Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
484 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISp+Extremidades presas por pinosIK = l l(a)p[[LDi JI= 2LII II II II II II II II II II II II II II II II II II II \\ \\\\\\.)Uma extremidade engastadae a outra livreIK= 2 1(b)\ \Figura 13.12p+= 0,5LExtremidades engastadasIK = o,sl(c)p+Extremidades engastadase presas por pinos!K = 0,7j(d)Outros tipos de coluna apoiada são analisadas demaneira muito semelhante e não as estudaremos detalhadamenteaqui.* Em vez disso, tabularemos os resultadospara os tipos mais comuns de apoio de coluna emostraremos como aplicar esses resultados escrevendoa fórmula de Euler em uma forma geral.Comprimento efetivo. Como já dissemos, afórmula de Euler (Equação 13.5) foi desenvolvidapara o caso de uma coluna com extremidades presaspor pinos ou livres para girar. Em outras palavras, Lna equação representa a distância sem apoio entre ospontos de momento nulo. Se a coluna for apoiada deoutros modos, então a fórmula de Euler poderá serusada para determinar a carga crítica, desde que 'L'represente a distância entre pontos de momento nulo.Essa distância é denominada comprimento efetivo dacoluna, Le. É óbvio que para uma coluna presa porpinos nas extremidades como mostra a Figura 13.12a,L =L. No caso da coluna com uma extremidade engstadae a outra livre que já analisamos, constatouseque a curva de deflexão é metade da curva parauma coluna acoplada por pinos com comprimento 2L(Figura 13.12b). Desse modo, o comprimento efetivoentre os pontos de momento nulo é L e = 2L. A Figura13.12 mostra também exemplos para duas outras colunascom apoios diferentes nas extremidades. Aquela' Veja os problemas 13.43, 13.44 e 13.45.presa nas extremidades (Figura 13.12c) tem pontosde inflexão ou pontos de momento nulo à distânciaL/4 de cada apoio. Portanto, o comprimento efetivoé representado pela metade central de seu comprimento,isto é, Le = 0,5L. Por fim, a coluna com umaextremidade presa por pino e a outra engastada (Figura13.12d) tem um ponto de inflexão a aproximadamente0,7 L de sua extremidade presa por pino, demodo que L e = 0,7 L.Em vez de especificar o comprimento efetivo dacoluna, muitos códigos e manuais de projeto dão fórmulasde colunas que empregam um coeficiente adimensionalK denominadofator de comprimento efetivo.K é definido porL e =KL(13.10)A Figura 13.12 também apresenta valores específicosde K. Com base nessa generalidade, podemos expressara fórmula de Euler comooupcr7T2EI=--(KL)27TzEO" r c=--(KL/r)2(13.11)(13.12)
FLAMBAGEM DE COLUNAS 485Nessa expressão, (KL!r) é o índice de esbeltez efetivoda coluna. Por exemplo, observe que para a colunaengastada na base e livre na extremidade, temos K =2 e, portanto, a Equação 13.11 dá o mesmo resultadoque a Equação 13.9.Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8 m de comprimento eascapacidadeextremidades engastadas como mostra a Figura 13.13a. Suatorno do eixode carga é aumentada pelas escoras de reforço emy-y (fraco). Consideramos que essas escoras estãoacopladasDetermine a cargapor pinosque anocolunapontopodemédiosuportarda alturasemdaflambageme semcoluna.Considere Eque o material ultrapasse a tensão de escoamento.aç o= 200 GPa e ue = 410 MPa.Flambagem no eixo x-x(b)SOLUÇÃOpFigura 13.13XFlambagem no eixo y-y(c)O comportamento de ftambagem da coluna será diferente emtomo dos eixos x e ymas da flambagem paraporcadacausa das escoras de reforço. As forum desses casos são mostradas nasfiguras 13.13b e 1313c. Pela Figura 13.13b, o comprimento efetivopara flambagem em torno do eixo x-x é (KL), = 0,5(8 m) =4 me, pela Figura 13.13c, para flambagem em torno do eixo y-y,(KL\. = 0,7(8 m/2) = 2,8 m. Os momentos de inércia para umperfil W150 x 24 são determinados pela tabela no Apêndice B.Temos I, = 13,4 x 106mm4, IY 1,83 = x 106 mm4•Aplicando a Equação 13.11, obtemos( P c r)x = 7r2EI = 7r2[200(10 6) kN/m2]13,4(100-6)m4(KL)x (4 m)2= 