Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

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368 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
onde
(Ex' 2 ('Yx'y')2-
- Eméd) + l - R
(10.13)
Eméd =
R =
A Equação 10.13 representa a equação do círculo
de Mohr para deformação, com centro sobre o eixo E
no ponto C( Eméd' O) e raio R.
Figura 10.9
O procedimento para traçar o círculo de Mohr para deformação é o mesmo definido para tensão.
Construção do círculo
• Defina um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a deformação normal e,positiva para a direita, e a
ordenada represente metade do valor da deformação por cisalhamento, 'YI2,positiva para baixo (Figura 10.9) .
• Usando a convenção de sinal positiva para e , e , 'Y , como mostra a Figura 10.3, determine o centro do círculo C,
localizado sobre o eixo e a uma distância emédx= (ex·:;_ e)/2 da origem (Figura 10.9).
• Marque o ponto de referência A cujas coordenadas são A( e , 'Y /2 ). Esse ponto representa o caso no qual o eixo x '
coincide com o eixo x. Daí, e = 0° (Figura 10.9).
• Ligue o ponto A ao centro C do círculo e, pelo triângulo sombreado, determine o raio R do círculo (Figura 10.9).
• Uma vez determinado R, trace o círculo.
Deformações principais
• As deformações principais e1 e e2 são determinadas pelo círculo como as coordenadas dos pontos B e D, isto é, onde
112 = O (Figura 10.10a).
• A orientação do plano sobre o qual e1 age pode ser determinada pelo círculo calculando 2eP1 por trigonometria.
Aqui, esse ângulo é medido em sentido anti-horário da linha de referência radial CA até a linha CB, Figura 10.10a.
Lembre-se de que a rotação de eP1 deve ser na mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x ' ,
Figura 10.10b.*
• Quando e1 e e2 são indicadas como positivas, como na Figura 10.10a, o elemento na Figura 10.10b se alongará nas
direções x' e y' como mostra o contorno tracejado.
Deformação por cisalhamento máxima no plano
• A deformação normal média e a metade da deformação por cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo
círculo como as coordenadas dos pontos E e F (Figura 10.10a).
• A orientação do plano no qual 'Ymáx
x
xy
e eméd agem pode ser determinada pelo círculo calculando 2 e,1 por trigonometria.
Aqui, esse ângulo é medido "efri an sentido horário da linha de referência radial CA até a linha CE (Figura 10.10a).
Lembre-se de que a rotação de e,, deve ser na mesma direção, do eixo x de referência do elemento até o eixo x '
(Figura 10.10c).*
Deformações em plano arbitrário
• As componentes da deformação normal e por cisalhamento e., e 'Yx'y' para um plano específico a um ângulo e (Figura10.10d),
podem ser obtidas pelo círculo usando trigonometria para determinar as coordenadas do ponto P (Figura 10.10a).
• Para localizar P, o ângulo conhecido e do eixo x ' é medido no círculo como 2e. Essa medição é feita da linha de
referência radial CA até a linha radial CP. Lembre-se de que as medições de 2e no círculo devem estar na mesma
direção de e para o eixo x ' . *
• Se for necessário, o valor de e/ pode ser determinado calculando a coordenada e do ponto Q na Figura 10.10a. A
linha CQ encontra-se a 180° de CP e, por isso, representa uma rotação de 90° do eixo x ' .
' Se, ao contrário, o eixo y/2 fosse construído como positivo para cima, então o ângulo 20 no círculo seria medido na direção oposta à da
orientação () do plano.