Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

424 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
1/ p = d2vldx2• Usando essa simplificação, agora a Equação
12.4 pode ser expressa como
(12.5)
Também é possível escrever essa equação de duas
formas alternativas. Se diferenciarmos cada lado em
relação a x e substituirmos V= dM!dx (Equação 6.2),
obteremos
d ( d2v)
- EI- = V(x)
dx dx2
(12.6)
Se diferenciarmos mais uma vez, usando -w = dV!dx
(Equação 6.1), obteremos
(12.7)
Na maioria dos problemas, a rigidez à flexão será
constante ao longo do comprimento da viga. Considerando
que seja esse o caso, os resultados que obtivemos
serão reordenados no seguinte conjunto de equações:
d4v
EI dx 4 = -w(x)
(12.8)
d3v
EI dx 3 = V(x)
(12.9)
d2v
EI dx 2 = M(x)
(12.10)
A solução de qualquer dessas equações requer integrações
sucessivas para obter a deflexão v da linha
elástica. Para cada integração é necessário introduzir
uma 'constante de integração' e então resolver para
todas as constantes de modo a obter uma solução única
para um problema particular. Por exemplo, se a carga
distribuída for expressa em função de x e a Equação
12.8 for usada, teremos de avaliar quatro constantes
de integração; contudo, se o momento fletor interno M
for determinado e a Equação 12.10 for usada, teremos
de determinar somente duas constantes de integração.
A escolha da equação com a qual começar depende
do problema. Entretanto, de modo geral é mais fácil
determinar o momento interno M em função de x, integrar
duas vezes e avaliar somente duas constantes de
integração.
Lembre-se de que na Seção 6.1 dissemos que se a
carga sobre uma viga for descontínua, isto é, consistir
em uma série de várias cargas distribuídas e concentradas,
teremos de escrever várias funções para o momento
interno, cada uma delas válida dentro da região entre
A !'''\--------------' D
· B C ···!:?
(a)
p
HBHHf 1
IV
HHHUl
(b)
(c)
Figura 12.7
as descontinuidades. Além disso, por questão de conveniência
ao escrever cada expressão de momento, a
origem de cada coordenada x pode ser selecionada arbitrariamente.
Por exemplo, considere a viga mostrada
na Figura 12.7a. O momento interno nas regiões AB,
BC e CD pode ser expresso em termos das coordenadas
selecionadas xl'x 2
e x3, como mostra a Figura 12.7b
ou 12.7c ou, na verdade, de qualquer maneira que resulte
M = f(x) na forma mais simples possível. Uma vez
integradas essas funções com a utilização da Equação
12.10 e das constantes de integração determinadas, as
funções darão a inclinação e a deflexão (linha elástica)
para cada região da viga para a qual são válidas.
Convenção de sinais e coordenadas.
p
I
v
Quando
aplicarmos as equações 12.8 a 12.10, é importante
usar os sinais corretos para M, V ou w, como estabelecido
pela convenção de sinais que foi usada na dedução
dessas equações. A título de revisão, esses termos são
mostrados em suas direções positivas na Figura 12.Sa.
Além do mais, lembre-se de que a deflexão positiva, v,
é para cima, e o resultado é que o ângulo de inclinação
positiva f) será medido na direção anti-horária em relação
ao eixo x, quando este for positivo para a direita. A
razão disso é mostrada na Figura 12.8b. Nesse caso, os
aumentos positivos dx e dv em x e v provocam um aumento
em f) no sentido anti-horário. Por outro lado, se
x positivo for orientado para a esquerda, então (} será
positivo em sentido horário (Figura 12.8c).