1.653,2kN= 460,8 kNPor comparação, a flambagem ocorrerá torno do eixo y-y.A área da seção transversal é 3.060 mm2; portanto, a tensãode compressão média na coluna será= Pe r=460,8(103) N/_CT c r? - 150,6 N mmA 3.060mm-Visto que essa tensão é menor do que a tensão de escoamento,a flambagem ocorrerá antes do escoamento do material.Assim,2P = 461 kNRespostaçrOBSERVAÇÃO: Pela Equação 13.12 podemos ver que aflambagem sempre ocorrerá em torno do eixo da coluna quetenha o maior índice de esbeltez, visto que um grande índicede esbeltez resultará em pequena tensão crítica. Assim, utilizandoos dados para o raio de giração dados pela tabela noApêndice B, temos4 m(l.OOO mm/m)= 60 4 66,2 mm '( KL) =2,8 m(l.OOO mm/m) = 114,3r 24,5 mmYPor consequência, ocorrerá flambagem no eixo y-y, que éa mesma conclusão a que chegamos comparando as equações1 e 2.A coluna de alumínio está presa na base e seu topo estáancorado por cabos de modo a impedir que o topo movimente-seao longo do eixo x (Figura 13.14a). Se considerarmosque ela está fixa na base, determine a maior cargaadmissível P que pode ser aplicada. Use um fator desegurança para flambagem FS = 3,0. ConsidereGPa,Ea1 70 =ue = 215 MPa, A = 7,5(10-3)m2, I, = 61,3(10-6)m4,IY 23,2(10 -6)m4•=
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484 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
+
Extremidades presas por pinos
IK = l l
(a)
p
[[
L
Di J
I
= 2L
I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I I
I \
\ \
\
\
\
\
\
.)
Uma extremidade engastada
e a outra livre
IK= 2 1
(b)
\ \
Figura 13.12
p
+
= 0,5L
Extremidades engastadas
IK = o,sl
(c)
p
+
Extremidades engastadas
e presas por pinos
!K = 0,7j
(d)
Outros tipos de coluna apoiada são analisadas de
maneira muito semelhante e não as estudaremos detalhadamente
aqui.* Em vez disso, tabularemos os resultados
para os tipos mais comuns de apoio de coluna e
mostraremos como aplicar esses resultados escrevendo
a fórmula de Euler em uma forma geral.
Comprimento efetivo. Como já dissemos, a
fórmula de Euler (Equação 13.5) foi desenvolvida
para o caso de uma coluna com extremidades presas
por pinos ou livres para girar. Em outras palavras, L
na equação representa a distância sem apoio entre os
pontos de momento nulo. Se a coluna for apoiada de
outros modos, então a fórmula de Euler poderá ser
usada para determinar a carga crítica, desde que 'L'
represente a distância entre pontos de momento nulo.
Essa distância é denominada comprimento efetivo da
coluna, Le. É óbvio que para uma coluna presa por
pinos nas extremidades como mostra a Figura 13.12a,
L =L. No caso da coluna com uma extremidade engstada
e a outra livre que já analisamos, constatouse
que a curva de deflexão é metade da curva para
uma coluna acoplada por pinos com comprimento 2L
(Figura 13.12b). Desse modo, o comprimento efetivo
entre os pontos de momento nulo é L e = 2L. A Figura
13.12 mostra também exemplos para duas outras colunas
com apoios diferentes nas extremidades. Aquela
' Veja os problemas 13.43, 13.44 e 13.45.
presa nas extremidades (Figura 13.12c) tem pontos
de inflexão ou pontos de momento nulo à distância
L/4 de cada apoio. Portanto, o comprimento efetivo
é representado pela metade central de seu comprimento,
isto é, Le = 0,5L. Por fim, a coluna com uma
extremidade presa por pino e a outra engastada (Figura
13.12d) tem um ponto de inflexão a aproximadamente
0,7 L de sua extremidade presa por pino, de
modo que L e = 0,7 L.
Em vez de especificar o comprimento efetivo da
coluna, muitos códigos e manuais de projeto dão fórmulas
de colunas que empregam um coeficiente adimensional
K denominadofator de comprimento efetivo.
K é definido por
L e =KL
(13.10)
A Figura 13.12 também apresenta valores específicos
de K. Com base nessa generalidade, podemos expressar
a fórmula de Euler como
ou
p
cr
7T2EI
=--
(KL)2
7TzE
O" r c
=
--
(KL/r)2
(13.11)
(13.12)
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