Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISEssa é uma equação diferencial linear homogênea desegunda ordem com coeficientes constantes. Podemosmostrar, pelo método das equações diferenciais oupor substituição direta na Equação 13.2, que a soluçãogeral éAs duas constantes de integração são determinadaspelas condições de contorno nas extremidades dacoluna. Visto que v = o em X = O, então c2 = O. E,considerando v = O em x = L,Essa equação é satisfeita se C1 = O; porém, v = O, oque é uma solução trivial que exige que a coluna permaneçasempre reta, ainda que a carga faça com que acoluna torne-se instável. A outra possibilidade éque é satisfeita seoun21r2EIP =L2L =mrn = 1, 2, 3, ... (13.4)O menor valor de P é obtido quando n = 1, demodo que a carga crítica para a coluna é, portanto,Essa carga às vezes é denominada carga de EuleT;nome que se deve ao matemático suíço LeonhardEuler que foi o primeiro a resolver esse problema em1757. A forma flambada correspondente é definidapela equação1TJv = c1 sen LNessa expressão, a constante C1 representa a deflexãomáxima vrn áx ' que ocorre no ponto médio da coluna(Figura 13.5c.) Não é possível obter valores específicospara Cl' uma vez que a forma defletida exata da colunaé desconhecida após a flambagem. Porém, consideramosque essa deflexão seja pequena.Entenda que n na Equação 13.4 representa o númerode ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo,se n = 2, então, pelas equações 13.3 e 13.4, aparecerãoduas ondas na forma flambada (Figura 13.5c), e a colunasuportará uma carga crítica de 4Pc, imediatamenteantes da flambagem. Visto que esse valor é quatrovezes a carga crítica e a forma defletida é instável, naprática, essa forma de flambagem não existirá.Como ocorreu com o mecanismo de duas barrasdiscutido na Seção 13.1, podemos representar as característicasda deflexão provocada por uma carga nacoluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 13.6. Oponto de bifurcação representa o estado de equilíbrioneutro, ponto em que a carga crítica age sobre a coluna.Aqui, a coluna está na iminência da flambagem.Devemos observar que a carga crítica é independenteda resistência do material; mais exatamente, eladepende somente das dimensões da coluna (I e L)e da rigidez ou do módulo de elasticidade do material,E. Por essa razão, no que diz respeito à flambagemelástica, colunas feitas, por exemplo, de aço dealta resistência, não oferecem nenhuma vantagemem relação às feitas de aço de resistência mais baixa,uma vez que o módulo de elasticidade para ambosos materiais é aproximadamente o mesmo. Observetambém que a capacidade de carga de uma colunaaumentará à medida que o momento de inércia daseção transversal aumentar. Assim, colunas eficientessão projetadas de modo que a maior parte da área daseção transversal da coluna esteja localizada o maislonge possível dos eixos principais do centroide daseção. É por isso que as seções ocas como tubos sãomais eficientes do que as maciças. Além do mais, asseções de abas largas e colunas 'construídas' com perfisem U, cantoneiras, placas etc. são melhores do queas maciças e retangulares.\ EquilíbrioinstávelEquilíbrio_)neutroEquilíbrioestável,p/Ponto de bifurcação7r2EIf L '-----"'--'-----'------- voFigura 13.6
FLAMBAGEM DE COLUNAS 481p380a250 f----;Aço estrutural(cre = 250 MPa)100Figura 13.7Também é importante entender que uma colunasofrerá fiambagem em torno do eixo principal da seçãotransversal que tenha o menor momento de inércia (oeixo menos resistente). Por exemplo, uma coluna deseção transversal retangular, como uma barra de medição,mostrada na Figura 13.7, sofrerá fiambagem emtorno do eixo a-a e não do eixo b-b. O resultado é queos engenheiros normalmente tentam conseguir umequilíbrio mantendo os mesmos momentos de inérciaem todas as direções. Então, em termos geométricos,tubos dariam excelentes colunas. Além disso, tubosquadrados ou formas para as quais I = I r Ytambémconstituem formas constantemente selecionadas paracolunas.Resumindo a discussão, a equação da fiambagempara uma coluna comprida e esbelta apoiada por pinospode ser rescrita, e os termos definidos da seguintemaneira:onde(13.5)P = carga crítica ou carga axial máxima na colunac rimediatamente antes do início da fiambagem.Essa carga não deve bastar para que a tensão nacoluna exceda o limite de proporcionalidadeE = módulo de elasticidade para o materialI = menor momento de inércia para a área da seçãotransversal da colunaL =comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidadesestejam presas por pinosPara a finalidade de projeto, a Equação 13.5também pode ser escrita de uma