Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)

326 RESISTtoNCIA DOS MATERIAIS
Para aplicar as equações de transformação de tensão 9.1 e 9.2, basta entrar com os valores conhecidos de fT , fT , 7
e 8 de acordo com a convenção de sinal definida, Figura 9.5. Se o cálculo de fT_e e Tx'y' produzir quantidades psitlva
essas tensões agirão na direção positiva dos eixos x' e y'.
Por conveniência, essas equações podem ser facilmente programadas em uma calculadora de bolso.
+'\2:Fy' = O;
- ( fT
Y
7x'y' LiA + (7xy LiA sen8) sen8
LiA sen8) cos 8 - ( 7 xy LiA cos 8) cos 8
+ ( lfx LiA cos 8) sen 8 = O
7x'y' = ( fT y - fT x) sen 8 cos 8 + 7xy( cos 2 8 - sen 2 8)
Essas duas equações podem ser simplificadas pelas
identidades trigonométricas sen 28 = 2 sen 8 cos 8,
sen2 8 = (1 - cos 2 8)12 e cos2 8 = (1 + cos 2 8)/2 e,
nesse caso, obtemos
Ux + fTy Ux - Uy
cr = x'
2
+
2
'Tx'y' =
Ux - Uy
2
cos 28 + 7 xy sen 28 (9.1)
sen 28 + 'T xy cos 28 (9.2)
Se a tensão normal que age na direção y ' for necessária,
ela poderá ser obtida pela simples substituição
de (8 = 8 + 90°) para 8 na Equação 9.1 (Figura 9.6d),
o que resulta em
Ux + Uy Ux - cr y
u i ==
cos 28 - 7xy sen 28 (9.3)
2 2
Se o cálculo de crl produzir uma quantidade positiva,
isso indicará que ela age na direção y ' positiva
como mostra a Figura 9.6d.
O estado plano de tensão em um ponto é representado
pelo elemento mostrado na Figura 9.7a. Determine o estado
de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30°
no sentido horário em relação à posição mostrada.
SOLUÇÃO
Este problema foi resolvido no Exemplo 9.1 usando os princípios
básicos. Aqui, aplicaremos as equações 9.1 e 9.2. Pela
convenção de sinal definida (Figura 9.5), vemos que
cr = -SO MPa
X
cry = 50 MPa
Txy = -25 MPa
Plano CD. Para obter as componentes de tensão no plano
CD (Figura 9.7b ), o eixo x ' positivo é dirigido para fora
perpendicularmente a CD, e o· eixo y ' associado é dirigi
do ao longo de
CD. O ângulo medido de x até o eixo x' é
8 = -30° (em sentido horário). Aplicando as equações 9.1 e
9.2 obtemos
lfx + fTy
lfx• =
2
+
lfx - fTy
2
-80 + 50 -80 - 50
=
2
= -25,8 MPa
lfx - fTy
Tx'y' = -
+ 2
cos 28 + T xy sen 28
2
sen 28 + 7xy cos 28
-80 - 50
2
= -68,8 MPa
= -
cos 2(-30°) +(-25) sen2(-30")
Resposta
sen 2(-30°) + ( -25) cos 2( -30°)
Os sinais negativos indicam que crx, e 7 ' x i
agem nas direções
de x ' e y ' negativos, respectivamente. A Figura 9.7d mostra
os resultados agindo no elemento.
Plano BC. De modo semelhante, as componentes de tensão
que agem na face BC, Figura 9.7c, são obtidas usando
8 = 60°.Aplicando as equações 9.1 e 9.2', obtemos
lfx• =
-80 + 50 -80 - 50
2
+
2
cos 2(60°) + (-25)sen 2(60°)
= -4,15 MPa Resposta
-80 - 50
Tx'y' = -
2
sen 2(60°) + ( -25) cos 2(60°)
= 68,8 MPa Resposta
Aqui, T , , foi calculada duas vezes, como confirmação. O sinal
negÚvo para cr_e indica que essa tensão age na direção
de x ' negativo (Figura 9.7c). Os resultados são mostrados no
elemento na Figura 9.7d.
' Como alternativa, poderíamos aplicar a Equação 9.3
com () = -30° em vez da Equação 9.1.
9
ck
lJ l
111
de
m;
c o
SC<
Te
mi
dif
rcs
dos