Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
444 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISO seguinte procedimento fornece um método que pode ser usado para aplicar os dois teoremas de momentos de área.Diagrama MIEI"' Determine as reações no apoio e trace o diagrama MI EI da viga. Se a viga estiver carregada com forças concentradas,o diagrama MI EI consistirá em uma série de segmentos de reta e as áreas e seus momentos exigidos pelosteorema dos momentos de área serão relativamente fáceis de calcular. Se a carga consistir em uma série de cargasdistribuídas, o diagrama MIEI consistirá em curvas parabólicas ou, talvez, de ordens mais altas, e sugerimos que atabela apresentada no final do livro seja usada para localizar a área e o centroide sob cada curva.Linha elástica"Trace uma vista ampliada da curva da linha elástica da viga. Lembre-se de que os pontos de inclinação e deslocamentonulos sempre ocorrem em um apoio fixo e que em todos os suportes de pinos e roletes ocorre deslocamento nulo."Se for difícil obter a forma geral da curva da linha elástica, use o diagrama de momento (ou MIEI). Entenda que,quando a viga for submetida a um momento positivo, a flexão resultante será côncava para cima, ao passo que, commomento negativo, a flexão resultante na viga será côncava para baixo. Além disso, um ponto de inflexão ou mudançana curvatura ocorre onde o momento na viga (ou MIEI) é nulo ... O deslocamento e a inclinação desconhecidos a serem determinados devem ser indicados sobre a curva ... Visto que o teorema dos momentos de área aplica-se somente entre duas tangentes, é preciso dar atenção ao modocomo as tangentes devem ser construídas de modo que os ângulos ou desvios entre elas levem à solução do problema.A propósito, as tangentes nos apoios devem ser consideradas, visto que o deslocamento e/ou a inclinação nosapoios da viga normalmente é nulo.Te oremas dos momentos de área"Aplique o Teorema 1 para determinar o ângulo entre duas tangentes quaisquer sobre a linha elástica e o Teorema2 para determinar o desvio tangencial." O sinal algébrico da resposta pode ser verificado pelo ângulo ou desvio indicado na linha elástica.• Um() BIApositivo representa uma rotação em sentido anti-horário da tangente em B em relação à tangente em A, e umt BIA positivo indica que o ponto B sobre a linha elástica encontra-se acima da tangente traçada desde o ponto A.Determine a inclinação da viga mostrada na Figura12.23a nos pontos B e C. EI é constante.APL2EIPLA BpfcLL2 2ME!L2(a)E! (b)IA tg B _%:::Is ;-lc(c)esFigma 12.23c ectg CXSOLUÇÃODiagrama MIEI. Veja Figura 12.23b.Curva elástica. A força P provoca deflexão na viga comomostra a Figura 12.23c. (A linha elástica é côncava para baixo,visto que MIEI é negativo.) As tangentes em B e C sãoindicadas, já que serão necessárias para determinar 88 e O c.A tangente no apoio (A) também é mostrada. Ela tem umainclinação conhecida, zero. Pelo desenho, o ângulo entre tg Ae tg B, isto é, 8 81A , é equivalente a 8 8, ouAlém dissoTeorema dos mom,emtos de área. Aplicando o Teorema1, 881A é igual à área sob o diagrama MIEI entre os pontos Ae B; isto é,Os = 8s;A = ( -::J() + (-::J()3PL28EIResposta
