Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 353
relação à posição do elemento na Figura 9.28a. Os
Se também foram representados na Figura 9.28d. Os
e c ulos de Mohr para os elementos nas Figuras 9.28b e
Íementos correspondentes que estejam orientados a
:so e sujeitos a componentes de tensão de cisalhamento
máxima no plano e tensão norml média são mostrados
nas Figuras 9.28f e 9.28g, respectivamente.
Comparando os três círculos na Figura 9.28d, vemos
que a tensão de cisalhamento máxima absoluta, rabs máx'
é definida pelo círculo que tem o maior raio, o que ocorre
para 0 elemento mostrado na Figura 9.28b. Em outras palavras,
o elemento na Figura 9.28f está orientado por uma
rotação de 45° em tomo do eixo y ' em relação ao elemento
na Figura 9.28b. Observe que essa condição também pode
ser determinada diretamente apenas escolhendo as tensões
principais máxima e mínima na Figura 9.27c, caso em que
a tensão de cisalhamento absoluta máxima será
rr máx -
rr mín
Tabs =
máx 2
E a tensão normal média associada será
CT máx + CT mín
CTméd = 2
(9.13)
(9.14)
A análise considerou somente as componentes de tensão
que agem em elementos localizados em posições determinadas
por rotações em tomo do eixo x ' , y ' ou z'. Se
tivéssemos usado as equações de transformação de tensão
tridimensionais da teoria da elasticidade para obter
valores das componentes de tensão normal e de tensão
de cisalhamento que agem sobre qualquer plano oblíquo
arbitrário no ponto, como na Figura 9.27b, poderíamos
mostrar que, independentemente da orientação do plano,
valores específicos da tensão de cisalhamento T no plano
sempre serão menores do que a tensão de cisalhamento
máxima absoluta determinada pela Equação 9.13. Além
disso, a tensão normal cr que age em qualquer plano terá
um valor que se encontrará entre as tensões principais
máxima e mínima, isto é, cr m á x 2':. cr 2':. cr , .
mm
Tensão no plano. Esses resultados têm uma implicação
importante para o caso da tensão no plano,
em particular quando as tensões principais no plano
têm o mesmo sinal, isto é, ambas são de tração ou ambas
são de compressão. Por exemplo, considere que o
material está sujeito à tensão no plano de modo tal
que as tensões principais no plano são representadas
como cr máx e cr int nas direções x ' e y ' , respectivamente,
enquanto a tensão principal fora do plano na direção
z' é cr mín = O (Figura 9.29a). Os círculos de Mohr que
descrevem esse estado de tensão para orientações de
elemento em torno dos três eixos coordenados são
mostrados na Figura 9.29b.Aqui, vemos que, embora a
tensão de cisalhamento máxima no plano seJ· a (r , ,) ,, =
xy ma.. x
( cr máx crint)/2, esse valor não é a tensão de cisalhamento
máxima - absoluta à qual o material está sujeito. Em
vez disso, pela Equação 9.13 ou Figura 9.29b,
- .
( )
CTmáx -
O
CTmáx
T abs == 'T x'z' máx ==
== --
2 2
(9.15)
No caso em que uma das tensões principais no plano
tem sinal oposto ao da outra, então essas tensões serão
representadas como cr máx e cr m ín e a tensão principal fora
do plano cr int
= O (Figura 9.30a). Os círculos de Mohr
que descrevem esse estado de tensão para orientações
de elementos em torno de cada eixo coordenado são
mostrados na Figura 9.30b. Claramente, nesse caso,
'T abs
máx
==
(
) rr máx - rr mín
Tx'y' máx ==
•
2
(9.16)
O cálculo da tensão de cisalhamento máxima absoluta
como indicado aqui é importante no projeto de
elementos estruturais feitos de material dútil, visto que
a resistência do material depende de sua capacidade
de resistir à tensão de cisalhamento. Essa situação será
discutida também na Seção 10.7.
T
x'
z '
Tensão no plano x'- y '
(a)
l7máx
( Tx'y')máx
( ( Tx•z)máx \_ Tensão de cisalhamento
Tensão de cisalhamento máxima no plano
máxima absoluta
(b)
Figura 9.29
y'