Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
462 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS13 kNt.. · A4kN/mI I I I i58 kN·m :--2m 114kN/m8kNI I I lt .A8kN·m '--2m +30 kN·m5kNt20 kN·m' A•-2m ---IA+30 kN·m5kN2m30 kN·m5kNiI4m ISuperposição de carregamentos(a)Figura 12.39M(kN·m)-58M(kN·m)-8M(kN·m)2 4x (m), - 10-40112 4x (m)I+2 4JOI------+--------+1 - x (m)-+M(kN·m)-mi2 4r-------------1 x (m)Superposição de diagramas de momentoI(b)Diagrama de momentos construído pelométodo da superposição. Visto que a aplicaçãodos teoremas dos momentos de área requer ocálculo da área sob o diagrama MIEI e da localizaçãodo centroide dessa área, muitas vezes é convenienteusar diagramas MIEI separados para cada uma dascargas conhecidas e redundantes, em vez de utilizar odiagrama resultante para calcular essas quantidadesgeométricas. Isso se aplica especialmente ao caso emque o diagrama de momento resultante apresente umaforma complicada. O método para traçar o diagramade momento em partes baseia-se no princípio da superposição.A maioria das cargas em vigas ou eixos será umacombinação das quatro cargas mostradas na Figura12.38. A construção dos diagramas de momento associados,também mostrada nessa figura, foi discutidanos exemplos do Capítulo 6. Com base nesses resultados,mostraremos agora como usar o método da superposiçãopara representar o diagrama de momentoresultante para a viga em balanço mostrada na Figura12.39a por uma série de diagramas de momento separados.Para tal, em primeiro lugar substituiremos ascargas por um sistema de cargas estaticamente equivalentes.Por exemplo, as três vigas em balanço mostradasna Figura 12.39a são estaticamente equivalentesà viga resultante, visto que a carga em cada ponto sobrea viga resultante é igual à superposição ou adiçãodas cargas sobre as três vigas separadas. Na verdade,a reação ao cisalhamento na extremidade A é 13 kNquando se somam as reações nas vigas separadas. Damesma maneira, o momento interno em qualquer pontosobre a viga resultante é igual à soma dos momentosinternos em qualquer ponto sobre as vigas separadas.Assim, se representarmos os diagramas de momentopara cada viga separada (Figura 12.39b ), a superposiçãodesses diagramas dará o diagrama de momentopara a viga resultante, mostrado na parte superior dafigura. Por exemplo, pelos resultados de cada um dosdiagramas de momento separados, temos que o momentona extremidade A é M A = -8kN·m - 30 kN·m- 20 kN·m = -58 kN·m, como verificado no diagramade momento na parte superior da figura. Esse exemplodemonstra que às vezes é mais fácil construir uma sériede diagramas de momento estaticamente equivalentesseparados para a viga, em vez de construir seu diagramade momento resultante mais complicado. É óbvioque a área e a localização do centroide para cada partesão mais fáceis de determinar do que as do centroidepara o diagrama resultante.
