Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

438 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
O seguinte procedimento fornece um método para utilizar funções de descontinuidade para determinar a curva da
linha elástica de uma viga. Esse método é particularmente vantajoso para resolver problemas que envolvam vigas
eixos submetidos a
ou
várias cargas, visto que as constantes de integração podem ser calculadas utilizando-se somente as
condições de contorno, enquanto as condições de compatibilidade são automaticamente satisfeitas.
Linha elástica
Trace a curva da linha elástica da viga e identifique as condições de contorno nos apoios.
" Ocorre deslocamento nulo em todos os apoios de pino e de rolete e ocorre inclinação e deslocamento nulos nos
.. Estabeleça
apoios fixos
o
.
eixo x de modo que ele se prolongue para a direita e tenha origem na extremidade esquerda da viga.
Função da carga ou momento fletor
" Calcule as reações no apoio e a seguir use as funções de descontinuidade da Tabela 12.2 para expressar a carga w ou
o momento interno M em função de x. Não esqueça de obedecer a convenção de sinal para cada carga, já que ela se
" Observe
aplica a essa equação.
que as cargas distribuídas devem estender-se até a extremidade direita da viga para serem válidos. Se isso
não ocorrer, use o método da superposição ilustrado no Exemplo 12.5.
Inclinação e linha elástica
.. Substitua w em EI d4v/dx4 = -w(x) ou M na relação momento/curvatura EI d2vldx 2 = M, e integre para obter as
equações para a inclinação e a deflexão da viga.
" Calcule as constantes integração utilizando as condições de contorno e substitua essas constantes nas equações
de inclinação e
" Quando as equações
deflexão
da inclinação
para obter
e
os
da
resultados
deflexão são
finais.
calculadas em qualquer ponto sobre a viga, a inclinação positiva
é no sentido anti-horário, e o deslocamento positivo é para cima.
Determine a equação da linha elástica para a viga em
balanço mostrada na Figura 12.19a. EI é constante.
SOLUÇÃO
Linha elástica. As cargas provocam deflexão na viga como
mostra a Figura12.19a. As condições de contorno exigem inclinação
e deslocamento nulo em A.
Função da carga. As reações no suporte em A foram
calculadas por estática e são mostradas no diagrama de
corpo livre na Figura 12.19b. Como a carga distribuída na
Figura 12.19a não se estende até C conforme exigido, podemos
usar a superposição de cargas mostrada na Figura
12.19b para representar o mesmo efeito. Pela nossa convenção
de sinal, o momento de 50 kN·m, a força de 52 kN em
A e a porção da carga distribuída de B a C na parte inferior
da viga são todos negativos. Portanto, a carga da viga é
w = -52 kN(x - 0)- 1 + 258 kN m(x - 0)-2
+ 8 kN/m(x - 0)0
·
- 50kN·m(x - 5mt2 - 8kN/m(x - 5m)0
A carga de 12 kN não está incluída aqui, visto que x não pode
ser maior que 9 m. Como dV/dx = -w(x), então, por integração,
e desprezando a constante de integração uma vez que as
reações,estão incluídas na função de carga, temos
v = 52(x - 0)0 - 258(x - Ot 1 - 8(x - w
+ 50(x - 5t1 + 8(x - 5)1
(a)
258 kN·m 8 kN/m 12 kN
152kN 5 :ükN·ml 8N
(.lfill III t1!i H li l Hc
Figura 12.19
Além disso, dM/dx = V, de modo que, integrando novamente
obtemos
M = -258(x 0)0 + 52(x - W - (8)(x - 0)2
+ SO(x - 1
W + 2 (8)(x - 5)2
= (-258 + 52x - 4x2 + SO(x - 5)0) + 4(x 5)2 kN · rn
Esse mesmo resultado pode ser obtido diretamente da Tabela 12.2.
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10 e
integrando duas vezes, temos
(b)