Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

330 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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O estado plano de tensão em um ponto sobre um corpo
é mostrado no elemento na Figura 9.13a. Represente esse
estado de tensão em termos das tensões principais.
SOLUÇÃO
Pela convenção de sinal estabelecida, temos
(a)
_:"" Uméd =/
Uméd - 2 ,
(T
7máxno - 2
plano
, x'
"""
(b)
\
Figura 9.12
Como estudos experimentais constataram que a tensão normal
provoca falha em materiais frágeis, se a barra for feita
de material frágil, como ferro fundido, a tensão normal provocará
ruptura.
Tensão de c:isalhamento máxima no plano. Pelas equações
9.6, 9.7, e 9.8, temos
-(ux -uy)/2
tg 20s = --
Txy
(Ux - Uy)2 (U
T máx = + T 2 -Q)2
= -- + O 2
U
= ±-
no plano
2
xy
4SO
2 ( )
2
Resposta
G"méd= 2 2
Resposta
Para determinar a orientação adequada do elemento, aplique
a Equação 9.2.
T x'y' =
fíx - fíy
sen 28 + T xy
2
cos 28
u -0
u
2 2
--- sen 90°+ O =
Essa tensão de cisalhamento negativa age na face x ' , na direção
de y ' negativo, como mostra a Figura 9.12b.
OBSERVAÇÃO: Se a barra for feita de material dúctil como
aço doce, então a tensão de cisalhamento provocará a ruptura
da barra quando esta for submetida à tração.
u = -20MPa
X
u y = 90 MPa Txy = 60 MPa
Orientação de elemento. Aplicando a Equação 9.4, temos
60
( -20 - 90)/2
Resolvendo e denominando essa raiz O P
2, como mostraremos
a seguir, obtemos
Como a diferença entre 20P1 e 20P2 é 180°, temos
20 = 180° + 20 = 132 51°
pl p2 '
Lembre-se de que O é positivo quando medido em sentido
anti-horário do eixo x até a normal orientada para fora (eixo
x ' ) na face do elemento e, portanto, os resultados são os mos·
trados na Figura 9.13b.
Tensões principais. Temos
Ux + Uy /(ux - Uy)2 0"
1,2 - 2
2 ± 'J +
2
Txy
= -20 2 + 90 -
(-20
± 90 y
2 + (60)2
= 35,0 ± 81,4
u1 = 116MPa
u 2
= -46,4 MPa
Resposta
Resposta
O plano principal no qual cada tensão normal age pode
ser determinado pela Equação 9.1 com, digamos, O ==
Opz "'
-23,7°. Temos
Ux + U y Ux - U )'
Ux• =
2
+
2
cos 20 + Txy sen 20
-20 + 90 -20 - 90 37")
= + cos 2(-23 7°) + 60 sen 2(-2 •
2 2 '
= -46,4 MPa
p
p
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111.
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