Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

364 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
y'
\ \
y
y'
y
\
{)
x ' \
Deformação normal positiva, Ex•
Deformação por cisalhamento positiva, 'Yx'
(a)
Figura. 10.5
(b)
Ex + Ey Ex - Ey 'Yxy
Ex' = +
2 2
c os 28 + 2 sen 28 (10.5)
'Yx'y' ( E x - Ey) 'Yxy
2 = -
2
sen 28 + 2
cos 28 (10.6)
Essas equações de transformação da deformação
dão a deformação normal Ex, na direção x ' e a deformação
por cisalhamento 'Yx'y' de um elemento orientado
a um ângulo 8, como mostra a Figura 10.5. De
acordo com a convenção de sinal estabelecida, se E ,
é positiva, o elemento alonga-se na direção de x ' po " ­
sitivo (Figura 10.5a) e, se y , . é positiva, o elemento
x y
deforma-se como mostra a Figura 10.5b. Observe que
essas deformações ocorrem como se a tensão normal
positiva rrx' e a de cisalhamento positiva rx'y ' agissem
sobre o elemento.
A deformação normal na direção y ' , se exigida,
pode ser obtida pela Equação 10.5 com a simples substituição
de 8 por (8 + 90°). O resultado é
Ex + Ey Ex - Ey
Ey• = --- - cos 28 - -sen 28
'Yxy
2 2 2
(10.7)
Devemos notar a semelhança entre as equações
10.5, 10.6 e 10.7 e as utilizadas na transformação no estado
plano de tensão, equações 9.1, 9.2 e 9.3. Por comparação,
rr x , rr y , rr x , , rr }.. correspondem a E x, E y, E x .., E,.; ) e
rxy' rx' y ' correspondem a 'Y. q
/2, 'Yx•y ,/2.
Deformações principais. Como ocorreu com
a tensão, a orientação de um elemento em um ponto
pode ser determinada de modo tal que a deformação
do elemento seja representada por deformações normais,
sem nenhuma por cisalhamento. Quando isso
ocorre, as deformações normais são denominadas
deformações principais e, se o material for isotrópico,
os eixos ao longo dos quais essas deformações ocorrem
coincidirão com os eixos que definem os planos
da tensão principal.
Pelas equações 9.4 e 9.5 e pela correspondência já
mencionada entre tensão e deformação, a direção do
eixo e os dois valores das deformações principais E 1
e
E2 são determinados por
E1,2 -
_ Ex
(10.8)
+ Ey f( E x - Ey)z ('Yxy)z (10.9)
2 ± \j 2
Deformação por cisalhamento máxima no
plano.
Pelas equações 9.6, 9.7 e 9.8, a direção do
eixo e a deformação por cisalhamento máxima no pia·
no e a deformação normal média associada são deter·
minadas pelas seguintes equações:
+
tg 28s = - (E x - Ey)
'Yxy
Eméd=
2
2
(10.10)
(10.11)
(10.12)