Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
436 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS(x - a)" é escrita entre parênteses angulares para distingui-lada função comum [x - a]", escrita entre parêntesescomuns. Como mostra a equação, somente quandox 2: a, (x - a)" = (x - a)", caso contrário é nula. Alémdisso, essas funções são válidas somente para valores exponenciaisn 2: O. A integração das funções de Macaulaysegue as mesmas regras das funções comuns, isto é,J(x - a;n+l(x - a/11 dx =n + 1+ C(12.12)Observe agora como as funções de Macaulay descrevema carga uniforme w0(n = 0), bem como a cargatriangular (n = 1), mostradas na Tabela 12.2, itens 3 e4. Esse tipo de descrição pode, é claro, ser estendido acargas distribuídas que tenham outras formas. Tambémé possível usar superposição com as cargas uniformes etriangulares para criar a função de Macaulay para umacarga trapezoidal. Utilizando integração, as funções deMacaulay para cisalhamento, V = -f w(x )dx, e momento,M = IV dx, também são mostradas na tabela.Essas funções são usadassomente para descrever a localização do ponto de forçasconcentradas ou momentos conjugados que agem sobreuma viga ou eixo. Especificamente, uma força concentradaP pode ser considerada como o caso especial de umacarga distribuída no qual a intensidade da carga é w = PI E,tal que sua largura é E , onde E O (Figura 12.15). A áreasob esse diagrama de carga é equivalente a P, positiva parabaixo, portanto utilizaremos a função de singularidadew = P(x - a;-1 = { para x i= apara x = a (12.13)I"11Figura 12.1511P Mow=-=-" E2P MoIV = -=-E E2cedtienclphppara descrever a força P. Observe que aqui n = -1, demodo que as unidades para w são força por comprimentocomo devem ser. Além do mais, a função assumeo valor, de P somente no ponto x = a onde a cargaocorre, caso contrário é nula.De maneira semelhante, um momento conjugadoM0, considerado positivo em sentido anti-horário, éuma limitação quando E O de duas cargas distribuídascomo mostra a Figura 12.16. Aqui a seguinte funçãodescreve seu valor.w = M0(x - a;-2 = {OMopara x i= apara x =a (12.14)O expoente n = -2 é para assegurar que as unidadesde w, força por comprimento, sejam mantidas.A integração das duas funções de singularidadeapresentadas segue as regras operacionais elo cálculo ed, resultados diferentes dos das funções de Macaulay.Especificamente,Figura 12.16J (x - a)11dx = (x - a)"+l, n = -1 , -2(12.15)Aqui, somente o expoente n aumenta uma unidadee nenhuma constante de integração será associadacom essa operação. Ao utilizar essa fórmula, observecomo M0 e P, descritos na Tabela 12.2, itens 1 e 2, sãointegrados uma vez e depois duas vezes, para se obteremo cisalhamento interno e o momento na viga.A aplicação das equações 12.11 a 12.15 proporcionaum meio bastante clireto de expressar a carga ou o momentointerno em de um viga em função de x. Quandofizermos isso, devemos prestar muita atenção aos sinaisdas cargas externas. Como afirmado anteriormente emostrado na Tabela 12.2, forças concentradas e cargasdistribuídas são positivas para baixo, e momentos conjugadossão positivos em sentido anti-horário. Se essaeet<Slti)\pCíeolid
convenção de sinal for seguida, o cisalhamento internoe o momento fletor estarão de acordo com a convençãode sinal para vigas estabelecida na Seção 6.1.Como exemplo da aplicação das funções de descontinuidadepara descrever a carga ou momento internoem uma viga, consideraremos a viga carregada comomostra a Figura 12.17a. Aqui a força de reação R1 criadapelo pino (Figura 12.17b) é negativa visto que agepara cima, e M0 é negativo, visto que age em sentidohorário. Utilizando a Tabela 12.2, a carga em qualquerponto x sobre a viga é, portanto,pti I I I--L---(b)Figura 12.17(a)3mDEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 4371,5kN·m .3 3m6kN/m \3kN/m(a)l,SkN·mtm=3kNjmt t ttt3kNjm3m-3m=rt f2,75 kN .(b) Byt= ( · BxFigura 12.18A validade dessa expressão pode ser verificada pormeio do método das seções, digamos, dentro da regiãob < x < c (Figura 12.17b ). O equilíbrio de momentorequer queM = R1x - P(x - a) + M 0 (12.17)Esse resultado está de acordo com o obtido pelasfunções de descontinuidade, visto que, pelas equações12.11, 12.13 e 12.14, somente o último termo na Equação12.16 é igual a zero quando x < c.Como um segundo exemplo, considere a viga naFigura 12.18a. A reação do suporte em A foi calculadana Figura 12.18b e a carga trapezoidal foi subdivididoem cargas triangulares e uniformes. Pela Tabela 12.2, acarga é, portanto,w = -2,75 kN(x - 0)- 1 - 1,5 kN · m(x - 3 mf2+ 3 kN/m(x - 3 m)0 + 1 kN/m2(x - 3 m) 1A força reativa no rolete não está incluída nessaexpressão, uma vez que x nunca é maior do que Le, além disso, esse valor não tem nenhuma importânciano cálculo da inclinação ou da deflexão. Observeque quando x = a, w = P, sendo todos os outrostermos iguais a zero. Além disso, quando x > c,w = w0 etc.Integrando essa equação duas vezes, obtemos a expressãoque descreve o momento interno na viga. Asconstantes de integração serão ignoradas aqui, umavez que as condições de contorno, ou o cisalhamentoe o momento final, foram calculadas (V = R1 e M =O) e esses valots são incorporados na carga da vigaw. Também podemos obter esse resultado diretamenteda Tabela 12.2. Em qualquer caso,(12.16)Podemos determinar a expressão para o momentodiretamente pela Tabela 12.2 em vez de integrar essaexpressão duas vezes. Em qualquer caso,M = 2,75 kN(x - 0) 1 + 1,5 kN · m(x - 3 m)03 kN/m1 kN/m2 3- (x - 3m) 2 - (x - 3m)2 61= 2,75x + 1,5(x - 3)0 - 1,5(x - 3)2 - 6(x 3)3A deflexão da viga pode ser determinada depoisque essa equação for integrada duas vezes sucessivas eas constantes de integração forem calculadas utilizando-seas condições de contorno de deslocamento nuloem A e B.
