Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS 427
p
(a)
f--X ----1! ..
(b)
Figma 12.10
Utilizando as condições de contorno dv!dx = O em x = L e
u = O em x = L, as equações 2 e 3 tornam-se
M
(1)
(2)
(3)
O resultado positivo para (}A indica rotação em sentido anti­
-horário e o resultado negativo para v A indica que v A
é para
baixo, o que está de acordo com os resultados esboçados na
Figura 12.10a.
Para ter uma ideia do valor real da inclinação e do deslocamento
na extremidade A, considere que a viga na Figura
12.10a tenha 5 m comprimento, suporta uma carga P =
30 kN e é feita de aço A-36 com E aço = 200 GP a. Utilizando
os métodos de Seção 11.3, se essa viga fosse projetada sem
um fator de segurança considerando-se que a tensão normal
admissível é igual à tensão de escoamento u d = 250
MP a, verificaríamos que um perfil W310 x 39 seri dequado
[I = 84,4(106) mm4]. Pelas equações 4 e 5 obtemos
30 kN(103 N/kN) X [5 m(103 mm/m)2]2 = 0,0221 rad
2[200(103) N/mm2](84,8(106) mm4)
v = _ 30 kN(10 3 NlkN) X [5 m(l03 mm/m)] 3 = 73 7 mm
A 3[200(103) N/mm2](84,8(106) mm4) '
Visto que (} (dvldx)2 = 0,000488 << 1,isso justifica a utilização
da Equação 12.10, em vez da aplicação da Equação 12.4,
mais exata, para calcular a deflexão das vigas. Além disso, visto
que essa aplicação numérica é para uma viga em balanço, obtivemos
valores maiores para(} e v do que teríamos obtido se a
viga fosse sustentada por pinos, roletes ou outros apoios fixos.
SOLUÇÃO 11
Esse problema também pode ser resolvido utilizando-se
a Equação 12.8, EI d4vldx4 = -w(x). Aqui w(x) = O para
O ::; x ::; L (Figura 12.10a), de modo que, após integrarmos
uma vez, obtemos a forma da Equação 12.9, isto é,
Logo, C1 = PV/2 e C2 = -PV/3. Substituindo esses resultados
nas equações 2 e 3 onde (} = dvldx, obtemos
Resposta
A inclinação e o deslocamento máximos ocorrem em A(x = 0),
para o qual
PL2
(} A =
(4)
2EI
PL3
v A =- 3EI
(5)
El d 3v = Cí = V
dx3
A constante de cisalhamento C' 1 pode ser calculada em
x =O, visto que = -P (negativa de acordo com a convenção
de sinal para vigas) (Figura 12.8a).Dessemodo, C' 1 = -P.Integrando
novamente obtemos a forma da Equação 12.10, isto é,
El d 3v = -P
dx3
d2v
EI- 2
= -Px + C2 = M
dx
Aqui M = O em x = O, portanto C' 2 = O e obtemos como
resultado a Equação 1. A solução prossegue como antes.
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A viga simplesmente apoiada mostrada na Figura 12.1la
suporta a carga triangular distribuída. Determine sua deflexão
máxima. EI é constante.
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