Livro Hibbeler - 7ª ed Resistencia Materiais (Livro)
TENSÃO 15zIzIrTzzX .. T z y ---yXyFigura 1.11Figura 1.12,Y.(a)zentão o estado de tensão seria definido por um conjuntodiferente de componentes de tensão.Unidades. No Sistema Internacional de Unidadesde Medidas, ou Sistema SI, os valores da tensãonormal e da tensão de cisalhamento são especificadasnas unidades básicas de newtons por metro quadrado(N/m2). Essa unidade, denominada 1 pascal (1 Pa = 1N/m2), é muito pequena, e, em trabalhos de engenharia,são usados prefixos como quilo (103), simbolizadopor k, mega (106), simbolizado por M, ou giga (109),simbolizado por G, para representar valores de tensãomaiores, mais realistas.*/yX •(b)zT.\)'1.4 Te nsão normal média emuma barra com carga axialFrequentemente, elementos estruturais ou mecânicossão compridos e delgados. Além disso, estão sujeitosa cargas axiais que normalmente são aplicadas àsextremidades do elemento. Pendurais, parafusos e elementosde treliças são exemplos típicos. Nesta seção,determinaremos a distribuição de tensão média queage na seção transversal de uma barra com carga axial,como aquela cuja forma geral é mostrada na Figura1.13a. Esta seção define a área da seção transversal dabarra e, como todas as outras seções transversais sãoiguais, a barra é denominada prismática. Se desprezarmoso peso da barra e da seção conforme é indicado,então, para o equilíbrio do segmento inferior (Figura1.13b ), a força resultante interna que age na área daseção transversal deve ter valor igual, direção opostae ser colinear à força externa que age na parte inferiorda barra.X(c)Figura 1.10yPremissas. Antes de determinarmos a distribuiçãoda tensão média que age sobre a área da seçãotransversal da barra, é necessário adotar duas premissassimplificadoras em relação à descrição do materiale à aplicação específica da carga.' Às vezes, a tensão é expressa em unidades de N/mm', em que1 mm = 10-3 m. Todavia, o SI não permite prefixos no denominadorde uma fração, portanto é melhor usar a unidade equivalente1 N/mm2 = 1 MN/m' = 1 MPa.
16 RESISTÊNCIA DOS MATERIAISpp(a)pForça internaÁrea da seçãotransversal+ Força externap(b)zIppp(c)Região dedeformaçãouniformeda barramateriais de engenharia podem ser consideradoshomogéneos e isotrópicos por aproximação, comofazemos neste livro. O aço, por exemplo, contémmilhares de cristais orientados aleatoriamente emcada milímetro cúbico de seu volume, e, visto quea maioria dos problemas que envolvem esse materialtem um tamanho físico muito maior do que umúnico cristal, a premissa adotada em relação à composiçãodesse material é bem realista. Entretanto,devemos mencionar que o aço pode ser transformadoem anisotrópico por laminação a frio (isto é,se for laminado ou forjado em temperaturas subcríticas).Materiais anisotrópicos têm propriedadesdiferentes em direções diferentes e, ainda queseja esse o caso, se a anisotropia for orientada aolongo do eixo da barra, então a barra também sedeformará uniformemente quando sujeita a umacarga axial. Por exemplo, a madeira, por causa deseus grãos ou fibras, é um material de engenhariahomogéneo e anisotrópico e, como possui umaorientação padronizada de suas fibras, ela se prestaperfeitamente à análise que faremos a seguir.Xp(d)Figura 1.13yDistribuição da tensão normal média.Contantoque a barra esteja submetida a uma deformaçãouniforme e constante como já observamos, essa de-.formação é o resultado de uma tensão normal constantecr, Figura 1.13d. O resultado é que cada áreaM na seção transversal está submetida a uma força!::..F = crM, e a soma dessas forças que agem em toda aárea da seção transversal deve ser equivalente à forçaresultante interna P na seção. Se fizermos M dA e,portanto, !::..F dF, então, reconhecendo que cr é constante,tem-se1. É necessário que a barra permaneça reta antes e depoisda aplicação da carga; além disso, a seção transversaldeve permanecer achatada ou plana durante adeformação, isto é, durante o tempo em que ocorrera mudança no volume e na forma da barra. Se issoacontecer, as linhas horizontais e verticais da gradeaplicada à bana se deformarão unifom?emente quandoa barra for submetida à carga (Figura 1.13c). Nãoconsideraremos aqui as regiões da barra próximas àssuas extremidades, onde a aplicação das cargas externaspode provocar distorções localizadas. Em