Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
392 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS(J 2Envelope de falhaBTeoria da tensão normal máximaFigura 10. 36Essas equações são mostradas no gráfico da Figura10.36. Aqui, vemos que, se a coordenada da tensão(a a ) em um ponto no material cair sobre o contor-1' 2• •1no ou fora da área sombreada, diz-se que o matenasofreu ruptura. Essa teoria é geralmente atribuída aW. Rankine, que a propôs em meados do século XIX.Constatou-se, por meios experimentais, que a teoriaestá de acordo com o comportamento de materiaisfrágeis cujos diagramas tensão-deformação são semelhantessob tração e sob compressão.Critério de falha de Mohr.Em alguns materiaisfrágeis, as propriedades sob tração e sob compressãosão diferentes. Quando isso ocorre, podemos usar umcritério baseado na utilização do círculo de Mohrpara prever a falha do materi l. Esse n; étodo f ? i desenvolvidopor Otto Mohr e, as vezes, e denommadocritério de falha de Mohr. Para aplicá-lo, em primeirolugar é preciso realizar três ensaios no material. Umensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressãouniaxial são usados para determinar o limite de resistênciaàs tensões de tração e compressão, (a,) 1 e (a,) c'respectivamente. Além disso, é realizado um ensaiode torção para determinar o limite de resistência àtensão de cisalhamento Tr do material. Em seguida, éconstruído o círculo de Mohr para cada uma dessascondições de tensão, como mostra a Figura 10.37. Ocírculo A representa a condição de tensão a 1= a2 = O,a = -(a ) · o círculo B representa as condições de3 r c'tensão a 1 = (a,) 1, a 2 = a 3= O; e o círculo C representaa condição de tensão de cisalhamento puro provocadapor T • Esses três círculos estão contidos em um'envelop de falha' indicado pela curva em cinza extrapolada,desenhada na tangente a todos os três círculos.Se uma condição de tensão plana em um pontofor representada por um círculo que estiver contidono interior do envelope, diz-se que o material não falhará.Todavia, se o círculo for tangente ao envelopeem um ponto, ou estender-se para fora de seu contorno,então diz-se que ocorrerá falha.TFigura 10. 37Critério de falha de MohrFigura 10. 38Também podemos representar esse critério em umgráfico de tensões principais u 1e u2(u 3= 0), mostradona Figura 10.38. Aqui, ocorre falha quando o valor ab·soluto de qualquer uma das tensões principais atingeum valor igual ou maior do que (1J ,) 1 ou (u,)c ou, mgeral, se o estado de tensão em um ponto for defimdopela coordenada da tensão (ul' uz) , marcada sobre 0contorno ou fora da área sombreada.Qualquer um desses dois critérios pode ser usado,'Ina prática para prever a falha de um n: terial : rag :Todavia, devemos entender que sua utilidade e b ?.tante limitada. Uma ruptura por tração ocorre mwtorepentinamente e, em geral, seu i ício dep nde e . c:centrações de tensão desenvolvidas em ImpetfelÇ.. ..microscópicas d o matena 1 como me 1 uso -es ou vazws.entalhes na superfície e pequenas trincas. Como ca d auma dessas irregularidades varia de um corpo de prova para outro torna-se difícil especificar a falha combase em um úico ensaio. Por outro lado, trincas e ou·.tras irregulandades tendem a fechar-se quan do o cOI·.- f rma!11 osPo de prova é comprimido e, portanto, na o o.pontos de falha que formanam quando se su bmete ncorpo de prova à tração.cand
TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 393dúctil, á falha será especificada pelo iúício do escoamento; se for frágil, será eEpeci1icada ;pelano,ae lSta definida quando ocorre deslizamertto entre os cristais que compõem o material. Esse deslizatensãode cisalhamento e a teoria da tensão de cisalhamento máxima é baseada nessa ideia.tl(J defm•mlu , :ao é armazenada em um material quando ele é submetido à tensão normal. A: teoria da energiamáxima depende de uma energia de deformação que distorce o material, e não da parte que aumentamaterial frágil é causada somente pela tensão de tração máxima no material, e não pela tensão deconstitui a base da teoria da tensão normal .máxíma e será aplicável se o diagrama tensãO'-defor·for semelhante sob tração e sob compressão.tiver diagramas tensãO'-deformação dife rentes sob pressão e sob compressão, o critério de falha... """'n""''" ser usado para prever falha.a imperfeições no material, a ruptura sob tensão de um material frágil é difícil de prever e, por isso, as teoriaspara materiais frágeis devem ser usadas com cautela.interno de 60 mm e diâmetro externo de 80 mm. Se estivero tubo de aço mostrado na Figura 10.39a tem diâmetrosujeito a um momento de torção de 8 kN m e a um momentoftetor de 3,5 kN m, determine se essas cargas provo··cam falha como definido pela teoria