Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

380 RESISTNCIA DOS MATERIAIS
+
(a) (b) (c) (d)
Figul'a 10.20
Lei de Hooke generalizada. Se o material em
um ponto estiver sujeito a um estado de tensão triaxial,
ux, u Y
, uz (Figura 10.20a), deformações normais associadas
E , E , E serão desenvolvidas no material. As tensões
X )' Z
podem ser relacionadas com as deformações pelo princípio
da superposição, coeficiente de Poisson, E1 at
= -vE1
ong
e pela lei de Hooke, como aplicável na direção uniaxial,
E= ui E. Para mostrar como isso é feito, em primeiro lugar
consideraremos a deformação normal do elemento na
direção x, causada pela aplicação isolada de cada tensão
normal. Quando ux é aplicada (Figura 10.20b ), o elemento
alonga-se na direção x e a deformação < nessa direção é
A aplicação de u provoca a contração do elemento com
y
uma deformação <na direção x (Figura 10.20c ). Aqui,
O'y
E11 x = -v-
E
Da mesma forma, a aplicação de uz (Figura 10.20d),
provoca uma contração na direção x tal que
O'z
E"' = -vx
Quando essas três deformações normais são superpostas,
a deformação normal Ex é determinada para o
estado de tensão na Figura 10.20a. Equações semelhantes
podem ser desenvolvidas para as deformações
normais nas direções y e z. Os resultados finais podem
ser escritos como
1
E
Ex = E
[ux - v(uy + uz)]
1
Ey = E
[uy - v(ux + uz)] (10.18)
1
Ez = E
[uz - v(ux + uy)]
Essas três equações expressam a lei de Hooke de
uma forma geral para um estado de tensão triaxial.
Como observamos da dedução, elas serão válidas somente
se o princípio da superposição for aplicável, 0
que exige uma resposta linear elástica do material e a
aplicação de deformações que não provoquem alterações
graves na forma do material - isto é, exigem-se
pequenas deformações. Ao aplicar essas equações, observe
que as tensões de tração são consideradas quantidades
positivas e as tensões de compressão, negativas.
Se a deformação normal resultante for positiva, isso
indicará que o material alonga-se, ao passo que uma
deformação normal negativa indicará que o material
contrai-se.
Como o material é is o trópico, o elemento na Figura
10.20a permanecerá um bloco retangular quando submetido
às tensões normais, isto é, nenhuma deformação
por cisalhamento será produzida no material. Se
agora aplicarmos uma tensão de cisalhamento r, Y
ao
elemento (Figura 10.2la), observações experimentais
indicam que o material se distorcerá somente devido
a uma deformação por cisalhamento Y .<J
' isto é, r.,y não
causará outras deformações no material. Da mesma
forma, r y
z e Txz provocarão somente deformações po·
cisalhamento T y
z e Txz ' respectivamente. Portanto, a et
de Hooke para tensão de cisalhamento e deformaçao
por cisalhamento pode ser escrita como
1
Yxy = G Txy
1
Yyz = G
Tyz
Relações que envolvem E, v e G.
1
Yxz = G
Txz (10. 19)
Na Seçãt;
3.7, afirmamos que o módulo de elasticidade E esta
relacionado com o módulo de cisalhamento G pela
Equação 3.11, a saber,
(10.20)