiL) =2 sen2(VPjEiL/2) e
sen(VP[iii L) =2 sen(VPJEi L/2) cos (VijEi L/2),
temos
I
Observe que, se e tender a zero, então v máx tende a zero.
Todavia, se os termos entre colchetes tenderem a infinito
quando e tender a zero, então v m a . x terá um valor
não nulo. Em termos matemáticos, isso representaria
o comportamento de uma coluna com carga axial no
momento da falha quando sujeita à carga crítica Per"
Portanto, para determinar Per' é preciso que
sec
(
'-/Eil jP;; )
L = oo
Jij = ;
7r2EI
Per = -- 2
-
L
(13.17)
que é o mesmo resultado obtido com a fórmula de Euler
(Equação 13.5).
Se representarmos a Equação 13.16 em gráfico
como a carga P em relação à deflexão vmáx para vários
valores de excentricidade e, o resultado será a família
de curvas cinza mostradas na Figura 13.16. Aqui a carga
crítica torna-se uma assíntota às curvas e, é claro, representa
o caso irreal de uma coluna ideal (e = 0). Como
já dissemos, e nunca é igual a zero devido às imperfeições
na retidão inicial da coluna e na aplicação da
carga; todavia, à medida que e O, as curvas tendem a
aproximar-se do caso ideal. Além disso, essas são adequadas
somente para pequenas deflexões, visto que a
curvatura foi aproximada por d2v/dx2, quando desenvolvemos
a Equação 13.16. Se tivéssemos realizado
uma análise mais exata, todas essas curvas tenderiam
a curvar-se para cima interceptando e, em seguida, ultrapassando
a reta P = Per" É claro que isso indica que
é necessária uma carga P maior para criar deflexões
maiores na coluna. Entretanto, não consideramos essa
análise aqui, visto que na maioria das vezes o próprio
projeto de engenharia restringe a deflexão de colunas
a pequenos valores.
Por consequência, a curva de deflexão (Equação
13.14) pode ser expressa como
(13.15)
Deflexão máxima. Devido à simetria da carga,
ambas, deflexão máxima e tensão máxima, ocorrem no
ponto médio da coluna. Portanto, quando x = L/2, v =
v máx e, por isso,
v .
max
= e[sec( fP L )
_
1]
\j ]jj 2
(13.16)
p
rr1P é alcançado
e = 0 Coluna ideal
(pequenas
deflexões)
Comportamento
inelástico
L--- Vmáx
Figura 13.16