da energia demáxima. A tensão de escoamento para o aço determinadadistorçãopor ensaio de tração é a e = 250 MPa.SOLUÇÃOPara resolver esse problema, temos de investigar um pontosobre o tubo que esteja sujeito a um estado de tensão críticamáxima. Ambos, momento de torção e momento fletor,são uniformes ao longo do comprimento do tubo. Na seçãoarbitrária a-a (Figura 10.39a), essas cargas produzemas distribuições de tensão mostradas nas figuras 10.39b el.0.39c. Por inspeção, os pontos A e B estão sujeitos ao mesmoestado de tensão crítico. Aqui, investigaremos o estadode tensão em A. Assim,Te (8.000 N m)(0,04 m)·r A - - = J- ( 7T/2)[(0,04 m) 4 - (0,03 m)4] 116 ' 4 MPa8kN·m_a(a)+(b)(c)Me (3.500 N m)(0,04 m)·IJ'A = - - = 1019MPaI (7T/4)[(0,04m)4 - (0,03m)4] 'Esses resultados são mostrados em uma vista tridimensionalde um elemento de material no ponto Auma(Figura 10.39d) e,vez que o material está sujeito ao estado plano de tensão,ele também é mostrado em duas dimensões (Figura 10.39e).O centro do círculo de Mohr para esse estado plano detensão está localizado emG'méd =o - 101,9=2 -50,9 MPa(d)(e)A116,4--t---t--+__1_- O" (MPa)r (MPa)Figura 10.39(f)
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392 RESISTtNCIA DOS MATERIAIS
(J 2
Envelope de falha
B
Teoria da tensão normal máxima
Figura 10. 36
Essas equações são mostradas no gráfico da Figura
10.36. Aqui, vemos que, se a coordenada da tensão
(a a ) em um ponto no material cair sobre o contor-
1' 2
• •
1
no ou fora da área sombreada, diz-se que o matena
sofreu ruptura. Essa teoria é geralmente atribuída a
W. Rankine, que a propôs em meados do século XIX.
Constatou-se, por meios experimentais, que a teoria
está de acordo com o comportamento de materiais
frágeis cujos diagramas tensão-deformação são semelhantes
sob tração e sob compressão.
Critério de falha de Mohr.
Em alguns materiais
frágeis, as propriedades sob tração e sob compressão
são diferentes. Quando isso ocorre, podemos usar um
critério baseado na utilização do círculo de Mohr
para prever a falha do materi l. Esse n; étodo f ? i desenvolvido
por Otto Mohr e, as vezes, e denommado
critério de falha de Mohr. Para aplicá-lo, em primeiro
lugar é preciso realizar três ensaios no material. Um
ensaio de tração uniaxial e um ensaio de compressão
uniaxial são usados para determinar o limite de resistência
às tensões de tração e compressão, (a
,
) 1 e (a
,
) c'
respectivamente. Além disso, é realizado um ensaio
de torção para determinar o limite de resistência à
tensão de cisalhamento Tr do material. Em seguida, é
construído o círculo de Mohr para cada uma dessas
condições de tensão, como mostra a Figura 10.37. O
círculo A representa a condição de tensão a 1
= a2 = O,
a = -(a ) · o círculo B representa as condições de
3 r c'
tensão a 1 = (a,) 1, a 2 = a 3
= O; e o círculo C representa
a condição de tensão de cisalhamento puro provocada
por T • Esses três círculos estão contidos em um
'envelop de falha' indicado pela curva em cinza extrapolada,
desenhada na tangente a todos os três círculos.
Se uma condição de tensão plana em um ponto
for representada por um círculo que estiver contido
no interior do envelope, diz-se que o material não falhará.
Todavia, se o círculo for tangente ao envelope
em um ponto, ou estender-se para fora de seu contorno,
então diz-se que ocorrerá falha.
T
Figura 10. 37
Critério de falha de Mohr
Figura 10. 38
Também podemos representar esse critério em um
gráfico de tensões principais u 1
e u2(u 3
= 0), mostrado
na Figura 10.38. Aqui, ocorre falha quando o valor ab·
soluto de qualquer uma das tensões principais atinge
um valor igual ou maior do que (1J ,
) 1 ou (u,)c ou, m
geral, se o estado de tensão em um ponto for defimdo
pela coordenada da tensão (ul' uz) , marcada sobre 0
contorno ou fora da área sombreada.
Qualquer um desses dois critérios pode ser usado
,
'I
na prática para prever a falha de um n: terial : rag :
Todavia, devemos entender que sua utilidade e b ?.
tante limitada. Uma ruptura por tração ocorre mwto
repentinamente e, em geral, seu i ício dep nde e . c:
centrações de tensão desenvolvidas em ImpetfelÇ
.
. .
.
microscópicas d o matena 1 como me 1 uso -es ou vazws.
entalhes na superfície e pequenas trincas. Como ca d a
uma dessas irregularidades varia de um corpo de pro
va para outro torna-se difícil especificar a falha com
base em um úico ensaio. Por outro lado, trincas e ou·
.
tras irregulandades tendem a fechar-se quan do o cOI·
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Po de prova é comprimido e, portanto, na o o
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pontos de falha que formanam quando se su bmete n
corpo de prova à tração.
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