vezdisso, focalizaremos somente a distribuição de tensãono interior da seção média da barra.2. Para que a barra sofra deformação uniforme é necessárioque P seja aplicada ao longo do eixo docentroide da seção transversal e que o material sejahomogéneo e isotrópico. Materiais Jwmogêneostêm as mesmas propriedades físicas e mecânicas emtodo o seu volume e materiais isotrópicos têm asmesmas propriedades em todas as direções. Muitosonde=I (T I(1.6)cr = tensão normal média em qualquer ponto na áreada seção transversalP = força normal interna resultante, que é aplicada nocentroide da área da seção transversal. P é determinadapelo método das seções e pelas equaçõesde equilíbrioA = área da seção transversal da barraA carga interna P deve passar pelo centróide da seçãotransversal, visto que a distribuição de tensão uniformeproduzirá momentos nulos em torno de quaisquereixos x e y que passem por esse ponto (Figura1.13d). Quando isso ocorre,
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16 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
p
p
(a)
p
Força interna
Área da seção
transversal
+ Força externa
p
(b)
z
I
p
p
p
(c)
Região de
deformação
uniforme
da barra
materiais de engenharia podem ser considerados
homogéneos e isotrópicos por aproximação, como
fazemos neste livro. O aço, por exemplo, contém
milhares de cristais orientados aleatoriamente em
cada milímetro cúbico de seu volume, e, visto que
a maioria dos problemas que envolvem esse material
tem um tamanho físico muito maior do que um
único cristal, a premissa adotada em relação à composição
desse material é bem realista. Entretanto,
devemos mencionar que o aço pode ser transformado
em anisotrópico por laminação a frio (isto é,
se for laminado ou forjado em temperaturas subcríticas).
Materiais anisotrópicos têm propriedades
diferentes em direções diferentes e, ainda que
seja esse o caso, se a anisotropia for orientada ao
longo do eixo da barra, então a barra também se
deformará uniformemente quando sujeita a uma
carga axial. Por exemplo, a madeira, por causa de
seus grãos ou fibras, é um material de engenharia
homogéneo e anisotrópico e, como possui uma
orientação padronizada de suas fibras, ela se presta
perfeitamente à análise que faremos a seguir.
X
p
(d)
Figura 1.13
y
Distribuição da tensão normal média.
Contanto
que a barra esteja submetida a uma deformação
uniforme e constante como já observamos, essa de-.
formação é o resultado de uma tensão normal constante
cr, Figura 1.13d. O resultado é que cada área
M na seção transversal está submetida a uma força
!::..F = crM, e a soma dessas forças que agem em toda a
área da seção transversal deve ser equivalente à força
resultante interna P na seção. Se fizermos M dA e,
portanto, !::..F dF, então, reconhecendo que cr é constante,
tem-se
1. É necessário que a barra permaneça reta antes e depois
da aplicação da carga; além disso, a seção transversal
deve permanecer achatada ou plana durante a
deformação, isto é, durante o tempo em que ocorrer
a mudança no volume e na forma da barra. Se isso
acontecer, as linhas horizontais e verticais da grade
aplicada à bana se deformarão unifom?emente quando
a barra for submetida à carga (Figura 1.13c). Não
consideraremos aqui as regiões da barra próximas às
suas extremidades, onde a aplicação das cargas externas
pode provocar distorções localizadas. Em vez
disso, focalizaremos somente a distribuição de tensão
no interior da seção média da barra.
2. Para que a barra sofra deformação uniforme é necessário
que P seja aplicada ao longo do eixo do
centroide da seção transversal e que o material seja
homogéneo e isotrópico. Materiais Jwmogêneos
têm as mesmas propriedades físicas e mecânicas em
todo o seu volume e materiais isotrópicos têm as
mesmas propriedades em todas as direções. Muitos
onde
=
I (T I
(1.6)
cr = tensão normal média em qualquer ponto na área
da seção transversal
P = força normal interna resultante, que é aplicada no
centroide da área da seção transversal. P é determinada
pelo método das seções e pelas equações
de equilíbrio
A = área da seção transversal da barra
A carga interna P deve passar pelo centróide da seção
transversal, visto que a distribuição de tensão uniforme
produzirá momentos nulos em torno de quaisquer
eixos x e y que passem por esse ponto (Figura
1.13d). Quando isso ocorre,