::=__:__DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 445O sinal negativo indica que a orientação do ângulo medidoda tangente em A até a tangente em B é em sentido horário.Isso está de acordo, uma vez que a viga inclina-se para baixoemB.De forma semelhante, a área sob o diagrama MIEI entre ospontos A e C é igual a 8 0 A . Temos1( PL)8c = 8c;A = l L-EIPL22EIRespostaDetermine o deslocamento dos pontos B e C da vigamostrada na Figura 12.24a. EI é constante.Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema2, t8 1 A é igual ao momento da área sombreada sob o diagramaMIEI entre A e B calculado em torno do ponto B (o pontosobre a linha elástica), visto que esse é o ponto no qual odesvio tangencial deve ser determinado. Por consequência,pela Figura 12.24b,l::.s = ts;A = ()[ (-;; )() J = -2 RespostaDa mesma forma, para t c 1A temos de determinar o momentoda área sob todo o diagrama MIEI de A a C em torno doponto C (o ponto sobre a linha elástica). Temos(L)[( Mo)JM 0 L2!::.c = tc;A = Z \- EI(L) =-2EI Resposta(a)OBSERVAÇÃO: Como ambas as respostas são negativas,elas indicam que os pontos B e C encontram-se abaixo datangente em A, o que está de acordo com a "Figura 12.24c.MEIDetermine a inclinação no ponto C da viga na Figura12.25a. EI é constante.p(b)SOLUÇÃO(c)Figura 12.24tgAc tg cDiagrama MIEI. Veja Figura 12.24b.linha elástica. O momento conjugado em C provoca a deflexãoda viga como mostra a Figura 12.24c. As tangentes emB e C são indicadas já que são necessárias para determinar/:18 e !::.c. A tangente no apoio (A) também é mostrada, umavez que ela é horizontal. Os deslocamentos exigidos agorapodem ser relacionados diretamente com os desvios entre astangentes em B e A e C e A. Especificamente, 1:18 é igual aodesvio da tg A em relação à tg B; isto é,MEIPL4EI11- ---:::--tg C(a)PLSEIt---tI -::--(b)c -xe cDC ___,--J _jL--=..-=::._---"',----- tg D (horizontal)(c)Oc;vFigura 12.25
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::=__:__
DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 445
O sinal negativo indica que a orientação do ângulo medido
da tangente em A até a tangente em B é em sentido horário.
Isso está de acordo, uma vez que a viga inclina-se para baixo
emB.
De forma semelhante, a área sob o diagrama MIEI entre os
pontos A e C é igual a 8 0 A . Temos
1
( PL)
8c = 8c;A = l L
-
EI
PL2
2EI
Resposta
Determine o deslocamento dos pontos B e C da viga
mostrada na Figura 12.24a. EI é constante.
Teorema dos momentos de área. Aplicando o Teorema
2, t8 1 A é igual ao momento da área sombreada sob o diagrama
MIEI entre A e B calculado em torno do ponto B (o ponto
sobre a linha elástica), visto que esse é o ponto no qual o
desvio tangencial deve ser determinado. Por consequência,
pela Figura 12.24b,
l::.s = ts;A = ()[ (-;; )() J = -2 Resposta
Da mesma forma, para t c 1A temos de determinar o momento
da área sob todo o diagrama MIEI de A a C em torno do
ponto C (o ponto sobre a linha elástica). Temos
(L)[( Mo)
J
M 0 L2
!::.c = tc;A = Z \- EI
(L) =
-
2EI Resposta
(a)
OBSERVAÇÃO: Como ambas as respostas são negativas,
elas indicam que os pontos B e C encontram-se abaixo da
tangente em A, o que está de acordo com a "Figura 12.24c.
M
EI
Determine a inclinação no ponto C da viga na Figura
12.25a. EI é constante.
p
(b)
SOLUÇÃO
(c)
Figura 12.24
tgA
c tg c
Diagrama MIEI. Veja Figura 12.24b.
linha elástica. O momento conjugado em C provoca a deflexão
da viga como mostra a Figura 12.24c. As tangentes em
B e C são indicadas já que são necessárias para determinar
/:18 e !::.c
. A tangente no apoio (A) também é mostrada, uma
vez que ela é horizontal. Os deslocamentos exigidos agora
podem ser relacionados diretamente com os desvios entre as
tangentes em B e A e C e A. Especificamente, 1:18 é igual ao
desvio da tg A em relação à tg B; isto é,
M
EI
PL
4EI
11- ---:::--
tg C
(a)
PL
SEI
t---t
I -::--
(b)
c -x
e c
D
C ___,--J _jL
--=..-=::._---"',----- tg D (horizontal)
(c)
Oc;v
Figura 12.25