Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 443
o 'diagrama MIEI' para o segmento de viga dx. Integrando
entre um ponto A e outro ponto B selecionados
sobre a linha elástica, temos
(12.19)
Essa equação configura a base para o primeiro teorema
de momentos de área.
O ângulo entre as tangentes em dois pontos
quaisquer sobre a linha elástica é igual à área sob o
diagrama MIEI entre esses dois pontos.
A notação e E IA é denominada ângulo da tangente
em B medido em relação à tangente em A. Pela prova,
deve ficar evidente que esse ângulo será medido em
sentido anti-horário, da tangente A até a tangente B, se
a área sob o diagrama MIE/ for positiva. Ao contrário,
se a área for negativa, ou encontrar-se abaixo do eixo x,
o ângulo e ElA será medido em sentido horário, da tangente
A até a tangente B. Além disso, pelas dimensões
da Equação 12.19, e El A será medido em radianos.
Teorema 2.
O segundo teorema dos momentos de
área baseia-se no desvio das tangentes em relação à
linha elástica. A Figura 12.22a mostra uma vista muitíssimo
ampliada do desvio vertical dt das tangentes
de cada lado do elemento diferencial dx. Esse desvio
é provocado pela curvatura do elemento e foi medido
ao longo de uma reta vertical que passa pelo ponto A
localizado sobre a linha elástica. Visto que consideramos
que a inclinação da linha elástica e sua deflexão
são muito pequenas, é razoável aproximar o comprimento
de cada reta tangente por x e o arco ds' por dt.
Utilizando a fórmula do arco de círculo s = er, onde r
é o comprimento x e s é dt, podemos escrever dt = xde.
Substituindo a Equação 12.18 nessa equação e integrando
de A a B, o desvio vertical da tangente em A em relação
à tangente em B pode ser determinado; isto é,
(12.20)
Visto que o centroide de uma área é determinado
por xf dA = Ix dA e f(MIEI)dx representa a área sob
o diagrama MI E!, também podemos escrever
(12.21)
Nessa expressão, x é a distância de A até o centroide da
área sob o diagrama MI E! entre A e B (Figura 12.22b ).
Agora, o segundo teorema dos momentos de área
pode ser enunciado da seguinte maneira:
O desvio vertical da tangente em um
ponto (A) sobre a linha elástica em relação à tangente
traçada desde outro ponto (B) é igual ao momento da
área sob o diagrama MIEI entre esses dois pontos (A e
B). Esse momento é calculado em torno do ponto (A)
onde o desvio vertical deve ser determinado.
A distância tAlE usada no teorema também pode
ser interpretada como o deslocamento vertical desde
o ponto localizado na tangente traçada do ponto B ao
ponto A sobre a linha elástica. Observe que t AlE não é
igual a t ElA ' o que é mostrado na Figura 12.22c. Especificamente,
o momento da área sob o diagrama MIEI
entre A e B é calculado em torno do ponto A para
determinar tAlE (Figura 12.22b ), e em torno do ponto B
(Figura 12.22c).
para determinar t E IA
Se determinarmos o momento de uma área MI E!
positiva de A a B para t EIA ' ele indica que o ponto B
está acima da tangente traçada desde o ponto A (Figura
12.22a.) De maneira semelhante, áreas MI E! negativas
indicam que o ponto B está abaixo da tangente traçada
desde o ponto A. Essa mesma regra aplica-se para tAlE"
_o_tg fA-x dx B
tA;E
tgB
M
EI
r k'"----
--
M
EI
I
.
(a)
A i ___._ E
:----->---
A tgB , B
(b)
,
tgA
A ----l-
(c)
L x'
1
Figura 12.22
..
--------
x
E x