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(x - a)" é escrita entre parênteses angulares para distingui-la
da função comum [x - a]", escrita entre parênteses
comuns. Como mostra a equação, somente quando
x 2: a, (x - a)" = (x - a)", caso contrário é nula. Além
disso, essas funções são válidas somente para valores exponenciais
n 2: O. A integração das funções de Macaulay
segue as mesmas regras das funções comuns, isto é,
J
(x - a;n+l
(x - a/11 dx =
n + 1
+ C
(12.12)
Observe agora como as funções de Macaulay descrevem
a carga uniforme w0(n = 0), bem como a carga
triangular (n = 1), mostradas na Tabela 12.2, itens 3 e
4. Esse tipo de descrição pode, é claro, ser estendido a
cargas distribuídas que tenham outras formas. Também
é possível usar superposição com as cargas uniformes e
triangulares para criar a função de Macaulay para uma
carga trapezoidal. Utilizando integração, as funções de
Macaulay para cisalhamento, V = -f w(x )dx, e momento,
M = IV dx, também são mostradas na tabela.
Essas funções são usadas
somente para descrever a localização do ponto de forças
concentradas ou momentos conjugados que agem sobre
uma viga ou eixo. Especificamente, uma força concentrada
P pode ser considerada como o caso especial de uma
carga distribuída no qual a intensidade da carga é w = PI E,
tal que sua largura é E , onde E O (Figura 12.15). A área
sob esse diagrama de carga é equivalente a P, positiva para
baixo, portanto utilizaremos a função de singularidade
w = P(x - a;-1 = {
para x i= a
para x = a (12.13)
I
"
11
Figura 12.15
11
P Mo
w=-=-
" E2
P Mo
IV = -=-
E E2
c
e
d
ti
e
n
cl
p
h
p
para descrever a força P. Observe que aqui n = -1, de
modo que as unidades para w são força por comprimento
como devem ser. Além do mais, a função assume
o valor, de P somente no ponto x = a onde a carga
ocorre, caso contrário é nula.
De maneira semelhante, um momento conjugado
M0, considerado positivo em sentido anti-horário, é
uma limitação quando E O de duas cargas distribuídas
como mostra a Figura 12.16. Aqui a seguinte função
descreve seu valor.
w = M0(x - a;-2 = {O
Mo
para x i= a
para x =a (12.14)
O expoente n = -2 é para assegurar que as unidades
de w, força por comprimento, sejam mantidas.
A integração das duas funções de singularidade
apresentadas segue as regras operacionais elo cálculo e
d, resultados diferentes dos das funções de Macaulay.
Especificamente,
Figura 12.16
J (x - a)11dx = (x - a)"+l, n = -1 , -2
(12.15)
Aqui, somente o expoente n aumenta uma unidade
e nenhuma constante de integração será associada
com essa operação. Ao utilizar essa fórmula, observe
como M0 e P, descritos na Tabela 12.2, itens 1 e 2, são
integrados uma vez e depois duas vezes, para se obterem
o cisalhamento interno e o momento na viga.
A aplicação das equações 12.11 a 12.15 proporciona
um meio bastante clireto de expressar a carga ou o momento
interno em de um viga em função de x. Quando
fizermos isso, devemos prestar muita atenção aos sinais
das cargas externas. Como afirmado anteriormente e
mostrado na Tabela 12.2, forças concentradas e cargas
distribuídas são positivas para baixo, e momentos conjugados
são positivos em sentido anti-horário. Se essa
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