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 4635kN/m20 kN·mi I I I I I I I I IpokN·mI • J#\4,12m115kN/mi I I I I I I I I I l''\' JIT\ú/ I12m"""'("'"(IIM(kN·m)70I-20 6 -20Diagrama de momento resultanteM(kN·m)1190I126 12x (mx (m+M(kN·m)+20 kN·m12 m-206 12-f-- x (m+12mSuperposição de carregamentos(a)20 kN·m+M(kN·m)I6 12I I x (m-20Superposição de diagramas de momento(b)Figma 12.40De forma semelhante, também podemos representaro diagrama de momento resultante para uma vigasimplesmente apoiada utilizando uma superposiçãode diagramas de momento para uma série de vigassimplesmente apoiadas. Por exemplo, a carga na vigamostrada na parte superior da Figura 12.40a equivaleà soma das cargas nas vigas mostradas abaixo dela. Porconsequência, podemos usar a soma dos diagramas demomento para cada uma dessas três cargas em vez dodiagrama de momento resultante mostrado na partesuperior da Figura 12.40b. Para completo entendimento,esses resultados devem ser verificados.Os exemplos a seguir também devem esclarecer algunsdesses pontos e ilustrar como usar o teorema demomentos de área para obter as reações redundantesem vigas e eixos estaticamente indeterminados. As soluçõesseguem o procedimento para análise descritona Seção 12.4.A viga está sujeita à carga concentrada mostrada naFigura 12.41a. Determine as reações nos apoios. EI é constante.SOLUÇÃODiagrama MIEI. O diagrama de corpo livre é mostrado naFigura 12.41b. Usando o método da superposição, os diagramasMIEI separados para a reação redundante B Ye para acarga lP são mostrados na Figura 12.4lc.linha elástica. A curva da linha elástica para a viga é mostradana Figura 12.4ld. As tangentes nos apoios A e B foramtraçadas. Visto que D.8 = O, temosfEIA = 0Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema2, temos
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462 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
13 kN
t
.. · A
4kN/m
I I I I i
58 kN·m :--2m 11
4kN/m
8kN
I I I l
t .A
8kN·m '--2m +
30 kN·m
5kN
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20 kN·m
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•-2m ---I
A
+
30 kN·m
5kN
2m
30 kN·m
5kN
i
I
4m I
Superposição de carregamentos
(a)
Figura 12.39
M(kN·m)
-58
M(kN·m)
-8
M(kN·m)
2 4
x (m)
, - 10
-40
11
2 4
x (m)
I
+
2 4
JOI
------+--------+1 - x (m)
-
+
M(kN·m)
-mi
2 4
r-------------1 x (m)
Superposição de diagramas de momento
I
(b)
Diagrama de momentos construído pelo
método da superposição. Visto que a aplicação
dos teoremas dos momentos de área requer o
cálculo da área sob o diagrama MIEI e da localização
do centroide dessa área, muitas vezes é conveniente
usar diagramas MIEI separados para cada uma das
cargas conhecidas e redundantes, em vez de utilizar o
diagrama resultante para calcular essas quantidades
geométricas. Isso se aplica especialmente ao caso em
que o diagrama de momento resultante apresente uma
forma complicada. O método para traçar o diagrama
de momento em partes baseia-se no princípio da superposição.
A maioria das cargas em vigas ou eixos será uma
combinação das quatro cargas mostradas na Figura
12.38. A construção dos diagramas de momento associados,
também mostrada nessa figura, foi discutida
nos exemplos do Capítulo 6. Com base nesses resultados,
mostraremos agora como usar o método da superposição
para representar o diagrama de momento
resultante para a viga em balanço mostrada na Figura
12.39a por uma série de diagramas de momento separados.
Para tal, em primeiro lugar substituiremos as
cargas por um sistema de cargas estaticamente equivalentes.
Por exemplo, as três vigas em balanço mostradas
na Figura 12.39a são estaticamente equivalentes
à viga resultante, visto que a carga em cada ponto sobre
a viga resultante é igual à superposição ou adição
das cargas sobre as três vigas separadas. Na verdade,
a reação ao cisalhamento na extremidade A é 13 kN
quando se somam as reações nas vigas separadas. Da
mesma maneira, o momento interno em qualquer ponto
sobre a viga resultante é igual à soma dos momentos
internos em qualquer ponto sobre as vigas separadas.
Assim, se representarmos os diagramas de momento
para cada viga separada (Figura 12.39b ), a superposição
desses diagramas dará o diagrama de momento
para a viga resultante, mostrado na parte superior da
figura. Por exemplo, pelos resultados de cada um dos
diagramas de momento separados, temos que o momento
na extremidade A é M A = -8kN·m - 30 kN·m
- 20 kN·m = -58 kN·m, como verificado no diagrama
de momento na parte superior da figura. Esse exemplo
demonstra que às vezes é mais fácil construir uma série
de diagramas de momento estaticamente equivalentes
separados para a viga, em vez de construir seu diagrama
de momento resultante mais complicado. É óbvio
que a área e a localização do centroide para cada parte
são mais fáceis de determinar do que as do centroide
para o diagrama resultante.