Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

362 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
z
+<,dy rr
y
I
í
- -
- - - - - I
I -- - - I
Yxy
I
I
I
I
I
I
-'
A
I + -
dy f 2 Yxy
I
I
+ 2
o
dx
\.'_
(a)
+Exdx
X
y'
y
Estado plano de tensão, O'.n O'y, não causa estado
plano de deformação no plano x- y desde que Ez * O.
Figura 10.2
10.2
Equações gerais de
transformação no plano
de deformação
Na análise do estado plano de deformação, é importante
estabelecer equações de transformação que
possam ser usadas para determinar as componentes x',
y' da deformação normal e daquela por cisalhamento
em um ponto, desde que as componentes x, y da deformação
sejam conhecidas. Em essência, esse é um
problema de geometria e requer relacionar as deformações
e rotações de segmentos de reta diferenciais
que representam os lados de elementos diferenciais
paralelos a cada conjunto de eixos.
Convenção de sinal. Antes de desenvolver as
equações de transformação da deformação, é preciso
definir uma convenção de sinal para as deformações.
Essa convenção é a mesma estabelecida na Seção 2.2 e
será definida novamente aqui para a condição de estado
plano de deformação. Com referência ao elemento
diferencial mostrado na Figura 10.3a, as deformações
normais Ex e E Y serão positivas, se provocarem alongamento
ao longo dos eixos x e y, respectivamente, e
aquelas por cisalhamento Yxy serão positivas, se o ângulo
interno AOB ficar menor que 90°. Essa convenção
de sinal também segue a correspondente usada para
o estado plano de tensão (Figura 9.5a), isto é, u , u x Y ,
T xy positivas provocarão , ,
deformação
,
no elemento nas
direções E x, E Y
, Yxy positivas, respectivamente.
Aqui, o problema será determinar, em um ponto,
as deformações normais e de cisalhamento Ex'' E y '' Yx' y ''
medidas em relação aos eixos x' e y', se conhecermos
(b)
Convenção de sinal positivo
Figma 10.3
Ex, E>', Yxy medidas em relação aos eixos x,y. Se o ângulo
.
entre os eixos x e x' for 8 então, ass1m como ocorre
com o estado plano de tensão, 8 será positivo, contanto
que siga a curvatura dos dedos da mão direita, isto é,
sentido anti-horário, como mostra a Figura 10.3b.
Deformações normal e por cisalhamento.
Para desenvolver a equação de transformação da de·
formação e determinar Ex'' temos de determinar o alon·
gamento de um segmento de reta dx' que se encontra
ao longo do eixo x' e está sujeito às componentes da
deformação E x ' E Y
, Yxy ' Como mostra a Fgura 10.4 as
componentes da reta dx' ao longo dos e1xos x e y sao
dx = dx' cos e
dy = dx' sen8
(10.1)
Quando ocorre a deformação normal positiva e,
(Figura 10.4b ), a reta dx sofre um alongamento ci:;•
o que provoca um alongamento E dx cos 8 na reta l\ ·
Do mesmo modo, quando ocorré x E>' (Figura 10.4c), a
reta dy sofre um alongamento E ,dy, o que provoca um .
alongamento E ,dy sen 8 na reta
>
dx
,. p or fim , co nstdc·
r ando que dx prmaneça fixa na posição, a defonnaçao
Por cisalhamento y . , que é a mudança no ângulo ?tr
·'Y
dx e dy, provoca o deslocamento Y
dtl'CI·
. x; •dy para a
ta da extremidade da reta dy,
F' Ufl
como mostra a tg '
10.4d. Isso acarreta o alongamento y d s 8 na retH
xy Y
co
•
A
dx'. Se esses tres alongamentos forem soma dos ' o a 1 on·
gamento resultante de dx' será
ôx' = Ex dx cos 8 + Ey dy sen8 + Yxy dy cos 8