Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

426 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
(a)
(b)
Figura 12.9
devem dar os mesmos valores para a inclinação e a deflexão
no ponto B, de modo que a linha elástica seja fisicamente
contínua. Expresso em termos matemáticos
isso exige que 0/a) = 0 2 (a) e v1 (a) = v 2 (a). Então essa;
equações podem ser usadas para avaliar duas constantes
de integração. Por outro lado, se a curva elástica
for expressa em termos das coordenadas O s X1 s a e
Os x 2
s b, como mostra a Figura 12.9b, a continuidade
da inclinação e da deflexão em B exige 01(a) = -0 2 (b)
e v1 (a) = vz(b ). Nesse caso particular, é necessário um
sinal negativo para podermos combinar as inclinações
em B visto que x1 é positivo para a direita ao passo
que x 2
é positivo para a esquerda. Por consequência,
01 é positivo em sentido anti-horário e 0 2
é positivo em
sentido horário. Vej a as figuras 12.8b e 12.8c.
O seguinte procedimento fornece um método para determinar a inclinação e a deflexão de uma viga (ou eixo)
utilizando o método da integração.
Linha elástica
• Desenhe uma vista em escala ampliada da linha elástica da viga. Lembre-se de que inclinação e deslocamento nulos
ocorrem em todos os apoios fixos e que o deslocamento nulo ocorre em todos os apoios de pino e rolete.
• Estabeleça os eixos coordenados x e v. O eixo x deve ser paralelo à viga sem deflexão e pode ter uma origem em
qualquer ponto ao longo da viga, com uma direção positiva para a direita ou para a esquerda.
• Se várias cargas descontínuas estiverem presentes, estabeleça coordenadas x válidas para cada região da viga entre
as descontinuidades. Escolha essas coordenadas de modo que elas simplifiquem o trabalho algébrico subsequente.
• Em todos os casos, o eixo v positivo associado deve ser orientado para cima.
Função da carga ou do momento fletor
• Para cada região na qual haja uma coordenada x, expresse a carga w ou o momento interno M em função de x. Em
particular, sempre considere que M age na direção positiva quando aplicar a equação de equilíbrio de momento para
determinar M = f(x).
Inclinação e curva da linha elástica
• Desde que EI seja constante, aplique a equação de carga EI d4vldx' = -w(x), que requer quatro integrações para
obter v = v(x), ou a equação de momento EI d2v/dx2 = M(x), que requer somente duas integrações. É importante
incluir uma constante de integração para cada integração.
• As constantes são calculadas utilizando as condições de contorno para os apoios (Tabela 12.1) e as condições de
continuidade aplicáveis à inclinação e ao deslocamento em pontos onde duas funções se encontram. Uma vez calculadas
as constantes e substituídas nas equações da inclinação e da deflexão, estas podem ser determinadas em pontos
específicos sobre a linha elástica.
• Os valores numéricos obtidos podem ser comprovados graficamente comparando-os com o rascunho da linha elástica.
Entenda que valores positivos para a inclinação estarão em sentido anti-horário, se o eixo x for posítivo para
a direita, e em sentido horário, se o eixo x for positivo para a esquerda. Em qualquer desses casos, o deslocamento
positivo é para cima.
A viga em balanço mostrada na Figura 12.10a está sujeita
a uma carga vertical P em sua extremidade. Determine a
equação da linha elástica. EI é constante.
SOLUÇÃO I
Linha elástica. A carga tende a provocar deflexão da viga
como mostra a Figura 12.10a. Por inspeção, o momento fletor
interno pode ser representado em toda a viga utilizando uma
única coordenada x.
Função do momento fletor. Pelo diagrama de cofpo livre,
com M agindo na direção positiva (Figura 12.10b ) , temos
M= -Px
Inclinação e linha elástica. Aplicando a Equação 12.10 e
integrando duas vezes, obtemos
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