Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

TRANSFORMAÇÃO DA DEFORMAÇÃO 363
Pela Equação 202, a deformação normal ao longo
reta dx' é E x, = ox' /dx ' o Portanto, usando a Equação
temos
E x' :: €.x cos2 e + €.y seif e + 'Yxy serre cos e (1002)
A equação de transformação da deformação para
determinar 'Yx'l
pode ser desenvolvida considerando-se
quantidade de rotação que cada um dos segmentos de
:eta dx ' e dy' sofre quando sub etdo às compo entes
da deformação Ex, EY, 'Yxy o Em pnmerro lugar, consideraremos
a rotação de dx ', definida pelo ângulo em sentido
anti-horário a mostrado na Figura 10.4eo Esse ângulo
pode ser determinado pelo deslocamento oy' pela expressão
a = oy '/dx' o Para obter oy', considere as três
componentes do deslocamento seguintes que agem na
direção y': uma de Ex, que dá -Exdx sen e (Figura 10.4b );
uma outra de EY, que dá €. dy Y
cos e (Figura 10.4c); e a
última de 'Yxy' que dá - yxydy sen e (Figura 10.4d)oAssim,
8y' , provocada pelas três componentes da deformação, é
Como mostra a Figura 10.4e, a reta dy' sofre uma
rotação de {3o Podemos determinar esse ângulo por
uma análise semelhante ou simplesmente substituindo
e por e + 90° na Equação 10o3o Usando as identidades
sen(e + 90°) = cos e, cos(e + 90°) = -sen e, temos
{3 = (-Ex + Ey) sen (e + 90°) cos( & + 90°)
- 'Yxy sen2( e + 90°)
= -(-Ex + Ey) cos e sen e - 'Yxy cos2 e
Visto que a e {3 representam a rotação dos lados
dx ' e dy' de um elemento diferencial cujos lados estavam
originalmente orientados ao longo dos eixos x'
e y' e que {3 está na direção oposta de a, Figura 10.4e,
então o elemento está sujeito a uma deformação por
cisalhamento de
'Yx'y' = a-{3 = -2(€.x - €.y) senecos e
y'
ôy' = -Ex dx serre + €.y dy COS e - 'Yxy dy sen e
Pela Equação 1001, com a = oy'!dx', temos
a = (-Ex + Ey) serre cos e - 'Yxy sen2 e (1003)
y
x y' y
Eyd1 dy
'
cos()
------------i
dy dx' ()
dy Eydy
x'
dx'
I
dx
-----------x
sen(J
i
Ex Ey
Antes da deformação Deformação normal Deformação normal
I
I
X
+ 'Yxy( cos2 e - sen2 e)
(10.4)
Usando as identidades trigonométricas sen 28 =
2 sen (} cos e, cos2 e = (1 + cos 2e)/2 e sen2 e + cos2
(} = 1, podemos rescrever as equações l0o2 e 10.4 na
forma final
y'
y
I
I
()
- - 12_ _________ /
'L-----
()
(a) (b) (c)
y'
Deformação por cisalhamento l'xy
(d)
Figura 10.4
(e)