forma mais útil, seexpressarmos I = Ar2, onde A é a área da seção transversale r o raio de giração da área da seção transversal.Assim,ouNessa expressão,(}"Figura 13.8cr1T2E= ---:-(L/r? (13.6)O" cr = tensão crítica, que é uma tensão média na coluna imediatamente antes da fiambagem. Essaé uma tensão elástica e, portanto, O"cr :::; O" cE = módulo de elasticidade para o materialL = comprimento da coluna sem apoio, cujas extremidadesestejam presas por pinosr = menor raio de giração da coluna, determinadopor r = vYiÃ, onde I é o menor momentode inércia da área da scção transversal dacoluna, AA relação geométrica L/r na Equação 13.6 é conhecidacomo índice de esbeltez. É uma medida da flexibilidadeda coluna e, como discutiremos mais adiante,serve para classificar colunas como compridas, intermediáriasou curtas.É possível representar a Equação 13.6 em gráficousando eixos que representam a tensão crítica em relaçãoao índice de esbeltez. Exemplos desse gráfico para colunasfeitas de uma liga comum de aço estrutural e alumíniosão mostrados na Figura 13.8. Observe que as curvassão hiperbólicas e válidas somente para tensões críticasabaixo do limite de escoamento do material (limite deproporcionalidade), visto que o material deve se comportarelasticamente. Para o aço, a tensão de escoamento
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480 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de
segunda ordem com coeficientes constantes. Podemos
mostrar, pelo método das equações diferenciais ou
por substituição direta na Equação 13.2, que a solução
geral é
As duas constantes de integração são determinadas
pelas condições de contorno nas extremidades da
coluna. Visto que v = o em X = O, então c2 = O. E,
considerando v = O em x = L,
Essa equação é satisfeita se C1 = O; porém, v = O, o
que é uma solução trivial que exige que a coluna permaneça
sempre reta, ainda que a carga faça com que a
coluna torne-se instável. A outra possibilidade é
que é satisfeita se
ou
n21r2EI
P =
L2
L =mr
n = 1, 2, 3, ... (13.4)
O menor valor de P é obtido quando n = 1, de
modo que a carga crítica para a coluna é, portanto,
Essa carga às vezes é denominada carga de EuleT;
nome que se deve ao matemático suíço Leonhard
Euler que foi o primeiro a resolver esse problema em
1757. A forma flambada correspondente é definida
pela equação
1TJ
v = c1 sen L
Nessa expressão, a constante C1 representa a deflexão
máxima vrn áx ' que ocorre no ponto médio da coluna
(Figura 13.5c.) Não é possível obter valores específicos
para Cl' uma vez que a forma defletida exata da coluna
é desconhecida após a flambagem. Porém, consideramos
que essa deflexão seja pequena.
Entenda que n na Equação 13.4 representa o número
de ondas na forma defletida da coluna. Por exemplo,
se n = 2, então, pelas equações 13.3 e 13.4, aparecerão
duas ondas na forma flambada (Figura 13.5c), e a coluna
suportará uma carga crítica de 4Pc, imediatamente
antes da flambagem. Visto que esse valor é quatro
vezes a carga crítica e a forma defletida é instável, na
prática, essa forma de flambagem não existirá.
Como ocorreu com o mecanismo de duas barras
discutido na Seção 13.1, podemos representar as características
da deflexão provocada por uma carga na
coluna ideal pelo gráfico mostrado na Figura 13.6. O
ponto de bifurcação representa o estado de equilíbrio
neutro, ponto em que a carga crítica age sobre a coluna.
Aqui, a coluna está na iminência da flambagem.
Devemos observar que a carga crítica é independente
da resistência do material; mais exatamente, ela
depende somente das dimensões da coluna (I e L)
e da rigidez ou do módulo de elasticidade do material,
E. Por essa razão, no que diz respeito à flambagem
elástica, colunas feitas, por exemplo, de aço de
alta resistência, não oferecem nenhuma vantagem
em relação às feitas de aço de resistência mais baixa,
uma vez que o módulo de elasticidade para ambos
os materiais é aproximadamente o mesmo. Observe
também que a capacidade de carga de uma coluna
aumentará à medida que o momento de inércia da
seção transversal aumentar. Assim, colunas eficientes
são projetadas de modo que a maior parte da área da
seção transversal da coluna esteja localizada o mais
longe possível dos eixos principais do centroide da
seção. É por isso que as seções ocas como tubos são
mais eficientes do que as maciças. Além do mais, as
seções de abas largas e colunas 'construídas' com perfis
em U, cantoneiras, placas etc. são melhores do que
as maciças e retangulares.
\ Equilíbrio
instável
Equilíbrio_)
neutro
Equilíbrio
estável
,
p
/Ponto de bifurcação
7r2EI
f L '
-----"'--'-----'------- v
o
Figura 13.6