Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

344 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
90 MPa
(a)
20 MPa
u (MPa)
Tensão de cisalhamento máxima no plano. A tensão d
cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média sã e
identificadas pelo ponto E ou F no círculo. Em particular a
o
coordenadas do ponto E(35,81,4) dão
T máx
no plano
= 81,4 MPa
u méct = 35 MP a
' s
Resposta
Resposta
O ângulo em sentido anti-horário fJ 81 pode ser determinado
pelo círculo, identificado como 2881• Temos
28 = tg- 1 ( 20 + 35 SJ ) = 42 so
60 '
{JSJ = 21,3°
Resposta
Esse ângulo em sentido anti-horário define a direção do eixo
x ' (Figura 9.21c). Como o ponto E tem coordenadas positivas,
ambas, a tensão normal média e a tensão de cisalhamento
máxima no plano, agem nas direções x ' e y ' positivas como
mostra a figura.
;; = s " "
" E eu=. n
"'"" "'
T (MPa)
(b)
O estado plano de tensão em um ponto é mostrado no
elemento na Figura 9.22a. Represente esse estado de tensão
em um elemento orientado a 30° em sentido anti-horário
em relação à posição mostrada na figura.
(c)
Figura 9.21
x'
21,3°
'(T----'--- X
Os eixos u, T estão definidos na Figura 9.21b. O centro do
círculo C está localizado sobre o eixo u, no ponto
-20 + 90
fTméd=
2 = 35 MPa
O ponto C e o ponto de referência A( -20, 60) são marcados.
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo sombreado
para determinar o raio do círculo CA, temos
R = Y(6o? + (55? = 81,4 MPa
SOLUÇÃO
Construção do círculo. Pelos dados do problema,
u = -8MPa
.T
u = 12MPa
y
r x y
= -6MPa
Os eixos u, T estão definidos na Figura 9.21b. O centro do
círculo C está localizado sobre o eixo u em
-8 + 12
uméd = =
2
2 MPa
As coordenadas do ponto inicial para fJ = oo são A( -8, -6).
Por consequência, pelo triângulo sombreado, o raio CA é
R = (10)2 + (6)2 = 11,66
Tensões no elemento a 30°. Como o elemento deve sofrer
rotação de 30° em sentido anti-horário, temos de traçar a linha
radial CP, 2(30°) = 60° em sentido anti-horário, medida em
relação a CA(fJ = 0°) (Figura 9.22b ). Agora, temos de obter as
coordenadas do ponto P( (T x'' Tx' y
'). Pela geometria do círculo,
<P = tg- 1 _i_ = 30,96° "' = 60° - 30,96° = 29,04
10
°
fTx, = 2 - 11,6 cos 29,04° = -8,20 MPa
Tx' y ' = 11,66 sen 29,04° = 5,66 MPa
Resposta
Resposta